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Klaus Volkert: In höheren Räumen – Der Weg der Geometrie in die vierte Dimension

Springer Spektrum 2018, XI + 273 Seiten, 29,99 €
ISBN 978-3-662-54794-6, C39,99
eBook ISBN 978-3-662-54795-3

Kennen Sie eigentlich die Geschichte des Astrophysikers Friedrich Zöllner (1834–1882), der mit Unterstützung von Henry Slade (1836–1905) (seines Zeichens ein Trickbetrüger, der aber vermutlich die wohlklingendere Bezeichnung Medium bevorzugen würde) eine wissenschaftliche Abhandlung über die Existenz der vierten Dimension verfasste? So viel sei verraten: Er produzierte einen Skandal in der mathematischen Welt und darüber hinaus, von dem noch Einstein im Jahre 1921 sprach. Falls Sie diesbezüglich Ihr Wissen ergänzen oder auffrischen möchten, so sind Sie in Kapitel 4 von Klaus Volkerts Buch „In höheren Räumen. Der Weg der Geometrie in die vierte Dimension“ genau an der richtigen Stelle.

Diese und weitere Stationen der Begriffsgeschichte der Vierdimensionalität beschreibt der Autor in seinem 250 Textseiten umfassenden Buch. In Kapitel 1 führt Klaus Volkert seine Leser zunächst in einschlägige Phänomene ein, die zur Idee einer weiteren Dimension führen. Ein wesentliches Beispiel bilden hier die bereits von Kant beschriebenen „inkogruenten Gegenstücke“: gespiegelte, dreidimensionale Objekte, die nahezu identisch, aber doch nicht in der Realität ineinander überführbar sind (man denke an zum Beispiel an ein Paar Handschuhe). Dieser Ansatz und die Übertragung der Situation in die zweidimensionale Welt der Flächenwesen (wer hier an den bekannten Roman von Edwin Abbott Abbott denkt, ist auf der richtigen Spur) werden auch im weiteren Verlauf der Reise, zu der dieses Buche einlädt, immer wieder aufgegriffen. Dieses erste Kapitel bildet eine Einführung der Reiseleitung in verschiedene Sichtweisen auf die Überwindung der Dreidimensionalität.

Im vergleichsweise kurzen Kapitel 2 beschreibt Volkert den für das Kapitel namensgebenden Aufbruch der mathematischen Gemeinschaft „in höhere Dimensionen“ und leitet fließend in das umfangreichste Kapitel (Kapitel 3) des Buches über, das vermutlich nicht ohne Grund den an die bekannte Geschichte von Kolumbus erinnernden Titel „In der neuen Welt“ trägt. In diesem Kapitel wird ein – sich mitunter fast im Detail verlierender – Überblick über relevante Beiträge zur historischen Entwicklung der Sichtweisen auf die vierte Dimension gegeben. Besonders beim Lesen des Abschnitts über reguläre Polytope bedarf es großer Sorgfalt und Aufmerksamkeit um den Faden nicht zu verlieren. Man merkt, dass es viel Interessantes zu berichten gibt und es schwer ist, eine Balance zwischen überblickshafter Einordnung und der Behandlung der Aspekte in der Tiefe, in der sie es verdienen, zu finden. Nach den Polytopen folgt die Beschreibung einer gruppentheoretischen Sichtweise und später eine höchst interessante und umfangreiche Zusammenstellung von Versuchen der Visualisierung und Modellkonstruktion zur vierten Dimension. Das Kapitel schließt nach einer (für das Verständnis des Zöllner-Skandals sehr relevanten) Übersicht über Anwendungen in der Knotentheorie mit der Vorstellung erster Lehrwerke zur vierten Dimension. Insgesamt ist Kapitel 3 weniger zum Schmökern vor dem Kamin, als zur detaillierten Recherche dieses mathematikhistorischen Inhaltsbereiches geeignet, wobei diese Einschätzung natürtlich stark vom fachlichen Hintergrund der Leserin bzw. des Lesers abhängt.

