1. Das mathematische Problem der gleichschwebenden Stimmung
Die Querverbindungen zwischen Mathematik und Musik beginnen zumindest mit der auf die Pythagoräer zurückgehenden Harmonielehre, die auf den Frequenzverhältnissen 2 : 1 für die Oktave, 3 : 2 für die Quinte, 5 : 4 für die große Terz und 6 : 5 für die kleine Terz basiert, die sich allesamt durch kleine natürliche Zahlen ausdrücken lassen. Dem Aneinandersetzen von Tonintervallen entspricht dabei die Multiplikation der zugehörigen Frequenzverhältnisse; so entspricht der Tatsache, dass eine große und eine kleine Terz zusammen eine Quinte ergeben, die Gleichung (6 : 5) × (5 : 4) = 6 : 4 = 3 : 2.
Diese auf natürlichen Zahlen beruhende Kompositionskunst stößt allerdings beim nicht schließenden Quintenzirkel an ihre Grenzen: Oktaven und Quinten lassen sich nicht in ein ganzzahliges Verhältnis setzen, da es keine von Null verschiedenen ganzen Zahlen m, n gibt mit \(2^{m+n} = 3^n\) , d. h., \((2 : 1)^m = (3 : 2)^n\) . Insbesondere stimmen zwölf Quinten und sieben Oktaven nur fast überein, wobei der Unterschied, das sogenannte „pythagoräische Komma“, fast einen Achtelton ausmacht.
Ungefähr zu Beginn der Neuzeit wurden in Europa Konzerte üblich, bei denen man Instrumente mit fixierten Abständen der Tonhöhen einsetzte, wie Orgel, Pianoforte, Saiteninstrumente mit Bünden, und zudem zwischen den einzelnen Stücken die Tonart wechselte. Um hörbare Misstöne zu vermeiden, ging man daher von der pythagoräischen zur sogenannten „gleichschwebenden“ (auch: „gleichstufigen“ oder „gleichtemperierten“) Stimmung über, bei der eine Oktave in zwölf gleich große Halbtöne unterteilt wird, wobei eine Oktave auch bei dieser Stimmung dem Tonverhältnis 2 : 1 entspricht.
Falls bereits geeignete Stimmgabeln oder gar elektronische Tongeneratoren zur Verfügung stehen, kann man die dazu erforderlichen Tonhöhen unmittelbar realisieren. Falls nicht, muss man ein nicht mehr ganzzahliges mathematisches Problem lösen: Da das Aneinandersetzen von Tonintervallen der Multiplikation der zugehörigen Frequenzverhältnisse entspricht, müssen die zwölf gleich großen Halbtöne, in die eine Oktave zerlegt wird, jeweils einem Frequenzverhältnis von
\(\sqrt[12]{2} : 1\)
entsprechen. Auf einfacher mechanischer Basis lassen sich derartige Frequenzverhältnisse realisieren mit Hilfe eines Monochords, einer einzelnen eingespannten Saite. Hierbei sind die Länge des in Schwingung versetzten Abschnitts der Saite und die Frequenz des dadurch erzeugten Tons umgekehrt proportional zueinander.
Man steht also vor der Aufgabe [3, S. 455],
„Einem willkürlich langen Monochord so viele Theile zuzueignen, als nöthig sind zu beweisen, daß zwölf einfach Klangstufen gleichschweben“.
Es ist naheliegend, diese Aufgabe dadurch zu lösen, dass man eine hinreichend gute Näherung von \(\sqrt[12]{2}\) bestimmt und dann deren Potenzen bis zur elften zu berechnet, was die erforderlichen Längen- und damit Frequenzverhältnisse bis zum elften Halbton liefert.
Christoph Gottlieb Schröter, der Autor der 1747 erschienenen Schrift [3], aus der die obige Aufgabenformulierung stammt, bietet hingegen eine sowohl vom mathematischen Inhalt als auch mathematikhistorisch gesehen interessante Alternative an: Er erzeugt rationale Näherungen simultan für alle Zahlen
approximiert also nicht nur eine Zahl, sondern ein Zahlentupel, was für seine Zeit sehr fortschrittlich war.
