Höhere Mathematik
für Naturwissenschaftler und Ingenieure
Bärwolff
Spektrum Akademischer Verlag, 882 Seiten, 1. Aufl. , 55 €
ISBN: 3-8274-1436-9
Beurteilung
Dieses Lehrbuch wendet sich an Studierende der Ingenieur- und Naturwissenschaften und stellt die gesamte Höhere Mathematik, wie sie üblicherweise im Grundstudium behandelt wird, in einem Band zusammen.
Ausgangspunkt ist dabei stets die Frage, womit der Ingenieur und der Naturwissenschaftler in seiner Arbeit konfrontiert wird, wie z.B. die Modellierung und Optimierung technischer Prozesse oder die Beschreibung physikalischer Gesetzmäßigkeiten.
Das Werk erschließt systematisch die zugrunde liegenden mathematischen Themen, ausgehend von der Schulmathematik über die Lineare Algebra bis hin zu partiellen Differentialgleichungen. Dem Autor gelingt eine in sich geschlossene und didaktisch eingängige Darstellung der höheren Mathematik, wobei Beweise nur angegeben werden, wenn sie für das Verständnis hilfreich sind. Alle neu eingeführten Begriffe werden durch Abbildungen oder Beispiele veranschaulicht.
Eine Vielzahl von Übungsaufgaben erleichtern die Vertiefung des Lernstoffs.
Inhalt
- Grundlagen
(Logische Grundlagen; Grundlagen der Mengenlehre; Abbildungen, Die natürlichen Zahlen und die vollständige Induktion; Ganze, rationale und reelle Zahlen; Ungleichungen und Beträge; Komplexe Zahlen; Aufgaben) - Analysis von Funktionen einer Veränderlichen
(Begriff der Funktion; Eigenschaften von Funktionen; Elementare Funktionen; Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen; Eigenschaften stetiger Funktionen; Differenzierbarkeit von Funktionen; Lineare Approximation und Differential; Eigenschaften differenzierbarer Funktionen; Taylorsche Formel und der Satz von Taylor; Extremalprobleme; Banachscher Fixpunktsatz und Newton-Verfahren; Kurven im R2; Integralrechnung; Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern; Parameterintegrale; Uneigentliche Integrale; Numerische Integration; Interpolation; Aufgaben) - Reihen
(Zahlenreihen; Funktionenfolgen; Gleichmäßig konvergente Reihen; Potenzreihen; Operationen mit Potenzreihen; Komplexe Potenzreihen, Reihen von exp x, sin x und cos x; Numerische Integralberechnung mit Potenzreihen; Konstruktion von Reihen; Fourier-Reihen; Aufgaben) - Lineare Algebra
(Determinanten; Cramersche Regel; Matrizen; Lineare Gleichungssysteme und deren Lösung; Allgemeine Vektorräume; Orthogonalisierungsverfahren nach Erhard Schmidt; Eigenwertprobleme; Vektorrechnung im R3; Aufgaben) - Analysis im Rn
(Eigenschaften von Punktmengen aus dem Rn; Abbildungen und Funktionen mehrerer Veränderlicher; Kurven im Rn; Stetigkeit von Abbildungen; Partielle Ableitung einer Funktion; Ableitungsmatrix und Hesse-Matrix; Differenzierbarkeit von Abbildungen; Differentiationsregeln und die Richtungsableitung; Lineare Approximation; Totales Differential; Taylor-Formel und Mittelwertsatz; Satz über implizite Funktionen; Extremalaufgaben ohne Nebenbedingungen; Extremalaufgaben mit Nebenbedingungen; Ausgleichsrechnung; Newton-Verfahren für Gleichungssysteme; Aufgaben) - Gewöhnliche Differentialgleichungen
(Einführung; Allgemeine Begriffe; Allgemeines zu Differentialgleichungen erster Ordnung; Differentialgleichungen erster Ordnung mit trennbaren Variablen; Spezielle, durch Transformationen lösbare Differentialgleichungen; Lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung; Anmerkungen zum "Rechnen" mit Differentialgleichungen; Numerische Lösungsmethoden; Potenzreihen zur Lösung von Differentialgleichungen; Besselsche und Legendresche Differentialgleichungen; Nichtlineare Differentialgleichungen; Aufgaben) - Vektoranalysis und Kurvenintegrale
(Die grundlegenden Operatoren der Vektoranalysis; Rechenregeln und Eigenschaften der Operatoren der Vektoranalysis; Potential und Potentialfeld; Skalare Kurvenintegrale; Vektorielles Kurvenintegral - Arbeitsintegral; Stammfunktion eines Gradientenfeldes; Berechnungsmethoden für Stammfunktionen; Vektorpotentiale; Aufgaben) - Flächenintegrale, Volumenintegrale und Integralsätze
(Flächeninhalt ebener Bereiche; Riemannsches Flächenintegral; Flächenintegralberechnung durch Umwandlung in Doppelintegrale; Satz von Green; Transformationsformel für Flächenintegrale; Integration über Oberflächen; Satz von Stokes; Volumen räumlicher Bereiche; Normalbereiche und die konkrete Volumenintegralberechnung; Transformationsformel für Volumenintegrale; Satz von Gauß; Aufgaben) - Partielle Differentialgleichungen
(Was ist eine partielle Differentialgleichung?; Beispiele von partiellen Differentialgleichungen; Separation der Variablen; Untersuchung der Wellengleichung; Korrektheit von Problemstellungen; Aufgaben) - Funktionentheorie
(Komplexe Funktionen; Differentiation komplexer Funktionen; Elementare komplexe Funktionen und Potenzreihen; Konforme Abbildungen; Integration komplexer Funktionen; Reihenentwicklungen komplexer Funktionen; Behandlung von Singularitäten und der Residuensatz; Berechnung von Integralen mit Hilfe des Residuensatzes; Harmonische Funktionen; Aufgaben) - Integraltransformationen
(Definition von Integraltransformationen; Fourier-Transformation; Umkehrung der Fourier-Transformation; Eigenschaften der Fourier-Transformation; Anwendung der Fourier-Transformation auf partielle Differentialgleichungen; Laplace-Transformation; Inverse Laplace-Transformation; Rechenregeln der Laplace-Transformation; Praktische Arbeit mit der Laplace-Transformation und der Rücktransformation; Aufgaben) - Variationsrechnung und Optimierung
(Einige mathematische Grundlagen; Funktionale auf Banach-Räumen; Variationsprobleme auf linearen Mannigfaltigkeiten; Klassische Variationsrechnung; Einige Variationsaufgaben; Natürliche Randbedingungen und Transversalität; Isoperimetrische Variationsprobleme; Funktionale mit mehreren Veränderlichen; Aufgaben) - Wahrscheinlichkeitsrechnung
(Zufällige Ereignisse; Wahrscheinlichkeit zufälliger Ereignisse; Zufallsgrößen; Zufällige Vektoren; Aufgaben) - Statistik
(Stichproben; Punktschätzung; Intervallschätzung; Statistische Tests; Korrelations- und Regressionsanalyse; Aufgaben)
- Formelkompendium
- Literaturhinweise
- Index