Die Beschreibung des bereits erwähnten Zöllner-Skandals, der Volkert das gesamte Kapitel 4 widmet, rückt dann wieder etwas mehr von der inhaltlich mathematischen Ebene hin zu einer Art Fallstudie der damaligen mathematischen Community. Der Autor macht die vorherrschenden Sichtweisen auf Mathematik und die Frage nach Evidenz an einer Vielzahl von (teils fast schmunzelnd zu lesenden) Reaktionen und Diskussionen auf die Veröffentlichung Zöllners deutlich.

In Kapitel 5 werden die Ausführungen über die Vierdimensionalität durch die Beschreibung des Einflusses dieser auf Kunst, Literatur und Philosophie an verschiedenen prominenten Beispiel abgerundet, bevor der Autor dann in Kapitel 6 die Leserin und den Leser von der teils turbulenten und intensiven Reise durch die Geschichte der Vierdimensionalität entlässt, und beschreibt, wie sich die Diskussion um die Thematik zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts beruhigt.

Nach der Lektüre des Buches habe ich über dessen Zielgruppe nachdenken müssen – im Einband wird diese als „Studierende und Mathematiker sowie an Mathematik Interessierte“ definiert und auch wenn dies implizit Lehrerinnen, Lehrer und Lehramststudierende mit einschließt, denke ich, dass gerade dieser Personenkreis durch dieses Buch viel Prototypisches über die Entwicklung der Wissenschaft Mathematik lernen kann und ich wünsche mir sehr, dass auch einige (angehende) Lehrkräfte tatsächlich die Zeit finden um Klaus Volkert auf seiner Reise zu begleiten. Wie bei einer guten Bergwanderung wird es zwischendurch auch anstrengend werden, wenn man alle der lohnenden Zwischenziele mitnehmen möchte, aber ich finde, das ist es wert.

Rezension: Max Hoffmann (Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2019, Band 66, Seiten 117-118.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags.

Johannes Kepler: Nova stereometria doliorum vinariorum/New solid geometry of wine barrels. Accessit Stereometriæ Archimedeæ supplementum / A supplement to the Archimedean solid geometry has been added Edited and translated, with an Introduction, by Eberhard Knobloch (Sciences et Savoirs).

Bibliothèque de science, tradition et savoirs humanistes 4).
Les Belles Lettres, Paris 2018, 348 S., 95 €
ISBN 978-2-251-44832-9
ISSN 0184-7155

Die im Jahre 1615 erschienene Nova stereometria doliorum vinariorum (Eine neue räumliche Geometrie der Weinfässer) von Johannes Kepler ist ein Klassiker der Mathematik. Auf der einen Seite stützte sich Kepler direkt auf die stereometrischen Arbeiten von Archimedes, in denen die praktische Mathematik der klassischen Antike ihren Höhepunkt erreichte. Auf der anderen Seite erlangte seine Schrift den Rang einer wegweisenden Vorarbeit zur Infinitesimalrechnung, dem einflussreichsten Teilgebiet der neuzeitlichen Mathematik. Wichtig ist außerdem der unmittelbare Bezug auf die Visierkunst mit ihren speziellen Methoden zur Fassmessung, die im ausgehenden Mittelalter und in der frühen Neuzeit entwickelt wurden und in der praktischen Mathematik dieser Epoche eine große Rolle spielten. Und nicht zuletzt ist es der anekdotische Aspekt, der Keplers Schrift interessant macht. Im Widmungsbrief an seine adeligen Gönner Maximilian von Liechtenstein und Helmhard Jörger beschrieb der Autor, wie er bei der Besorgung der Weinvorräte für die Feier seiner eigenen, zweiten Hochzeit die Arbeit der Weinmesser beobachtete. Aus der Verwunderung über die scheinbar simple, aber effektive Messmethode entsprang die Motivation für die Untersuchung. Keplers Fassmessung wird daher immer wieder gern als unterhaltsames Beispiel aus der Geschichte der Mathematik angeführt. Es besteht somit Grund genug für eine bibliophile Ausgabe in einer Buchreihe, die sich anschickt, herausragende Werke aus der Geschichte der Wissenschaften zu sammeln und in angemessener Gestalt zu präsentieren.

