Leseecke

Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli

Springer Spektrum 2016, XI + 211 Seiten 24,29 €
ISBN 978-3-662-53033-7

Schön ist es, wenn Wünsche in Erfüllung gehen. Vor nicht allzu langer Zeit äußerte ich in einer Buchbesprechung für die „Semesterberichte“ die Hoffnung, demnächst weitere nützliche Bücher zur Geometrie referieren zu können. Und dies ist in der Tat der Fall, denn das Buch „Mit harmonischen Verhältnisse zu Kegelschnitten“ genügt diesem Anspruch voll und ganz.

Schon die Auswahl des Themas erfreut, denn von harmonischen Verhältnissen wissen heutige Absolventen der Mathematik, insbesondere zukünftige Lehrer, in der Regel gar nichts. Und doch ist dieser Begriff von tragender Wichtigkeit für die Euklidische Geometrie, weiterführend auch für die projektive Geometrie. Dies belegt das Buch der Schweizer Autoren, in dem die harmonische Teilung als roter Faden durch die ebene Geometrie dient. Dass der Weg, den das Buch einschlägt, schließlich zu den Kegelschnitten führt, kann man eigentlich nur begrüßen. Auch hier ist eine fast allgemeine Unkenntnis zu konstatieren, obwohl die Kegelschnitte eine Schlüsselrolle in der Geschichte der Geometrie gespielt haben – ganz zu schweigen von den vielen Anwendungen, die sie haben.

Das Buch von Halbeisen, Hungerbühler und Läuchli¹ zeichnet sich auch dadurch aus, dass es konsequent die konstruierende Sicht einnimmt – und zwar nicht nur die klassische mit Zirkel und Lineal, sondern auch moderne Weiterentwicklungen wie etwa die Konstruktionen mit Lineal allein oder Zirkel allein. Auch dies macht es sehr wertvoll für angehende Lehrerinnen und Lehrer, spielt doch erfreulicherweise das Konstruieren (mit den klassischen Werkzeugen oder mit modernen) immer noch eine gewisse Rolle im Schulunterricht. Zudem sind die Autoren bezüglich der Bezeichnungen sehr sorgfältig, was wiederum einen einfachen Anschluss an den Schulunterricht ermöglicht, dessen Usancen beachtet und aufgegriffen werden. Viele oft bunte Abbildungen erlauben es, Sätze und Beweise anschaulich nachzuvollziehen; Bemerkungen historischer und anderer Art runden die gelungene Darstellung ab; sie machen deutlich: „Mathematik hat eine Geschichte“ (P. Mäder). Da die Autoren hierfür zuverlässige Quellen herangezogen haben (etwa Tropfkes „Geschichte der Elementarmathematik“), sind diese Bemerkungen auch zuverlässig und nicht nur zierendes Beiwerk; die Autoren haben auch einige interessante vergessene Quellen wieder ausgegraben wie die beiden Abhandlungen des Winterthurer Lehrers Carl Adam, in die hineinzuschauen sich lohnt.

Im Einzelnen werden folgende Themen behandelt: Als Einstieg dient der Satz des Thales und aufbauend darauf der Peripheriewinkelsatz, der wohl wichtigste Satz der Kreisgeometrie, und der Satz von Pascal für Kreise. Die Vorgehensweise ist nicht axiomatisch sondern synthetisch; die Schulgeometrie wird vorausgesetzt. Das ist eine glückliche Entscheidung, denn nur so wird es möglich, auf dem verfügbaren Raum so viele interessante Ergebnisse (die Autoren sprechen im Buchtitel zurecht von „Perlen“) überhaupt zu erreichen.² Es folgen weitere Ausführungen zur Kreisgeometrie zentriert um die Begriffe Sehne, Tangente und Chordale. Im dritten Kapitel tritt dann die harmonische Teilung auf – einleuchtend geordnet nach Teilung einer Strecke, harmonische Punkte auf Geraden, bei Dreiecken und bei (vollständigen) Vierecken. Den Abschluss dieses Kapitels bilden die Sätze von Menelaos und Ceva; mit letzterem gewinnt man den Anschluss an das Thema „merkwürdige Punkte“ (z.B. Fermat-Torricelli-Punkt, Nagel-Punkt), einem klassischen Thema der „Mathematik der Lehrer“,³ das viel Raum für eigene Untersuchungen bietet. Kapitel vier widmet sich den harmonischen Punkten an Kreisen; insbesondere kommt hier die Pol-Polaren-Theorie (für Kreise) zur Sprache. So werden nach und nach die wichtigsten Elemente der projektiven Geometrie eingeführt; sie ergeben sich gewissermaßen „natürlich“ (ein Prädikat, das Jakob Steiner sehr schätzte). Einen Höhepunkt, das Apollinische Berührproblem, eines der wichtigsten und meistbehandelten Resultate der klassischen Geometrie, wird ausführlich in fünften Kapitel behandelt. Auch hier steht der konstruktive Zugang im Vordergrund:⁴ die Problemorientierung des Buches wird deutlich. Der geometrische Werkzeugkasten wird nicht nur aufgefüllt, er wird auch eingesetzt.

