Leseecke

Heinrich Hemme, Matthias Schwoerer

Taschenbuch: 326 Seiten
Verlag: Springer; Auflage: 1. Aufl. 2019 (7. Mai 2019), 326 Seiten
Taschenbuch: 19,89 €
ISBN-10: 3658248599
ISBN-13: 978-3658248598

In Euklids Wohnzimmer wird die erste mathematische Rätselgeschichte erzählt - „Euklid“ ist der Spitzname des ehemaligen Mathe-Lehrers des fiktiven Erzählers. Die Geschichte spielt sich in dessen Wohnzimmer ab und betrachtet den mit unterschiedlich großen quadratischen Holzplatten belegten Parkett-Fußboden. Letzten Endes geht es um die Frage, wie groß das kleinste Rechteck ist, das die elf Quadrate mit den Seitenlängen von 1 bis 11 umfasst.

Ähnlich nett verpackt sind die restlichen 99 Rätsel. Ich kannte schon etliche dieser Knobel-Aufgaben aus der Zeitschrift „Bild der Wissenschaft“, in der regelmäßig eine solche von Heinrich Hemme erscheint. So sind denn auch diese 100 Kopfnüsse alle in den Jahren von 2008 bis 2017 dort zuerst veröffentlicht worden und jetzt hier nur leicht verändert zusammengefasst.

Meist werden ganz alltägliche Dinge wie Münzen, Spielsteine, Schachbretter oder Streichhölzer, auch Kalenderdaten und Uhrzeiten zum Inhalt der Rätsel gemacht. Oder es geht um einfache geometrische Zusammenhänge – so wie in Euklids Wohnzimmer.

„Die Aufgaben unseres Buches sind auch nicht für Mathematiker geschrieben, sondern für Rätselliebhaber. Um sie lösen zu können, reicht die Mittelstufenmathematik der Schule völlig aus. Für manche Aufgaben ist nicht einmal diese notwendig, sondern man braucht nur den gesunden Menschenverstand.“

Letzteres kann ich durchaus bestätigen, allerdings muss dieser doch recht scharf sein! Wer meint, die Lösung in wenigen Minuten schaffen zu können, der liegt schief: der Schwierigkeitsgrad ist bei vielen Aufgaben doch beträchtlich. Geduld ist gefragt! Wer dabei schnell die Lust verliert und aufgibt, wird nicht zu dem Erfolgserlebnis gelangen, das eine gute und vielleicht überraschende Lösung bereitet. Und wer viele davon gelöst hat, der hat mit Sicherheit an Kreativität und Selbstbewusstsein gewonnen.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Stefan Buijsman

Verlag: C.H.Beck; Auflage: 1 (19. September 2019), 2019 Seiten
Hardcover: 18 €, Kindle-Ausgabe: 12,99 €
ISBN-10: 3406739512
ISBN-13: 978-3406739514

Soll uns der Buchtitel etwas über den Inhalt sagen? Vielleicht soviel+-: Man kann das Buch bequem im Sessel bei einem Espresso lesen, muss sich nicht überaus geistig anstrengen, schon gar nicht sich auf Zahlen und Formeln konzentrieren und nicht mit Papier und Bleistift Rechnungen nachvollziehen.

Letzteres ist in der Tat nicht möglich, da das Buch solche gar nicht enthält – und es ist für weite Teile auch gar nicht nötig. Der junge Autor und Wissenschaftler (Astronomie, Informatik und Philosophie) von gerade einmal 25 Jahren beschäftigt sich hier nämlich mit grundlegenden wissenschaftstheoretischen Fragen: Wird Mathematik entdeckt oder erfunden? Warum ist Mathematik so nützlich? Ist diese Nützlichkeit Zufall? Und warum passt Mathematik so gut auf die Realität? Ausgehend von Platon und seiner Denkschule werden in den ersten Abschnitten diese Fragen entwickelt und eine kleine Philosophie der Mathematik dargestellt.

Danach folgt ein exkurs-artiges Kapitel, in dem von indigenen Volksgruppen (Amazonien und Neuguinea) berichtet wird, die nicht einmal über ein einfaches Zahlensystem verfügen, ihren Alltag auch ohne ein solches meistern. Offensichtlich brauchen diese Menschen keinerlei Mathematik. Auf weiteren 25 Seiten wird über die Entstehung der Zahlen in Mesopotamien und die Entwicklung der Mathematik bei Ägyptern, Griechen und Chinesen informiert und gezeigt, wie allmählich mathematische Gesetzmäßigkeiten für das Zusammenleben der Menschen in größeren staatlichen Verwaltungen notwendig und hilfreich wurden.

Auch in den nächsten Kapiteln vermeidet der Autor fast vollständig Zahlen, Formeln und Abbildungen. Hier geht es um drei große mathematische Teilgebiete (nämlich die Differential- und Integralrechnung, die Stochastik und die Graphentheorie), mit denen aufgezeigt werden soll, wie anwendbar und hilfreich die Mathematik für die Technik und unser heutiges alltägliches Leben ist. Während der Autor zu den ersten beiden Disziplinen im wesentlichen nur die zugrundeliegenden Ideen skizziert, werden bei der jüngsten, der Graphentheorie, konkrete Algorithmen beschrieben (wobei zwei Abbildungen falsch zugeordnet sind). Damit will der Autor dem Leser eine Vorstellung von der Funktionsweise der digitalen Medien vermitteln, wie z. B. die Suchmaschine von Google oder die Algorithmen von Facebook oder Netflix funktionieren.

Das führt dann im letzten Abschnitt wieder zu den eingangs gestellten Fragen zurück, in dem versucht wird, Antworten darauf zu geben.

Mancher Leser wird bei dem durchgehenden Text – weitgehend ohne Fachsprache und Formeln – vielleicht weitergehende Fragen an die referierte Mathematik haben und Literatur zu den beschriebenen Sachverhalten suchen. Die Literaturliste im Anhang enthält zwar über 100 Titel, aber leider fast ausschließlich solche in englischer Sprache. Dabei gibt es zu diesen Themen auch gute deutsche Bücher, die hätte der Verlag finden und in die Liste aufnehmen sollen!

Noch einmal zum Titel: „Unglaubliche Geschichten“ habe ich eigentlich nicht gefunden.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Renate Tobies

Verlag: Springer Spektrum; Auflage: 1. Aufl. 2019 (20. März 2019), 590 Seiten
Hardcover: 54,99 €, Kindle: 42,99 €
ISBN-10: 3662587483
ISBN-13: 978-3662587485

Felix Christian Klein (* Düsseldorf 1849, † Göttingen 1925), der „große Klein“, war über einen Zeitraum von etwa 50 Jahren ein beherrschender Akteur in der mathematischen Gemeinschaft des deutschsprachigen Raums und darüber hinaus. Politisch gesehen umspannte das Leben des erwachsenen Felix Klein in etwa die Gründung des zweiten deutschen Kaiserreichs bis hin zum Weltkrieg und den anschließenden Anfängen der Weimarer Republik – also einen Zeitraum mit recht konstanten politischen Bedingungen, die erst durch die Revolution von 1918 tiefgreifende Veränderungen erfuhren. Klein war Sohn eines hohen preußischen Beamten, eher konservativ und kaisertreu – aber keineswegs stur, vielmehr anpassungsfähig und vermittelnd, national denkend und doch international agierend.

Bekannt geblieben sind mathematische Errungenschaften, die von ihm erzielt wurden, allen voran das Erlanger Programm, die Cayley-Klein-Metriken, die Kleinsche Flasche und die Kleinsche Vierergruppe, aber auch seine vielseitigen organisatorischen Bemühungen, die entscheidend mithalfen, Göttingen in Allianz mit David Hilbert zum mathematischen (und etwas später auch physikalischen) Weltzentrum zu machen, sowie seine Bemühungen um den Mathematikunterricht, schlagwortartig als „Kleinsche Reform“ bezeichnet. Auch als Buchautor war Klein erfolgreich. Hier sind u. a. zu nennen seine „Vorlesungen über das Ikosaeder“ (1884–1993 neu hg. mit Kommentaren von P. Slodowy [3]), seine Geometrielehrbücher und seine „Elementarmathematik vom höheren Standpunkt“ (3 Bände 1908, 1909 und 1928).¹ Klein war wesentlich beteiligt an Mammutprojekten wie der „Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen“² und der „Kultur der Gegenwart“ (Abteilung mathematische Wissenschaften); er war Organisator – oft auch Mitbegründer – zahlreicher Vereinigungen, insbesondere der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (DMV), der Internationalen Mathematischen Unterrichtskommission (IMUK) und deren deutschen Ableger, des Deutschen Ausschuß für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht (DAMNU)³. Eine detaillierte, umfangreiche Biographie von Klein verspricht somit Aufschlüsse verschiedenster Art.

Klein hat – für Mathematiker eher ungewöhnlich – viel an seiner eigenen Präsentation gearbeitet. Neben kommentierten Wiederveröffentlichungen älterer Texte, bekanntestes Beispiel: das schon genannte Erlanger Programm, vorgelegt von seinem Verfasser anlässlich seines Eintritts in die Philosophische Fakultät der Universität Erlangen im Herbst 1872 und wieder abgedruckt in den „Mathematischen Annalen“ (Band 43, 1893), über seine „Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert“ (gehalten während des Ersten Weltkriegs, publiziert erst nach Kleins Tod in zwei Bänden [1926 und 1927])⁴ bis hin zu seinen „Gesammelten Abhandlungen“ (in drei Bänden, erschienen [1921, 1922, 1923]), welche ausführliche Darlegungen von Klein zu seinen mathematischen Arbeiten, zu deren Entstehung und Zeitumständen enthalten. Diese gut zugänglichen und eingängigen Quellen haben das in der Literatur gängige Klein-Bild zweifellos beeinflusst. Ein Kriterium für eine Biographie wie die von Renate Tobies vorgelegte ist folglich, inwieweit es gelingt, das Bild von Klein durch Aufarbeitung unbekannter oder wenig beachteter Quellen zu vervollständigen und sich von seiner Selbststilisierung frei zu machen. Natürlich gehen auch Gefahren aus von den zahllosen Würdigungen, Ehrungen inklusive Orden, Elogen und Nachrufen, die dem einflussreichen Klein, einem Großen der Wissenschaftswelt seiner Zeit, gewidmet wurden. Bekanntlich wird der größte Querulant bei solchen Anlässen als kooperationsfreudiger Kollege dargestellt – oder man begnügt sich mit netten Allgemeinplätzen. Vorsicht ist folglich angebracht.

Das Buch von Tobies gliedert sich in die Kapitel Einleitung, prägende Gruppen, Professor an der Universität Erlangen, Professor am Polytechnikum München, Professor für Geometrie in Leipzig, Start als Professor in Göttingen 1886–1892, Weichenstellungen 1892/3–1895, Früchte der Bestrebungen 1895–1913, erster Weltkrieg und Nachkriegszeit sowie Schlussbetrachtungen. Ein umfangreicher Anhang mit interessanten Dokumenten sowie Verzeichnisse runden das Werk ab. Die Darstellung folgt also der Chronologie von Kleins Leben, gegliedert durch seine Berufungen an die Universität Erlangen (1872), an das Polytechnikum München (1875) und die Universitäten Leipzig (1880) sowie Göttingen (1886). Das Jahr 1892 markiert einen wesentliche Einschnitt in der Geschichte der Mathematiklehrstühle im deutschsprachigen Raum – eingeleitet durch die Neubesetzung der Berliner Lehrstühle von Leopold Kronecker und Karl Weierstraß, seinerzeit wohl die prominentesten in Deutschland überhaupt – und die Vakanz in Breslau, entstanden durch den Tod von Heinrich Schröter, einem der wenigen Geometer mit Lehrstuhl in der damaligen universitären Szene.

