Dreieckszahlen, Reptilien und vieles mehr ... Wie jeden Monat wieder das aktuelle Blatt des KIAS-Wandkalenders, der Lesbarkeit halber wieder in zwei Hälften: Bei der 1 geht es natürlich um die Identität 1=0,9999... Der Eintrag bei der 2 gehört in die Theorie der aperiodischen Teilungen, es geht um tiles (Teile), mit denen man die Ebene komplett überdecken kann. Ein solches Teil heißt rep-n-tile, wenn es sich in n kongruente Stücke zerlegen läßt. Das Bild bei der 2 zeigt die beiden einzigen rep-2-tiles. Der Eintrag bei der 3 (Bild unten) spielt auf Carl Friedrich Gauß' Tagebucheintrag vom 10.Juli 1796 an: EYPHKA num = Δ + Δ + Δ. Jede Zahl kann als Summe dreier Dreieckszahlen zerlegt werden - schon Fermat hatte in einer Randnotiz behauptet, dafür einen wunderbaren Beweis zu haben, aber erst der 18-jährige Gauß fand diesen. (Eine Dreieckszahl ist eine Zahl, die sich wie im Titelbild oben als Anzahl der Steine in einem gleichzeitigen Dreieck darstellen läßt, also 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...) Allgemeiner läßt sich jede Zahl als Summe von n n-Ecks-Zahlen darstellen (Fermatscher Polygonalzahlensatz). Insbesondere, und darauf soll der Eintrag bei der 4 hinweisen, ist jede Zahl die Summe von 4 Quadratzahlen, wobei zufälligerweise die hier verwendete Bedeutung des Wortes Quadratzahl mit der sonst in der Zahlentheorie gebräuchlichen (Quadrat einer ganzen Zahl) übereinstimmt, denn die Zahl der Steine in einem Quadrat ist als Quadrat der Steine auf einer Kante gerade eine Quadratzahl im herkömmlichen Sinne. Der 4-Quadrate-Satz ist natürlich ein klassischer zahlentheoretischer Satz, der schon 1770 von Lagrange bewiesen worden war, also vor Gauß Beweis für Dreieckszahlen 1796. Die allgemeine Form des Fermatschen Polygonalzahlensatzes bewies Cauchy 1813. Die 5 zeigt das Fünferlemma, ein zur homologischen Algebra gehörendes wichtiges Hilfsmittel der algebraischen Topologie: wenn die beiden Zeilen exakte Folgen sind und man von den 5 vertikalen Abbildungen weiß, dass die vier äußeren Abbildungen Isomorphismen sind, dann ist auch die mittlere der 5 Abbildungen ein Isomorphismus. Man verwendet das Lemma in der Topologie typischerweise, um Aussagen über relative Homologiegruppen auf bereits bewiesene Aussagen über absolute Homologiegruppen zurückzuführen unter Benutzung der langen exakten Sequenz, bei der eben um die relative Homologegruppe herum vier absolute Homologiegruppen stehen. Die 6 zeigt eine Variante des Basel-Problems, über die (in leicht abgewandelter Form) wir hier schon einmal geschrieben hatten. Bei der 8 wird die Acht auf die Seite gestellt und bei der 31 die ganze Gleichung auf den Kopf, diesen Eintrag hatten wir ja neulich als Rätsel gestellt. Eine (abstrakte) projektive Ebene ist eine Inzidenzstruktur, bei der es durch je zwei Punkte eine Gerade und zu je zwei Geraden einen Schnittpunkt gibt. Bei endlichen projektiven Ebenen gibt es eine Zahl n (die "Ordnung" der projektiven Ebene), so dass auf jeder Gerade n+1 Punkte liegen, jeder Punkt zu n+1 Geraden gehört, und es insgesamt je n²+n+1 Punkte und Geraden gibt. Erst mit großem Computereinsatz konnte in den 80er Jahren bewiesen warden, dass es keine projektive Ebene der Ordnung 10 (also mit 121 Punkten und Geraden) gibt. Den 14-flächigen Würfel kannte ich bisher nicht, mit Google findet man Verweise auf Star Trek. Beim Bild zur 20 ist bemerkenswert, dass die Länge der Strecke nicht von der Länge der Basis abhängt, die 45 und 36 cm langen Senkrechten können beliebig nah oder weit voneinander entfernt sein. Die 28 exotischen 7-Sphären schließlich sind eine berühmte Entdeckung von John Milnor, für die (unter anderem) er 2011 den Abelpreis erhielt und über die wir hier geschrieben hatten, siehe auch dieses Video. Kalenderblätter vom Juni, Mai, März und April.

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