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Symbolic Integration I

Manuel Bronstein
Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York,1997, DM 78,00; öS 569,40; sFr 69,00
2nd edition: Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 2005, 53,45 Euro

ISBN 3-540-60521-5
ISBN 3-540-21493-3

Es folgen die Rezensionen von: 1. Auflage und 2. Auflage

Rezension zur 1. Auflage

Seit dem letzten Buch Integration in Finite Terms zu dieser Thematik im Jahre 1948 von J.F. RITT sind fast fünfzig Jahren vergangen, und in dieser Zeit wurde die symbolischen Integration in entscheidender Weise weiterentwickelt. Einen wichtigen Einfluß für das Aufblühen dieser Theorie hat die Computeralgebra, deren Anforderungen ein Anknüpfen an die algorithmischen Traditionen der Mathematik des letzten Jahrhundert nach sich zog. Das zu lösende Problem kann aus dieser Sicht so formuliert werden: Man finde algorithmisch zu jeder vorgegebenen elementaren Funktionen eine elementare Stammfunktion oder beweise (algorithmisch), daß es keine solche geben kann.

In der ersten Auflage 1905 seines Buches The Integration of Functions of a Single Variable vermutete G.H. HARDY auf Seite 7, daß das Problem für die elementaren Funktionen nie gelöst werden würde: Complete answers to these questions have not and probably never will be given.

Interessanterweise hat der Autor diese Passage in der 2. Auflage 1916 auf Seite 8 dann durch folgenden Satz ersetzt: It would be unreasonable to expect complete answers to these questions.

Im Jahre 1969 ist dann von R.H. RISCH ein Entscheidungsverfahren angegeben worden. Viele weitere Arbeiten im Anschluß an R.H. RISCH waren allerdings nötig, um Implementierungen für gewisse Teilklassen von Funktionen in den verschiedenen Computeralgebra-Systemen zu ermöglichen. Neben den Arbeiten von B. TRAGER, ROTHSTEIN und anderen ist hier besonders der Autor des vorliegenden Buches zu nennen.

In diesem Buch - der erste Band der neu bei Springer aufgelegten Reihe zum Thema Algorithms and Computations in Mathematics wird nun die bis zum heutigen Tag entwickelte algorithmische Theorie zur symbolischen Integration transzendenter Funktionen vollständig als mathematisches Lehrbuch vorgelegt. Alle Abschnitte enthalten neben der Theorie die jeweiligen Algorithmen in Pseudocode, die von jedem (Weiter-)-Entwickler eines Computeralgebra-Systems nahezu direkt in lauffähige Implementierungen umgesetzt werden können.

Nach einer kurzen Erinnerung an die benötigten Basisalgorithmen der Computeralgebra wie Euklidischer Algorithmus, Resultanten und quadratfreie Faktorisierung von Polynomem im ersten Kapitel wird zunächst die algorithmische Theorie der Integration rationaler Funktionen im Detail und mit den verschiedenen Varianten diskutiert - von Bernoulli, Hermite, Horowitz-Ostrogradsky, Rothstein-Trager, Lazard-Rioboo-Trager bis zu den neuesten Ideen von Czichowski, der Gröbnerbasis-Techniken in diese Theorie einbringt. Diese Ausführlichkeit ist deshalb notwendig, da die Ideen der Theorie für die rationalen Funktionen auf die Klassen transzendente Funktionen hochgezogen werden müssen.

Dazu wird im Kapitel 3 eine Einführung in die Theorie der Differentialkörper gegeben um transzendente Erweiterungen k(x)(t) des rationalen Funktionenkörpers k(x) als Einführung etwa der Tangensfunktion t := tan(x) allein durch ihr Ableitungsgesetz Dt = t² + 1 deuten zu können. Diese Algebraisierung ist der entscheidende Schlüssel zur Lösung dieses Problems aus der Analysis und bestätigt nebenbei die Namensgebung des Gebietes Computeralgebra.

Im Kapitel 4 werden die notwendigen Hilfsmittel aus der Bewertungstheorie zur Verfügung gestellt und damit die Eigenschaften der wichtigen Rothstein-Trager-Resultanten hergeleitet.