1895 begann mit der Berufung Hilberts die Geschichte des Erfolgsmodells Göttingen⁵, das in seiner Integration von Mathematik, Physik und Technik, mit seiner Internationalität und seiner Forschungsintensität verbunden mit neuen Formen der Zusammenarbeit eine seinerzeit einmalige Erscheinung war. Klein spielte hier die Rolle des Organisators, des Machers, wie man heute sagen würde, der z.B. schon früh versuchte, Drittmittel von der Industrie zu erhalten – eine der bekanntesten Unternehmungen dieser Art war die „Göttinger Vereinigung zur Förderung der angewandten Physik und Mathematik“, gegründet 1898⁶. Wichtigster Bundesgenosse Kleins wurde der Industrielle Henry Theodore Böttinger (1848–1920), leitendes Mitglied der Farbenfabriken vormals Friedr. Bayer und Co. aus Elberfeld, der ähnlich wie Klein breite organisatorische Aktivitäten unterhielt. Böttingers Rolle für Klein und seine Projekte finden ihr Pendant in derjenigen von Friedrich Althoff (1839–1908), Ministerialdirektor und heimlicher preußischer Kultusminister, den Klein schon aus gemeinsamen Tagen als Sanitäter im Deutsch-Französischen Krieg (1870) kannte⁷. Althoff war ein meist treuer Verbündeter Kleins in dessen universitären und schulischen Projekten – eine Ausnahme bildete die Berufung Webers nach Göttingen. Kleins Versuch, Adolf Hurwitz oder David Hilbert nach Göttingen zu holen, scheiterte noch 1892, stattdessen musste er sich mit Heinrich Weber arrangieren⁸. Erst nach dessen Weggang nach Straßburg gelang die Berufung Hilberts, mittlerweile zum Ordinarius aufgerückt in seiner Heimatstadt Königsberg.

Ein interessanter Aspekt von Kleins Wirken als Organisator war seine frühe Wertschätzung von Technik und die daraus folgenden Bemühungen, z. B. um die uneingeschränkte Anerkennung des realistischen Bildungswesens und um die Integration der technischen Hochschule Hannover in die Universität Göttingen⁹. Hier zeigte sich Klein als Denker, der die Zeichen dessen, was man damals „Moderne“ oder auch „Fortschritt“ genannt hätte, wohl verstanden hatte – im Unterschied zu vielen Kollegen, die beim traditionellen Bild von Mathematik als reiner Wissenschaft verharrten. Ähnliches gilt für Klein als Förderer des Frauenstudiums¹⁰ und für seine Bemühungen um Internationalität – Reisen und Auslandsaufenthalte sowie ausländische Studierende und Doktoranden inbegriffen, was Klein den Ehrentitel eines Außenministers der deutschen Mathematik einbrachte.¹¹ Die organisatorischen, bildungs- und universitätspolitischen Tätigkeiten Kleins werden in Tobies’ Biographie sehr ausführlich dargestellt, viel neues Material aus Briefen und Dokumenten aller Art wird hierzu herangezogen.

Wenden wir uns nun der Mathematik zu. Klein begann bekanntlich seine Karriere als physikalischer Assistent von Julius Plücker in Bonn. Nach dessen Tod und erfolgter Promotion (notgedrungen bei R. Lipschitz, dem verbleibenden Bonner Mathematiker) wandte er sich nach Göttingen, um sich Alfred Clebsch anzuschließen und Mitglied von dessen „Denkgemeinschaft“ zu werden.¹² Klein wurde zum Bearbeiter und Herausgeber von Plückers unvollendetem Werk über Liniengeometrie und begann eine wahre Flut von Veröffentlichungen der Öffentlichkeit zu übergeben.¹³ Dabei konnte er die „Mathematischen Annalen“ nutzen, welche Clebsch zusammen mit Carl Neumann 1868 gegründet hatte und die seine Arbeiten unter Clebschs Auspizien offensichtlich freudig veröffentlichen. Diese Zeitschrift sollte später unter Kleins Herausgeberschaft ein wichtiges Instrument für dessen wissenschaftspolitischen Ambitionen, etwa was Internationalität anging, werden.¹⁴ Kleins Mathematik aus dieser Schaffensperiode ist heute weitgehend vergessen; sie wieder zu erschließen ist eine sehr anspruchsvolle Aufgabe. Verständlicherweise kann eine Biographie hierzu nicht allzu viel beitragen. Das liegt im vorliegenden Fall zum einen auch an der Kürze der Ausführungen, zum andern daran, dass oft die Sprache der damaligen Zeit paraphrasierend verwendet wird, ohne zu erläutern, wie wir den fraglichen Sachverhalt denn heute formulieren würden.¹⁵ Da helfen auch Elogen¹⁶ wie die von A. Voss wenig weiter.

Ähnliches gilt für einige andere Abschnitte, in denen auf Kleins Mathematik eingegangen wird. Bei der Diskussion des Erlanger Programmes und der Kleinschen Arbeiten zur nichteuklidischen Geometrie (1871, 1873)¹⁷ wird der aktuelle Stand der Diskussion nur bedingt widergespiegelt. Weder wird klar, dass der Erfolg des Erlanger Programms doch mehr ein Mythos – nicht zuletzt von Klein selbst gefördert – als eine historische Tatsache ist¹⁸; die Besprechung von Kleins projektivem „Modell“ wiederholt unhinterfragt die These, dass dieses mit Fragen der Widerspruchsfreiheit befasst gewesen sei. Eine gewisse Einseitigkeit ist in der Darstellung der Kontroverse Klein – Poincaré in Sachen Fuchs’sche Funktionen, also modern gesprochen: automorphe Funktionen, zu verzeichnen: Hier der großherzige Klein, der seine Karten auf den Tisch legt, da der verschwiegene Poincaré, der sich nicht in dieselben schauen lässt. Man kann diese Auseinandersetzung eigentlich nur würdigen, wenn man den mathematischen Kern identifiziert, also Poincarés Entdeckung der Rolle der hyperbolischen Geometrie inklusive derjenigen der Gruppen in diesen Fragen – also Ideen, die Klein sicher als seine ureigene Domäne sah.¹⁹ Auch Kleins Auseinandersetzungen mit Lazarus Fuchs²⁰ und Hermann Amandus Schwarz²¹ werden mit einer gewissen Tendenz pro Klein vorgetragen.

Interessant und wichtig ist, dass sich in Kleins frühen Arbeiten zur Linien- und projektiven Geometrie sowie zur Flächentheorie schon ein Bezug zu materialen Modellen ergab, ein Thema, das in Tobies’ Biographie zu Recht immer wieder zur Sprache kommt und zu dem sie einige neue Aspekte beizutragen hat. Diese Modelle waren in der Mehrzahl Forschungsobjekte, heißt, sie wurden konstruiert, um abstrakt definierten Objekten, etwa durch Gleichungen gegebene Flächen, Anschaulichkeit zu verleihen.²² 1881 halfen die Modelle, jetzt allerdings eher didaktische, Klein sogar, seinen ersten (universitären) Assistenten zu bekommen: Walter Dyck in Leipzig.²³ Solche Informationen machen das vorliegende Buch zu einer wertvollen Quelle für alle, die über die Mathematikgeschichte jener Zeit arbeiten.

An manchen Stellen von Tobies’ Biographie finden sich für uns befremdliche Formulierungen, die aber vielleicht bei Klein und seinen Zeitgenossen keinen Anstoß erregt hätten. Hier einige Beispiele: „Mittag-Leffler betrieb eine hinterhältige Politik des gegenseitigen Ausspielens von Mathematikern, ...“ (S. 47), „So wählte ihn [Fr. Schur, K.V.] Klein als Assistenten, nachdem Dycks Weggang feststand, noch bevor Study dreist um die Stelle betteln sollte.“ (S. 208), „ ... war Study eine egozentrische Natur, die gefördert werden wollte, ohne zu geben.“ (S. 214)²⁴, „Wenn er [Minkowski, K.V.] auch etwas überheblich auf die Kreiseltheorie blickte, ...“ (S. 393). Einher geht dies mit Wendungen wie „als Plückers Assistent dienen“ (S. 36)²⁵, „Klein hatte Sommerfeld zuvor erprobt, ...“ (S. 342), „Für Letzteres konnte Sommerfeld seine Ehefrau Johanna ... einspannen“ (S. 344), „Im einleitenden Band betonte der als Vorsitzender ... in die Spur gesetzte W. Dyck ...“ (S. 353), „Er [Klein, K.V.] hatte im März 1886 Sophus Lie dorthin geschickt, ...“ (S. 295). Es entsteht so leicht der Eindruck, als seien Personen Figuren auf einem Schachbrett gewesen, die von Klein gezogen wurden – oft auch zu ihrem eigenen Vorteil: „Als Klein 1875 an das Münchner Polytechnikum wechselte, konnte er Brill auf eine Professur neben sich ziehen.“ (S. 41). Klein wurde – vor diesem Hintergrund nicht unverständlich – von manchen seiner Weggenossen mit einem gewissen Misstrauen beäugt, wie es sich z.B. in Brills Lebensbeschreibung²⁶ und in Wilhelm Fiedlers Briefen zeigt^.27

Ähnlich wie die mathematischen Gehalte von Kleins Schaffen in dieser Biographie eher undeutlich bleiben, werden die Bemühungen Kleins um eine Unterrichtsreform, die gelegentlich gar als „Kleinsche Unterrichtsreform“ bezeichnet werden, weitgehend auf das Organisatorische reduziert. Die Leserin/der Leser erfährt viel über die diversen Kommissionen, in denen Klein aktiv war²⁸; worum es inhaltlich ging, bleibt aber vage.²⁹ Hier hätten sich die Meraner Reformvorschläge nebst einer Diskussion, inwieweit diese von Klein beeinflusst waren, angeboten. Klein hat in der Mehrzahl Ansätze aufgegriffen und weiterentwickelt; es scheint aber oft im Buch so, als stammten sie von ihm.³⁰ Kleins für ihn wichtiges Eintreten für die Anschauung sowohl in didaktischer als auch in philosophischer und mathematischer Sicht brachte ihm vor einigen Jahren den Titel des „Anti-Modernen“ [4] ein – ähnlich wie z. B. Poincaré und Frege. Interessant in diesem Kontext ist die Einleitung, welche Klein seinen Arbeiten zur „anschaulichen Geometrie“ im zweiten Band seiner Werke (1922) vorangestellt hat – Fazit und Apologie in ablehnendem Umfeld zugleich.

Die Kämpfe gegen die Zeitläufte, die Kleins Intentionen zuwider liefen, indem sie die Wende zur abstrakten und formalen Mathematik begünstigten, werden in Tobies’ Biographie mehrfach angesprochen.³¹ Mit David Hilbert war einer der wichtigsten Vorkämpfer dieser Richtung gar im eigenen Institut. Kleins Eintreten für die angewandte Mathematik³², insbesondere für deren Berücksichtigung in der Lehrerbildung und im gymnasialen Unterricht, erscheint im übrigen sehr aktuell. Hervorgehoben seien schließlich Kleins Bemühungen, die Didaktik an den Universitäten, insbesondere natürlich der Göttinger, als Lehrfach zu etablieren, durch die Habilitation von R. Schimmack (S. 434) und dessen Einbezug in die Lehre.³³ Ein wichtiger Weggefährte Kleins im Bereich Mathematikunterricht war Walter Lietzmann, der an vielen Stellen des Buches zur Sprache kommt und sicher weitere Forschungen verdiente. Auch Friedrich Drenckhahn und Paul Zühlke, Doktoranden von O. Staude, wurden von Klein zur Didaktik geführt; ersterer wurde einer der Pioniere der Lehre der Mathematikdidaktik an Pädagogischen Hochschulen.³⁴

Trotz der Ausführlichkeit dieser Biographie bleibt Kleins Persönlichkeit, sein Leben als Mann und Mensch, recht undeutlich. Persönliche Informationen fehlen weitgehend; die Leserin/der Leser erfährt z.B. fast gar nichts über die Beziehungen zu seiner Ehefrau Anna, geborene Hegel und Enkelin des Philosophen, oder zu seinen Kindern. Freunde werden erwähnt – eventuell mit dem Hinweis, dass diese „Duz-Freunde“ Kleins gewesen seien³⁵ – aber wie Klein mit ihnen umgegangen ist, bleibt oft unklar. Tobies’ Biographie markiert hier geradezu die Antithese zu Constance Reids Hilbert-Biographie [5], die auch und gerade in solchen Hinsichten – man könnte sie persönlich nennen – sehr viel zu bieten hat. Der Unterschied betrifft aber auch einen weiteren wichtigen Aspekt. Während bekanntlich Reid nur höchst selten Belege und Quellen für ihre Schilderungen liefert, ist bei Tobies alles genauestens belegt – sehr zur Freude der Historikerin/des Historikers.

Ein persönlicher Aspekt kommt allerdings doch und völlig zu Recht ausführlich in der Biographie zur Sprache, nämlich Kleins gesundheitliche Probleme (vor allem Asthma, was seine bevorzugten Aufenthalte auf Nordsee-Inseln erklärt). Tobies zeigt auf, dass sich diese durch Kleins ganzes Leben hindurchziehen und letztlich auch (mit) zu seinem für damalige Verhältnisse frühzeitigen Rückzug aus dem Lehramt führten (31.12.1912). Insbesondere macht sie deutlich, dass Kleins Bericht von seinem gesundheitlichen Zusammenbruch (1882) und dem damit verbundenen Verlust an mathematischer Produktivität („soziale Wirksamkeit als Ersatz für das verlorene Genie“ wie Klein notierte³⁶) vor diesem Hintergrund nicht sehr überzeugend ist.³⁷

Klein enthielt sich allzu deutlicher politischen Äußerungen, er trat auch nie einer Partei bei. Als Mitglied des Preußischen Herrenhauses vertrat er die Universität Göttingen. Andererseits bewegte er sich auf politiknahem Parkett und hatte enge Kontakte zu führenden Kreisen der Industrie. Offensichtlich war er geschickt und wusste, sich taktisch klug zu verhalten. Das ist zumindest der Eindruck, den man bei der Lektüre der ersten 450 Seiten von Tobies’ Biographie gewinnt. Dann aber – wir sind in der Zeit kurz nach Ausbruch des Weltkrieges angelangt – erwartet die Leserin, den Leser eine Überraschung, wenn es um den berüchtigten „Aufruf an die Kulturwelt“, das sogenannte Manifest der 93³⁸, geht: Wie Klein später seiner Schülerin Grace Chisholm Young³⁹ erklärte, war er aber – wie Max Planck u. a. – nur telegraphisch um seine Unterschrift ersucht worden. Klein kannte den Text vor dem Druck nicht. Er hatte (naiv) angenommen, es wäre ein Text, der helfen könne, vorhandene Wogen zu glätten.⁴⁰

Schwer zu glauben; mag dem sein, wie es will, Fakt bleibt, dass Klein der einzige Mathematiker war, der diesen Aufruf unterschrieb.⁴¹ Bemerkenswert bleibt allerdings, dass Klein anscheinend keinen Versuch unternahm, seine Unterschrift zurückzuziehen oder den Text zu widerrufen.

Für ihr Buch hat die Verfasserin eine große Zahl von Quellen ausgewertet, insbesondere Briefe von und an Klein (Darboux, Hilbert, Hurwitz, Lie, um nur einige zu nennen), daneben handschriftliche Aufzeichnungen Kleins, offizielle Dokumente wie Berichte und vieles mehr. Es bildet gewissermaßen die Summa einer langjährigen und engagierten Beschäftigung mit Klein.⁴² Hätte ich einen Wunsch frei, so würde ich mir noch eine Bibliographie der vielen Werke Kleins wünschen, aber das wäre sicherlich viel – wenn auch nützliche – Arbeit. Bemerkenswert und bislang nicht viel beachtet ist Kleins Verhältnis zu Hurwitz, seinem vielleicht besten Schüler. Während er viele andere Schüler wie Dyck, Fricke und Sommerfeld für seine Zwecke einsetzte – Sommerfeld sprach gar vom „Felix Dienst“⁴³ – nahm er bei Hurwitz hiervon Abstand. Hurwitz spielte dann vor allem die Rolle des fachlichen Beraters, den Klein heranzog, als er versuchte, sich in neue Gebiete im Bereich der Funktionentheorie und der analytischen Zahlentheorie einzuarbeiten. Allerdings hatte Hurwitz wie auch F. Lindemann und H. Minkowski dann das Nachsehen gegenüber Hilbert, als es 1895 um die Nachfolge von Weber in Göttingen ging.⁴⁴ Klein förderte junge Kollegen, aber Klein entschied auch, wann er wen förderte. „Einmal Kleins Favorit, immer Kleins Favorit“ galt keineswegs – was doch wieder an die Spielsteine auf dem Schachbrett denken lässt.

Das Geschilderte stellt nur eine Auswahl aus dieser sehr reichhaltigen, lesenswerten Biographie dar, die der Leserin/dem Leser aber einige Mühe bei der Lektüre abverlangt. Diese Lektüre eröffnet ein leicht pathetisches Zitat von Otto Blumenthal⁴⁵ aus dessen Rede anlässlich der Einweihung einer Gedenktafel für Felix Klein (1928)⁴⁶

Wer im Gedächtnis der großen Welt leben soll, muss auf die große Welt gewirkt haben.

Ich denke, der „große Klein“ nimmt dies zustimmend zur Kenntnis – und die Biographie von R. Tobies trägt viel dazu bei, dass wir jetzt (noch) mehr von Kleins Schaffen wissen – ein Schaffen, das von einer ungeheuren Bewunderung der Kreativität getragen war, und dem Bewusstsein, sie selbst nicht (mehr) zu besitzen. Tobies hat unser Bild von Klein in vielen Punkten – vor allem, was seine organisatorischen Aktivitäten betrifft – vervollständigt, Spuren von dessen Selbststilisierung und von seiner Stilisierung durch andere sind aber noch nicht gänzlich verschwunden.

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¹ 2016 ff wurde eine englische Übersetzung von M. Mengini und G. Schubring publiziert. Vorgängerversionen mancher Bücher von Klein bestanden in autographierten Ausarbeitungen seiner Vorlesungen. Klein, wie auch andere Mathematiker (etwa W. Fiedler in Zürich) nutzte Klein dazu den Steindruck (Lithographie, vgl. p. 154).
² Dieses Unternehmen stand unter dem „wissenschaftliches Obermanagment“ Kleins (S. 356). Kurzangaben beziehen sich hier und im Folgenden immer auf das Buch von R. Tobies [14].
³ Hilfreich ist hier das Abkürzungsverzeichnis in Tobies’ Buch S. 553–554 [14].
⁴ Vgl. auch [11].
⁵ Vgl. hierzu auch [9] part III und part V.
⁶ Vgl. 8.1.1.
⁷ Vgl. 2.7.1.
⁸ Vgl. Abschnitt 6.5 sowie [9], 171–182, der diese Geschichte aus nicht-Kleinscher Perspektive erzählt.
⁹ Vgl. 6.4.2.
¹⁰ Das Thema ist ubiquitär in Tobies’ Buch [14] (u. a. aufgrund der Studentinnen in Kleins Umfeld, die bekannteste hierunter war wohl Grace Chisholm-Young, über die wir einige interessante Dinge erfahren); eine Zusammenfassung bietet 7.6. Schade ist, dass die Leserin und der Leser nicht mehr über Kleins Tochter Elisabeth, verheiratete Staiger, erfährt, die Mathematiklehrerin wurde.
¹¹ Vgl. 8.4.
¹² Vgl. 2.4. Clebsch pflegte einen kommunikativen Arbeitsstil und versammelte eine Schar von Schülern/Mitarbeitern um sich; vgl. S. 40–44. „Denkgemeinschaft“ ist vermutlich an L. Flecks Terminus „Denkkollektiv“ angelehnt, den die Verfasserin schon früh in ihrem Buch zitiert (S. 7).
¹³ Vgl. 2.4.3.
¹⁴ Klein trat 1873 in die Redaktion der Zeitschrift ein, 1876 avancierte er zusammen mit A. Mayer (Leipzig) zum Herausgeber. Vgl. 2.4. Zur Geschichte der „mathematischen Annalen“ vgl. man auch [9], pp. 38–46.
¹⁵ Ein Beispiel dafür, wie man so etwas machen kann, liefert die Neuausgabe von Kleins Ikosaederbuch durch P. Slodowy (1993).
¹⁶ Vgl. S. 49.
¹⁷ Vgl. 2.5.3, 3.1.1 und 6.3.6.
¹⁸ Vgl. etwa [2]; zur Mythenbildung um Kleins Antrittsvorlesung in Erlangen [6].
¹⁹ Vgl. die ausführliche Diskussion des Briefwechsels bei Rowe [9], 111–133. Dort wird insbesondere auch Kleins Umgang mit Poincarés Briefen beleuchtet, der nicht eben großzügig war. Vermutlich wird die vom Archiv Henri Poincaré (Nancy) geplante Edition des Briefwechsels von Poincaré mit Mathematikern hier noch mehr Informationen liefern.
²⁰ Vgl. 5.5.5.
²¹ Vgl. 6.2.1.
²² Vgl. dazu [7] und [8] (Modelle als Forschungsobjekte) und [16] (didaktische Verwendung von Modellen, Bezüge zur polytechnischen Tradition). Klein selbst hat anscheinend nie Modelle alleine gebaut, sondern meist bauen lassen – beginnend mit Freund Albert Wenker (vgl. S. 19).
²³ Vgl. p. 194. In München am Polytechnikum gab es, wie damals an Polytechnika üblich, Assistenten. Nach Dycks Weggang von Leipzig nach München übernahm Friedrich Schur die Assistentenstelle bei
Klein. Wie ungewöhnlich Kleins Erfolg war, zeigt die Tatsache, dass Hilbert erst nach 1900 seinen ersten bezahlten Assistenten bekam, den er zudem noch mit H. Minkowski teilen musste.
²⁴ Neben Study war H. A. Schwarz ein Anathema für Klein, vgl. etwa S. 207, wo diesem ein „unverträglicher Charakter“ bescheinigt wird oder p. 209, wo Schwarzens „komplizierter“ Charakter zur Sprache kommt.
²⁵ Es geht um Plückers Assistent Emil Budde. Vgl. auch S. 434, wo von Schimmack die Rede ist, der „Klein 1903–1905 als Assistent diente“.
²⁶ Brill wird übrigens S. 184 unterstellt, er habe Klein beneidet. Die unveröffentlichte Lebensbeschreibung
Brills befindet sich im Archiv der TU München.
²⁷ Vgl. [1].
²⁸ Eine nützliche Übersicht zu den diversen Gremien und Kommissionen, in denen Klein Mitglied war, findet sich S. 426.
²⁹ Vgl. 8.3.4.
³⁰ Beispielsweise heißt es S. 433: „Klein erhob die Mathematikdidaktik zu einer selbständigen Disziplin“ ein Unternehmen, an dem viele beteiligt waren. Klein nutzte vor allem seinen institutionellen Einfluss.
³¹ Vgl. 8.2.
³² Zwei Beispiele: Versicherungsmathematik (vgl. 7.7) und Luftfahrtforschung (vgl. 8.1.3).
³³ Vgl. auch die wenig bekannte Information zur von Klein betriebenen Habilitation von Conrad Müller für „Mathematik, namentlich Geschichte der Mathematik“ 1908 in Göttingen (S. 412).
³⁴ Vgl. S. 435. Zu Drenckhahn vgl. man [13].
³⁵ Etwa Carl Linde und Alfred Stern.
³⁶ Vgl. S. 103.
³⁷ Vgl. S. 200.
³⁸ Der Text des Aufrufs ist beispielsweise in der Wikipedia nachzulesen. Hintergrund war der deutsche Überfall auf Belgien, die dort verübten Taten und die internationale Kritik an diesen.
³⁹ Die Engländerin Grace Chisholm (1868–1944), die in Cambridge an einem Frauencollege (Girton College) studiert hatte, war Kleins erste Doktorandin („Algebraisch-gruppentheoretische Untersuchungen zur sphärischen Trigonometrie“, 1895), mit der er auch weiterhin in Kontakt blieb. Sie heiratete später den Mathematiker William Young und nahm den Doppelnamen Chisholm-Young an. Ihr wohl bekanntestes Buch (zusammen mit ihrem Mann veröffentlicht) „Beginner’s book of geometry“ (London, 1905) – neben dem ebenfalls mit ihrem Mann veröffentlichten fachwissenschaftlichen Werk „The theory of sets of points“ (1906) – geht nach Angabe von Tobies ([14], S. 271) auf eine Anregung von Klein zurück. Dieser sorgte auch für die deutsche Übersetzung als „Der kleine Geometer“ durch das Ehepaar Bernstein (1908). Klein soll den Plan einer englischsprachigen Ausgabe der „Encyklopädie“ mit dem Ehepaar Young diskutiert haben (nach [14], S. 356 n. 85). In beiden Fällen werden allerdings bei Tobies keine Belege genannt.
⁴⁰ S. 452.
⁴¹ Die etwas später veröffentlichte „Erklärung der Hochschullehrer des Deutschen Reiches“ ähnlichen Tenors unterschrieben mehr als 3000 Universitätslehrer, unter ihnen D. Hilbert und G. Landau. Vgl. [15].
⁴² Ein erster Beleg für diese war Tobies 1981 [14]. Weiterhin vgl. man das Literaturverzeichnis (S. 545–548) von Tobies’ Biographie, wo man zahlreiche Artikel dieser Autorin findet.
⁴³ S. 400.
⁴⁴ Vgl. 7.9.
⁴⁵ Die Sammlungen von Briefen und Schriften Otto Blumenthals ([10] und [12]) bieten übrigens viel lesenswertes Material zu Klein.
⁴⁶ P.V.

