Ein besonderes Weihnachtsgeschenk entdeckte der mathematikbegeisterte US-Amerikaner Jonathan Pace am 26. Dezember des letzten Jahres auf seinem Computer. Der 51-jährige Elektroingenieur aus Tennessee hatte im Rahmen eines Citizen Science Projektes eine neue, bislang größte bekannte Primzahl berechnet: \(2^{77.232.917} - 1\). Sie hat 23.248.425 Stellen. Ausgeschrieben in einer normalen Zeitungsschriftgröße ergäbe sich eine ca. 40 Kilometer lange Zahl.
Primzahlen finden vor allem Anwendung in der Kryptographie und der Verschlüsselung von privaten Daten bei der digitalen Datenübertragung. Ohne Primzahlen wäre Online Banking oder das Versenden von verschlüsselten Emails nicht möglich. Die derzeit zur Codierung verwendeten Zahlen haben nur etwa 36 Stellen und sind somit im Vergleich zur von Pace gefundenen Primzahl winzig.
Primzahlen kann man als die Einzelkinder unter den Zahlen bezeichnen. Sie sind nur durch die 1 und sich selber teilbar. Schon der antike Mathematiker Euclid hatte im Jahr 300 v. Chr. bewiesen, dass es unendlich viele solcher Zahlen gibt. Sie verteilen sich ohne Regelmäßigkeit entlang des Zahlenstrahls, und die Suche nach ihnen gestaltet sich mit zunehmender Größe immer schwieriger.
Überprüfen von Primzahlen
Um zu beweisen, dass eine Zahl prim ist, muss man zeigen, dass sie keine anderen Teiler außer der 1 und sich selber besitzt. Eine relativ einfache Methode, dies zu beweisen, ist die sogenannte Probedivision. Dabei wird zunächst die Quadratwurzel der Zahl berechnet, und dann werden alle Primzahlen, die kleiner als die Wurzel sind, bestimmt. Nun zeigt man, dass die Zahl durch keine dieser Primzahlen restlos teilbar ist.
Aufgrund der Eigenschaft jeder Zahl, sich restlos in ihre Primfaktoren zerlegen zu lassen, ist es hinreichend, nur die Primfaktoren zu betrachten. Es ist zum Beispiel jede Zahl, die sich durch 6 teilen lässt, ebenfalls durch die 2 und 3, den Primfaktoren der 6, teilbar. Will man etwa zeigen, dass es sich bei der 137 um eine Primzahl handelt, bestimmen wir zunächst alle Primzahlen die kleiner sind als 11,7046999… , der Wurzel aus 137, nämlich 2, 3, 5, 7 und 11. Mit einem Teilbarkeitskriterium ( wie: wenn die Quersumme einer Zahl durch drei teilbar ist, ist die Zahl selbst durch drei teilbar) oder dem Taschenrechner kann man nun leicht überprüfen, dass sich die 137 nicht ohne Rest durch eine dieser Zahlen teilen lässt. Dann hat man bewiesen, dass die 137 eine Primzahl ist.
Die Suche nach großen Primzahlen
Die Probedivision ist für große Zahlen sehr aufwändig und benötigt so viel Rechenzeit, dass man sie nicht mehr durchführen kann. Man benötigt einen Computer und einen effizienteren Algorithmus. Doch selbst dann ist es sehr aufwändig eine Primzahl zu finden. Das Projekt GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) fordert Menschen auf der ganzen Welt dazu auf, die ungenutzte Rechenleistung ihrer Computer zur Fahndung nach Primzahlen zu spenden. Dazu können Mathematikinteressierte eine spezielle Software auf ihren Computern installieren, die dann in Zeiten, in denen dieser nicht genutzt wird, Tests zur Primzahlensuche durchführt.
Es wird jedoch nicht jede beliebige Zahl auf die Eigenschaft, prim zu sein, untersucht, sondern nur bestimmte, die sogenannten Mersenne-Zahlen. Das sind die Zahlen der Form: \(2^{p}-1\) , wobei p wiederum eine Primzahl ist. Unter diesen Zahlen befinden sich viele Kandidaten für Primzahlen. Außerdem gibt es für die Mersenne-Zahlen einen sehr effizienteren Primzahltest, den Lucas-Lehmer-Test. Er nutzt geschickt die Eigenschaft der Mersenne-Zahlen, im binären Zahlensystem nur aus Einsen zu bestehen. Auf diesem Algorithmus basiert das Programm des GIMPS-Projektes, mit Hilfe dessen der Amerikaner Jonathan Pace nun die 50. Mersenne-Primzahl fand. Sein Rechner brauchte sechs Tage, um den Test an der Zahl mit 23 Millionen Stellen auszuführen. Wissenschaftler, die am GIMPS-Projekt beteiligt sind, haben dieses Resultat verifiziert.
Bei Wikipedia, findet sich folgende Definition: Eine Primzahl […] ist eine natürliche Zahl, die größer ist als 1, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist. Durch die Einschränkung „die größer ist als 1“ umschifft die Online-Enzyklopädie elegant die Frage, ob es sich bei der 1 nun um eine Primzahl handelt oder nicht. Denn formal erfüllt sie ja beide Bedingungen: die Teilbarkeit durch 1 und sich selber - hier eben auch 1.
Die moderne Mathematik hat diese Frage gelöst, indem sie die Primzahlen, erst ab der Zahl 2 definiert. Früher war das aber nicht der Fall. Im neunzehnten Jahrhundert zählte man die 1 zur Klasse der Primzahlen. Der antike Mathematiker Euclid war allerdings auch schon der Meinung, dies sei nicht so.
Eines der stärksten Argumente, die gegen die Klassifizierung der 1 als Primzahl sprechen, ist die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Die Zahl 42 lässt sich beispielsweise eindeutig in ihre Primfaktoren 2, 3 und 7 zerlegen. Lässt man nun aber die 1 als Primzahl zu, verlieren wir diese Eigenschaft der Eindeutigkeit, da 42 = 1 x 2 x 3 x 7 und 42 = 1 x 1 x 2 x 3 x 7 zwei verschiedene Produkte für dieselbe Zahl sind.
SPIEGEL-Online und
ZEIT-Online
Offizielle Seite des GIMPS-Projektes:
https://www.mersenne.org/
Weitere Informationen zur Nerdbox ... (Externe Webseite in Englisch)
Kommentare
Viele Grüße, Becky