Leseecke

Georg Glaeser (Hrsg.)

Springer Verlag; 1. Aufl. 2020 Edition (15. September 2020), Taschenbuch: 317 Seiten, 22,99 €

ISBN-10 : 366261765X
ISBN-13 : 978-3662617656

Seit geraumer Zeit gibt es in den verschiedensten Ländern vielfache Aktivitäten, deren Ziel es ist, Interesse an und Verständnis für Mathematik in einem breiteren Kreis der Bevölkerung zu generieren. In Deutschland hat sich die Deutsche Mathematikervereinigung DMV besonders um dieses Anliegen verdient gemacht, und einzelne Autoren wie Ehrhard Behrends haben regelmäßige Kolumnen mit mathematischen Themen geschrieben, die später in dem Buch „Fünf Minuten Mathematik“ in aufbereiteter Form gesammelt wurden.

Das hier zu besprechende Buch ist aus einer österreichischen Initiative hervorgegangen. Einer Idee des 2019 verstorbenen Gilbert Helmberg folgend hat die Österreichische Mathematische Gesellschaft ÖMG seit 2010 rund 100 sogenannter „Mathe-Briefe“ an Interessierte verschickt, in denen unterschiedliche Themen im Umfeld von Mathematik und Mathematikunterricht diskutiert wurden. „77-mal Mathematik für zwischendurch“ ist eine Auswahl von für diese Veröffentlichung neu editierten Versionen solcher „Mathe-Briefe“. Die einzelnen Beiträge sind thematisch geordnet in den folgenden Rubriken zusammengefasst:

I. Algebra und Logik
II. Analysis
III. Geometrie
IV. Zahlentheorie
V. Stochastik
VI. Olympisches
VII. Diverses

Die „Mathe-Briefe“ der ÖMG richten sich ganz explizit an Mathematiklehrerinnen und -Lehrer an höheren Schulen. Das merkt man auch den editierten Texten an, denn fast alle gehen in der einen oder anderen Form auf inhaltliche Bezüge zum Schulunterricht ein, und sei es durch Angabe von an Schüler gerichteter Literatur.

Inhaltlich unterscheidet sich dieser Band nicht grundsätzlich von anderen Sammelbänden zur Popularisierierung von Mathematik. Es gibt Beiträge zu Fibonacci und Adam Ries, zu kubischen Gleichungen, zur Koch-Kurve, zum Newton-Verfahren, zu pythagoreischen Tripeln, zur vollständigen Induktion, zur Spieltheorie und auch einen mit kryptologischem Inhalt. Es gibt aber auch viele Beiträge zu Themen, die ich anderswo noch nicht zur populären Verbreitung aufgearbeitet gesehen habe. Als Beispiel seien G. Glaesers Beiträge zu Stereoskopie und zur Tiefenschärfe von Fotos und L. Summerers Beitrag zu Polynomfunktionen in mehreren Variablen genannt. Auch die biographischen Beiträge haben Überraschendes zu bieten. So war mir die bemerkenswerte Mathematikerin Hilda Geiringer (1893–1973), hier porträtiert von Ch. Binder, vorher nicht bekannt.

Sammelbände zur Popularisierung von Mathematik haben sich in den letzten Jahren zu einem regelrechten Genre entwickelt. Allein im deutschsprachigen Raum sind etliche Bände mit unterschiedlichem Anspruch und unterschiedlichen Schwerpunkten (Anwendungen, Logik und Strukturen, Knobelaufgaben, Wettbewerbsaufgaben, Historisches etc.) erschienen. Ich persönlich habe den Überblick verloren. Während ich bei etlichen Themen des vorliegenden Buches sicher sagen kann, dass sie anderswo auch schon mehrfach behandelt wurden, bleibt mir bei den übrigen Beiträgen nur zu sagen, dass mir nicht bekannt ist, ob sie auch an anderer Stelle zu finden sind. Als Lehrer würde ich mir wünschen, es gäbe eine einschlägige Datenbank, in der ich stöbern könnte, wenn ich Material für eine Unterrichtsreihe oder ein wissenschaftspropädeutisches Projekt suche. Als Forscher haben wir mit dem MathSciNet der American Mathematical Society AMS und dem zbMATH (früher Zentralblatt für Mathematik und ihre Grenzgebiete) solche Datenbanken zur Verfügung.

Ob exklusiv oder nicht, die Beiträge des vorliegenden Bandes sind durchwegs interessant und mit Engagement geschrieben. Manche sind mehr deskriptiv und sehr leicht zu lesen, manche verlangen dem Leser etwas mehr Konzentration ab, und einige setzen zusätzlich zur mathematischen Grundbildung etwas Hintergrund in den Naturwissenschaften, speziell der Physik, voraus. Der aufmerksame Leser findet Kleinigkeiten, die er kritisieren könnte, wie einige stehengebliebene Referenzen aus den urspünglichen „Mathe-Briefen“, die jetzt ins Leere laufen, fehlende Literaturhinweise in einigen Artikeln oder fehlende Erklärungen von für deutsche Leser (die an eine Klassennummerierung von 1 bis 13 gewöhnt sind) irritierende Aussagen wie „Waren früher solche Probleme bestenfalls in der 6. Klasse beim Kapitel Folgen und Reihen und mit Hilfe von Logarithmen lösbar, können heute Schülerinnen und Schüler der 4. Klasse diese Aufgaben bearbeiten.“ Der Gesamteindruck ist dennoch sehr positiv.

