Lehrbuch der Mathematik
Band 1: Analysis einer Veränderlichen
Band 2: Lineare Algebra
Band 3: Analysis mehrerer Veränderlicher - Integrationstheorie
Band 4: Analysis auf Mannigfaltigkeiten - Funktionentheorie - Funktionalanalysis
Storch, Wiebe
Spektrum Akademischer Verlag, 632 Seiten, 3. Aufl., 2009, 32,99 €
Spektrum Akademischer Verlag, 796 Seiten, 2. Aufl., 37,99 €
Spektrum Akademischer Verlag, 796 Seiten, 2010, 37,99 €
Spektrum Akademischer Verlag, 850 Seiten, 2011, 42,99 €
ISBN:3-8274-2574-3
ISBN:3-827-42667-7
ISBN:3-8274-2745-2
ISBN:3-8274-2767-3
Es folgen die Rezensionen von: Band 1, Band 2, Band 3 und Band 4
Band 1
Beurteilung
Das Werk ist der erste Band eines vierbändigen Lehrbuchs der Mathematik, welches den Stoff für das mathematische Vorexamen enthält. Es wendet sich an Studierende der Mathematik, Informatik und Physik.
Die wesentlichen Konzepte der Analysis einer Veränderlichen werden, auch unter Berücksichtigung numerischer Verfahren, behandelt. Zudem finden die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie Berücksichtigung.
Zahlreiche Beispiele und Aufgaben ergänzen die Darstellung und erleichtern das Verstehen.
Inhalt
- Grundlagen
- Mengen und Abbildungen
(Mengen, Abbildungen und Funktionen, Familien, Relationen) - Die natürlichen Zahlen
(Vollständige Induktion, Endliche Mengen, Abzählbare Mengen, Primfaktorzerlegung) - Ein Grundkurs in C
(Einige Programmierbeispiele)
- Mengen und Abbildungen
- Reelle und komplexe Zahlen
- Die reellen Zahlen
(Die Körperaxiome, Gruppen, Ringe und Körper, Angeordnete Körper, Der Begriff der konvergenten Folge, Konvergente Folgen und Vollständigkeit, Folgerungen aus der Vollständigkeit) - Die komplexen Zahlen
(Konstruktion der komplexen Zahlen, Konvergente Folgen komplexer Zahlen, Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen) - Reihen
(Konvergenzkriterien für Reihen, Summierbarkeit)
- Die reellen Zahlen
- Wahrscheinlichkeitsrechnung
- Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume
(Der Begriff des diskreten Wahrscheinlichkeitsraumes, Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen, Beispiele) - Erwartungswert und Varianz
(Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen, Beispiele) - Stochastische Unabhängigkeit
(Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen)
- Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume
- Stetigkeit
- Stetige Funktionen
(Grenzwerte von Funktionen, Stetige Funktionen, Der Zwischenwertsatz, Stetige Funktionen auf kompakten Mengen) - Polynom-, Exponential- und Logarithmusfunktionen
(Polynomfunktionen, Rationale Funktionen, Reelle Exponential- und Logarithmusfunktionen) - Funktionenfolgen und Potenzreihen
(Konvergenz von Funktionenfolgen, Potenzreihen, Rechnen mit Potenzreihen, Analytische Funktionen, Exponentialfunktion, Kreis- und Hyperbelfunktionen)
- Stetige Funktionen
- Differenziation
- Differenzierbare Funktionen
(Rechenregeln, Differenziation analytischer Funktionen, Höhere Ableitungen, Beispiele spezieller Funktionen) - Der Mittelwertsatz
(Der Mittelwertsatz, Kreisfunktionen und ihre Umkehrfunktionen, Konvexe und konkave Funktionen, Das Newton-Verfahren, Differenzieren von Funktionenfolgen) - Approximation durch Polynome
(Die Taylor-Formel, Hermite-Interpolation)
- Differenzierbare Funktionen
- Integration
- Stammfunktionen und Integrale
(Stammfunktionen, Bestimmte Integrale, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) - Uneigentliche Integrale
(Uneigentliche Integrale, Die Γ-Funktion, Elliptische Integrale und Funktionen) - Approximation von Integralen
(Integrationsglieder, Beispiele, Numerische Integration) - Einfache Differenzialgleichungen
(Differenzialgleichungen mit getrennten Variablen, Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung, Beispiele, Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten)
- Stammfunktionen und Integrale
- Tafeln
- Literaturverzeichnis
- Symbolverzeichnis
- Stichwortverzeichnis
Beurteilung
Der vorliegende Band enthält die gesamte Lineare Algebra. Außerdem werden normierte Vektorräume und lineare Differentialgleichungen, sowie die spezielle Relativitätstheorie behandelt.
