Über eine beeindruckende (fast) elementarmathematische Anwendung der Hochenergiephysik berichtet das
Quanta Magazine unter der Überschrift
Neutrinos Lead to Unexpected Discovery in Basic Math.
Es geht um eine überraschende Formel, mit der man die Eigenvektoren einer Matrix (zumindest die Beträge ihrer Koordinaten) nur aus den Eigenwerten der Matrix und ihrer Hauptminoren berechnen kann.
Im Artikel wird berichtet, wie drei Physiker in ihrer Arbeit über Neutrinos auf diese Formel stießen, dann eine e-Mail an Terence Tao schickten und von diesem innerhalb von zwei Stunden eine Antwort mit drei unterschiedlichen Beweisen erhielten. Einer davon ist in einer
gut zwei Seiten langen Arbeit bei
Communications in Mathematical Physics eingereicht.
In der Formel geht es um eine Matrix A mit Eigenwerten λ
i. Der zu λ
i gehörende Eigenvektor sei v
i mit Koordinaten v
ij. Mit λ
i(A
j) bezeichnet man den i-ten Eigenwert derjenigen Matrix, die aus A durch Entfernen der j-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht. NB: Die Matrix A soll Hermitesch sein, also symmetrisch bis auf komplexe Konjugation:
\(A=\overline{A}^T \)
. Dann besagt die neue Formel
\(\mid v_{ij}\mid^2=\frac{\Pi_{k\not=n}(\lambda_i(A)-\lambda_k(A_j))}{\Pi_{k\not=i}(\lambda_i(A)-\lambda_k(A))}\)
Bei 2x2-Matrizen A=(a_{ij}) mit Eigenwerten λ
1,λ
2 und zugehörigen Eigenvektoren v
1,v
2 heißt das zum Beispiel
\(\mid v_{11}\mid^2=\frac{\lambda_1-a_{22}}{\lambda_1-\lambda_2}, \mid v_{12}\mid^2=\frac{\lambda_1-a_{11}}{\lambda_1-\lambda_2} \)
und
\(\mid v_{21}\mid^2=\frac{\lambda_2-a_{22}}{\lambda_2-\lambda_1}, \mid v_{22}\mid^2=\frac{\lambda_2-a_{11}}{\lambda_2-\lambda_1} \)
Natürlich könnte man das in diesem Spezialfall leicht ad hoc nachrechnen, aber jedenfalls ist mir auch in diesem Fall die Formel bisher nicht bekannt gewesen.
Samstag, 16. November 2019