Der Originaltext und die Übersetzung ins Englische erscheinen im Paralleldruck. Die Einleitung enthält Abschnitte zur Biographie Keplers, zur Struktur der Abhandlung und zu ihrer Rezeption, sowie auf 25 Seiten einen inhaltlichen Kommentar. Alle Teile der Einleitung sind knapp gehalten und für den Leser in angenehmer Weise auf das Wesentliche beschränkt. Darüber hinaus ist der Text mit einem Glossar der lateinischen Begrifflichkeiten versehen und durch ein Namenverzeichnis erschlossen, in dem neben den antiken Vorbildern auch der eine oder andere explizite Bezug auf aktuelle Arbeiten seiner Zeitgenossen aufscheint.

Keplers Arbeit hatte unmittelbare Wirkung. Sie wurde von der Fachwelt sofort rezipiert und inhaltlich verarbeitet. Eine zweite Auflage erlebte sie nicht, denn als wegweisend wurden die Inhalte begriffen, nicht die Darstellung. So ist es zu verstehen, dass der außerordentliche Bekanntheitsgrad von Keplers Fassmessung, bis hin zur Verankerung der Keplerschen Fassregel in der Schulmathematik, in erster Linie die Ergebnisse und weniger die Schrift selber betrifft. Die wenigsten, die Keplers bahnbrechende Untersuchung kennen, werden sie gelesen haben. Es ist aber kaum von der Hand zu weisen, dass der Erfolg von Keplers Arbeit zu einem guten Teil auch seiner brillianten Darstellung geschuldet ist. Sowohl im Aufbau der Schrift als auch in den Feinheiten der Argumentation ist es die ausgewogene Mischung aus mathematischer Stringenz und Anschaulichkeit, die den Leser inspirieren musste und Keplers Fassmessung zu einem Meisterstück der mathematischen Literatur machte. Die einen oder anderen Fehler in den Argumentationen, und selbst in den Resultaten, wie sie von den Zeitgenossen registriert wurden, fielen letztlich nicht ins Gewicht.

Der Zweck einer Ausgabe, wie sie hier vorgelegt wurde, ist darin zu sehen, die Lektüre der Originalschrift einem breiteren Publikum ans Herz zu legen. Zwar wurde für den Gebrauch der Wissenschaftsgeschichte im Rahmen der Gesamtausgaben von Keplers Werken der Text noch zweimal gedruckt und kommentiert, 1863 durch Christian Frisch und 1960 durch Franz Hammer; 1908 erschien eine Teilübersetzung ins Deutsche von Rudolf Klug. Zu einer vollständigen Übersetzung in eine moderne Sprache war es aber bis dato nicht gekommen. Darin besteht die vorrangige Leistung dieser Edition. Die Wahl des Englischen ist hier die einzig richtige, weil es darum geht, eine internationale, an der Geschichte der Mathematik interessierte Leserschaft zu erreichen. An der Entscheidung des französischen Verlags, die englische Übersetzung dem deutschen Mathematikhistoriker anzuvertrauen, wird niemand Anstoß nehmen. Nach dem Eindruck des Rezensenten ist die Leichtigkeit von Keplers Fachprosa in der Übersetzung gut getroffen. Sie respektiert weitgehend die historische Begrifflichkeit und greift nur dort auf moderne Präzisierungen zurück, wo es im Sinne der Verständlichkeit angebracht ist.