Das Kernstück des Buches ist das Kapitel 5 zur Integration transzendenter Funktionen. Es enthält mit dem Beweis des Satzes von Liouville, der entscheidenden Strukturaussage für die Form eines elementaren Integrals. Die verschiedenen Reduktiontechniken werden zunächst in Abschnitt 5.2 überblicksartig erläutert und in Figur 5.1 schematisch dargestellt und im Anschluß daran ausgearbeitet. Je nach Ableitungsgesetz - primitiver Fall mit Dt im Grundkörper (Beispiel t :=log(x)), hyperexponentieller Fall mit Dt ein Polynom vom Grad 1 (Beispiel t :=exp(x)) bzw. der hypertangentielle Fall mit Dt ein Polynom vom Grad 2 (Beispiel t :=tan(x)) - verzweigt der Algorithmus und es sind jeweils auf die gegebenen Situation angepaßte Subalgorithmen erforderlich, die mit eingeschränkter Integration, dem Lösen der Differentialgleichung von RISCH bzw. dem Lösen eines gekoppelten Systems zweier Differentialgleichungen in den drei Fällen das Problem entweder durch Elimination von t rekursiv auf eine einfachere Situation zurückführen oder an dieser Stelle die Nicht-Existenz eines elementaren Integrals zeigen.

Das Kapitel 6 ist den algorithmischen Details zur Lösung der Risch-Differentialgleichung gewidmet, im Kapitel 7 werden die verschiedenen parametrischen Probleme gelöst und das Kapitel 8 ist schließlich der Lösung der auftretenden gekoppelten Differentialgleichungen gewidmet.

Im abschließenden Kapitel werden Strukturaussagen bewiesen, die nötig sind um zu entscheiden, ob beim Aufbau der Funktionskörper durch sukzessives Adjungieren von Logarithmen oder Exponentialfunktionen neue Konstanten entstehen.

Das Buch ist durch Übungsaufgaben und den angegeben Algorithmen gut geeignet, um als Grundlage für Vorlesungen mit Übungen zur Symbolischen Integration, Differentialalgebra und natürlich zur Computeralgebra zu dienen. Diese Monographie zu einem der faszinierenden Basisthemen der Computeralgebra darf in keiner Arbeitsgruppe fehlen. Sie ist auch - etwa nach der Lektüre eines Übersichtsartikels (z.B. R. KRAUME Symbolische Integration im Spektrum der Wissenschaft 3 (1996), S. 95-98 oder Eine Einführung in die Computeralgebra-Algorithmen zur Symbolischen Integration, Wiss. Berichte des FZ Karlsruhe (1996) S. 69-113 des Unterzeichners) - für den Vertiefung und auf Hintergrundinformationen über die Algorithmen eines Computeralgebra-Systems bedachten Gymnasial- oder Fachhochschullehrers, der in der Lehre Computeralgebra-Systeme einsetzt, von Interesse.

Dem rundum gelungenen Buch ist eine weite Verbreitung zu wünschen, dem Autor die Zeit um bald einen zweiten Teil zur Theorie der symbolischen Integration algebraischer Funktionen folgen zu lassen!

Rezension: Johannes Grabmeier (Heidelberg) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 20 - März 1997

Rezension zur 2. Auflage

Kurz vor seinem Tod (siehe Nachruf auf Seite 37 im Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 37 - Oktober 2005) ist die zweite Auflage dieser Monographie über symbolische Integration erschienen. Die erste Auflage erschien 1997 und wurde damals vom Unterzeichner im Computeralgebra-Rundbrief mit der Nummer 20 vom Frühjahr 1997 ausführlich besprochen (s.o.).

Das Buch ist das Standardwerk zur Frage, wie algorithmisch entschieden werden kann, ob die Stammfunktion einer elementaren Funktion wieder elementar ist oder nicht. Im ersten Fall wird diese dann auch berechnet. Die römische Eins bezieht sich auf die in diesem Buch ausschließlich behandelte Klasse der transzendenten Funktionen.