Schließlich kommt die Inversion am Kreis zur Sprache, eine ebenso interessante und nützliche wie wenig beachtete Abbildung der Elementargeometrie, zu deren Entdeckern man wohl auch A. F. Möbius rechnen muss (neben Magnus und Plücker, die auf S. 115 genannt werden). Diese wiederum wird auf Steinersche und Pappossche Kreisketten angewandt. Sie unterstreichen einprägsam einen anderen wichtigen Aspekt der Geometrie: ihre Ästhetik. Die schönen Abbildungen des Buches, für die man den Autoren und dem Verlag nur dankbar sein kann, machen es möglich.

Schließlich kommen die Kegelschnitte zur Sprache und mit ihnen – eine glückliche und historisch sicher gut begründete Idee – die Zentralprojektion. Damit wird dann der Anschluss an die projektive Geometrie⁵ gewonnen; die harmonische Teilung erweist sich als ein Spezialfall des Doppelverhältnisses (S. 165–167), wobei die projektive Geometrie verstanden werden kann als die Untersuchung von Abbildungen, welche das Doppelverhältnis erhalten. Auch die Dualität (oder Polarität) tritt auf – später sogar die trilineare, bei der der Kegelschnitt durch ein Dreieck ersetzt wird (S. 176 ff). Die paradigmatischen Sätze der klassischen projektiven Geometrie, die Sätze von Pascal und Brianchon für Kegelschnitte allgemein, kommen hier zur Sprache. Ausführlich werden die nicht-entarteten Kegelschnitte⁶ besprochen, ein wichtiges Desiderat in einer Zeit, in der angehende Lehrerinnen und Lehrer Parabel und Hyperbel oft nur als Funktionsgraphen kennen. Auch der Raum kommt in Gestalt der Dandelinschen Kugeln in den Blick.

Das letzte Kapitel widmet sich einigen Perlen der Geometrie, am bekanntesten hierunter ist vielleicht der Satz von Morley. Es sei aber ausdrücklich hervorgehoben, dass es in diesem Buch an Schätzen gewiss nicht mangelt. Schon auf S. 17 taucht der Satz von Miquel nebst Miquel-Punkt auf, ein Kleinod, das wohl nur noch wenigen Liebhabern bekannt sind. Der Anhang stellt einige einfache Tatsachen zusammen über Flächenverwandlungen, zentrische Streckungen und Strahlensätze, von denen man eigentlich erwarten sollte, dass sie aus der Schule bekannt sind. Aber die Erfahrung zeigt, wie oft das nicht der Fall ist, und deshalb sind heute wohl solche Anhänge notwendig. Fazit: Dieses wirklich gelungene Buch überzeugt in jeglicher Hinsicht. In einer Lehrerbildung, die als Leitschnur die tatsächlichen Anforderungen an zukünftige Lehrerinnen und Lehrer in den Mittelpunkt stellt, wird es eine wichtige Funktion haben. Dieudonné diskreditierte einst Sätze wie den vom Feuerbachschen Kreis als „Spielzeuge“ („babioles“);⁷ das Buch von Halbeisen, Hungerbühler und Läuchli zeigt, wie falsch diese Einschätzung ist. Auf den Punkt gebracht: Ist nicht der Feuerbachsche Kreis für eine zukünftige Lehrerin oder einen zukünftigen Lehrer wichtiger als die Jordansche Normalform⁸ – zumal, wenn sie oder er noch nicht einmal um deren geometrische Bedeutung für orthogonale 33-Matrizen weiß? Damit wird nicht die zentrale Wichtigkeit der letzteren vom Standpunkt der Mathematik als abstrakte Wissenschaft bestritten, wohl aber hinterfragt, wo die Präferenzen im Lehramtsstudium liegen sollten in Zeiten knapper Ressourcen (heißt, im Streben nach ECTS-Punkte, von denen immer mehr anderweitig vergeben werden). Zudem eröffnet der Feuerbachsche Kreis (wie auch sehr viele der im hier betrachteten Buch angesprochenen Themen) die Möglichkeit, forschend tätig zu sein – wie das im 19. Jh. noch für viele Gymnasiallehrer (es gab fast nur männliche zu jener Zeit) selbstverständlich und damit prägend für ihr Selbstbild war. Somit könnte ein authentischeres Bild von Mathematik auch in den Vorstellungen von Schülerinnen und Schülern entstehen.

¹ Die beiden erstgenannten Autoren sind an der ETH Zürich im Bereich der Lehrerbildung tätig, der letztgenannte Autor an der Kantonsschule in Frauenfeld.
² Vgl. die kritische Diskussion bei Kühnel [1].
³ Vgl. Baptist [2].
⁴ Eine sehr hübsche Lösung liefert auch die Zyklographie von Wilhelm Fiedler, Professor der darstellenden Geometrie und der Geometrie der Lage am Zürcher Polytechnikum von 1867 bis 1907 – gewissermaßen einer der Stammväter (neben Carl Friedrich Geiser) der Geometrie an der ETH. Natürlich gibt es noch sehr viele andere Lösungen, ein Faktum, auf das die Autoren selbst hinweisen.
⁵ Diese wird also nicht abstrakt als metrikfreie Geometrie verstanden sondern als natürliche Erweiterung der Euklidischen – ganz so, wie in der Geschichte geschehen.
⁶ Eine weitere sehr beachtliche Neuerscheinung, Glaeser/Stachel/Odehnal (2016) [3], ist ganz diesem Thema gewidmet.
⁷ Vgl. Dieudonné [4], Préface.
⁸ Hier als Beispiel für das, was nach Dieudonné wichtig ist, nämlich das „Allgemeine“ – man könnte auch sagen die Struktur.

