Das kleine Buch der Zahlen
Vom Abzählen bis zur Kryptographie
Peter M. Higgins
Springer Spektrum Verlag (2012), Taschenbuch, 354 Seiten, 19,95 €
ISBN-10: 3827430151
ISBN-13: 978-3827430151
Ein wunderschönes Buch über Zahlen hat der englische Mathematik-Professor Peter Higgins geschrieben. Auf 280 Seiten werden mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad – aber fast ohne jede Formel und stets mit großer Anschaulichkeit – die Eigenschaften der verschiedenen Zahltypen dargestellt; im letzten Abschnitt (60 Seiten) werden dann Herleitungen und Beweise notiert – teils so knapp, dass sie ordentliche Vorkenntnisse erfordern.
Die gelungene Mischung von systematischer Darstellung des Zahlensystems mit deren historischen Wurzeln und auflockernden Aufgaben zum Nachdenken für den Leser führt zu einer außerordentlich kurzweiligen Lesefreude.
Im Hauptteil des Buches werden in den ersten vier Kapiteln elementare Eigenschaften der natürlichen Zahlen abgehandelt: Rechenoperationen, Primzahlen, Teilbarkeitsregeln und Neunerprobe, magische Quadrate. Besondere Zahlen wie etwa befreundete und glückliche Zahlen, Fibonacci-Zahlen und Binomialkoeffizienten werden vorgestellt und untersucht. Die systematische Betrachtung wird immer wieder unterbrochen durch historische Anmerkungen und Beispiele aus der Unterhaltungsmathematik. Die Kapitel 6 und 7 zeigen, wie man von den natürlichen Zahlen zu den ganzen und rationalen und schließlich zu den reellen Zahlen gelangt (dem Hankel'schen Permanenzprinzip folgend). Danach werden nach der Vorstellung von Hilberts Hotel (der Begriff der Abzählbarkeit wird sehr anschaulich gemacht) Eigenschaften der algebraischen und transzendenten Zahlen erklärt. In den Kapiteln 9 bis 10 vollendet sich der Aufbau des Zahlensystems durch die Einführung der imaginären und komplexen Zahlen. Auch hier machen die historischen Bezüge (Wissenschaftsstreit im 16. Jahrhundert über die Lösung der kubischen Gleichung, langsame Akzeptanz von imaginären Zahlen im 18./19. Jahrhundert) den besonderen Reiz des Buches aus. Ein kurzer Blick auf die Hamilton'schen Quaternionen und die Cayley'schen Oktaven runden diesen systematischen Teil ab. Kapitel 11 schließlich geht an Hand von Kettenbrüchen und der Cantor-Menge noch einmal auf die Eigenschaften der reellen Zahlen und ihrer geometrischen Deutung auf der Zahlengeraden ein.
In drei Abschnitten wird die Systematik stärker unterbrochen: Prozente, Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte (Kapitel 5), ausgewählte klassische Probleme der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Kapitel 8, z. B. Geburtstagsproblem oder St. Petersburger Paradoxon) werden vorgestellt. Zum Abschluss (Kapitel 12) erzählt der Autor von der Kryptographie: vom Caesar- und Viginère-Code über den One-Time-Pad führt er in spannender Weise zu den modernen Public-Key-Verfahren vom Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch bis zum RSA-Algorithmus. Auch hier schafft er es, Verständnis beim Leser mit einfachen Rechnungen und Vergleichen zu schaffen.
Der Übersetzer hat manchmal Begriffe gewählt, die weniger verbreitet sind als andere: z. B. Taubenschlagprinzip statt Schubfachprizip, quartische bzw. quintische Gleichung statt Gleichung 3. bzw. 4. Grades, rekurrente statt rekursive Folge.
Rezension: Hartmut Weber