Die neun Kapitel der ersten Auflage konnten nahezu unverändert bleiben, lediglich kleinere Fehlerkorrekturen – man hat Mühe solche überhaupt zu finden – wurden eingearbeitet. Komplett neu hingegen ist ein Kapitel 10 zur ”Parallel Integration“. Hier hat der Autor Ideen von Risch, Norman, Davenport, Trager und anderen, die teilweise bis ins Jahr 1976 zurückgehen, im Stil des Buches aufgearbeitet und ergänzt. Ausgangspunkt für diese Theorie ist der zentrale Satz von Liouville, der aussagt, dass sich der Integrand im Falle der elementaren Integrierbarkeit in der Form

darstellen lässt. Dabei sind die u_i multivariate Polynome in den transzendenten Körpererweiterungen des Konstantenkörpers, v entsprechend eine rationale Funktion und D die Ableitung (Derivation) (siehe (10.1) auf Seite 297). Nun werden für die u_i, für den Nenner von v und den Grad des Zählers von v sinnvolle Ansätze gemacht. Das geschieht parallel! Die Berechnung der algebraischen Größen reduziert sich dann auf das Lösen von linearen Gleichungssystemen. Ist man erfolgreich, hat man sehr schnell und effizient eine Stammfunktion gefunden, falls nicht, dann weiß man natürlich nichts, da ja die Ansätze falsch sein können. Das macht das Verfahren zu einer Heuristik, die aber in einigen Computeralgebrasystemen sehr erfolgreich zum Einsatz kommt.

Bronstein selbst hat mit Datum vom 10.05.2005 eine Maple-Implementierung mit weniger als 100 Zeilen Code im Netz bereit gestellt. Dabei steht pmint für ”Pure Man’s Integrator“. Bronstein schreibt dazu

”It is based on recent improvements to a powerful heuristic called parallel integration. While it is not meant to be as complete as the large commercial integrators based on the Risch algorithm, its very small size makes it easy to port to any computer algebra system or library capable of factoring multivariate polynomials. Because it is applicable to special functions (such as Airy, Bessel, Whittaker, Lambert), it is able to compute integrals not handled by the existing integrators. pmint is not meant as a replacement for existing integrators, but either as an extension, or as a cheap and powerful alternative for any computer algebra project.“

Meine Besprechung der ersten Auflage 1997 endete mit dem folgenden Wunsch: ”Dem rundum gelungenen Buch ist eine weite Verbreitung zu wünschen, dem Autor die Zeit um bald einen zweiten Teil zur Theorie der symbolischen Integration algebraischer Funktionen folgen zu lassen!“ Der erste Teil des Wunsches ist mit dieser Neuauflage in Erfüllung gegangen und gilt weiter, der zweite Teil kann nicht mehr in Erfüllung gehen.

Rezension: Johannes Grabmeier (Deggendorf) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 37 - Oktober 2005

Mathematik

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachell
Springer Verlag; Auflage: 3. Auflage 2015,1512 Seiten, 69,99 €

ISBN-10: 3642449182
ISBN-13: 978-3642449185

Vor mir liegt ein gewaltiges Lehrbuch, sowohl physisch (1500 Seiten im A4- Format) als auch inhaltlich. Die Autoren lassen in sechs Teilen die gesamte Mathematik Revue passieren, die in Ingenieur- oder naturwissenschaftlichen Studiengängen verlangt wird. Im einzelnen lauten die Überschriften der Teile:

I. Einführung und Grundlagen;
II. Analysis einer reellen Veränderlichen;
III. Lineare Algebra;
IV. Analysis mehrerer reeller Variablen;
V. Höhere Analysis;
VI. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik.

Inhaltlich sind natürlich viele Dinge Standard, allerdings sei bemerkt, dass es Abschnitte zur Tensorrechnung, linearen Optimierung, Funktionalanalysis und Variationsrechnung gibt; ferner führen die Autoren nicht das Riemannsche Integral, sondern gleich das Lebesguesche Integral ein.

Was das Buch auszeichnet, ist einerseits die Vollständigkeit des Inhalts – die gesamte (Ingenieur-)Mathematik in einem Band –, andererseits seine Darstellung. Der Anspruch der Autoren ist es, die Mathematik verständlich zu machen und nicht bloß Rechenverfahren einzuüben, und sie werden diesem Anspruch glänzend gerecht. Also wird so viel wie möglich auch bewiesen (und damit erklärt), zumindest solange, wie nicht an den Grundlagen gerührt wird (der Begriff der Cauchyfolge erscheint erst auf Seite 1057). Bei der Einführung des Lebesgueschen Integrals müssen die Leser allerdings eine Menge Dinge einfach glauben, da die präzise mathematische Argumentation über ihren Horizont hinausginge. Insofern wäre das Riemannsche Integral als Einstieg intuitiver gewesen. Außerdem legen die Autoren Wert darauf, die Leserinnen und Leser vor gewissen Missverständnissen zu warnen, denen Anfänger mitunter unterliegen (z.B. f und f(x) zu unterscheiden, vgl. Seite 86). All dies wird unterstützt durch viele Anwendungsbeispiele. Jedes Kapitel schließt mit Aufgaben in jeweils drei Rubriken: Verständnisfragen, Rechenaufgaben, Anwendungsprobleme; Hinweise zum Lösungsweg und die Lösung selbst finden sich am Schluss des Buches.

