Homotopiegruppen von Sphären.

================>

In den letzten Wochen hatten wir begonnen, Abbildungen zwischen Sphären bis auf Homotopie (TvF 190) zu klassifizieren bzw., was dasselbe ist (TvF 192), die Homotopiegruppen π_mSⁿ zu berechnen. Abbildungen f:S²-->S² zum Beispiel (also Elemente aus π₂S²) wurden klassifiziert durch den Abbildungsgrad, weshalb eine Abbildung mit Abbildungsgrad 2 (Bild unten) nicht homotop zur Identität (Abbildungsgrad 1) oder zu einer konstanten Abbildung (Abbildungsgrad 0) ist. Letzte Woche hatten wir gezeigt, wie man aus π₂S²=Z den Fundamentalsatz der Algebra beweisen kann. (Genauer gesagt brauchte man nicht nur den Fakt π₂S²=Z, sondern auch daß der Isomorphismus durch den Abbildungsgrad gegeben wird und daß man aus einem Polynom P vom Grad n eine Abbildung P:S²-->S² vom Abbildungsgrad n bekommt.)

"Berechnung" von Homotopiegruppen

Vor 2 Wochen hatten wir gesagt, daß man Homotopiegruppen π_mSⁿ "berechnen" kann als Kobordismusgruppe gerahmter (m-n)-Mannigfaltigkeiten in S^m (jedenfalls wenn man letztere berechnen kann) - das ist das Pontrjagin-Thom-Theorem.

π_mS^m

Als einfachsten Spezialfall (den wir schon in TvF 189, TvF 190, TvF 191 besprochen hatten) bekommt man π_mS^m=Z. Der Isomorphismus besteht darin, daß man jeder Abbildung f:S^m-->S^m ihren Abbildungsgrad deg(f) ∈ Z zuordnet. (Das hatten wir letzte Woche mit m=2 für den Beweis des Fundamentalsatzes benutzt.) Aus dem Pontrjagin-Thom-Theorem folgt das einfach deshalb, weil man die Kobordismengruppen gerahmter 0-Mannigfaltigkeiten (d.h. Vereinigungen von Punkten) klassfizieren kann durch Anzahl und Orientierung der Punkte - dabei ist die Vereinigung von k positiv orientierten und l negativ orientierten Punkten kobordant zur Vereinigung von k-l positiv orientierten (bzw., falls l größer k, von l-k negativ orientierten) Punkten, weshalb die ganze Zahl k-l gerade die Kobordismusklasse bestimmt. Diese Zahl k-l entspricht aber nach Definition gerade dem Abbildungsgrad von f (TvF 189).

π_m+1S^m

Etwas komplizierter wird es schon bei π_m+1S^m. Das ist nach Pontrjagin-Thom dasselbe wie die Kobordismusgruppe gerahmter 1-Mannigfaltigkeiten in S^m+1. Für m=2 hatten wir das mal in TvF 183 diskutiert: für eine Abbildung f:S³-->S² kann man ihre Hopf-Invariante H(f)∈ Z definieren als Verschlingungszahl von Urbildern zweier Punkte und das gibt einen Isomorphismus π₃S²=Z. Eine Abbildung mit H(f)=1 ist die in TvF 183 beschriebene Hopf-Faserung. Zwei Urbilder mit Verschlingungszahl 1. Für m≥3 ist π_m+1S^m=Z/2Z, das nichttriviale Element ist die (m-1)-fache Suspension der Hopf-Abbildung. Als Suspension eines Raumes bezeichnet man den Doppelkegel über dem Raum, oben abgebildet ist die Suspension des Kreises. Allgemein ist (offensichtlich) die Suspension einer n-dimensionalen Sphäre immer die n+1-dimensionale Sphäre. Wenn man eine Abbildung f:X-->Y hat, kann man sie auf die offensichtliche Weise fortsetzen zu einer Abbildung zwischen den Suspensionen. Die Suspension der Hopf-Abbildung f:S³-->S² ist also eine Abbildung S⁴-->S³, durch wiederholte Suspension erhält man Abbildungen S^m+1-->S^m und man kann beweisen, daß diese die nichttrivialen Elemente in π_m+1S^m=Z/2Z sind. (Allgemein gilt nach dem Freudenthal-Theorem, daß sich π_m+kS^m ab m=k+2 nicht mehr ändert, hier also π₄S³=π₅S⁴=π₆S⁵=.... Den "Grenzwert" bezeichnet man als 'stabile Homotopiegruppe' π_k^S.) Unter dem Pontrjagin-Thom-Theorem entspricht das nichttriviale Element von π_m+1S^m dem Kreis S¹ mit der Rahmung des Normalenbündels einer bestimmte Einbettung von S¹ in S³, nämlich man nimmt eine "Figur 8" (Bild unten) in der Ebene und verformt sie (unter Benutzung der zusätzlichen Dimension) ein wenig (um den Doppelpunkt aufzulösen) zu einer Einbettung in die S³. (Stabil, d.h. für hirneichend große m, kann man auch ausnutzen, daß das stabile Normalenbündel komplementär zum Tangentialbündel ist, und kann deshalb die mit der Gruppenwirkung von SO(2)=S¹ auf S¹ konstruierte Trivialisierung des Tangentialbündel benutzen: man nimmt einen Tangentialvektor in einem Punkt und transportiert ihn mit der Gruppenwirkung zu Tangentialvektoren an allen anderen Punkte der S¹. )