Meiner Ansicht nach wären die Voraussetzungen ideal gewesen, den lateinischen Originaltext fotografisch zu reproduzieren. Der Neusatz in den Typen der Buchreihe schuf unnötige Druckfehler (Austriacin statt Austriaci auf dem Titelblatt S. 53, dimensinis statt dimensionis S. 57, parcs statt pares S. 59, tninus statt minus S. 209) und kleine Schwierigkeiten, deren Lösung eine klare Linie vermissen lässt. Einerseits ist das Bestreben erkennbar, die Typografie so originalgetreu wie möglich zu gestalten, auf dem Titelblatt bis hin zur Unterscheidung von langem s und rundem Schluss-s. Auf diese Unterscheidung wird aber im weiteren Text verzichtet, während die Verwendungsweise von i und j und die Setzung der Akzente exakt übernommen wurde. Der unterschiedliche Einsatz von u und v wurde bei Kleinbuchstaben der modernen Gepflogenheit angepasst (usu S. 57, universum S. 127), nicht jedoch bei Großbuchstaben (Vt S. 97, VSVS S. 305) und bei Kapitälchen (EVCLIDIS S. 195). Die et- und ae-Ligaturen, sowie das Kürzungszeichen q; für que wurden aufgelöst, nicht wahrgenommen wurde hingegen die Gelegenheit, Abkürzungen aufzulösen, mit denen mancher Leser vielleicht nicht vertraut sein wird (etwa GG.VV. für generositatis vestrae S. 59 oder sc. für scilicet S. 167). Die häufige Großschreibung wichtiger Begriffe wurde aus dem Originaldruck übernommen, während die Verwendung von Kapitälchen für Personennamen neu eingeführt wurde. Bei den Schemazeichnungen wurde überflüssiger Schmuck beseitigt. Der Neusatz hat freilich auch seine positiven Seiten, er erleichtert die parallele Einrichtung von Übersetzung und Original, sorgt durchgehend für ein einheitliches Erscheinungsbild und insgesamt für eine ruhigere Typografie.

Im ersten Teil der Abhandlung bot Kepler eine Darstellung dessen, was von Archimedes über die Vermessung der regelmäßig gewölbten Körper (Zylinder, Kegel und Kugel) überliefert war. Die Überlegungen gehen von Kreisumfang und Kreisfläche aus und führen zur Berechnung räumlicher Segmente von Zylinder, Kegel und Kugel. Die Verwendung der rationalen Näherung 22/7 für das Kreiszahlverhältnis ist als nachrangig zu betrachten, weil die wichtigen Ergebnisse von π unabhängig sind. Entscheidend ist die Heuristik, die Kepler in diesem Abschnitt entwickelte, um mit ihr im zweiten Teil der Abhandlung neue Erkenntnisse zu gewinnen. Es ist eine Heuristik der unendlich kleinen Teile, aus denen die Flächen und Körper im Geiste zusammengesetzt werden. In diesem zweiten Teil (Supplementum ad Archimedem) geht es um eine neue, umfangreiche Klasse von Körpern, die mit den Begriffen Zitrone, Apfel, Olive, Pflaume usw. anschaulich beschrieben und als Rotationskörper von Kegelschnitten mathematisch exakt charakterisiert und klassifiziert werden. Kepler schuf sich dieses Arsenal, um damit im dritten Teil der Abhandlung (Stereometria dolii Austriaci) die Gestalt des österreichischen Weinfasses möglichst genau modellieren zu können. In einem vierten Teil widmete sich Kepler konkreten Methoden der Volumenbestimmung mit und ohne Visierrute. Abschließend untersuchte er in diesem Abschnitt noch ein ungelöstes Problem in der Fassmessung seiner Zeit, bei dem es um die Bestimmung des Inhalts teilweise gefüllter, liegender Fässer ging.

Kepler war fasziniert von der Beobachtung, dass die Weinmesser sich allein durch die Messung der Diagonale des halben Fasses ein verlässliches Urteil über den Inhalt zutrauten. Es war tatsächlich weniger sein Ziel, dieses Verfahren in Frage zu stellen, als das Geheimnis dahinter zu lüften. Dies gelang ihm auf eine Art und Weise, die gleichzeitig einen Meilenstein in der Geschichte der Mathematik bedeutete. Daneben lieferte er erstmals die theoretischen Grundlagen für die Methoden der Fassmessung, die zu seiner Zeit schon längst etabliert waren.

Aus früherer Zeit ist nur ein einziger Versuch bekannt, die Methoden der Visierer aus mathematischer Sicht kritisch zu prüfen und theoretisch zu untermauern. Der Verfasser Peter von Jülich wirkte zwei Jahrhunderte vor Kepler als Magister an der Artistenfakultät der Universität Köln. Er begriff die Gestalt eines Weinfasses als Zusammensetzung zweier Kegelstümpfe. Unter dieser, aus moderner Sicht unzureichenden Annahme entwickelte Peter von Jülich im Rahmen der euklidischen Geometrie eine korrigierte Methode der Fassmessung mit Hilfe der Visierrute. Die Abhandlung ist allerdings nicht beachtet worden. Jetzt gerade ist der Text erstmals im Druck erschienen: Peter von Jülich, De modo mensurandi vasa. Ein Traktat zur Fassmessung aus dem frühen 15. Jahrhundert, herausgegeben, übersetzt und kommentiert von Menso Folkerts und Martin Hellmann (Algorismus 85, Dr. Erwin Rauner Verlag, Augsburg 2018).

