Wieviele unterschiedliche Paar-Summen kann man aus einer bestimmten Anzahl ganzer Zahlen bilden? Aus zwei Zahlen a und b kann man offensichtlich drei Paar-Summen bilden: a+a, a+b und b+b und die sind auch alle drei unterschiedlich, wenn a und b unterschiedlich waren. Bei drei Zahlen a, b, c ist es schon nicht mehr so klar: aus 1, 3, 5 kann man nur 5 Paar-Summen bilden: 2, 4, 6, 8, 10, während man aus 1, 3, 6 insgesamt 6 Paar-Summen hat, nämlich 2, 4, 6, 7, 9, 12. Der Grund für die unterschiedliche Anzahl: im ersten Fall war a+c=b+b, deshalb eine Paar-Summe weniger. Man überlegt sich leicht, dass das bei drei Zahlen \(a<b<c\) immer so ist: man hat fünf Paar-Summen, wenn \(a+c=b+b\) (also wenn a,b,c eine arithmetische Folge bilden) und man hat sechs Paar-Summen, wenn \(a+c\not=b+b\). Ähnlich sieht es dann für N ganze Zahlen \(a_1,\ldots,a_N\) aus: die minimal mögliche Anzahl unterschiedlicher Paar-Summen \(2N-1\) bekommt man nur dann, wenn die Zahlen \(a_1,\ldots,a_N\) eine arithmetische Folge bilden. Das ist natürlich noch nicht das Ende der Geschichte. Ein Satz von Freiman (1964) sagt: wenn die Anzahl der Paar-Summen kleiner als \(cN\) ist, dann gibt es innerhalb der Zahlenfolge eine n-dimensionale verallgemeinerte arithmetische Folge der Länge \(c^\prime N\) wobei \(n\) und \(c^\prime\) nur von \(c\) (und nicht von \(N\)) abhängen. Im März-Heft der Annals of Mathematics erscheint jetzt ein Artikel von Alexander Razborov, der dieses Theorem auf Folgen von Elementen freier Gruppen (statt Folgen ganzer Zahlen) verallgemeinert.

Freie Gruppen

Eine freie Gruppe (mit 2 Erzeugern a und b) besteht aus allen Worten, die man aus a,b,a^-1 und b^-1 bilden kann (wobei eventuell hintereinander vorkommende aa^-1 etc. herauszukürzen sind). Die Multiplikation zweier Worte wird durch Hintereinanderschreiben realisiert: das Produkt von ab²a und b²a¹⁷ ist ab²ab²a¹⁷, das Produkt von ab²a und a^-2b²a⁵ ist ab²a^-1b²a⁵. Man kann sich die Elemente der freien Gruppe als Ecken eines Baumes angeordnet denken wie oben im Titelbild. (Analog kann man auch freie Gruppen mit mehr als 2 Erzeugern definieren. Die freie Gruppe mit 1 Erzeuger ist die Gruppe der ganzen Zahlen \(\bf{Z}\).) Aus irgendwelchen Gründen funktioniert eine analoge Theorie (zum Satz von Freiman) im Fall nichtabelscher Gruppen nicht für Produkte von Paaren, aber für Tripel und auch für 4-Tupel etc. Es wurden für verschiedene Klassen nichtabelscher Gruppen G Abschätzungen für die (Mindest-)Anzahlen unterschiedlicher Produkte \(abc\) aus den verschiedenen Elementen a,b,c einer endlichen Teilmenge \(A\subset G\) bewiesen. Razborovs Arbeit liefert nun im Fall freier Gruppen die bestmögliche Abschätzung für die Mindestanzahl unterschiedlicher Produkte \(abc\). Er beweist folgenden Satz: Main Theorem.: Let A be a finite subset of a free group F_m with at least two noncommuting elements. Then \(\vert A\circ A \circ A\vert\ge\frac{\vert A\vert^2}{(log\vert A\vert)^{O(1)}}.\) Razborov, A. (2014). A product theorem in free groups Annals of Mathematics, 179 (2), 405-429 DOI: 10.4007/annals.2014.179.2.1