Die Zahl \(M_{82589933}=2^{82589933}-1\) ist (wahrscheinlich) eine Primzahl. Sollte sie der Überprüfung durch unabhängige Rechner standhalten, wäre sie damit die größte bisher gefundene Primzahl. (Nachtrag aus 2019: Inzwischen wurde die oben genannte Primzahl verifiziert.) Ausgeschrieben hat sie über 24 Millionen Dezimalstellen; zum Vergleich: in den gesammelten Werken von William Shakespeare befinden sich nach Schätzungen lediglich 4 bis 5 Millionen Buchstaben!
Gefunden wurde die Zahl von einem Teilnehmer des Projektes GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), einem Netzwerk, bei dem eine Vielzahl von Teilnehmer_innen auf verteilten Rechnern nach sogenannten Mersenne-Primzahlen (s.u.) suchen. Der bisherige Rekord von \(M_{77232917}=2^{77232917}-1\) (ebenfalls durch das GIMPS-Projekt gefunden) wird damit um das \(10^{1660674}\)-fache überboten worden sein.
Eine Primzahl ist dadurch definiert, dass sie außer \(1\) und der Zahl selbst keine weiteren Teiler hat. Jede natürliche Zahl ist entweder selbst eine Primzahl, oder ein Produkt aus Primzahlen; damit kommt den Primzahlen für die Zahlentheorie eine ähnliche Rolle zu, wie die Atome in der Chemie.
Mersenne-Primzahlen (benannt nach Marin Mersenne, franz. Theologe u. Mathematiker, 1588-1648) sind Primzahlen der Form \(M_n=2^n-1\) für eine natürliche Zahl \(n\). Sie sind für die Suche nach großen Primzahlen besonders gut geeignet: Einerseits lässt sich zeigen, dass Mersenne-Zahlen in einem gewissen Sinne wahrscheinlicher Primzahlen sind als andere Zahlen (man spricht hier von der sogenannten Primzahldichte), andererseits bestehen Mersenne-Zahlen in ihrer Binärdarstellung nach Konstruktion aus einer Kette von Einsen; da Computer im Binärsystem rechnen, macht sie diese Eigenschaft für viele gängige Primzahltests mit Computerunterstützung leichter zugänglich.
Bisher waren 50 Mersenne-Primzahlen bekannt, die kleinsten unter ihnen sind \(M_2=2^2-1=3\), \(M_3=2^3-1=7\) und \(M_5=2^5-1=31\). Die größte zuvor bekannte war \(M_{77232917}=2^{77232917}-1\). Da \(M_{82589933}\) die Folgetests bestanden hat, ist sie die 51. gefundene Mersenne-Primzahl.
Empfehlung zum Thema Primzahlen: ein Vortrag von Marcus du Sautoy. Hier geht es zum Youtube-Video.
Die Suche nach immer höheren Primzahlen wird indes nie enden; vor mehr als 2000 Jahren zeigte der Grieche Euklid, dass es unendlich viele Primzahlen gibt: Sollten \(p_1,p_2,…p_n\) die einzigen Primzahlen sein, hätte die Zahl \(N=p_1\cdot p_2 \cdot … \cdot p_n+1\) die Eigenschaft, dass keine dieser \(n\) Primzahlen \(N\) teilt (da bei einer Division immer der Rest 1 bliebe). Daher muss \(N\) entweder selbst eine Primzahl sein oder einen Primfaktor \(q\) haben, der nicht eine der Zahlen \(p_1,p_2,…p_n\) ist; in beiden Fällen hätte man eine Primzahl gefunden, die nicht auf dieser Liste steht. Das heißt aber, dass eine endliche Liste aller Primzahlen nicht existieren kann- Die Menge aller Primzahlen ist daher unendlich groß.