Etwa seit Beginn des 19. Jahrhunderts werden komplexe Funktionen zu einem zentralen Gegenstand mathematischer Untersuchungen. In den folgenden hundert Jahren entfaltet die Funktionentheorie (das ist der Teilbereich der Mathematik, der sich mit komplexen Funktionen beschäftigt,) ihre volle Wirkung und gibt Anfang des 20.Jahrhunderts auch wichtige Anstöße zur Entwicklung neuer mathematischer Konzepte, die sich in der Folge selbst zu eigenständigen Forschungsgebieten entwickelt haben.
Obwohl komplexe Funktionen heute in vielen Gebieten der Mathematik präsent sind und auch von Anwendern seit langem intensiv genutzt werden, sind sie für viele Studierende nur schwer fassbar. Eine reizvolle und inspiriende Art, sich mit ihnen besser vertraut zu machen, bieten so genannte Phasenportraits.
Die Dirichlet'sche \(\eta\)-Funktion
Phasenportraits visualisieren komplexe (analytische) Funktionen durch eine Farbdarstellung des Arguments (Phase) direkt auf ihrem Definitionsbereich. Trotz ihrer einfachen Realisierbarkeit vermitteln sie auch Außenstehenden einen intuitiven Einblick in den Charakter einer Funktion und ermöglichen durch entsprechende Interpretation die Rekonstruktion vieler Eigenschaften.
Der Kalender Complex Beauties stellt in jedem Monat eine komplexe Funktion anhand ihres Phasenportraits vor. Auf den Rückseiten der Kalenderblätter findet man kurze Erläuterungen der dargestellten Sachverhalte und die biographische Skizze des/r Mathematikers/-in oder eines Mathematikers der/die sich um die Untersuchung dieser Funktion verdient gemacht hat.
Das obige Phasenportrait ist das aktuelle Monatsbild des Kalenders im November 2018. Es zeigt die Dirichletsche \(\eta\)-Funktion, deren enge Verwandtschaft mit der Riemannschen Zeta-Funktion in diesem Bild augenscheinlich wird.
Der Kalender erscheint jetzt zum neunten Mal. Neben dem langjährigen Team, bestehend aus Gunter Semmler, Pamela Gorkin, Ulrich Daepp und dem Verfasser) haben Sheldon Axler (San Francisco) sowie Andrei Bogatyrev (Moskau) und Konstantin Medlov (Donezk) Gastbeiträge verfasst. Die Funktionen des kommenden Jahres sind mit dem Wirken von Georg Faber, Isaac Newton, Joseph-Louis Lagrange, William Thomson (Lord Kelvin), Thomas Grönwall, Donald Sarason, Thomas Wolff, Paul Halmos, Nikolai Lusin, Cora Sadosky, Lipot Fejer und Carl Ludwig Siegel verbunden. Die unteren Abbildungen zeigen stellvertretend eine auf Isaac Newton zurückgehende Approximation des Arkustangens und eine "singuläre innere Funktion", deren erzeugendes Maß auf einer Cantor-Menge konzentriert ist.
eine auf Isaac Newton zurückgehende Approximation des Arkustangens
eine singuläre innere Funktion, deren erzeugendes Maß auf einer Cantor-Menge konzentriert ist.
Gedruckte Exemplare der deutschen Version von Complex Beauties 2019 kann man hier hier bestellen, die englische Fassung gibt es zum freien Download hier. Solange der Vorrat reicht, kann auf speziellen Wunsch auch die englische Version versendet werden. Auch ältere Ausgaben werden zum freien Download unter den obigen Adressen bereitgestellt.