Mathematiker

Kreisgeometrie

Kreisgeometrie

Kreisgeometrie
Eine elementare Einführung

Günter Aumann
Springer Spektrum, Auflage: 2015 (2. März 2015), Taschenbuch, 260 Seiten, 24,99 €

ISBN-10: 3662453053
ISBN-13: 978-3662453056

Fragt man heutige Lehramtsstudierende des Masters of Education, welche Sätze der Kreisgeometrie sie kennen, so erntet man Unverständnis – der Begriff Kreisgeometrie ist ihnen nicht geläufig. Erläutert man genauer, was inhaltlich gemeint ist, so fällt ihnen aus den Zeiten ihres Schulunterrichts noch ein, dass es den Thales-Kreis gibt und die Kreistangente im Berührpunkt senkrecht auf dem zugehörigen Radius steht. Mehr ist in der Regel kaum zu holen, ein Faszinosum wie der Name „Peripheriewinkelsatz“ löst Erstaunen aus: Weder in der Schule noch im Mathematikstudium ist den Studierenden so etwas je begegnet. Für diese Lücken in einem einst zentralen Bereich der Schulgeometrie1 lassen sich verschiedene Gründe anführen: Zum einen ist da der allgemeine Rückgang der Geometrie in der Schule zu nennen, verknüpft mit einem fast vollständigen Verschwinden der traditionellen synthetischen Geometrie aus den Universitätsvorlesungen, zum andern die starke Orientierung hin auf das Allgemeine, sprich die lineare Algebra, im Studium. Ein Juwel der Kreisgeometrie, der Neunpunktesatz, der in deutscher Sprache gerne nach Karl Wilhelm Feuerbach (1800–1834) benannt wird, war ein beliebtes Beispiel für ein nutzloses Spielzeug ohne allgemeinen Wert, wie sich Jean Dieudonné in seinem Feldzug gegen die klassische Geometrie in etwa ausdrückte.2 Schließlich spielt der Kreis in einer axiomatisierten Geometrie à la Hilbert keine Rolle mehr. Eine Ausnahme im großen Trend war allerdings Johannes Kratz’ Buch (1983) zur Didaktik der Geometrie [2], das ausführlich auf die Kreisgeometrie einging.

Umso erfreulicher ist es, dass nun ein Buch vorliegt, das diese fast vergessenen Inhalte in ansprechender und gut zugänglicher Darstellung behandelt. Günter Aumann’s „Kreisgeometrie“ bringt auf rund 250 Seiten sehr viel Material aus dem Bereich der Kreisgeometrie, beginnend mit dem motivierenden Thema „Maßwerke der Gotik“ über grundlegende einfache Sätze (die Annahme des Autors, diese seien aus der Schule bekannt (vgl. S. VI), scheint mir allerdings mehr als optimistisch) bis hin zu Preziosen wie Feuerbach-Kreis, Malfatti-Kreise und natürlich Apollinisches Berührproblem. Auch weniger bekannte dennoch interessante Themen wie die Möbius’schen Kreisverwandtschaften – die konforme Ebene also –, Kreisketten sowie Kurven konstanter Dicke und Reuleaux-Polygone kommen zur Sprache. Einiges aus dem Bereich der projektiven Geometrie wird erwähnt (harmonische Punkte, Sätze von Pascal und Brianchon), aber auch Konstruktionen mit dem Zirkel (Mohr-Mascheroni) und dem Lineal allein (Poncelet-Steiner). Ein- und umbeschriebene Vielecke sind ein wichtiges Thema, Kleinode mit Praxisbezug sind Geradführungen und Watts Bohrer.

Die Voraussetzungen, die die erfolgreiche Lektüre des Buches erfordert, sind relativ gering. Nach dem Grundstudium der Mathematik sollte man über diese verfügen. Zahlreiche schön gestaltete Abbildungen, dankenswerterweise durchgehend farbig, erleichtern einerseits das Verständnis und belegen andererseits den hohen ästhetischen Wert gerade der Kreisgeometrie. Das Vorgehen des Autors ist elementargeometrisch, der Einsatz von Algebra wurde weitgehend reduziert. Eine Diskussion der axiomatischen Grundlagen gibt es nicht; in der Tradition des 19. Jhs. starten wir – wie auch im Schulunterricht – gewissermaßen mittendrin. Ganz wie E. Bloch zu Beginn seiner Tübinger Vorlesungen bemerkte: Mitten hinein versetzt zu werden, ist am besten. Recht kurz bei Aumann kommen historische Aspekte der Kreisgeometrie, hier könnte der interessierte Leser ergänzend zu Tropfke’s Klassiker (1940) [3] greifen, der 40 Seiten wertvolle Informationen rund um den Kreis bietet.

Der These des Autors „Die Kreisgeometrie ist das ideale Gebiet, Interessierten den Reichtum der Geometrie zu erschließen.“ (S. VI) kann man auf Grund dieses Buches nur zustimmen. Schön wäre, ähnliche Bücher zu anderen Themen der Geometrie zu haben, wie etwa sphärische Geometrie oder Raumgeometrie. Und noch schöner wäre es natürlich, wenn solche Themen wieder intensiver in der Lehrerbildung zur Sprache kämen.

Rezension: Klaus Volkert (Wuppertal)

Literatur

  1. Baltzer, R.: Planimetrie, Stereometrie, Trigonometrie. Die Elemente der Mathematik, Bd. 2. Hirzel, Leipzig (1867)
  2. Kratz, J.: Zentrale Themen des Geometrieunterrichts aus didaktischer Sicht. BSV, München (1983)
  3. Tropfke, J.: Ebene Geometrie. Geschichte der Elementarmathematik, Bd. 4. De Gruyter, Berlin (1940). Bearbeitet von K. Vogel
  4. Weber, H., Wellstein, J.: Elementare Geometrie. Encyklopädie der Elementar-Mathematik, Bd. II. Teubner, Leipzig (1907)

1 Man vgl. etwa klassische Darstellungen des mathematischen Schulstoffes für die Hand des Lehrers wie jene von R. Baltzer (1867) [1] oder von Weber-Wellstein (1907) [4].
2 Vgl. die Einleitung zu seinem Buch „Algèbre linéaire et géométrie élémentaire“ (1964) oder auch seinen Artikel „Moderne Mathematik und Unterricht auf der höheren Schule“ (Mathematisch-physikalische Semesterberichte 8 (1962), 166–177).

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2017, Band 64,
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags