Wie verteilt man Punkte zufällig auf einer Einheitssphäre? Ganz einfach, möchte man meinen: Man wählt gleichverteilt einen Breitengrad zwischen -π und π und einen Längengrad β zwischen 0 und 2π. Ergebnis: Die zufälligen Punkte scheinen sich um die Pole der Kugel herum zu ballen (wie die orange-farbenen Punkte auf der linken Kugel hier; die Kugel ist ein bisschen gedreht, damit man besser auf den Pol blicken kann). Was ist passiert? Die Punkte auf einem Breitengrad in Polnähe rutschen zusammen, weil die Breitengrade immer kleiner werdende Kreise bilden, je näher man dem Pol kommt. Wir dürfen also -- wenn wir eine äquidistante Verteilung wünschen -- nicht jeden Breitengrad mit gleicher Wahrscheinlichkeit picken. Bekommen Sie heraus, wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung aussehen muss? Wählt man sie richtig, sieht das Ergebnis aus wie die blauen Punkte auf der rechten Kugel: Schön "gleichverteilt".
Eine andere Aufgabenstellung: Wie erzeugt man einen zufälligen Pfad auf einer Kugeloberfläche? Hier ist es ein Pfad mit einer nach unten und nach oben beschränkten Schrittweite:
Kann aber auch so aussehen:
Die Ballungen haben hier nichts mit der Zufallsverteilung zu tun, sondern kommen daher, dass der Pfad mit etwa 50% Wahrscheinlichkeit in die Gegend zurückkehrt, aus der er kommt.
Andreas Loos