Zahlreiche Beispiele und Aufgaben ergänzen die Darstellung
Inhalt
- Vektorräume
- Vektorräume
(Algebraische Grundbegriffe, Der Vektorraumbegriff, Untervektorräume) - Lineare Gleichungssysteme
(Gaußsches Eliminationsverfahren) - Basen und Dimension von Vektorräumen
(Erzeugendensysteme, Lineare Unabhängigkeit, Basen, Dimension von Vektorräumen) - Affine Räume
(Der Begriff des affinen Raumes, Affine Unterräume)
- Vektorräume
- Lineare Abbildungen
- Lineare Abbildungen
(Gruppenhomomorphismen, Lineare Abbildungen, Räume von linearen Abbildungen, Lineare Abbildungen und Basen, Der Rangsatz, Direkte Summen und Projektionen, Dualräume) - Restklassenabbildung
(Restklassengruppen, Restklassenräume, Exakte Sequenzen, Beispiel: Elektrische Netzwerke, Operieren von Gruppen) - Affine Abbildungen
(Affine Abbildungen, Projektive Räume und Abbildungen)
- Lineare Abbildungen
- Matrizen und Determinanten
- Matrizen
(Die Matrix einer linearen Abbildung, Rang von Matrizen, Elementarmatrizen) - Determinanten
(Permutationen, Multilineare Abbildungen, Deteminantenfunktionen, Rechenregeln für Determinanten, Die Determinante eines linearen Operators, Orientierungen, Determinanten und Volumina)
- Matrizen
- Lineare Operatoren
- Polynomalgebren
(Polynome in einer Variablen, Polynome in mehreren Variablen) - Lineare Operatoren
(Eigenwerte, Charakteristisches Polynom, Minimalpolynom, Diagonalisierbare und trigonalisierbare Operatoren, Einige Zerlegungssätze, Jordansche Normalform, Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten)
- Polynomalgebren
- Sesquilinearformen
- Bilinear- und Sesquilinearformen
(Sesquilineare Funktionen, Symmetrische und komplex-hermitesche Formen, Typen hermitescher Formen) - Räume mit Skalarprodukt
(Skalarprodukte, Orthogonale Projektionen, Volumina in euklidischen Räumen) - Isometrien
(Lineare Isometrien, Affine Isometrien) - Der Spektralsatz
(Selbstadjungierte und normale Operatoren, Hauptachsentransformation, Positive Operatoren) - Minkowski-Räume
(Minkowski-Räume, Lorentz-Gruppen)
- Bilinear- und Sesquilinearformen
- Normierte Vektorräume
- Normierte Vektorräume
(Grundbegriffe, Stetige lineare Abbildungen) - Erste Anwendungen
(Gitter, Torusgruppen, Potenzen einer Matrix, Spektralradius, Beispiel: Stochastische Matrizen, Die Exponentialabbildung, Lie-Algebren, Zusammenhang linearer Gruppen, Numerische Verfahren) - Hilbert-Räume
(Grundlagen, Kompakte Operatoren und der Spektralsatz, Fourier-Reihen) - Systeme linearer Differentialgleichungen
(Die Picard-Lindelöf-Iteration, Systeme mit periodischen Koeffizienten, Potenzreihenansatz, Randwertprobleme, Beispiele)
- Normierte Vektorräume
- ANHANG: Topologische Grundbegriffe
- Tafeln
- Literaturverzeichnis
- Symbolverzeichnis
- Stichwortverzeichnis
Beurteilung
Das Buch wendet sich an Studierende der Mathematik, Informatik, Physik und Geophysik und behandelt die Analysis in mehreren Veränderlichen. Im Mittelpunkt stehen die Differentialrechnung in endlichdimensionalen Zahlenräumen und die (Lebesguesche) Integralrechnung auf der Grundlage der Maßtheorie.
Daneben wird auch eine Einführung in die Topologie, die Funktionentheorie und die Stochastik gegeben. Zahlreiche Beispiele, insbesondere aus der Physik, und umfangreiches Aufgabenmaterial runden die Darstellung ab.