Literatur

1. Confalonieri, S./Schmidt, P.-M./Volkert, K.: Der Briefwechsel von Wilhelm Fiedler mit Alfred Clebsch, Felix Klein und italienischen Mathematikern. Siegener Beiträge zur Geschichte und Philosophie der Mathematik, Bd. 12 (2020)
2. Hawkins, Th: The Erlanger Programm of Felix Klein: reflections on its place in the history of mathematics.
   Hist. Math. 11, 442–470 (1984)
3. Klein, F.: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades. Birkhäuser, Teubner, Basel, Boston, Berlin, Stuttgart, Leipzig (1993). Herausgegeben mit einer Einleitung und mit Kommentaren versehen von Peter Slodowy
4. Mehrtens, H.: Moderne – Sprache – Mathematik. Suhrkamp, Frankfurt a. M (1990)
5. Reid, C.: Hilbert. Springer, New York (1970)
6. Rowe, D.: Felix Klein’s „Erlanger Antrittsrede“. Hist. Math. 12, 123–141 (1985)
7. Rowe, D.: Mathematical models as artefacts for research: Felix Klein and the case of Kummer surfaces. Math Semesterber 60, 1–24 (2013)
8. Rowe, D.E.: On building and interpreting models: four historical case studies. Math. Intell. 39(2), 6–14 (2017)
9. Rowe, D.: A richer picture of mathematics. Springer Nature, Cham (2018)
10. Rowe, D.: Otto Blumenthal: Ausgewählte Briefe und Schriften I. 1897–1918. Springer Spektrum, Berlin (2018)
11. Rowe, D.: Relativity in the Making, 1916-1918: Rudolf J. Humm in Göttingen and Berlin. Mathematische Semesterberichte, Bd. 67 (2020)
12. Rowe, D., Felsch, V.: Otto Blumenthal: Ausgewählte Briefe und Schriften II. 1919–1944. Springer Spektrum, Berlin (2019)
13. Schönbeck, J.: Von Rostock nach Flensburg – Friedrich Drenckhahn 1894–1977, Demokratische Geschichte. Jahrbuch für Schleswig-Holstein, Bd. 27, S. 89–120 (2016)
14. Tobies, R.: Felix Klein. Teubner, Leipzig (1981)
15. Tollmien, C.: „Der Krieg der Geister“ in der Provinz – das Beispiel der Universität Göttingen 1914–1919. Göttinger Jahrbuch, Bd. 41., S. 137–209 (1993)
16. Volkert, K.: Mathematische Modelle und die polytechnische Tradition. Siegener Beiträge zur Geschichte und Philosophie der Mathematik, Bd. 10., S. 161–202 (2017)

Rezension: Klaus Volkert (Uni Wuppertal)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2020, Band 67, S. 125-134.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Robert Bosch

Verlag: Princeton University Press (12. November 2019), X + 188 Seiten
Hardcover: 26,99 €, Kindle: 20,24
ISBN: 978-0-691-16406-9

Wenn man ein Schwarz-Weiß-Bild mit einer vorgegebenen Pixelzahl ausdrucken möchte und dafür schwarze und weiße Pixel zur Verfügung hat, könnte man die Helligkeit des dem jeweiligen Pixel entsprechenden Bildausschnitts messen und dann ein weißes Pixel setzen, wenn die Helligkeit über einem gewählten Schwellenwert liegt (andernfalls ein schwarzes). Das ist eine der Grundideen, die Robert Bosch benutzt, um seine aus vorgegebenen Bildelementen zusammengesetzten Drucke von Bildern herzustellen. Realistischer wird das gepixelte Abbild, wenn man zwischen Scharz und Weiß noch verschiedene (vorzugsweise äquidistante) Graustufen zulässt. Dann wählt man die Graustufe, die dem gemessenen Helligkeitswert am ehesten entspricht. So erhält man ein sehr einfaches Optimierungsproblem. Will man jetzt die einzelnen Pixel nicht zu klein wählen und gleichzeitig statt uniformer Graustufen gemusterte Fliesen einsetzen um einen künstlerischen Effekt zu erzielen, werden die Optimierungsprobleme komplizierter. Erstens werden die Helligkeitsstufen der Fliesen nicht mehr äquidistant sein, zweitens kann es für den visuellen Eindruck einen großen Unterschied machen, welche von mehreren gleich hellen Fliesen man einsetzt. Je nach Zielsetzung lassen sich unterschiedliche Nebenbedingungen definieren, deren Berücksichtigung die gewünschten Effekte liefert. Beispiele für solche Nebenbedingungen sind Bedingungen daran, welche Seite eines Fliesentyps mit welcher Seite eines anderen Fliesentyps benachbart sein kann.

Der Hauptteil des Buches beginnt mit Kapitel 2, in dem der Autor am Beispiel sogenannter Truchet-Fliesen die oben angedeuteten Ideen erläutert und illustriert. Das dritte Kapitel ist mit Linear Optimization and the lego Problem überschrieben, hat einen mehr mathematischen Schwerpunkt und dient dem Zweck, auch Randbedingungen an die Ressourcen (zum Beispiel die Anzahl der Fliesen einer Bauart) berücksichtigen zu können. Insbesondere wird der Simplex-Algorithmus an Beispielen erklärt und die branch-and-bound Strategie erläutert, die ein diskretes (lineares) Optimierungsproblem in ein gewöhnliches lineares Optimierungsproblem überführt. Die nächsten beiden Kapitel illustrieren und erweitern die Optimierungstechniken anhand weiterer Fliesentypen (Cartoons und Dominosteine).