Wie Peter von Jülich benutzte auch Kepler die Begrifflichkeiten der traditionellen Proportionenlehre, so dass etwa unter dem Doppelten eines gegebenen Verhältnisses (lat. dupla proportio) dessen Quadrat (engl. square) und unter dem Dreifachen (lat. tripla proportio) dessen dritte Potenz (engl. cubic ratio) zu verstehen ist. Die Verständnisschwierigkeiten, die sich daraus ergeben könnten, sind durch die moderne Ausdrucksweise in der Übersetzung elegant gelöst. Das Glossar gibt einen guten Einblick in Keplers Fach- und Spezialvokabular. Nicht fehlen dürften allerdings cossa (S. 289, Algebra) und cossista (S. 291/293, Vertreter der zeitgenössischen Algebra, der sogenannten Coß) als einschlägige und erklärungsbedürftige Jargonwörter. Bei manchem interessanten Wort, wie zum Beispiel Keplers Wortschöpfung cubiscus (Würfelchen), hätte sich der Rezensent die Stellenangabe gewünscht.

Kritik konnte hier allenfalls an Kleinigkeiten geübt werden. Das Buch ist ein kostbares Geschenk des in der Mathematikgeschichte hochverdienten Emeritus, das die herausragende Bedeutung von Keplers Fassmessung in der Geschichte der Wissenschaft unterstreicht.

Rezension: Martin Hellmann (Wertheim am Main)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2019, Band 66, Seiten 119-122.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Alexander George und Daniel J. Velleman: Zur Philosophie der Mathematik – Logizismus, Intuitionismus, Finitismus, Gödel’sche Unvollständigkeitssätze

Springer Spektrum, Wiesbaden, 2018, XI + 210 Seiten, 22,99 €
ISBN: 978-3-662-56236-9
E-Book / ISBN: 978-3-662-56237-6

Was geschieht, wenn wir endliche Wesen nach dem Unendlichen greifen? Diese Frage trifft ins Mark der Mathematik und wurde lange vor dem Auftreten der „Russellschen Antinomien“ von I. Kant analysiert. Paradoxien und Antinomien erschütterten die Cantorsche Mengenlehre und die Mathematik als Ganzes. Drei sich bekämpfende Strömungen, Logizismus, Intuitionismus und Finitismus (letztere eher bekannt als Formalismus oder Axiomatismus), rangen um ein sicheres Fundament für die Mathematik und Logik. Dieser „Grundlagenstreit“ der Mathematik gipfelte 1931/32 in den berühmten „Gödelschen Unvollständigkeitssätzen“ mit bis heute andauernden Forschungen.

Im Springer-Verlag erschien 2018 die exzellente Übersetzung des angloamerikanischen Fachbuchs „Zur Philosophie der Mathematik. Logizismus, Intuitionismus, Finitismus, Gödel’sche Unvollständigkeitssätze“, von dem die Übersetzer zu Recht anmerken, dass ein vergleichbares Buch in deutscher Sprache bisher fehlt. Zwei amerikanische Professoren der Mathematik und Philosophie am Amherst College konzipierten das Werk für ihre Studenten. Das deutschsprachige 200 Seiten umfassende Buch erfordert außer Bekanntschaft mit der Prädikatenlogik kein aufwendiges mathematisch-logisches Training und bietet eine verständliche Einführung in die axiomatische Mengenlehre.