Literatur
1. Kühnel, W.: Zur Begründung der euklidischen Geometrie im akademischen Unterricht – Bekenntnisse eines mathematischen Banausen. Math. Semesterber. 60, 105–121 (2013)
2. Baptist, P.: Die Entwicklung der neueren Dreiecksgeometrie. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim (1992)
3. Glaeser, G., Stachel, H., Odehnal, B.: The universe of conics. Springer, Berlin, Heidelberg (2016)
4. Dieudonné, J.: Algébre linéaire et géométrie élémentaire. Hermann, Paris (1964)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2018, Band 65, Heft 2, S. 303-306
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Klaus Volkert (Bergische Universität Wuppertal)

Dörte Haftendorn

Springer Spektrum 2017, XII + 341 Seiten, 24,99 €
ISBN 978-3-658-14748-8

Die Benennung der „Hexenkurve“ von Angesia beruht – so lernt man im Buch – auf einem Übersetzungsfehler. Sie ergibt sich auch nicht „durch Hexerei sondern auf einfache Weise geometrisch“. Sie steht in der Welt der Kurven damit nicht alleine dar. Dörte Haftendorn zeigt in Ihrem Buch „Kurven erkunden und verstehen“ auf eindrucksvolle Weise, dass 329 Seiten nur mit Mühe und Not ausreichen um darzustellen, was man auch ohne tiefgehende hochschulmathematische Vorbildung über (algebraische und transzedente) Kurven lernen kann. Bei ihrem Streifzug durch die Welt von Cissoiden, Lemniskaten, Kegelschnitten und Spiralen nutzt die Autorin in instruktiver Weise die Möglichkeiten moderner dynamischer Geometriesoftware (DGS) um geometrisch anschauliche Konstruktionen mit algebraischen Darstellungen und analytischen Betrachtungen zu verknüpfen. Jedes der zahlreichen Beispiele wird dabei so dargestellt, dass man die Überlegungen am heimischen Endgerät (bspw. mit GeoGebra) quasi live nachentdecken kann. „Mathematik ist wunderbar!“ heißt es zu Beginn des Buches und jede weitere Seite zeigt die sprudelnde Faszination der Autorin für die Mathematik im Allgemeinen und Kurven im Speziellen.

Nach einer Einleitung, in der die Autorin in den Umgang mit dem Buch einführt, folgt in Kapitel 2 der „Werkzeugkasten“. In diesem werden für die Darstellung von Kurven grundlegende mathematische Hintergründe wie implizite Gleichungen, Parametrisierungen sowie die Darstellung mittels Polarkoordinaten vorgestellt und an Beispielen verdeutlicht. Schon hier werden die Ausführungen durch anschauliche DGS-Beispiele mit einem echten Mehrwert ergänzt. Desweiteren gibt es einen Überblick über algebraische und transzendente Kurven, Verbindungen zur dreidimensionalen Geometrie und eine kurze Einführung in die Verwendung von Geogebra sowie Verweise auf weitere nützliche digitale Werkzeuge.

Beginnend mit der Kurve, auf der sich ein Hund bewegt, wenn er immer in Richtung seines Lieblingsbaumes zerrt, während Frauchen oder Herrchen eine gerade Straße entlang laufen, folgen in den Kapiteln 3 und 4 eine Vielzahl von klassischen Beispielen für Kurven unterschiedlichster Couleur. Grundsätzlich werden dabei konstruktive Zugänge, algebraische Beschreibungen und entsprechende Wechselbeziehungen in den Fokus gerückt um ein „Gefühl“ für die jeweiligen Grundfiguren zu bekommen. Weiter wird dann mit allen Objekten systematisch gespielt um interessante Eigenschaften, Sonderfälle oder Verallgemeinerungen zu entdecken. Der Autorin ist es ein besonderes Anliegen, dass ihre Leser die Kurven, ihre Entstehungen und ihre Darstellungen nicht nur nachvollziehen, sondern erfahren und verstehen.

Zu Beginn von Kapitel 5 lädt die Autorin dazu ein selber eigene Kurven zu konstruieren und mit den vorgestellten Methoden zu untersuchen. In diesem Kontext werden über die klassischen Kurven hinaus weitere geometrisch erzeugte oder durch algebraische Gleichungen definierte Kurven erkundet und abschließend wird ein Schritt von der Fläche in den Raum gewagt.

In Kapitel 6 erfahren die Leser, welche Rolle Kurven bei der Lösung der „unlösbare[n] Probleme der Antike“ (gemeint sind Winkeldrittelung, Würfelverdoppelung und die Quadratur des Kreises) spielen. Aufbauend auf der Einführung in die notwendigen Galois-theoretischen Grundlagen werden die Probleme und angrenzende Phänomene von verschiedenen Seiten beleuchtet. Der Verstehensprozess wird in gewohnter Manier durch DGS-Beispiele unterstützt. In einem Buch über Kurven darf das klassische Feld der Kegelschnitte nicht fehlen. Im vorliegenden Buch findet man eine bei den allgemeinen zweidimensionalen Quadriken startende umfassende Übersicht über die typischen Zugänge zu dieser Thematik in Kapitel 7.

