Der Frank Nelson Cole-Preis für Zahlentheorie der AMS des Jahres 2026 geht an Frank Calegari, Vesselin Dimitrov und Yunqing Tang (v.l.n.r.) für ihren Artikel „The unbounded denominators conjecture” (Die Vermutung über unbegrenzte Nenner), J. Amer. Math. Soc. 38 (2025), Nr. 3, 627–702. Fotos: AMS-Newsroom.
Zur Begründung hieß es seitens AMS:
"Der Artikel besticht durch seine Originalität und kombiniert Techniken der Zahlentheorie, der komplexen Analysis, der Differentialgleichungen und der Gruppentheorie, um eine Vermutung aus dem Jahr 1968 über modulare Formen 𝑓 mit ganzzahligem Gewicht für eine Untergruppe \(Γ\) mit endlichem Index von \(SL2(ℤ)\) zu lösen. Wenn \(Γ\) eine Kongruenzuntergruppe ist (d. h. \(Γ\) enthält den Kern des Homomorphismus \(SL2(ℤ) → SL2(ℤ/N ℤ)\) für ein bestimmtes \(N ≥ 1\)) und 𝑓 eine modulare Form für \(Γ\) ist, dann impliziert die Theorie der Hecke-Operatoren, dass die Nenner der Fourier-Koeffizienten von 𝑓 begrenzt sind, wie seit Beginn des 20. Jahrhunderts bekannt ist. Nicht-kongruenzuntergruppen besitzen jedoch keine analoge Theorie der Hecke-Operatoren, sodass die Arithmetik ihrer modularen Formen mysteriöser ist. Die Vermutung der unbegrenzten Nenner sagt voraus, dass für Nichtkongruenz \(Γ\), wenn 𝑓 eine modulare Form für \(Γ\) und für keine Kongruenzuntergruppe ist, die Nenner der Fourier-Koeffizienten von 𝑓 unbegrenzt sind. Diese Vermutung existiert seit 1968, aber bisher wurden nur sehr spezielle Fälle davon bewiesen, beispielsweise Fälle, die für die konforme Feldtheorie von Interesse sind.
Der bahnbrechende Artikel von Calegari, Dimitrov und Tang löst die Vermutung vollständig in einer verallgemeinerten Form und entwickelt gleichzeitig eine Werkzeugkiste, die sowohl klassisch inspiriert als auch äußerst neuartig ist. Die Autoren nutzen die von modularen Formen erfüllten Differentialgleichungen zusammen mit komplexer Analysis, um Holonomie-Grenzen zu entwickeln, mit denen die Dimensionen von Räumen modularer Formen mit Fourier-Koeffizienten mit begrenzten Nennern kontrolliert werden können. Anschließend verwenden sie die Gruppentheorie, um zu zeigen, dass ein Gegenbeispiel zur Vermutung über unbegrenzte Nenner zu vielen Gegenbeispielen führen würde, die ausreichen würden, um diese Dimensionsgrenzen zu verletzen. Es wird erwartet, dass die Methoden der Autoren zu Fortschritten in der arithmetischen Geometrie führen werden, einschließlich der Untersuchung von Perioden und Sonderwerten von L-Funktionen."
Presseinfo der AMS in englischer Sprache hier. Press bulletin of AMS in English here.