Für wen ist dieses Buch wichtig? Mir bekannte deutschsprachige Fachbücher, konzipiert für theorieorientierte Mathematiker, Logiker, IT-Spezialisten und Philosophen, erfordern logisches und mengentheoretisches Fachwissen, insbesondere für die Forschungen von Kurt Gödel. Aber gerade applikationsorientierte Wissenschaftler sollten ermutigt werden, sich mit der Tragfähigkeit ihrer mathematischen Praxis zu beschäftigen. Hier bietet das Buch sowohl einen verständlichen Einstieg als auch fachliche Tiefe.

Kapitel 1 behandelt philosophische Positionen der Mathematik von Platon bis A. Einstein, dessen Zitat zugleich Thema des Buchs ist: „Wie ist es möglich, dass die Mathematik, die doch ein von aller Erfahrung unabhängiges Produkt des menschlichen Denkens ist, auf die Gegenstände der Wirklichkeit so vortrefflich passt?“.

Kapitel 2 „Logizismus“: behandelt die von G. Frege angestrebte Konstruktion der Arithmetik allein mit logischen und mengentheoretischen Bausteinen, sowie schließlich sein Scheitern durch die „Russellschen Antinomien“.

Kapitel 3 „Mengenlehre“: erläutert den Rettungsversuch des Logizismus durch B. Russell und A. N. Whitehead. Die längeren Ausführungen zur Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie können beim ersten Lesen ohne Verständniseinbuße übersprungen werden.

Kapitel 4 „Intuitionismus“: konstruiert die Mathematik aus der intuitiven Anschauung der natürlichen Zahlen (unter Berufung auf I. Kant). MathematischeWahrheiten existieren nicht unabhängig von uns, sie müssen konstruiert werden. Das „Aktual Unendliche“ wird abgelehnt und damit logische Schlüsse wie der „Satz vom ausgeschlossenen Dritten“ und der „Widerspruchsbeweis“. Unter Einbezug der „Goldbach Vermutung“ und der „Primzahlzwillinge“ leitet das Kapitel unmerklich auf die Gödelschen Unvollständigkeitssätze über.

Kapitel 5 „Intuitionistische Mathematik“: erläutert das für klassische Mathematiker ungewohnte Arbeiten mit dem intuitionistischen Kalkül.

Kapitel 6 „Finitismus“: führt in das wichtige Hilbert-Programm ein. Dazu werden die aus der Linguistik geläufigen Begriffe Syntax und Semantik benötigt. (Der Ausdruck „Finitismus“ ist mehrdeutig, die deutsche Benennung „Formalismus“ oder „Axiomatismus“ erscheint geeigneter).

Kapitel 7 „Die Unvollständigkeitssätze“: erläutert deren Beweis von Kurt Gödel und ihre große theoretische und praktische Bedeutung. Danach kann es keine einzelne mathematische Theorie geben, aus der alle mathematischen Wahrheiten abgeleitet werden können.

Kapitel 8 „Schluss“: faßt Leistungen und Scheitern aller Strömungen zusammen. Nur der Intuitionismus bleibt von den Gödelschen Sätzen geschont, wird aber meistens von klassischen Mathematikern ignoriert. Spannend für den Praktiker dürfte sein zu erfahren, dass über die Art menschlicher Messungen der Intuitionismus verständlich werden könnte.

Zusammenfassend ist dieses Werk neben den Büchern von Dirk W. Hoffmann („Grenzen der Mathematik“ und „Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze“, beide Springer Spektrum) das beste deutschsprachige Fachbuch über die Grundlagenkrise der Mathematik, das ich kenne.

Zuletzt noch eine (leicht zu behebende) Kritik: das Personen- und Sachregister fällt dürftig aus. Wichtige Begriffe fehlen, und viele Termini sind nicht am Ort ihrer Definition aufgeführt.

Rezension: Hartmut W. Mayer (Freising)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2019, Band 66, Seiten 123 -125.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags.

Øystein Linnebo: Philosophy of Mathematics

Princeton University Press 2017, VI + 203 Seiten, 25,48 €
ISBN: 978-0-691-16140-2

Das vorliegende Buch ging aus Vorlesungen zur Philosophie der Mathematik hervor, die Øystein Linnebo an diversen Universitäten gehalten hat, und ist eine erste Einführung in das Thema. Der Autor setzt einen klaren Schwerpunkt auf den Entwicklungen rund um die Grundlagenkrise. Es gibt aber auch ein Einführungskapitel, in dem er einen Abriss der Positionen von Platon bis Kant gibt. Gegen Ende des Buches geht Linnebo auch auf aus seiner Sicht besonders interessante neuere Diskussionen ein.