Nach einem Überblick über Spiralen als prominente Beispiele für transzendente Kurven (Kapitel 8) folgt in Kapitel 9 unter der Überschrift „Besondere Erzeugungsweisen für Kurven“ und nach dem Motto „last but not least“ eine Übersicht über bis zu diesem Punkt noch nicht behandelte Phänomene, kategorisiert nach der Art ihrer geometrischen Erzeugung. Beispiele hierfür sind durch Fußpunkte erzeugte Kurven, Hüllkurven oder Kurven, die durch Kreisinversion entstanden sind.

Das Buch schließt mit einer umfassenden didaktischen Reflexion über das Themenfeld und einer strukturierten Darstellung seines Potenzials für die Mathematikausbildung von Klasse 7 bis ins Lehramtsstudium. Im Anhang findet man dann noch ein Kurzskript über alle für das Verständnis wesentlichen Grundlagen der Analysis.

Ergänzend sei noch erwähnt, dass das Buch eine Vielzahl an Übungsaufgaben zu den einzelnen Themen bereitstellt, und auf einer zugehörigen Homepage die Lösungen sowie alle verwendeten DGS-Dateien frei zur Verfügung stehen.

Verpackt man so viel Inhalt in ein einzelnes Buch, so führt dies unweigerlich zu Abstrichen bei der Übersichtlichkeit. Dicht gedrängt wechseln sich Fließtext und relativ kleine grafische Darstellungen ab. Mathematische Terme und Gleichungen sind in der Regel nicht abgesetzt und zusammen mit den blauen Überschriften muss sich das Auge auf manchen der Seiten erst an die Fülle von Eindrücken gewöhnen. Beim ersten Durchblättern fühlt man sich zugegebenermaßen etwas erschlagen. Man sollte deswegen das Buch jedoch nicht zur Seite legen sondern anfangen die ersten zwei Kapitel zu lesen. Dann erschließt sich einem die innere Sturktur des Buches und zumindest ich war fasziniert von der Leidenschaft, mit der die Autorin in das Thema einführt.

Der Rest des Buches eignet sich sowohl zur linearen Lektüre, als auch zum interessensgeleiteten Studium einzelner Teilthemen. Zwar gibt es immer wieder kapitelübergreifende Bezüge (diese sind jedoch in der Regel durch eine präzise Nummerierung gekennzeichnet), jedoch stehen die einzelnen Teilthemen für sich, sodass dem Leser keine Reihenfolge für das Erkunden der Kurven vorgeschrieben wird.

Wer sich auf „Kurven erkunden und verstehen“ einlässt, kann in eine faszinierende Welt eintauchen, die im Rahmen der aktuellen Mathematikausbildung (leider) eher ein Randthema ist und in der man viel über Mathematik lernen kann. Dörte Haftendorn zwingt ihre Leser sich aktiv mit den Inhalten zu beschäftigen, ihre Endgeräte einzuschalten und die Themen selbst zu erfahren statt sie passiv zu rezipieren.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2018, Band 65, Heft 2, S. 299-301
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Max Hoffmann (Uni Paderborn)

Persi Diaconis, Brian Skyrms

Princeton University Press 2018, 272 Seiten, 19,64 €
ISBN 978-0691174167

In diesem Buch geht es um die begriffliche Präzisierung von Zufall und Wahrscheinlichkeit. Es ist aus einer Vorlesung entstanden, die die Autoren, ein Mathematiker und ein Philosoph, über etliche Jahre an der Stanford University gehalten haben. Vorausgesetzt werden Grundkenntnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie, wie sie in Deutschland ansatzweise schon in der Schule, auf jeden Fall aber in einführenden Stochastik- oder Statistikvorlesungen vermittelt werden. Das Buch richtet sich an ein allgemeines Publikum, die idealen Leser sollten aber bereit sein, sich auch auf etwas kompliziertere Gedankengänge einzulassen. In der Beschreibung der zentralen Ideen zur begrifflichen Erfassung von Zufall folgen die Autoren verschiedenen historischen Entwicklungslinien. Jedes der zehn Kapitel
• Measurement
• Judgment
• Psychology
• Frequency
• Mathematics
• Inverse Inference
• Unification
• Algorithmc Randomness
• Physical Chance
• Induction 
ist einer Idee gewidmet und stellt auch die wichtigsten Personen vor, die an der Entwicklung dieser Idee beteiligt waren. Am Ende jedes Kapitels gibt es eine kurze Zusammenfassung sowie meist noch kurze Anhänge, in die technisch aufwändigere Zusatzinformationen ausgelagert wurden.