Genauer gesagt liefert sein Verfahren, das er bereits 1716 und 1738 ankündigte und das allein auf Additionen und einer der Normierung dienenden Division am Ende beruht, natürliche Zahlen, deren Quotienten hinreichend gute Näherungen der genannten Potenzen von \(\sqrt[12]{2}\) sind, wobei der Nenner stets der gleiche bleibt.(∗)
2 Zu Leben und Werk Schröters
2.1 Zu seinem Lebenslauf
Christoph Gottlieb Schröter wurde am 10. August 1699 in Hohenstein (seit 1791: Hohnstein) in der Sächsischen Schweiz geboren. Im Jahr 1707 wurde er Chorknabe an der Hofkapelle in Dresden bei dem ebenfalls in Hohenstein geborenen Hofkapellmeister und Komponisten Johann Christoph Schmidt (1664–1728), besuchte nach dem Stimmbruch die Kreuzschule in Dresden und nahm 1717 das Studium der Theologie in Leipzig auf. Bald jedoch, nach dem Tod seiner Mutter, brach er dieses Studium ab und wechselte zurück nach Dresden, um bei Schmidt Musik zu studieren. Für den dort weilenden italienischen Komponisten Antonio Lotti (1667–1740) arbeitete er als Kopist. Es schlossen sich Reisen ins weitere Deutschland, nach Holland und England als Sekretär und musikalischer Gesellschafter an.
Im Jahr 1724 wechselte Schröter nach Jena, wo er an der Universität öffentliche Vorträge über Musik hielt. Zwei Jahre später, 1726, erhielt er die Stelle des Organisten an der Hauptkirche in Minden, damals Hauptstadt des gleichnamigen Fürstentums. Von 1732 an wirkte er in der gleichen Funktion an der Hauptkirche der Freien Reichsstadt Nordhausen in Thüringen bis zu seinem Tode am 20. Mai 1782.
Christoph Gottlieb Schröter
Quelle: Lorenz Mizlers Musikalische Bibliothek, Band 4, Teil 1 (1754)
Digitalisat: Wien, Österreichische Nationalbibliothek, Bildarchiv und Grafiksammlung, Porträtsammlung,
https://www.portraitindex.de/documents/obj/oai:baa.onb.at:3809133
2.2 Zu seinem Werk
Verglichen mit seinen musikalischen Zeitgenossen Georg Philipp Telemann (1681–1767) und Johann Sebastian Bach (1685–1750) war Schröter offenbar recht umtriebig; er wurde noch vor diesen Mitglied der 1738 von Lorenz Mizler (1711–1778) gegründeten „Correspondierenden Societät der musicalischen Wissenschaften“. (Das Abzeichen dieser „Societät“ liegt auf dem oben abgebildeten Porträt Schröters vor ihm auf dem Tisch.) Seine Fähigkeiten als Organist lassen sich mit denen von Bach deshalb schlecht vergleichen, weil Schröter stets staccato spielte, Bach hingegen legato. Sein Werk als Komponist ist nur unvollständig überliefert, da viele Stücke 1761 bei der Plünderung von Nordhausen während des Siebenjährigen Krieges verloren gegangen sind. Über eine seine musiktheoretischen Arbeiten ist hier zu berichten. In die musikhistorische Literatur hat Schröter allerdings vor allen Dingen Eingang gefunden als
2.3 Einer der Erfinder des Pianoforte
Die Erfindung des Pianoforte, also eines Cembalos, das sowohl leise ( „piano“) als auch laut ( „forte“) gespielt werden kann, ist recht komplex:
Im Jahr 1698 stellte Bartolomeo Cristofori (1655–1731) in Venedig ein Cembalo fertig, welches in unterschiedlicher Lautstärke gespielt werden konnte. Einige Jahre später, 1711, publizierte Scipione Maffei (1675–1755) im Giornale de’ letterati d’Italia einen Artikel „Nuova invenzione d’un Gravecembalo col piano e forte [. . . ]“ über diese Erfindung.
Schröter entwickelte 1717 eine Hammermechanik für ein derartiges Pianoforte und überreichte 1721 ein Modell dieser dem Dresdener Hof. Ungefähr zu jener Zeit entwickelte auch Gottfried Silbermann (1683–1753) eine entsprechende Mechanik. Im Jahr 1725 übersetzte Johann Mattheson (1681–1764) den Artikel von Maffei ins Deutsche und veröffentlichte ihn in seiner Critica musica mitsamt einer Abbildung der Mechanik.
Erst 1763 erhob dann Schröter sehr deutlich Protest gegen Silbermanns Prioritätsansprüche auf das Pianoforte. Die Diskussion dieser Frage in Deutschland ignorierte dabei bis ins 19. Jahrhundert hinein größtenteils die Erfindung Cristoforis, obwohl bereits Jacob Adlung (1699–1762) in seiner 1768 posthum veröffentlichten Musica mechanica berichtete, dass sich Silbermann in Freiberg ein Pianoforte von Cristofori hatte kommen lassen.
Die Fortsetzung des Artikels können Sie an dieser Stelle weiterlesen. Oder sie können sich den ganzen Artikel jetzt schon hier herunterladen.
Peter Ullrich
∗Bereits Benedetto Scimemi [4] gibt eine Analyse der Mathematik des Schröterschen Verfahrens, allerdings, wie er bekundet [4, S. 60, Fußnote 3], ohne den Schröterschen Text [3] selbst gesehen zu haben.