Als Ausgangspunkt beschreibt der Autor drei Charakteristika von mathematischem Wissen, die den besonderen Status der Mathematik als Wissenschaft verdeutlichen: Es beruht auf keinerlei Erfahrung oder Experiment. Es ist zwangsläufig, das heisst, es gibt keine Alternativen. Es beschreibt Objekte, die abstrakt sind, also nicht in Raum oder Zeit verortbar. Der Umstand, dass man diese Charakteristika sonst eher religiösen Gewissheiten zuschreiben würde, zeigt deutlich den Bedarf an einer Philosophie der Mathematik, die sich mit dem Wesen mathematischer Gewissheiten beschäftigt. Linnebo diskutiert die drei Charakteristika und die Fragen, womit sich Mathematik überhaupt beschäftigt und wie wir zu unseren mathematischen Überzeugungen gelangen, vor allem anhand von Platon (427–347 v. Chr.) und Immanuel Kant (1724–1804), erwähnt diesem Kontext aber auch Empiriker wie John Stuart Mill (1806–1873).

Schon bei dieser Einführung gibt Linnebo einen Ausblick auf den Logizisten Gottlob Frege (1848–1925) und den Intuitionisten Luitzen Brouwer (1881–1966), deren Beiträge in den Kapiteln 2 und 5 ausführlicher geschildert werden. Dazwischen erklärt der Autor Versionen des Formalismus, in denen die Syntax gegenüber der Semantik in den Vordergrund gestellt wird, und David Hilberts (1862–1943) Programm zur Überwindung der mengentheoretischen Paradoxa. In diesem Kontext wird auch der Deduktivismus diskutiert, der die Reine Mathematik als die formale Ableitung von Aussagen aus beliebig gewählten Prämissen (Axiomen) sieht.

In Kapitel 6 geht der Autor näher auf die Außensicht der Mathematik durch die Philosophen John Stuart Mill und Willard Van Orman Quine (1908–2000) ein, die in der Mathematik auch empirische Aspekte sehen.

In der zweiten Hälfte des Buches wendet sich Linnebo mehr zeitgenössischen Debatten zu. In Kapitel 7 beschreibt er anhand der Überlegungen von Paul Bencerraf (*1931) und Hartry Fields (*1946) die Problematik, dass man keinen kausalen Zusammenhang zwischen mathematischem Wissen und abstrakten (also nicht mit Raum und Zeit interagierenden) mathematischen Objekten herstellen kann. Dies führt zur Zurückweisung der Existenz abstrakter Objekte im Nominalismus.

Wenn man, wie der Autor, keine kausale Beziehung zwischen mathematischer Einsicht und mathematischem Objekt fordert, bleibt die Frage nach der Evidenz mathematischen Wissens. Diese Frage spielt in den letzten Kapiteln des Buches eine zentrale Rolle. In Kapitel 8 greift Linnebo zunächst den Begriff der mathematischen Intuition neu auf und beschreibt verschiedene neuere Diskussionsbeiträge dazu. Kapitel 9 ist der Abstraktion gewidmet, die in der Praxis eine wichtige Quelle von mathematischer Evidenz ist. Linnebo beschreibt zunächst Freges Zugang zur Abstraktion über Äquivalenzrelationen und wie er zu den Russelschen Paradoxien führt. Dann erklärt er Neo-Fregesche und dynamische Zugänge, die diese logischen Probleme vermeiden.

Ausgehend vom iterativen Charakter der dynamischen Konzepte von Abstraktion wendet sich Linnebo in Kapitel 10 der Frage zu, in welcher Relation dynamische und iterative Konzeptualisierung mit den Zermelo-Fraenkel-Axiomen der Mengenlehre stehen. In diesem Kontext diskutiert er auch die Begriffe des aktual und potentiell Unendlichen.