Die Kapitel 6 bis 9 sind dem Einsatz von Linearer Optimierung für die Lösung des traveling salesman problem (TSP) sowie der Anwendung dieser Methoden für die Erstellung von Graphiken aus geschlossenen Linien gewidmet. Dazu gehören durch Färbung gekennzeichnete Aufteilungen von Flächen in das Innere und das Äussere eines geschlossenen Kantenzugs ebenso wie die Konstruktion von Labyrinthen unter diversen Randbedingungen.

Kapitel 10 thematisiert Randbedingungen wie man sie aus der Einfärbung von Landkarten (Vier-Farben-Problem) kennt. Kapitel 11 ist den Mustern gewidmet, die man aus J. H. Conways Game of Life gewinnen kann.

Robert Bosch versteht es etliche Grundideen und Techniken der Linearen Optimierung mit nicht viel mehr als Systemen linearer Ungleichungen und einigen Graphiken zu erläutern und durch seine visuellen Spiele zu illustrieren. Das Buch ist angenehm zu lesen, auch wenn man die Begeisterung des Autors für aus Dominosteinen zusammengesetzte Reproduktionen von Schwarz-Weiß-Fotographien nicht hundert-prozentig teilt. Ich habe – als Laie in Sachen Diskrete Optimierung – auch mathematisch etwas bei der Lektüre gelernt, insbesondere über Möglichkeiten der Modellierung mithilfe von Randbedingungen. Außerdem hat mich das Buch für die Schwierigkeiten in der praktischen Umsetzung einfacher Ideen sensibilisiert. Vom ästhetischen Standpunkt aus haben mich am meisten die gefärbten Flächen aus Kapitel 7 angesprochen.

Rezension: Joachim Hilgert (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2020, Band 67, S. 123-124.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Peter von Jülich
Herausgegeben, übersetzt und kommentiert von Menso Folkerts und Martin Hellmann

Verlag: Rauner, Erwin; Auflage: 1 (29. Juni 2018), XXXII + 91 Seiten, 29 €
Sprache: Deutsch, Latein
ISBN-10: 3936905681
ISBN-13: 978-3936905687

Aus Anlass seiner Hochzeit mit seiner zweiten Frau bestellte Johannes Kepler für die Feierlichkeiten Wein, der, wie damals üblich, in Fässern angeliefert wurde. Um die Menge und damit den Preis für das Fass zu ermitteln, kam ein Visierer mit einem Meßstab, der Visierrute, die durch das Spundloch bis zum Boden des Fasses gesteckt wurde. Wurde die Visierrute herausgezogen, konnte der Visierer den Stand der Flüssigkeit im Faß ablesen und der Maßstab auf der Rute zeigte ihm unter Umständen gleich das Volumen an. Unter der Annahme, dass sich die Volumina ähnlicher Körper so verhalten wie die dritten Potenzen gleicher Strecken, kann man mit Hilfe einer Kubikwurzeltafel (oder durch Experiment und Messung) die Skala einer kubischen Visierrute konstruieren. Wie bekannt traute Kepler der Methode nicht und veröffentlichte seine eigenen Ideen zur Volumenmessung im Jahr 1615 als Nova stereometria doliorum vinariorum (Neue Stereometrie von Weinfässern). Dieses Buch lieferte nicht nur Anstöße zur Entwicklung der Infinitesimalmathematik im 17. Jahrhundert, sondern enthält auch eine Reihe neuer Formeln für das Verhältnis verschiedener Körper zu einem Zylinder. Keplers Buch ist erst 2018 in einer wunderbar klaren Neuübersetzung ins Englische von Eberhard Knobloch herausgegeben und kennerhaft kommentiert worden.

Natürlich ist die Visierkunst weitaus älter als ihr prominentes Auftreten bei Kepler. Ihre Entstehung liegt wohl im 14. Jahrhundert, in dem der Weinhandel einen echten Aufschwung erlebte. Reine Praktiker und echte Theoretiker machten sich an die Arbeit und verfassten Traktate, um die Technik des Visierens zu lehren. Menso Folkerts und Martin Hellmann ist es nun gelungen, eine der frühesten Arbeiten aus diesem Umkreis zu übersetzen, zu edieren und zu kommentieren. Der Text stammt von Peter von Jülich, der im November 1446 im Alter von 55 Jahren in der Kölner Kartause, in die er 1434 eingetreten war, starb; d. h. sein Traktat stammt wohl aus den 1420er Jahren. Im Rahmen ihrer editorischen Arbeit haben Folkerts und Hellmann auch zahlreiche Details aus dem zuvor weitgehend unbekannten Leben des Peter von Jülich ermitteln können, die man in diesem Buch finden kann.

Erfreulicherweise handelt es sich bei Peters Traktat nicht (nur) um eine praktische Anleitung zum Visieren. Peter lehrte im ersten Viertel des 15. Jahrhunderts an der Kölner Universität; neben Theologie und Philosophie war ihm auch die damals gelehrte Mathematik geläufig. Nun war Köln auch ein Umschlagzentrum für den Weinhandel und Peter bemerkte, dass verschiedene Verfahren bei ein und demselben Fass zu unterschiedlichen Ergebnissen führte. Seine Schrift setzt sich daher kritisch mit den bisher bekannten Methoden des Visierens auseinander und in diesem Sinne (aber nur in diesem) ist Peter ein früher Vorläufer Keplers und seine Schrift zur Fassmessung von besonderer Bedeutung, zumal Peter vernünftige Vorschläge zur Vermeidung von Visierfehlern macht.

Das vorliegende Buch enthält nicht nur die lateinische Transkription des Traktats und seine deutsche Übersetzung, sondern auch eine kurze Biographie Peters, einen Abschnitt zu den verwendeten Maßen, Informationen über andere Verfasser von frühen Visiertraktaten (Bynczendorffer, Mast), Bemerkungen über Köln zur Zeit Peters und Nachforschungen zu Peter als Verfasser von astronomischen Texten. Es versteht sich von selbst, dass der Peter’sche Text fachkundig kommentiert ist.

Das vorliegende Buch ist eine echte Perle der Rezeption mittelalterlicher mathematischer Handschriften. Besonders hervorzuheben ist das beigelegte Faksimile der bei der Transkription verwendeten Handschrift auf Glanzpapier.

Rezension: Thomas Sonar (TU Braunschweig)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2020, Band 67, S. 117-118.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags