Hypergeometric Summation
An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities
Wolfram Koepf
Springer, 300 Seiten, 2014, 2. Aufl., 53,49 €
ISBN: 1-447-16463-6
Aufgaben wie die explizite oder rekursive Auswertung von Summen von Binomialkoeffizienten (allgemeiner: hypergeometrischen Termen) oder der Nachweis der Gleichheit von solchen Summen (Binomialidentitäten) treten in vielen Bereichen der Mathematik auf und haben in der Vergangenheit auch erfahrenen "Rechnern'' notorische Probleme bereitet. Seit etwas weniger als zehn Jahren hat die Behandlung dieses Problems der definiten hypergeometrischen Summation, beginnend mit den Arbeiten von Doron Zeilberger, eine neue, algorithmische Qualität gewonnen. Vieles, wofür man früher Erfahrung, Intelligenz, Hartnäckigkeit, Tafeln von bekannten Auswertungen und Transformationen und auch Glück benötigte, kann nun "automatisch'', also algorithmisch, erledigt werden. Protagonisten dieser raschen Entwicklung waren neben Zeilberger u.a. Herbert Wilf und Marko Petkovsek, und diese drei Autoren haben in dem 1996 erschienenen Buch mit dem vielsagenden (?) Titel "A=B'' (A.K. Peters, Wellesley) eine erste zusammenfassende Darstellung gegeben, die neben anderen Qualitäten auch den authentischen Charme der Pionierarbeit hat.
Das vorliegende Buch von W. Koepf, der vor allem auch durch seine Implementierungen zur Verbreitung dieses Fortschritts beigetragen hat, deckt in der mathematisch-algorithmischen Substanz in etwa den gleichen Themenkreis wie "A=B'' ab. Die Basisalgorithmen (also die Technik von Sister Celine, Gospers Methode der indefiniten hypergeometrischen Summation, der WZ-Ansatz, Zeilbergers kreatives Teleskopieren, die Bestimmung der hypergeometrischen Lösungen von linearen Differenzengleichungen mit polynomialen Koeffizienten nach Petkovsek) werden ausführlich behandelt. Viele Varianten und Erweiterungen (Mehrfachsummen, q-Analoga, Faktorisierungen von Operatoren, analoge Techniken für Integrationsprobleme etc.) werden in unterschiedlichem Detaillierungsgrad angesprochen, so wie das für einen Text mit dieser Ausrichtung sinnvoll und angemessen ist.
Was dieses Buch auszeichnet, ist einerseits die jederzeit greifbare Nähe zur konkreten (Maple-)Implementierung, andererseits die Fülle von Beispielen, Anwendungen und Aufgaben, wobei der Verfasser, mehr noch als die Autoren von "A=B'', auf den riesigen Fundus von Anwendungsmöglichkeiten im Bereich der "speziellen Funktionen'' (im Sinne von Sektion 33 der Mathematical Reviews) zurückgreift.
Es war die ausgesprochene Absicht des Verfassers, einen Text vorzulegen, der als Basis von Seminaren oder Vorlesungen den Einstieg in diesen faszinierenden Bereich der Computeralgebra motiviert und unterstützt. Das ist ihm, so meine ich, rundum gelungen.
Bem.: Revidierte Versionen der Maple packages "hsum.mpl'' und "qsum.mpl'' mit Implementierungen der in diesem Buch behandelten Algorithmen sind auf der Webseite http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf/Publikationen zu finden.
Rezension: Volker Strehl (Erlangen) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 23 - Oktober 1998