Freundschaftsbändchen sind immer schon eine Freude, für Schülerinnen (und Schüler) - und für Mathematik-Begeisterte. Denn oft steckt in den Knotenmustern und Flechtformen jede Menge Mathematik.
Deren Untersuchung begann 1924. Damals kam der Mathematiker Emil Artin auf die Idee, sich Zöpfe mal genauer anzusehen. Was ist ein Zopf? Im Prinzip ein paar Schnüre, die nebeneinander hängen und die miteinander verflochten werden, indem man in einer gewissen Reihenfolge immer wieder benachbarte Stränge übereinander verkreuzt. Genau so entsteht zum Beispiel der allgemein bekannte Zopf (ein Zopf "dritter Ordnung", nannte ihn Artin, weil drei Schnüre verflochten werden). Dessen Grundelement sieht so aus wie in Bild oben links.
Wiederholt man dieses Muster, dann ergibt sich eben eine Art Haarzopf wie im Bild unten.
Schon dieses Schema kann man sehr einfach verallgemeinern. Hier dasselbe mit vier Strängen:
Soweit, so einfach. Wo ist die Mathematik? Die steckt in den Vertauschungen der benachbarten Stränge; man nennt solche Vertauschungen auf mathematisch "Transpositionen". (Beim Flechten ist zusätzlich wichtig, zu unterscheiden, ob der linke Strang über- oder unterhalb des rechten getauscht wird.) Im Prinzip werden also beim Flechten Transpositionen hintereinander ausgeführt. Die Transpositionen bilden also etwas, das man "verknüpfen" kann -- im wahrsten Sinn des Wortes. Man kann mit ihnen sogar "rechnen", Zöpfe sind eine Art Verallgemeinerung der Zahlen: Stellen wir uns nämlich vor, wir flechten mit nur zwei Strängen. Dann könnte man die Vertauschung "links über rechts" mit +1 und die umgekehrte Vertauschung mit -1 identifizieren. Das Flechten ist dann einfach ein Ver- und Entdrillen der beiden Stränge, und wenn man die Stränge nach einigem Hin und Her straff zieht, kann man anhand der verbleibenden Verdrillungen das Rechenergebnis ablesen: Nach "einmal hin" und anschließend "zweimal her" bleibt "einmal her" übrig: 1-2 = -1.
Doch zurück zu den komplexeren Zöpfen, den Transpositionen - und zur Frage: In welcher Reihenfolge sind die Schnüre nach einigen Vertauschungsoperationen eigentlich geordnet? Tatsächlich können sie in jeder beliebigen Art sortiert sein: Ein Satz aus der Algebra sagt, dass man jede beliebige Permutation aus einer Folge von Transpositionen darstellen kann.
Und jetzt kommen endlich die Freundschaftsbändchen. Wir wollen nämlich was Besonderes knüpfen: Wir wollen eine Schnur mit sich selbst verflechten, immer rund ums Handgelenk. Wie geht das?
Starten wir an Position 1 und wandern einmal durch das Flechtmuster hindurch. Dann enden wir an Position k - welche das ist, gibt uns die Permutation vor, die wir durch unsere Transpositionen erzeugt haben. Wir starten also beim nächsten Durchlauf bei Position k und enden bei l, und so weiter.
Beim einfachen Flechtmuster werden die Positionen einfach nacheinander durchlaufen: 1,2,3,..., denn beim einfachen Flechten ist die erzeugte Permutation eine zyklische. Das ist prima, wenn wir das Muster mit einer einzigen Schnur erzeugen wollen.
Man kann aber noch mehr machen. Viel mehr. Ein Beispiel seht ihr rechts:
Für dieses Armband haben wir das obige Muster einfach viermal hintereinander ausgeführt. Sowohl das helle als auch das dunkle Band laufen dabei dreimal um das Handgelenk, dann sind sie jeweils auf Position 1 bzw. 4 zurückgekehrt und werden dort verknotet.
Das Flechten ist kniffliger, als es auf den ersten Blick den Anschein hat!
Und nun unser Wettbewerb: Postet an dieser Stelle eure Ideen für Artin-Freundschaftsbänder und erklärt eure Muster! Wer schafft das Schönste?
Viel Spaß!
Andreas Loos