Das Buch startet mit der Idee Erfolgswahrscheinlichkeiten dadurch zu messen, dass man die Gesamtheit aller Möglichkeiten in gleichwahrscheinliche Fälle aufteilt und dann abzählt, in wie vielen dieser Fälle man erfolgreich ist. Erstaunlicherweise haben die Griechen zu dieser Frage noch nichts beigetragen, obwohl sie den Zufall als Begriff sowie auch Glücksspiele kannten. Einer der ersten Autoren, bei dem die Idee zu finden ist, ist Gerolamo Cardano (1501–1576). Sie wurde von Pascal, Fermat und Huygens weiterentwickelt und von Jacob Bernoulli 1713 in seinem Buch „Ars Conjectandi“ systematisiert niedergelegt. Eine wichtige Größe, die man aus den berechneten Wahrscheinlichkeiten ableitet, ist der Erwartungswert. Die Berechnung von Erfolgswahrscheinlichkeiten durch Abzählen gleichwahrscheinlicher Fälle setzt Symmetrien in der Beschreibung aller Möglichkeiten voraus, die in realistischen Szenarien nicht gegeben sind. Die zweite Idee, die die Autoren erläutern, ist die der kohärenten Einschätzungen, wie sie von Frank P. Ramsay (1903–1930) und Leonard J. Savage (1917–1971) entwickelt wurde. Dabei geht man von Wetten auf zukünftige Ereignisse aus, die man je nach Erwartungswert als fair, günstig oder ungünstig einschätzt. So ein Satz von Einschätzungen heißt kohärent, wenn es nicht möglich ist, einen Satz Wetten auszuwählen, die alle fair oder günstig sind, aber insgesamt auf jeden Fall zu einem Verlust führen. Man kann zeigen, dass die durch kohärente Einschätzungen gewonnenen Wahrscheinlichkeiten dieselben mathematischen Eigenschaften haben, wie die aus Symmetrieüberlegungen gewonnenen.

Das relativ kurze dritte Kapitel ist der insbesondere von Amos Tversky (1937–1996) und Daniel Kahnemann (geb. 1934) untermauerten Einsicht gewidmet, dass die Einschätzung von Wahrscheinlichkeiten durch psychologische Einflussgrößen verändert wird.

Schon den frühen Wahrscheinlichkeitstheoretikern waren die Limitierungen der Messung von Wahrscheinlichkeiten durch Aufteilung in gleichwahrscheinliche Fälle bewusst. Daher versuchten sie Wahrscheinlichkeiten mit Häufigkeiten in Verbindung zu setzen. Jacob Bernoulli’s „Schwaches Gesetz der großen Zahlen“ ist ein Beispiel für so eine Verbindung. Kapitel vier ist dem Versuch gewidmet, Wahrscheinlichkeiten durch Häufigkeiten zu beschreiben.

Im fünften Kapitel beschreiben die Autoren das, was in vielen Stochastikvorlesungen ganz an den Anfang gesetzt wird: Die mathematische Modellierung von Wahrscheinlichkeiten als Funktionen auf Mengensystem durch Andrei Kolmogorov (1903–1987). Sie erlaubt es, Wahrscheinlichkeiten komplexer Ereignisse aus Wahrscheinlichkeiten einfacher Ereignisse zu berechnen, auch wenn diese nicht durch Symmetrieüberlegungen gewonnen wurden.

Das sechste Kapitel ist ein Herzstück des Buches. In ihm beschreiben die Autoren die auf Thomas Bayes (1701–1761) zurückgehende und von Pierre-Simon Laplace (1749–1827) weiterentwickelte Idee, wie man aus den Ergebnissen einer Reihe von Experiments Rückschlüsse auf die zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeiten ziehen kann. Dabei gehen sie auch auf philosophische Implikationen ein und erläutern, warum Bayes mit seiner Idee die Statistik zu einem Teil der Wahrscheinlichkeitstheorie gemacht hat.

Der Ansatz von Bayes setzt die Existenz von Wahrscheinlichkeiten voraus, die man in einer physikalischen Welt durchaus anzweifeln kann. Unter der Überschrift Vereinigung erklären Diaconis und Skyrms die Idee von Bruno de Finetti (1906–1985), eine Eigenschaft der Einschätzungen von Wahrscheinlichkeiten von Ergebnisfolgen anzugeben, die garantiert, dass sie sich verhalten als ob sie aus einem Bayesschen Modell gewonnen wären: Man muss nur sicherstellen, dass es nicht auf die Reihenfolge der Ergebnisse ankommt.

Schon in dem Versuch Wahrscheinlichkeiten über Häufigkeiten zu definieren (Kapitel 4) ist die Frage, was denn eine Zufallsfolge von Zahlen sein soll, von zentraler Bedeutung. Im achten Kapitel wird der Ansatz von Per Martin-Löf (geb. 1942), Zufallsfolgen mithilfe von Konzepten der algorithmischen Berechenbarkeit zu beschreiben, in den Mittelpunkt gestellt.

Im neunten Kapitel geht es nicht wirklich um eine Idee, sondern mehr um die Einsicht, dass Wahrscheinlichkeiten eine zentrale Rolle in der physikalischen Beschreibung der Welt spielen. Als Beispiele werden die statistische Mechanik und natürlich die Quantenmechanik erläutert, in der Wahrscheinlichkeiten schon Teil der mathematischen Modellbildung sind.

Im letzten Kapitel beleuchten die Autoren den Skeptizismus des Philosophen David Hume (1711–1776) gegenüber dem Schließen von der Vergangenheit auf die Zukunft. Daran haben sich Wissenschaftler und Wissenschaftsphilosophen gleichermaßen abgearbeitet. Diaconis und Skyrms legen dar, wieso sie die Antworten von Bayes und de Finetti für die überzeugendensten halten.