Die äußere Aufmachung des Buchs ist vorbildlich: Druck auf gutem Papier, durchgehend mehrfarbige Abbildungen, eingeschobene Kästen mit Anwendungen (in grün), Vertiefungen (in violett) und Übersichten (in orange), perfekter Satz mit einer Nullmenge an Tippfehlern. Warnungen erscheinen natürlich in rot!

Zusätzlich zum gedruckten Buch gibt es die Internetseite www.matheweb.de mit „Bonusmaterial“ und den vollständig ausgearbeiteten Lösungswegen (beides inzwischen ebenfalls gedruckt erhältlich). Die Autoren und die Mathematik-Programmleitung des Spektrum-Verlags sind zu diesem Werk zu beglückwünschen!

Rezension: Dirk Werner, FU Berlin

Mathematische Modellierung

Christof Eck, Harald Garcke, Peter Knabner
Springer Verlag (2011), 2. überarbeitete Aufl., 528 Seiten, 32,99 €

ISBN: 3-642-18423-5

Mathematik ist bekanntlich abstrakt, trocken und unverständlich. Wohl aus diesem Grund hat das Schlagwort „Modellierung“ derzeit Hochkonjunktur, wobei dann auch die verschrobensten „praxisnahen Problemstellungen“ modelliert werden. Mein Lieblingsbeispiel ist der Bäcker, der Rosinen mittels eines Gewehrs in Brötchen schießt, um anschließend Statistik zu betreiben – so kann man Schülern den Spaß an Mathematik vollständig austreiben.

Glücklicherweise verfällt das vorliegende Buch nicht dieser galoppierenden Modellitis, sondern bietet, wie im Klappentext versprochen, „eine lebendige und anschauliche Einführung in die mathematische Modellierung von Phänomenen aus den Natur- und Ingenieurwissenschaften“. Das klingt recht bodenständig und ist es auch. Und das ist für ein solches Buch genau richtig!

Worum geht es? Nach einer kurzen Einführung in die Modellierung sowie Anwendungen der Linearen Algebra etwa bei elektrischen Netzwerken schwenkt das Buch auf seinen endgültigen Kurs: Klassische Anwendungen der Analysis zur Lösung physikalischer Probleme stehen auf dem Programm. Da ist zunächst die Thermodynamik, die den Mathematikstudenten mit einem anderen Nebenfach als Physik näher gebracht wird, wie überhaupt (neben den Anfängervorlesungen der Mathematik) eine gute physikalische Schulbildung als Voraussetzung ausreicht. Die Mechanik erläutert Herkunft und Nutzen gewöhnlicher Differentialgleichungen, wobei für Stabilitätsfragen dann doch das Räuber-Beute-Modell aus der Populationsdynamik herhalten muss. Kontinuumsmechanik und Elektrodynamik führen auf etliche der klassischen partiellen Differentialgleichungen, die im Anschluss eingehend diskutiert werden und im Rückschluss wieder Einblicke in die Physik geben. Nicht selbstverständlich auf diesem Level ist das sehr gut geschriebene abschließende Kapitel über Probleme mit freiem Rand.

Auf diese Weise wird klar, dass etliche Begriffe der Analysis aus der Welt der Physik stammen, und dass das Wechselspiel zwischen Mathematik und ihren Anwendungen zum Fortschreiten beider Bereiche notwendig war und ist. Fast schon nebenher lernt man noch viel über mathematische Modellierung und ihre Tücken. Und so kann sich der Mathematikstudent in rund 500 Seiten zweierlei erwerben: Zum einen das physikalische Wissen, das er auch dann haben sollte, wenn er ein Nebenfach wie Wirtschaftswissenschaften oder Informatik belegt hat. Zum anderen hoffentlich die Überzeugung, dass zur erfolgreichen Modellierung erst einmal das Wissen über die verwendete Mathematik und über das Anwendungsgebiet vorhanden sein muss.

Damit erhalten wir einen tiefen Einblick in eine faszinierende Welt, in der Analysis und Physik Hand in Hand gehen. Numerik oder Stochastik allerdings sind mit Hinweis auf die einschlägigen Lehrbücher ausgeklammert. Auch Anwendungsgebiete wie die Modellierung von Finanzmärkten sucht man hier vergeblich. „Weniger ist mehr“ scheint die Devise der Autoren gewesen zu sein – recht haben sie!

Das Fazit: Noch ein Buch, das ich in meinem Regal nicht missen möchte – so sieht ein Lehrbuch zur Modellierung aus!

Rezension: Harald Löwe, Braunschweig

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, September 2009, Band 56, Heft 1, S. 252
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Mathematische Probleme lösen mit Maple
Ein Kurzeinstieg

T. Westermann
Springer Vieweg, 2014, 5. Auflage, 195 Seiten, 29,99 €

ISBN: 3-642-41351-X

Das Buch Mathematische Probleme lösen mit Maple von Thomas Westermann (Karlsruhe) ist in der dritten Auflage erschienen. Es richtet sich an Studierende von technischen Hochschulen und Fachhochschulen und demonstriert, wie grundlegende mathematische Aufgabestellungen mit dem Computeralgebrasystem Maple behandelt werden können.

Die dritte Auflage wurde an die Maple-Version 11 angepasst. Ein Anhang erkäart den Unterschied zwischen den beiden nun verfügbaren Benutzeroberflächen, dem ”classic worksheet“ und dem ”standard worksheet“. Die auf der beiliegenden CD-ROM gespeicherten Worksheets zum Buch sind für beide Benutzeroberflächen verwendbar.

Dem Autor gelingt eine übersichtliche Darstellung der behandelten Probleme, da tabellarisch das Problem prägnant formuliert wird, der relevante Maple-Befehl (oder zum Teil eine neu geschriebene Prozedur) zur Lösung vorgestellt und dann an einem Beispiel demonstriert wird. Für die meisten der behandelten Probleme reicht deshalb eine Seite aus, weshalb das Buch sich auch als Nachschlagewerk für die grundlegenden Maple-Kommandos eignet. Zu den Problemen, deren Besprechung umfangreicher ist, gehören z. B. Kurvendiskussion, Fourier-Transformation und das Lösen von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit verschiedenen Verfahren. Das letzte Kapitel erklärt die Benutzung von for- und while-Schleifen und die Definition von Prozeduren in Maple.

Auf der beiliegenden CD-ROM ist das Buch auch als pdf-Datei verfügbar, sogar mit einem zusätzlichen Kapitel (Iterative Verfahren zum Lösen von Gleichungen). Der Benutzer wird in noch direkterer Weise von diesem Buch profitieren, indem er mit den Worksheets arbeitet, welche auch mit Querverweisen ausgestattet sind. Die Kapitel lauten: Rechnen mit Zahlen; Umformen von Ausdrücken; Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme; Vektoren, Matrizen, Eigenwerte; Vektoren im Rⁿ; Affine Geometrie; Definition von Funktionen; Graphische Darstellung von Funktionen in einer Variablen; Graphische Darstellung von Funktionen in mehreren Variablen; Einlesen, Darstellen und Analysieren von Messdaten; Funktionen in einer Variablen; Funktionen in mehreren Variablen; Grenzwerte und Reihen; Differentiation; Integration; Fourier-Reihen und FFT; Integraltransformationen; Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung; Gewöhnliche Differentialgleichungssysteme; Gewöhnliche Differentialgleichungen n-ter Ordnung; Extremwerte und Optimierung; Vektoranalysis; Programmstrukturen; Programmieren mit Maple.

Das Buch ist eine willkommene Hilfe für Studierende der ersten Semester für den Einstieg in die Benutzung von Maple. Der fortgeschrittene Benutzer von Maple findet jedoch sicherlich auch den einen oder anderen neuen nützlichen Befehl.

(Rezension: Daniel Robertz, RWTH Aachen) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 44 - März 2009

Numerical Polynomial Algebra

H. Stetter
SIAM, Philadelphia 2004, xv + 472 Seiten, 109,55 €

ISBN 0-898-71557-1

Die Bezeichnung Numerical Polynomial Algebra steht für ein noch recht junges und sich schnell entwickelndes Teilgebiet der Mathematik an der Schnittstelle zwischen der Computeralgebra und der numerischen Mathematik. Wie kann man nichtlineare algebraische Probleme mit Hilfe approximativer Methoden lösen? Kann man klassische Probleme der numerischen Mathematik mit Verfahren der modernen symbolischen Berechnung behandeln?

