(1) Der Satz über wahre Konjunktionen ist ein Axiom der Logik: „Eine bestimmte
Konjunktion ist wahr.“ ist äquivalent mit „Jede der Komponenten (Aussagen) der
betreffenden Konjunktion ist wahr.“.


(5) Wegen der Schlussregel „Aus (A und B) folgt A.“ gilt auch „Aus (A und B) folgt B.“. Das führt zu der heuristischen Regel: Je mehr voneinander unabhängige gehaltvolle Aussagen verknüpft werden, desto größer ist der logische Gehalt der betreffenden Konjunktion.


Wird ein bestimmter Gattungsbegriff durch eine zusätzliche Eigenschaft (Merkmal) eingeschränkt, so erhält man einen neuen Gattungsbegriff, welcher einen Spezialfall des ursprünglichen Gattungsbegriffs (Oberbegriff) darstellt. Oft sind mehrere Schritte in Richtung Spezialisierung möglich. Auf diese Weise erhält man eine Hierarchie von Gattungsbegriffen, beispielsweise bei den Vierecken in der euklidischen Geometrie.

Bei einer Spezialisierung hat der neue Gattungsbegriff nicht nur die zusätzliche vorgeschriebene Eigenschaft, sondern noch andere zusätzliche Eigenschaften, auch spezifische Eigenschaften. A soll hier eine Aussage sein, welche eine bestimmte Sache einem bestimmten Gattungsbegriff zuschreibt. B soll hier eine Aussage sein, welche der betreffenden Sache eine bestimmte Eigenschaft zuschreibt, die zu einer Spezialisierung führt. Die Konjunktion (A undB) besitzt in diesem Fall einen überraschend großen logischen Gehalt. In diesem besonderen Fall ist der logische Gehalt der Konjunktion (A und B) wesentlich größer als die Vereinigungsmenge des logischen Gehalts von A und des logischen Gehalts von B. Also ist hier die Konjunktion „mehr als die Summe ihrer Teile“. Dieser Sonderfall der Konjunktion soll „Superkonjunktion“ genannt werden. Auch ein Kriterium ist eine Superkonjunktion, wenn dieses auf mehreren Eigenschaften beruht, zum Beispiel das Kriterium für die Kongruenz von Dreiecken nach dem Kongruenzsatz (sss).

E: Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm.
F: Im Viereck ABCD sind die beiden Diagonalen gleich lang.

Alle Implikationen von E und alle Implikationen von F sind auch Implikationen der Superkonjunktion (E und F). Die Vereinigungsmenge des logischen Gehalts von E und des logischen Gehalts von F enthält nur diese Implikationen. Aber der logische Gehalt der Superkonjunktion (E und F) ist viel größer. Er enthält zusätzlich die Aussage G „Das Viereck ABCD ist ein Rechteck.“. Das Rechteck ist ein Spezialfall des Parallelogramms. Die Aussage F beschreibt eine zusätzliche Eigenschaft des Rechtecks. Andere zusätzliche Eigenschaften des Rechtecks entsprechen Implikationen von G, welche weder im logischen Gehalt von E noch in demjenigen von F enthalten sind. Die Aussagen G₁, G₇ und G₈ beschreiben spezifische Eigenschaften des Rechtecks.

Werden die Aussagen A, B und C durch das Bindewort „oder“ verknüpft, so nennt man die neue Aussage „Adjunktion“. Für die Adjunktion schreibt man kurz: (A oder B oder C). Aus der gewöhnlichen Aussage A folgt die Adjunktion (A oder B), wobei B eine beliebige gewöhnliche Aussage ist. Also enthält der logische Gehalt jeder gewöhnlichen Aussage unendlich viele Implikationen, nämlich unendlich viele Adjunktionen, die aber insgesamt extrem wenig zum logischen Gehalt beitragen. – Der logische Gehalt einer Adjunktion enthält hauptsächlich die gemeinsamen Implikationen aller Komponenten, wobei diese Implikationen keine Adjunktionen sind. Der Ausschluss einer Möglichkeit erhöht den logischen Gehalt der betreffenden Adjunktion. Für alle gewöhnlichen Aussagen A, B und C gelten die Feststellungen (1) bis (5):

(3) Das Assoziativgesetz der Adjunktion: Verknüpft man bei einer Adjunktion mehr als zwei Aussagen, so sind die runden Klammern überflüssig.


A: Maria Schmid hat im Jahr 2006 einen blauen Renault gefahren.
B: Maria Schmid hat im Jahr 2006 einen blauen Fiat gefahren.
C: Maria Schmid hat im Jahr 2006 einen blauen Opel gefahren.


Fünfte Anwendung der Logik in der Wissenschaft: In der Forschung ist es nützlich, einen vollständigen Überblick über die Möglichkeiten zu haben bezüglich einer bestimmten Situation. – Auch im Alltag ist ein vollständiger Überblick wichtig für die rationale Praxis, zum Beispiel bei einer Diagnose in der Medizin, bei der Aufklärung eines Kriminalfalls, bei einer Planungsaufgabe, bei der Fehlersuche in der Technik. Der vollständige Überblick ist die Grundlage für wichtige Fallunterscheidungen (Dihairese). Bleiben Möglichkeiten unberücksichtigt, so führt das meistens zu einem Trugschluss. Bei der Auflistung der Möglichkeiten gibt es drei Fälle:

(1) die Feststellung einer Kontravalenz (entweder Möglichkeit A oder Möglichkeit B oder Möglichkeit C): Eine der angegebenen Möglichkeiten ist gegeben und alle Möglichkeiten schließen sich gegenseitig aus. Daraus folgt, dass nur eine einzige Möglichkeit gegeben ist.
(2) Die Adjunktion (Möglichkeit A oder Möglichkeit B oder Möglichkeit C) ist wahr: Mindestens eine der angegebenen Möglichkeiten ist gegeben.
(3) Die Adjunktion ist unwahr: Keine der angegebenen Möglichkeiten ist gegeben. Daraus folgt, dass die Auflistung der Möglichkeiten unvollständig ist.