Inhalt
- Topologische Grundbegriffe
- Topologische Räume und stetige Abbildungen
- Zusammenhängende und kompakte Räume
- Vollständige metrische Räume - Gleichmäßige Konvergenz
- Differentialrechnung
- Differenzierbare Kurven
- Totale Differenzierbarkeit
- Implizite Funktionen
- Differentialformen und Kurvenintegrale - Vektorfelder
- Gewöhnliche Differentialgleichungen
- Dynamische Systeme
- Stabilität
- Elemente der Variationsrechnung
- Maß- und Integrationstheorie
- Maße
- Das Borel-Lebesgue-Maß
- Verallgemeinerte Maße
- Integration
- LP-Räume
- Beispiele
- Fourier-Transformation
- Die Fourier-Transformation
- Die Laplace-Transformation
- Stochastik
- Wahrscheinlichkeitstheorie
- Statistik
- Tafeln
- Literaturverzeichnis
- Symbolverzeichnis
- Stichwortverzeichnis
Beurteilung
Die "Analysis auf Mannigfaltigkeiten" ist der abschließende Band der vierbändigen Lehrbuchreihe der Mathematik für Mathematiker, Physiker und Informatiker über den Lehrstoff bis zum mathematischen Vorexamen und darüber hinaus.
Der Band enthält die Grundlagen der Differential- und Integralrechnung auf reellen und komplexen Mannigfaltigkeiten. Die notwendigen Hilfsmittel aus der Multilinearen Algebra und über Vektorbündel werden bereitgestellt.
Außerdem werden Lie-Gruppen, Zusammenhänge und der Satz von Frobenius, (pseudo-) Riemannsche Mannigfaltigkeiten, Grundbegriffe der Algebraischen Topologie, Funktionentheorie und Riemannsche Flächen sowie die Funktionalanalysis einschließlich der Operatorentheorie behandelt.
Zahlreiche Beispiele und Aufgaben begleiten den Text.
Inhalt
- Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
- Grundbegriffe
(Der Begriff der differenzierbaren Mannigfaltigkeit, Beispiele, Differenzierbare Abbildungen, Tangentialräume) - Tangentialbündel
(Tangentialbündel und Vektorfelder, Untermannigfaltigkeiten, Flüsse, Kotangentialbündel und Paffsche Formen, Mannigfaltigkeiten mit Rand) - Lie-Gruppen
(Lie-Gruppen und ihre Lie-Algebren, Die Exponentialabbildung, Operationen von Lie-Gruppen) - Beispiele und Ergänzungen
(Mannigfaltigkeiten linearer Objekte, Topologie von Restmannigfaltigkeiten, Überlagerungen, D'Alembertsches Prinzip, Noethersches Theorem) - Drei grundlegende Sätze
(Zerlegung der Eins, Der Satz von Sard, Quotientenmannigfaltigkeiten)
- Grundbegriffe
- Multilineare Algebra
- Tensorprodukte
(Tensorprodukte, Tensorprodukte normierter Räume, Tensoralgebren) - Äußere und symmetrische Potenzen
(Äußere Algebren, Clifford-Algebren, Symmetrische Algebren)
- Tensorprodukte
- Analysis auf Mannigfaltigkeiten
- Vektorbündel
(Der Begriff des Vektorbündels, Konstruktionen von Vektorbündeln, Beispiele) - Differenzialformen
(Tensorfelder und Differenzialformen, Orientierungen, Die äußere Ableitung, De Rham-Kohomologie) - Zusammenhänge
(Zusammenhänge und der Satz von Frobenius, Lineare Zusammenhänge, Affine Zusammenhänge)
- Vektorbündel
- Integration auf Mannigfaltigkeiten
- Die Integralsätze
(Der Integralbegriff, Der Satz von Gauß-Stokes, De Rham-Kohomologie mit kompaktem Träger) - Ergänzungen zur De Rham-Kohomologie
(Poincaré-Dualität, Künneth-Formeln, Singuläre Homologie und Kohomologie, Der Satz von De Rham, Weitere Beispiele zur singulären Homologie und Kohomologie) - Anwendungen und Beispiele
(Elementare Theorie der harmonischen Funktionen, Elastizitätslehre, Hydrodynamik, Maxwellsche Gleichungen, Haarsche Maße) - Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten
(Metrische Tensoren und Krümmungstensoren, Beispiele, Vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten)
- Die Integralsätze
- Funktionentheorie
- Isolierte Singularitäten
(Laurent-Entwicklung und isolierte Singularitäten, Holomorphe Vektorbündel, Verzweigte Überlagerungen) - Beispiele und Ergänzungen
(Beispiele konkreter Riemannscher Flächen, Beweis des Satzes von Riemann-Roch, Elliptische Riemannsche Flächen) - Uniformisierung
(Klassifikation Riemannscher Flächen, Der Riemannsche Abbildungssatz)
- Isolierte Singularitäten
- Funktionalanalysis
- Lokal konvexe Räume
(Grundbegriffe, Dualität, Beispiele: Maße und Distributionen) - Spektraltheorie
(Das Spektrum, Der Spektralsatz für stetige normale Operatoren, Der allgemeine Spektralsatz für normale Operatoren)
- Lokal konvexe Räume
- Literaturverzeichnis
- Stichwortverzeichnis