Handbook of Computational Group Theory
D. F. Holt, B. Eick und E. O’Brien
Chapman & Hall / CRC Press, 2005, 82,90 €
ISBN 1-58488-372-3
Dies ist das erste Textbuch, das sämtliche relevanten und aktuellen Themen der algorithmischen Gruppentheorie (im Folgenden kurz CGT für ”Computational Group Theory“ genannt) behandelt. Vorgänger beschränkten sich jeweils auf Teilbereiche, wie etwa endliche Permutationsgruppen oder endlich präsentierte Gruppen.
Das Buch beginnt mit einem kurzen, lesenswerten Abriss der Geschichte der CGT. Danach werden, zum Teil ohne Beweis, die mathematischen Hintergründe aus der Algebra, insbesondere der Gruppentheorie vorgestellt. Es folgt ein allgemeines Kapitel über die verschiedenen Datenstrukturen und Modelle zur Repräsentation einer Gruppe auf einem Computer.
Ein sehr langes und ausführliches Kapitel ist dem Rechnen in Permutationsgruppen gewidmet. Insgesamt vier Kapitel befassen sich mit verschiedenen Aspekten endlich präsentierter Gruppen. Das erste davon behandelt das grundlegende Todd-Coxeter-Verfahren zur Abzählung von Nebenklassen. Das zweite thematisiert das Problem, eine endliche Präsentation einer Gruppe, die etwa als Permutations- oder Matrixgruppe gegeben ist, zu konstruieren. In einem weiteren Kapitel wird die algorithmische Theorie polyzyklischer Gruppen umfassend dargestellt. Im letzten Kapitel aus diesem Umkreis geht es um die Berechnung von Quotienten spezieller Struktur endlich präsentierter Gruppen. Die fundamentalen Algorithmen der Darstellungstheorie, wie die Meataxe oder der Dixon-Schneider-Algorithmus, sowie Methoden zum Berechnen von Kohomologiegruppen werden ebenfalls in einem eigenen Kapitel sehr gründlich vorgestellt. Bisher hatte die algorithmische Darstellungstheorie noch nicht Eingang in ein Textbuch gefunden.
Ein weiteres Kapitel behandelt speziellere Methoden, zum Beispiel zum Aufzählen von Untergruppen einer gegebenen Gruppe. Bemerkenswert ist der Platz, der den vorhandenen Datenbanken endlicher Gruppen, Charaktertafeln und Darstellungen eingeräumt wird. Je ein Kapitel über das Knuth-Bendix Verfahren und automatische Gruppen runden das Bild ab. Gerade diese beiden letztgenannten Kapitel bieten, neben den Methoden für polyzyklische Gruppen, eine Perspektive auf die substanzielle Ausweitung der CGT auf gewisse Klassen unendlicher Gruppen.
Die vorgestellten Algorithmen und Methoden werden durch instruktive, explizit vorgeführte Beispiele verdeutlicht. Die Algorithmen werden mithilfe von Pseudocode beschrieben. Insgesamt finden sich in dem Buch 89 hervorgehobene Prozeduren in Pseudocode. Fast jeder Abschnitt schließt mit einer Reihe von Übungsaufgaben. Sehr schön sind auch die Hinweise auf Anwendungen außerhalb der Gruppentheorie, z. B. in der Galoistheorie oder der Topologie, oder sogar außerhalb der Mathematik, z. B. in der Chemie.
Den weitaus größten Teil dieses Buches hat Derek Holt verfasst, die beiden anderen Autoren haben einzelne Sektionen und Kapitel beigesteuert. Die Autoren sind weltweit anerkannte Experten auf allen in diesem Band angesprochenen Gebieten. Das Buch ist sehr klar geschrieben und besticht durch einen besonders systematischen Aufbau. Es schließt mit einem zwölfseitigen Register.
Es ist ein großes Verdienst dieses Buches, die enge inhaltliche Verzahnung der drei Teilbereiche der CGT, Permutationsgruppen, endlich präsentierte Gruppen und Matrixgruppen, offen gelegt zu haben. Randomisierte Methoden, die in der CGT eine zunehmend große Rolle spielen, der hier natürlich auch entsprechend Rechnung getragen wird, bilden die methodische Klammer für die genannten Teilbereiche.
Der vorliegende Band hat den Namen Handbuch wahrlich verdient. Er ist als Grundlage für Vorlesungen wie auch als Referenzwerk gleichermaßen geeignet. Besonders viel Nutzen werden aber auch Studierende, sowohl für die Begleitung von Vorlesungen als auch für eigene Forschungsarbeiten, aus diesem Buch ziehen können.
Rezension: Gerhard Hiss (Aachen) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 37 - Oktober 2005