Das vorliegende Buch von Hans Stetter erscheint zu einem idealen Zeitpunkt in dieser Entwicklung. Es ist geradezu prädestiniert, das Standardreferenzwerk auf diesem neuen Gebiet zu werden. Auf über 450 Seiten legt Stetter die Grundlagen für die Teile der Mathematik, die den kommenden numerisch-symbolisch rechnenden Computeralgebrasystemen zu Grunde liegen. Ausgehend von Polynomen und Polynomidealen in P = K[x₁, . . . , x_n] mit K = R/C betrachtet er zunächst das klassische Problem des Lösens algebraischer Gleichungssysteme und erklärt, wie man es mit Gröbner-Basen und Randbasen angehen kann. Dabei nimmt er von vornherein den Standpunkt ein, dass man ein Polynomideal I am besten über den Restklassenring P/I beschreibt. Das Central Theorem ist dabei nichts anderes als die Beschreibung der Methode, die anderswo auch als das Verfahren von Auzinger und Stetter bezeichnet wird. Weitere wichtige Themen im grundlegenden ersten Kapitel Polynomials and Numerical Analysis sind eine sorgfältige Definition empirischer Polynome (also von Polynomen mit Koeffizienten, die Rundungswerte sind) sowie eine Diskussion verschiedener Methoden, um mit solchen empirischen Polynomen zu rechnen und die numerische Stabilität dieser Berechnungen zu beurteilen.

Danach behandelt Kapitel II den univariaten Fall. Hier gibt es bereits eine Menge klassischer Ergebnisse der numerischen Analysis, wie die univariate Polynominterpolation oder die Sensibilitätsanalyse der Polynomdivision. Ein in den letzten 15 Jahren aktives Forschungsthema ist die Berechnung des größten gemeinsamen Teilers zweier univariater empirischer Polynome. Auch das Problem der Isolation der Nullstellen kommt zur Sprache. Diese Themen kann der Leser über die Historical and Bibliographical Notes und die kapitelweisen References leicht selbst weiter vertiefen.

Den Kern des Buchs bildet Kapitel III, wo Stetter die Grundlagen einer Theorie der multivariaten empirischen Polynome und Polynomideale entwickelt. Nach einem kurzen Ausflug in die Problematik der numerischen Behandlung einzelner multivariater Polynome (z. B. die numerische Faktorisierung) geht er ausführlich auf die von ihm mitbegründete und entwickelte Theorie der Randbasen 0-dimensionaler Polynomideale ein. Hierbei bedeutet ”0-dimensional“, dass das Ideal nur endlich viele komplexe Nullstellen besitzt. Solche Polynomideale I werden mit Hilfe des Restklassenrings P/I und mit Hilfe von Randbasen studiert; das Kapitel gibt u. A. Auskunft über die Berechnung der Anzahl und der Vielfachheit der Nullstellen, die numerische Berechnung einer Randbasis oder Gröbner-Basis von I sowie einer Basis von P/I, über die ”duale Darstellung“ mit Hilfe von Linearformen und über die Bestimmung der Syzygien einer Randbasis. Viele dieser Resultate sind hier erstmals in Buchform aufgeschrieben.

Das abschließende Kapitel behandelt positivdimensionale polynomiale Systeme. Dabei schlägt Stetter verschiedene Ansätze vor, die Methoden aus Kapitel III auf nicht 0-dimensionale Situationen zu übertragen. Die Entwicklung solcher Theorien ist noch nicht abgeschlossen, so dass seine Ausführungen als Vorschläge und Anregungen zu interpretieren sind, die mit geeigneten Beispielen untermauert werden.

Das gesamte Buch ist sehr lebendig und direkt geschrieben. Überall finden sich Zahlenbeispiele, Übungsaufgaben, geschichtliche Bemerkungen und Literaturhinweise. Der Text liest sich flüssig und die Notationen sind angenehm einheitlich. Somit kann das Buch jedem Mathematiker empfohlen werden, der in dieses aktuelle Gebiet eindringen möchte. Es ist auch als Grundlage für Vorlesungen im Haupt- bzw. Master-Studium geeignet. Der Preis für SIAM-Mitglieder beträgt $ 64,75 und ist daher recht moderat.

Rezension: Martin Kreuzer (Dortmund) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 40 - März 2007