Das vorliegende Buch ist kein Buch über mathematische Wahrscheinlichkeitstheorie oder Statistik. Es stellt Denkansätze zum Wesen des Zufalls vor und setzt sie zueinander in Beziehung. Die interdisziplinäre Natur des Buches ist herausfordernd, aber die Anstrengung lohnt sich. Die Lektüre ist wirklich spannend und vermittelt eine Vorstellung davon, warum Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik so erfolgreich in der Modellierung der Welt sind, obwohl gar nicht klar ist, was Zufall letztendlich ist und ob es ihn überhaupt gibt.

Rezension: J. Hilgert (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2018, Band 65, S. 125-127. Mit freundlicher Genehmigung des Verlags.

World Scientific 2016, xix+489 Seiten, 41,90 €

George Gheverghese Joseph
ISBN 978-1-786-34061-1
ISBN 978-1-786-34063-4

Den meisten Mathematikern ist bewußt, dass die von uns verwendeten arabischen Ziffern indischen Ursprungs sind und die Null als Rechengröße in Indien erfunden wurde. Schon weniger bekannt ist, dass selbst der Name Sinus für die bekannte trigonometrische Funktion von einer Fehlübersetzung der arabischen Umschreibung eines Sanskritwortes ist, mit dem die Hälfte der Sehne eines Kreisbogens bezeichnet wurde. Namen und Lebensdaten der großen indischen Mathematiker sind den meisten unbekannt, sieht man einmal ab von Srinivasa Ramanujan (1887–1920), dem kürzlich ein Hollywood Spielfilm („TheMan Who Knew Infinity“, 2015) gewidmet war. Das hier zu besprechende Buch bietet eine ausgezeichnete Möglichkeit Wissenslücken zu schließen und die kulturhistorische Bedeutung der indischen Mathematik besser einschätzen zu lernen.

Die Anfänge der indischen Mathematik liegen in der Induskultur (nach einer der zentralen Fundstätten auch Harappa-Kultur genannt), die auf dem Gebiet des heutigen Pakistan und Nordwestindiens etwa 3000–1700 v. Chr. Bestand hatte. Aus ihrer Blütezeit (ca. 2600–1900 v. Chr.) kennt man ausgefeilte Stadtarchitekturen mit Be- und Entwässerungssystemen, deren Artefakte und Zeichensysteme (die Schrift ist bis heute nicht entziffert) auf das Vorhandensein eines Dezimalsystems hinweisen. Nachgewiesen sind auch intensive Handelskontake mit Mesopotamien.

Die der Induskultur nachfolgende vedische Kultur (ca. 1500–100 v. Chr.) mit einer aus dem Nordwesten eingewanderten Herrscherschicht von zunächst nomadischen Ariern hinterließ im Gegensatz zur Induskultur eine streng reglementierte Sakralarchitektur. Die in Sanskrit überlieferten Konstruktionsanleitungen für Altäre („Salbasutras“) sind die ersten schriftlichen Zeugnisse indischer Mathematik. Ursprünglich wurden diese Konstruktionsanleitungen aber mündlich überliefert. Es ist plausibel, aber nicht nachweisbar, dass die den Salbasutras zugrundeliegende Geometrie ihren Ursprung in der Induskultur hat.

In der Spätphase der vedischen Kultur (auf die die Entwicklung des Kastenwesen zurückgeht) entstanden zwei Religionen, der Jainismus und der Buddhismus. Nach der Kodifizierung des Sanskrit durch Panini (ca. 500 v. Chr.) war Mathematik insbesondere Teil der religiösen Literatur des Jainismus. In die folgende Zeit (bis etwa 500 n. Chr.) fällt die vollständige Entwicklung des indischen Dezimalsystems mit der Null als Rechengröße.

Mit dem Astronomen und Mathematiker Aryabhata (456–540 n. Chr.) beginnt die „klassische Periode“ der indischen Mathematik. In seinem Text „Aryabhatiyah“ aus dem Jahr 499 beschrieb er in 33 von 121 Versen mathematische Themen, speziell Rechentechniken für arithmetische und geometrische Fragestellungen. Der Text war extrem einflussreich und wurde immer wieder kommentiert, so zum Beispiel von Bhaskara (ca. 600–680).

Brahmagupta (598–670) entwickelte die Mathematik der Aryabhatiya weiter und leistete Pionierarbeit in Arithmetik und Algebra, speziell zum Rechnen mit negativen Zahlen und beim Lösen von Gleichungen. Er schrieb aber auch über Drei- und Vierecke sowie über Kreisgeometrie.

Mahavira (ca. 800–870), der bekannteste indische Mathematiker des 9. Jahrhunderts, griff die Schriften von Brahmagupta und ältere Jainistische Texte zur Kombinatorik auf.

Ein bedeutender persischer Mathematiker, der im Gefolge der Raub- und Eroberungszüge seines Dienstherren Mahmud von Ghazna genug Zeit in Indien verbrachte um ein Buch über Indien zu schreiben, Sanskrit zu lernen und Werke aus dem Sanskrit ins Arabische zu übersetzen war Al-Biruni (973–1048).

Der Höhepunkt der klassischen Periode ist das Werk von Bhaskara II (1114–1185), der die Auflösung von Gleichungen, zum Teil in mehreren Variablen, aber auch Dreiecke und Vierecke sowie trigonometrische und kombinatorische Fragen behandelte. Auch seine Werke wurden in den nachfolgenden Jahrhunderten vielfach kommentiert.