Kapitel 11 ist dem auf Richard Dedekind (1831–1916) zurückgehenden Strukturalismus gewidmet, der in seiner extremsten Form sagt, dass mathematische Objekte außer ihrer Position innerhalb einer Struktur keinerlei Eigenschaften haben. Der Autor diskutiert verschiedene Varianten des Strukturalismus und geht in diesem Zusammenhang auch kurz auf die Kategorientheorie ein.

Im letzten Kapitel beschreibt Linnebo einige Fragen zur Axiomatik der Mengenlehre, die sich aus Kurt Gödels (1906–1978) Unvollständigkeitssätzen ergeben.

Ans Ende des Buches stellt der Autor abschließende Bemerkungen, in denen er nochmal Schüsselwörter nennt und auflistet, wie und wo sie in den unterschiedlichen Kapiteln wiederholt auftauchen: Abstraktion, Idealisierung, Berechnung, Extrapolation, Unendlichkeit. Außerdem erläutert er kurz seine persönliche Haltung zu den aufgeworfenen Fragen, insbesondere nach der Realität mathematischer Objekte und der Evidenz mathematischer Einsichten.

Øystein Linnebo beschreibt nicht nur historische Positionen zur Philosophie der Mathematik, sondern er motiviert die Fragen und spielt jeweils Argumente und Gegenargumente durch. So versetzt er den Leser in die Lage, einerseits selbst Position zu beziehen, andererseits aber auch die eigenen Positionen in Frage zu stellen. Das Buch ist anspruchsvolle und anregende Lektüre. Ich finde es ausgesprochen gelungen und nützlich.

Rezension: Joachim Hilgert (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2019, Band 66, Seiten 127-129.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags.

Holger Dambeck

KiWi-Taschenbuch (7. September 2017), 240 Seiten, 9,99 € 
ISBN-10: 9783462050516
ISBN-13: 978-3462050516

Holger Dambeck schreibt seit vier Jahren die Spiegel-Online-Kolumne „Rätsel der Woche“ und hat laut Aussage des Verlags wöchentlich rund 200 000 Leser.

In diesem Taschenbuch hat er eine Reihe dieser Probleme zusammengestellt und durch weitere bekannte Aufgaben aus dem Bereich der Unterhaltungsmathematik ergänzt. So finden sich hier 100 Mathe-Rätsel mit Lösungen zusammen. Vorangestellt sind den Aufgaben einige systematische Hinweise zum Lösen solcher Probleme – bei vielen werden diese allerdings nicht ausreichen, darüber hinaus ist bei den meisten doch eine kreative Idee gefragt.

Das Buch beginnt mit einer Reihe von Rätsel-Klassikern, den Kennern von solcher Mathematik bekannt, teils aber in neuem Gewand vorgestellt. Es folgen einige „Rätsel-Geschichten“, bei denen man aus wenigen rätselhaften Sätzen die dahinter stehende Geschichte erraten muss (oft als Gruppenspiel geeignet).

Ein weiteres Kapitel ist logischen Rätseln gewidmet, mehrere Aufgaben folgen hier dem Schema „eine Person lügt ständig / sagt immer die Wahrheit“. Rechnerische Knobeleien nehmen dann einen größeren Teil ein. Dambeck beschließt das Buch mit neun „ganz dicken Brettern“.

Liebhaber solcher Mathe-Rätsel werden unter den 100 Aufgaben sicher viel Neues finden. Wer solche Probleme noch selten kennen gelernt hat, muss wissen, dass man hier „harte Nüsse“ zu knacken hat – da ist die Versuchung groß, schnell in die Lösung zu schauen. Damit aber würde man sich des eigentlichen Reizes auf ein Aha-Erlebnis begeben, wenn man die Lösung – heureka! - gefunden hat. Da neben der Vielfalt der Typen auch der Schwierigkeitsgrad deutlich variiert, darf der Leser nicht zu schnell aufgeben – vielleicht läuft es mit dem nächsten Rätsel besser.

Das Literaturverzeichnis ist recht knapp, enthält Hinweise auf zwei Große der Unterhaltungsmathematik Sam Lloyd und Martin Gardner und einige Internet-Verweise, auf denen man weitere Quellen finden kann.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)