Kusszahlen, Leech-Gitter und Anordnungen von Kugeln - wie
jeden Monat wieder einige Kommentare zu den Einträgen unseres aktuellen Wandkalenders.
Die Formel bei der
1 prüft man wohl am schnellsten nach, indem man alles auf den Hauptnenner (a-b)(a-c)(b-c) bringt.
Bei S
n:A
n im Eintrag zur
2 geht es um die
Alternierende Gruppe A
n, die eine Untergruppe vom Index
2 in der
Symmetrischen Gruppe S
n ist. (Als "symmetrische Gruppe" bezeichnet man die Gruppe der Permutationen von n Elementen, bekanntlich hat diese Gruppe n! Elemente. Die "alternierende Gruppe" besteht aus denjenigen Permutationen, die eine gerade Anzahl von
Fehlständen aufweisen. Diese Gruppe hat n!/2 Elemente.)
Die
7 ist eine
Mersenne-Primzahl, die
10 eine
Dreieckszahl. Die Berechnungen bei
9 und
11 ergeben sich aus den Formeln \(\coth(\log(y))=\frac{y^2+1}{y^2-1} \) und \(\cosh(\log(2))=\frac{1}{2}(2+\frac{1}{2})=\frac{5}{4} \).
Wie das Titelbild oben zeigt, kann man
12 gleichgroße Kugeln im 3-dimensionalen Raum so anordnen, dass sie eine zentrale Kugel gleicher Größe berühren. Es war lange offen, ob es auch mit 13 Kugeln geht, widerlegt wurde das erst in den 50er Jahren von Schütte, van der Waerden und Leech. Die einzigen höheren Dimensionen, in denen diese
Kusszahl bekannt ist, sind 4, 8 und 24. Im 24-dimensionalen Raum gibt es eine sehr elegante Anordung der Kugeln, nämlich auf den Punkten des
Leech-Gitters, dem der Eintrag zur
24 gewidmet ist.
Die
17 ist eine
Fermatsche Primzahl.
Die Berechnung der Reihe \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{2^n} \) im Eintrag zur
26 kann man mittels der Identität \(\sum_{n=1}^\infty 3\frac{n^2}{2^n}+3\frac{n}{2^n}+\frac{1}{2^n}=\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^3}{2^n}-\frac{n^3}{2^n}=2(-\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^\infty\frac{n^3}{2^n})-\sum_{n=1}^\infty\frac{n^3}{2^n}=-1+\sum_{n=1}^\infty\frac{n^3}{2^n} \) auf die Berechnung der Summen \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^k}{2^n} \) für k=2,1,0 zurückführen, diese wiederum kann man sukzessive aus \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} =1\) berechnen, man erhält \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}=2 \), \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n} =6 \) und schließlich \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{2^n}=26 \).
Die im
Stellenwertsystem zur Basis
29 als
2929 geschriebene Zahl ist die Primzahl 67.
Die Formel bei der 1 prüft man wohl am schnellsten nach, indem man alles auf den Hauptnenner (a-b)(a-c)(b-c) bringt.
Bei Sn:An im Eintrag zur 2 geht es um die Alternierende Gruppe An, die eine Untergruppe vom Index 2 in der Symmetrischen Gruppe Sn ist. (Als "symmetrische Gruppe" bezeichnet man die Gruppe der Permutationen von n Elementen, bekanntlich hat diese Gruppe n! Elemente. Die "alternierende Gruppe" besteht aus denjenigen Permutationen, die eine gerade Anzahl von Fehlständen aufweisen. Diese Gruppe hat n!/2 Elemente.)
Die 7 ist eine Mersenne-Primzahl, die 10 eine Dreieckszahl. Die Berechnungen bei 9 und 11 ergeben sich aus den Formeln \(\coth(\log(y))=\frac{y^2+1}{y^2-1} \) und \(\cosh(\log(2))=\frac{1}{2}(2+\frac{1}{2})=\frac{5}{4} \).
Wie das Titelbild oben zeigt, kann man 12 gleichgroße Kugeln im 3-dimensionalen Raum so anordnen, dass sie eine zentrale Kugel gleicher Größe berühren. Es war lange offen, ob es auch mit 13 Kugeln geht, widerlegt wurde das erst in den 50er Jahren von Schütte, van der Waerden und Leech. Die einzigen höheren Dimensionen, in denen diese Kusszahl bekannt ist, sind 4, 8 und 24. Im 24-dimensionalen Raum gibt es eine sehr elegante Anordung der Kugeln, nämlich auf den Punkten des Leech-Gitters, dem der Eintrag zur 24 gewidmet ist.
Die 17 ist eine Fermatsche Primzahl.
Die Berechnung der Reihe \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{2^n} \) im Eintrag zur 26 kann man mittels der Identität \(\sum_{n=1}^\infty 3\frac{n^2}{2^n}+3\frac{n}{2^n}+\frac{1}{2^n}=\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^3}{2^n}-\frac{n^3}{2^n}=2(-\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^\infty\frac{n^3}{2^n})-\sum_{n=1}^\infty\frac{n^3}{2^n}=-1+\sum_{n=1}^\infty\frac{n^3}{2^n} \) auf die Berechnung der Summen \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^k}{2^n} \) für k=2,1,0 zurückführen, diese wiederum kann man sukzessive aus \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} =1\) berechnen, man erhält \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}=2 \), \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n} =6 \) und schließlich \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{2^n}=26 \).
Die im Stellenwertsystem zur Basis 29 als 2929 geschriebene Zahl ist die Primzahl 67.