Die bedeutendste Entwicklung der indischen Mathematik jenseits der klassischen Periode ist die Kerala-Schule, als deren Gründer Madhava (1340–1425) gilt. Von ihm sind keine Manuskripte zur Mathematik überliefert, es wird aber in späteren Schriften vielfach auf ihn Bezug genommen. Kerala, das an der westlichen Küste der Südspitze von Indien liegt, nimmt eine gewisse Sonderrolle ein. Hier fand ein intensiver Handelsaustausch mit Arabien statt lange bevor der Norden Indiens kriegerisch islamisiert wurde. Zwischen 800 und 1000 erlebte die Gegend eine friedliche Periode, in der eine bedeutende Bildungsinfrastruktur aufgebaut wurde. Es folgten hundert Jahre Krieg und die Ankunft der Portugiesen. Für das klassische Zeitalter der indischen Mathematik gibt es keine Belege von Aktivität in Kerala. Letztendlich fanden die klassischen Texte aber doch Eingang und wurden in beeindruckender Weise weiterentwickelt. Zum Teil Jahrhunderte vor den westlichen Astronomen und Mathematikern entwickelten die Mitglieder der Kerala-Schule, insbesondere Nilakhanta (1444–1544), korrekte Gleichungen für Planetenbahnen, Potenzreihen für gewisse trigonometrische Funktionen und Interpolationsformeln für Geschwindigkeiten.

Mit der Kolonisierung durch die Engländer ab Mitte des 18. Jahrhunderts begann auch die Marginalisierung der mathematischen Traditionen in Indien. Gheverghese Joseph beschreibt die hier skizzierten mathematischen Entwicklungen detailreich und mit vielen Beispielen, die dem Leser die Chance geben ein Gefühl für die Art und Weise zu bekommen, wie indische Mathematik tradiert wurde. Ein besonderes Augenmerk legt er auf die kulturhistorischen Verbindungen und argumentiert dabei für eine gewisse kulturelle Kontinuität in der oft als eher sporadisch beschriebenen indischen Mathematikgeschichte. Er beschreibt dabei die problematische Quellenlage und kennzeichnet deutlich, wo er eher spekuliert. Dabei bringt er immer wieder interessante Ideen ein, wie zum Beispiel die Frage, ob das dokumentierte Interesse portugiesischer Jesuiten an kalendarischen Berechnungen der Astronomen aus Kerala (kurz vor dem Wechsel zum gregorianischen Kalender) auch mit einem mathematischen Wissenstransfer einhergegangen sein könnte. Detailliert beschreibt er auch die Rezeptionsgeschichte indischer Mathematik speziell in England.

Sehr hilfreich für den Leser sind die ersten beiden Kapitel des Buches, in denen der Autor zunächst die zentralen Frage- und Problemstellungen in der Geschichte der indischen Mathematik auflistet und dann einen kurzen Überblick über diese Geschichte im Kontext der allgemeinen Mathematikgeschichte gibt. Für den in indischer Geschichte und Geographie nicht so bewanderten westlichen Leser wären weitere Karten (neben der einen zur Harappa-Zivilisation) hilfreich gewesen. Auch ein Glossar für die Sanskrit-Termini hätte ich zu schätzen gewußt. Die Reichhaltigkeit der präsentierten Information führt bisweilen zu etwas ermüdenden Aufzählungen und gewissen Schwierigkeiten, bestimmte Fakten, die man zur Einordnung noch einmal nachlesen möchte, wiederzufinden. Andererseits ist das Buch eben auch eine Fundgrube, die ich sicher nutzen werde, um der indischen Mathematik in der Lehre zukünftig einen angemessenen Platz einzuräumen.

Rezension: J. Hilgert (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2018, Band 65, S. 121-123. Mit freundlicher Genehmigung des Verlags.

Lara Alcock

Springer Spektrum 2017, XVIII + 272 Seiten, 24,99€

ISBN 978-3-662-50384-3
ISBN 978-3-662-50385-0

„... Mit dem Anfang Ihres Studiums begeben Sie sich auf eine Reise ins Ungewisse. Zu Beginn kommen Sie in einen großen Nebel. Je weiter Sie voranschreiten, je mehr Schwaden werden sich lichten und je erfüllender wird Ihr Gang. Ich wünsche Ihnen abenteuerliche Wege, auf denen Sie viele Nebel in Erhellung verwandeln und die Schönheit der Mathematik erleben werden.“ Mit diesen Worten beendete ein Dozent die Abschlussrede seines damaligen Propädeutikums. Die Nebel der Studieneingangsphase sind keinesfalls ein neuzeitliches Phänomen. Etliche Erfahrungsberichte und empirische Studien beleuchten diese Situation auf verschiedene Art und Weise. Dabei herrscht über die Ausgangslage eines Studienanfängers größtenteils Einigkeit. Einem angehenden Studierenden ist nicht unbedingt bewusst, welche Veränderungen zu Beginn des Studiums auf ihn zukommen. Neben meist neuer sozialer Umstände begegnet er an der Hochschule sowohl einer neuen Form der Inhaltsvermittlung als auch einer höheren Stoffdichte. Des Weiteren nimmt die vertraute, kalkülorientierte Schulmathematik nun einen neuen, eher konzeptorientierten Charakter an.

