Hong Wang, aktuell am Courant Institute der New York University tätig, hat die dreidimensionale Kakeya-Vermutung bewiesen. Gemeinsam mit ihrem Kollegen Joshua Zahl von der University of British Columbia löste sie das Problem, das mehr als ein Jahrhundert lang ungelöst blieb.
Hong Wang beim 2024 IBS-DIMAG Workshop über Kombinatorik und Geometrische Maßtheorie © Wikimedia Commons
Die Kakeya-Vermutung stammt aus dem Jahr 1917 und ist ein täuschend einfaches mathematisches Problem, das sich wie folgt veranschaulichen lässt: „Halte einen Bleistift in der Luft und richte ihn dann in jede Richtung, während du das Volumen des Raums, durch den er sich bewegt, minimierst.“
Still der Grafik des DVDP für Quanta Magazine
Die Arbeit von Wang und Zahl hat „eine absolute Grenze dafür festgelegt, wie klein ein solches Bewegungsmuster sein kann“. Trotz seines einfachen Aussehens hat sich das Problem bis jetzt „einigen der größten lebenden Mathematiker entzogen“.
Ihre Arbeit stützt sich auf die Arbeiten anderer Wissenschaftler. Professor Jean Bourgain leistete wesentliche Beiträge zum Kakeya-Problem, ebenso wie Larry Guth. Ihre Erkenntnisse waren für Wang und Zahl entscheidend.
Darüber hinaus nutzten Wang und Zahl eine Technik, die von Terence Tao und seinem Kollegen Nets Katz entwickelt wurde. Im Jahr 2014 untersuchten Tao und Katz „eine lästige Klasse von Kakeya-Mengen. Ihr Beweis zeigte, dass jede Menge in dieser speziellen Klasse eine Dimension von drei hat“. Dies lieferte einen „Fahrplan“ für die ursprüngliche Arbeit von Wang und Zahl.
Der neue Beweis von Wang und Zahl, mit dem ein wichtiges, offenes Problem gelöst wird, hat wichtige Folgen, aber es bleibt noch viel zu tun. Die Vermutung über Kakeya-Mengen wurde für alle Dimensionen aufgestellt, und in höheren Dimensionen wird die Geometrie komplizierter. Die Kakeya-Vermutung steht auch in engem Zusammenhang mit wichtigen Restriktionsvermutungen über Fourier-Transformationen, die noch offen sind. Dieser Durchbruch wird also noch zu vielen anderen spannenden Forschungsarbeiten führen.
Zum Artikel des IAS vom 14.3.2025 oder lesen Sie den vollständigen Artikel im Quanta Magazine.