Bei der Riemann-Vermutung geht es um die Nullstellen der oben abgebildeten
Zetafunktion (und letztlich um die Verteilung der Primzahlen). Die Zetafunktion
\(\zeta(s) \) hat ‘triviale’ Nullstellen -2,-4,-6,… und außerdem viele Nullstellen auf der Gerade 1/2+it (t reell). Die Riemann-Vermutung besagt, daß es darüber hinaus keine weiteren Nullstellen gibt.
Wenn korrekt, würde aus der Riemann-Vermutung die genauest-mögliche Abschätzung für die Anzahl von Primzahlen kleiner x folgen:
Die Anzahl der Primzahlen kleiner x ist näherungsweise das Integral über 1/ln(t) von t=2 bis t=x. Aus der Riemann-Vermutung würde folgen, daß der Fehler dieser Näherungsformel höchstens x
1/2ln(x)/8π ist (für x größer als 2657). Wie Schoenfeld 1976 bewiesen
hat, ist dies die bestmögliche Ungleichung für den Fehler der Näherungsformel.
Es gibt zahlreiche Umformulierungen der Riemann-Vermutung, manche nützlich und manche nicht. Eine der Umformungen verwendet die Jensen-Polynome
\(J_{d,n}(x)=\sum_{j=0}^d \frac{d!}{j!(d-j)!} \alpha(n+j)x^j\), wobei die Folge
\(\alpha(j) \) gegeben ist als Koeffizienten in
\((-1+4z^2)\Lambda(z+\frac{1}{2})=\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha(n)}{n!}z^{2n}\) mit \(\Lambda(s)=\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\zeta(s)\).
Die Riemann-Vermutung ist äquivalent zu der Vermutung, dass alle Jensen-Polynome J
d,n nur reelle Nullstellen haben.
In einer letzten Monat erschienenen Arbeit
Jensen polynomials for the Riemann zeta function and other sequences (von Michael Griffin, Ken Ono, Larry Rolen und Don Zagier) werden zu dieser Frage nun einige Teilergebnisse erzielt. Zum einen wird die Behauptung für d≤8 und beliebige n bewiesen (bisher war das nur für d≤3 bekannt), und zum anderen wird für jedes feste d bewiesen, dass die Behauptung für alle hinreichend großen n gilt. (Tatsächlich folgt das erste Resultat aus dem Beweis des zweiten, indem die im Beweis verwendeten Konstanten explizit genutzt werden.) Enrico Bombieri
bezeichnet das als einen „major breakthrough“, die Methoden der Arbeit würden einen neuen Ansatz zum Beweis der Riemann-Vermutung darstellen.