Bei den Fällen (1) und (2) weiß man ohne zusätzliche Informationen nicht, welche der Möglichkeiten jeweils gegeben sind und welche nicht. Jede Möglichkeit entspricht hier einer Vermutung. Wenn die Komponenten (Aussagen) – abgesehen von Adjunktionen – keine gemeinsamen Implikationen aufweisen, ist sowohl die Feststellung einer Kontravalenz als auch die Adjunktion eine schwache Aussage.

Bei einer bestimmten Waschmaschine, welche bisher einwandfrei funktioniert hat, bewegt sich im Waschbetrieb die Trommel nicht mehr. Daraus folgt, dass bei der betreffenden Waschmaschine entweder ein einziger Fehler aufgetreten ist oder dass mehrere Fehler aufgetreten sind.
Aus „Die Konjunktion (Im Waschbetrieb bewegt sich die Trommel der betreffenden Waschmaschine nicht. und Die obige Fehlerliste ist vollständig.) ist wahr.“ folgt „Die Adjunktion (A oder B oder C oder D oder E oder F) ist wahr.“. Die Aussagen A bis F schließen sich nicht gegenseitig aus. Mehrere Fehler können also gleichzeitig auftreten. Nun kann man raten oder die sechs Möglichkeiten systematisch abarbeiten, um den Fehler zu finden. Bei der Ausschluss-Methode kann die Reihenfolge der Prüfschritte relevant sein:

Die Adjunktion kommt bei der Vereinigungsmenge vor und bei der abstrakten Negation einer Konjunktion. Ist die Wahrheit einer bestimmten Adjunktion garantiert, so kann man die Wahrheit einer bestimmten Komponente (Aussage) mit Hilfe der Ausschluss-Methode herausfinden und nachweisen: Jede der verschiedenen Komponenten bis auf eine wird überprüft. Sind alle anderen Komponenten der Adjunktion nachweislich unwahr, so ist die letzte Komponente wahr. – Die Aussage „(A oder B oderC) ist unwahr.“ ist äquivalent mit der Konjunktion (A ist unwahr. und B ist unwahr. und C ist unwahr.). Die Aussage „(A und B und C) ist unwahr.“ ist äquivalent mit der Adjunktion (A ist unwahr. oder B ist unwahr. oderC ist unwahr.). Jeder Bericht ist eine Konjunktion. Eine einzige unwahre Aussage im Bericht entwertet diesen als Ganzes. Unwahre Aussagen sollten in einem Bericht identifiziert werden. Das unterstreicht die große Bedeutung der regulativen Idee der Wahrheit.


Im Gegensatz zur Adjunktion und zur Konjunktion darf man bei der Feststellung einer Kontravalenz keine beliebigen Aussagen miteinander verknüpfen. (entweder A oder A) ist eine absurde Aussage. Unter der Voraussetzung, dass A und B nicht äquivalent sind, ist (entweder A oder B) eine kontradiktorische Aussage, wenn es sich um zwei wahre Aussagen handelt, ebenso bei zwei unwahren Aussagen. Auch bei zwei Aussagen ohne inhaltlichen Zusammenhang kann die Kontravalenz nicht gegeben sein, ebenso bei zwei gewöhnlichen Aussagen, welche nicht voneinander unabhängig sind. Denn die Kontravalenz ist ein Spezialfall der Widerspruchsbeziehung, bei welchem die Wahrheit einer einzigen Komponente (Aussage) garantiert ist. Aus (entweder A oder B oder C) folgt, dass jede der Komponenten A, B und C jeweils die beiden anderen Komponenten ausschließt. Ist eine der Komponenten nachweislich wahr, so sind die anderen beiden Komponenten unwahr. Bei der Kontravalenz mit zwei Komponenten gibt es eine Zirkelschluss-Struktur. Die Komponenten sind nach dem Satz über den Zirkelschluss äquivalent:



Aus (entweder A oder B oder C) folgt, dass die Adjunktion (A oder B oder C) wahr ist. Deshalb kann man auch bei der Feststellung einer Kontravalenz die Ausschluss-Methode anwenden. Außerdem kann man (entweder A oder B oder C oder D) durch Ausschluss der unwahren Komponenten C und D auf (entweder A oder B) reduzieren, also auf die Feststellung einer Kontravalenz mit nur zwei Komponenten. Die nachstehenden Schlussfolgerungen (1) bis (5) sind gültig für alle gewöhnlichen Aussagen A, B, C und D:



Bei einer Quiz-Sendung im Fernsehen werden bezogen auf eine bestimmte Aufgabe vier Lösungen A, B, C und D angeboten. Nur eine davon darf genannt werden und nur eine davon wird als richtig anerkannt. Die angebotenen Lösungen schließen sich also gegenseitig aus. Mit Hilfe des Fünfzig-Fünfzig-Jokers, welcher die Lösungen A und D als falsch ausschließt, kann man (entweder A oder B oder C oder D) auf (entweder B oder C) reduzieren. Dadurch fallen eventuell Lösungsmöglichkeiten weg, wo man falsch geraten hätte. Weiß man, dass die Lösung B richtig ist, so ist die Lösung C falsch. Zusätzlich hilft die Ausschluss-Methode weiter: Kann man die Lösung C als falsch ausschließen, so ist die Lösung B richtig.