Projektive Ebenen, Ausnahme-Liegruppen und isospektrale 16-dimensionale Tori. (Zum Vergrößern auf das Bild klicken.) Der Eintrag bei der 2 bezieht sich auf die rep-2-tiles, über die wir im Juli geschrieben hatten und der Eintrag bei der 3 vergleicht das Volumen einer Pyramide mit dem eines Prismas gleicher Grundfläche und gleicher Höhe. Der Eintrag bei der 5 spielt auf die bekannte Geschichte der Fermat-Primzahlen an: Fermat hatte vermutet, dass \(F_n=2^{2^n}+1\) stets eine Primzahl sei, Euler fand aber die Primfaktorzerlegung \(2^{2^5}+1=641\times 6700417\). Die Fano-Ebene bei der 7 ist die projektive Ebene über dem Körper \({\mathbb Z}/2{\mathbb Z} \) und mithin die einfachste projektive Ebene. Der Eintrag bei der 8 zeigt das Dynkin-Diagramm der Ausnahme-Liegruppe \(E_8\). Es wäre ein Thema für eine eigene Artikelreihe, alle Vorkommen dieser Lie-Gruppe in der Mathematik zu beschreiben. In der Physik gab es mal eine spekulative (und wohl noch nicht wirklich widerlegte) "Theory of everything" auf Basis dieser Lie-Gruppe. In der Topologie kommt das E₈-Gitter (welches dasselbe Dynkindiagramm hat) vor als Schnittform einer einfach zusammenhängenden 4-Mannigfaltigkeit, welche (nach dem Satz von Donaldson) keine differenzierbare Struktur haben kann, wohl das einfachste Beispiel einer topologischen Mannigfaltigkeit ohne Differentialstruktur. Ein emirp ist eine Primzahl, die auch rückwärtsgelesen wieder eine Primzahl ergibt. Die 13 ist der kleinste, jedenfalls wenn man einstellige Zahlen und die 11 nicht zuläßt. Eine Keith-Zahl ist eine Zahl, die in der Folge vorkommt, die man aus ihren eigenen Ziffern durch Fibonacci-artige fortgesetzte Addition gewinnt. 14 ist eine Keith-Zahl, denn sie kommt in der Fibonaaci-artigen Folge 1,4,5,9,14 vor. Sie ist auch die kleinste, wenn man wieder die einstelligen Zahlen nicht zuläßt. Der Eintrag bei der 16 spielt auf eine berühmte Arbeit von John Milnor an: Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds. Die Arbeit ist nur eine Seite lang, aber sie beantwortete die zentrale Frage der Spektralgeometrie: Can one hear the shape of a drum? (Kann man aus den Schwingungen einer Mannigfaltigkeit ihre Geometrie bestimmen? Oder profaner: gibt es zwei nicht-isometrische Riemannsche Mannigfaltigkeiten, deren Laplace-Operatoren dieselben Eigenwerte haben?) Milnor fand zwei 16-dimensionale Tori, die tatsächlich dieselben Eigenwerte hatten. Die Arbeit war deshalb so kurz, weil er die Eigenwerte seiner Beispiele nicht erst berechnen mußte, sondern sie direkt aus bereits bekannten Ergebnissen der Theorie quadratischer Formen ablesen konnte. (Sehr ähnliche Beispiele wurden dann auch schon in Dimension 12 gefunden. Und mit ganz anderen Methoden kann man inzwischen Gegenbeispiele auch in Dimension 2 und 3 konstruieren.) Wir hatten in TvF 76 über dieses Problem geschrieben, mit mehr Einzelheiten in TvF 77 und TvF 78. Die meisten anderen Einträge sind wohl selbsterklärend, bei der 20 geht es darum, dass der Rubik-Würfel in jeder Position in höchstens 20 Zügen gelöst werden kann und bei der 25 geht es um die Anzahl der Primzahlen kleiner als 100.

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