Lara Alcock ist Leiterin des Mathematics Education Centre der Loughborough University. Neben Ihrer Forschungstätigkeit auf dem Gebiet der Didaktik der Mathematik blickt sie auf mehrjährige Erfahrung als Dozentin von Anfängerveranstaltungen zurück. Mit diesem Buch (Originaltitel: „How to study for a mathematics degree“) möchte sie dem „nebulösen Zustand“ begegnen.

Die Autorin führt den Leser in einem einladend plaudernden Stil durch die beiden Teile des Buches. Im ersten soll das Wesen der Mathematik aufgezeigt und dabei ein gewisses Problembewusstsein für hochschulmathematische Inhalte wachgerufen werden. Der Schwerpunkt liegt an dieser Stelle ausdrücklich nicht auf dem tatsächlichen Verstehen des mathematischen Stoffes, sondern auf dem Umgang mit ihm. Ganz bewusst wählt die Autorin eine zweckdienliche Herangehensweise und verweist auf „technische Dinge, wie die genaue Spezifikation der Elemente einer Menge oder der Definitionsmenge einer Funktion usw.“ in Fußnoten oder bespricht sie „gesondert in späteren Kapiteln“. Ausgehend von verschiedenen mathematischen Textbausteinen aus unterschiedlichen mathematischen Gebieten thematisiert sie neben typischen ersten Reaktionen von Studierenden auf die neuartigen Texte („... es sah aus wie eine Hyroglyphensprache ...“) häufig auftretende Fehler („...dass Sie verstehen können, was bei meinen Studenten schiefgelaufen ist.“). Außerdem verdeutlicht sie die Wichtigkeit einer objektorientierten Herangehensweise an hochschulmathematische Inhalte und führt diese an vielen unterschiedlichen Beispielen vor. Des Weiteren geht sie auf die typischen mathematischen Bausteine (Axiome, Definitionen, Sätze, Beweise) ein und zeigt Arbeitsweisen mit ihnen auf. Am Ende eines jeden Kapitels findet der Leser eine Zusammenfassung und Hinweise für weiterführende Literatur. Gewünscht hätte ich mir noch Literaturhinweise bezüglich der angesprochenen, mathematischen Inhalte. Ein mancher Leser möchte diese vielleicht näher betrachten.

Im zweiten Teil werfen wir quasi einen Blick hinter die Kulissen eines Mathematikstudiums und erfahren, wie Studierende dieses Studium bestmöglich angehen können. Verschiedene Einrichtungen der Stoffvermittlung, wie Vorlesungen und Tutorien, werden beschrieben und Tipps zum Verhalten in diesen Veranstaltungen gegeben. Außerdem wird die Rolle von Dozenten beziehungsweise Forschern beleuchtet. Hinweise zum Zeitmanagement und dem Umgang mit Panik oder eigenen (eventuell nicht erfüllten) Ansprüchen runden diesen Teil ab. Ich würde dieses Buch einerseits, mit besonderem Hinweis auf den zweiten Teil, angehenden Studierenden empfehlen, die neugierig auf das Studium sind. Auch für Studierende, die sich gerade etwas orientierungslos fühlen oder demotiviert sind, ist es ein guter Tipp. Vielleicht hilft ihnen ein Blick in diese Lektüre ihre Arbeitsweisen zu reflektieren und mit neuer Motivation weiterzumachen. Andererseits würde ich dieses Buch studentischen Hilfskräften, die (vielleicht zum ersten Mal) Übungen halten, ans Herz legen. Es regt an, über Inhalte und deren Schwierigkeiten, rückblickend auf die eigenen Anfängerveranstaltungen, zu reflektieren. Damit wäre eine eher unerfahrene Lehrperson vielleicht besser in der Lage, die Probleme von Studienanfängern bewusster in Augenschein zu nehmen.

Eine paar kleine Anmerkungen möchte ich dem zukünftigen Leser mitgeben: Dieses Buch ist eine Übersetzung, dessen Original vor dem Hintergrund des englischen Hochschulsystems geschrieben wurde. Nicht alle Punkte des deutschen Systems stimmen mit denen des englischen überein. Beispielsweise haben Tutorien in England nicht unbedingt den gleichen Charakter wie in Deutschland. Oft erfüllt ein Tutor in England die Rolle eines Mentors und es herrscht eher eine Beratungssituation zwischen den Beteiligten vor. Übungen in Deutschland werden vielerorts von älteren Studierenden gehalten, was in England kaum der Fall ist. Dort übernehmen Doktoranden beziehungsweise Dozenten deren Leitung.

Außerdem hat die Übersetzung eines solchen Textes ihre Tücken. Beispielsweise nennen wir eine „linear transformation“ auf deutsch „lineare Abbildung“ und nicht „lineare Transformation“. Auch bei der Erläuterung der Symbole für Zahlbereiche muss man in unterschiedlichen Sprachen aufpassen.

Alles in allem ist das Buch von Lara Alcock ein gelungenesWerk. Und vielleicht würde unser Dozent seiner Abschlussrede heute hinzufügen: „... Und für Ihre Reise gebe ich Ihnen dieses Buch mit. Sollten Sie einmal das Gefühl haben, vom rechten Wege abgekommen zu sein, so lehnen Sie sich kurz zurück und schmökern in dieser Lektüre. Dann kehren Sie mit neuem Elan zur Mathematik zurück. ...“

Rezension: Anja Panse (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2018, Band 65, S. 133-135. Mit freundlicher Genehmigung des Verlags,