π_m+2S^m

Auch π_m+2S^m kann man noch mit der Pontrjagin-Thom-Konstruktion berechnen, das Ergebnis für m≥3 ist ebenfalls Z/2Z. Das nichttriviale Element entspricht unter dem Pontrjagin-Thom-Isomorphismus dem Torus T²=S¹xS¹ mit der Rahmung zur Immersion in R³, die man bekommt, indem man die "Figur 8" in der x-y-Ebene nimmt und stetig über jedem Punkt (in der Ebene aus Normalenrichtung und z-Achse) eine weitere Figur 8 aufträgt, das Ergebnis ist ein in R³ immersierter Torus, den man im R⁴ einbetten kann. (Oder stabil der Torus T²=S¹xS¹ mit der Rahmung, die man, analog zur obigen Rahmung der S¹, durch die Gruppenstruktur des Torus bekommt.)

π_m+3S^m

Und π_m+3S^m ist (für m≥5) isomorph zu Z/24Z, das nichttriviale Element entspricht einer 3-Mannigfaltigkeit, die man durch Anwendung von Koschorkes Figur-Acht-Konstruktion auf die Boy-Fläche (eine bestimmte Immersion der projektiven Ebene im R³) bekommt, oder wieder stabil der Lie-Gruppe SU(2)=S³. Explizit kann man einen Erzeuger von π₇S⁴ angeben als die zu den Quaternionen gehörende Hopf-Abbildung (TvF 184). Für höhere Kodimensionen wird die direkte Berechnung der gerahmten Kobordismusgruppen dann aber zu schwierig, weshalb man die Homotopiegruppen der Sphären lieber mit algebraischen Methoden zu berechnen versucht und die Pontrjagin-Thom-Konstruktion dann eher in umgekehrter Richtung verwendet, um aus Kenntnis der Homotopiegruppen die Kobordismusgruppen zu berechnen. Die Tabelle (aus der Wikipedia) zeigt einige bekannte Homotopiegruppen von Sphären. Allgemein ist die Berechnung der Homotopiegruppen zu schwierig, weshalb man hauptsächlich versucht, stabile Homotopiegruppen zu berechnen - dafür gibt es viele algebraische Ansätze, beginnend mit der Adams-Spektralsequenz, aber ebenfalls bisher keine allgemeinen Formeln.

	π1	π2	π3	π4	π5	π6	π7	π8	π9	π10	π11	π12	π13	π14	π15
S0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S1	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S2	0	Z	Z	Z2	Z2	Z12	Z2	Z2	Z3	Z15	Z2	Z22</sup	Z12×Z2	Z84×Z22	Z22
S3	0	0	Z	Z2	Z2	Z12	Z2	Z2	Z3	Z15	Z2	Z22	Z12×Z2	Z84×Z22	Z22
S4	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z×Z12	Z22	Z22	Z24×Z3	Z15	Z2	Z23	Z120×Z12×Z2	Z84×Z25
S5	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	Z2	Z2	Z2	Z30	Z2	Z23	Z72×Z2
S6	0	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	0	Z	Z2	Z60	Z24×Z2	Z23
S7	0	0	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z120	Z23
S8	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z×Z120

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194

Um einen Kommentar zu verfassen, müssen Sie sich einloggen bzw. kurz als Gast registrieren.