Die durchgehende Berücksichtigung schulischer Aspekte machen das Buch insbesondere auch für engagierte Lehrkräfte interessant. Angesichts der tagtäglichen Herausforderungen, denen sich Mathematiklehrer und -Lehrerinnen in der Praxis konfrontiert sehen, frage ich mich, ob es möglich ist, ihnen noch eine Extrabelohnung anzubieten, wenn sie in einem Akt selbstgesteuerter Weiterbildung einen Aufsatz aufmerksam durchgelesen haben. Vielleicht in Form eines ausgearbeiteten Arbeitsblattes, das sich auf der Webseite des Verlags runterladen kann, wer online drei Fragen zum Text korrekt beantwortet hat.

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Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Januar 2021, Band 68, S. 175-177.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Joachim Hilgert (Paderborn)

Tatiana S. Samrowski

Springer Verlag; 1. Aufl. 2020; 174 Seiten; 19,99 €

ISBN-10: 3662618818
ISBN-13: 978-3662618813

Tatiana Samrowski hat in diesem großartigen Buch rund 550 Aufgaben zusammengestellt: Sie stammen aus einer Sammlung mathematischer Probleme, Rätsel und Knobeleien, die in den Jahren 2012 – 2020 für den Unterricht der „Junior Euler Society für Mathematik der Universität Zürich“ verwendet wurden. Er richtet sich an Kinder der Klassen 3/4 und 5/6, die sich gern an Knobel-, Logik- oder Mathewettbewerben beteiligen wollen. Die Autorin, habilitierte Mathematikerin, leitet diese Institution.

Das Buch ist in zwölf Kapitel gegliedert, sie enthalten Aufgaben aus klassischen Gebieten wie z. B. Wägeprobleme, Füll- und Umfüllvorgänge, Zahlenrätsel und kombinatorische Fragestellungen sowie Altersaufgaben und Uhrzeitberechnungen.

Jeder Abschnitt beginnt mit einigen Beispielen samt ausführlichen Lösungen, dabei werden – der Klassenstufe entsprechend – keine formalen algebraischen Methoden (etwa Gleichungen) benutzt, sondern es wird sehr anschaulich verbal argumentiert. Daran schließen sich in jedem Kapitel „Aufgaben zum selbständigen Lösen“ an, die auf ähnliche Weise bearbeitet werden können. Der jeweils dritte Teil enthält Aufgaben – insgesamt sind das rund 300 – aus bekannten Wettbewerben wie z. B. dem Känguru- und dem Pangea-Wettbewerb oder der Deutschen Mathematik Olympiade (DMO). Auch hier gibt es keine Lösungswege, allerdings sind die Aufgaben mancher Wettbewerbe mit Auswahlantworten versehen, so dass man die eigene Lösung überprüfen kann.

Im Titel des Buches wird schon darauf hingewiesen, dass es nicht nur für Begabte gedacht ist. Kinder haben häufig am Rätseln und Knobeln Spaß, auch wenn ihnen der Mathematikunterricht in der Schule vielleicht nicht besonders gut gefällt. Mit dem Lösen solcher Aufgaben kann man ihnen Lust auf mehr machen und zu kreativem logischen Denken hinführen, ohne dass sie gleich an Mathematik denken. Diese Sammlung kann daher gezielt auch im normalen Unterricht eingesetzt werden – und ich meine, dass manche der Probleme auch durchaus noch für höhere Klassenstufen geeignet sind. Eltern und vor allem Lehrer sollten das nutzen.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Georg Glaeser (Hrsg.)

Springer Verlag; 1. Aufl. 2020 Edition (15. September 2020), Taschenbuch: 317 Seiten, 22,99 €

ISBN-10: 366261765X
ISBN-13: 978-3662617656

Ein kurioses Sammelsurium findet sich in diesem Buch, der Grund dafür ist in seiner Entstehung zu sehen: In Österreich ist seit 2010 ein sogenannter „Mathe-Brief“, ein „monatlich erscheinendes Informationsmedium der ÖMG für Mathematik-Lehrerinnen und -Lehrer an höheren Schulen“, auf der Website der ÖMG, der Österreichischen Mathematischen Gesellschaft, erschienen. Alle diese Briefe können unter der Internetadresse der Gesellschaft gelesen werden: https://www.oemg.ac.at/Mathe-Brief/. In diesem Buch sind 77 dieser Briefe veröffentlicht.

Jeder ist zwischen zwei und acht, im Mittel ca. vier Seiten lang, die meisten davon sind einem der Gebiete Algebra und Logik (13), Analysis (15), Geometrie (13), Zahlentheorie (15), Stochastik (5) zugeordnet. Sehr stark unterschiedlich ist nicht nur der Stil der 14 Autoren, sondern auch der Schwierigkeitsgrad. Wenig Vorkenntnisse erfordern die Kapitel, die nur den Stoff der Sekundarstufe I in Deutschland (also bis zur Klassenstufe 10) voraussetzen (in Österreich beginnt die Sekundarstufe II schon in der 9. Klasse). Andere Briefe verlangen Kenntnisse der Sekundarstufe II und darüber hinaus. Artikel biographischen Inhalts kann man wohl nur mit Gewinn lesen, wenn man einen gewissen Überblick über die Geschichte der Mathematik hat.

Jugendliche erhalten hier schöne Anregungen, viele Briefe können sehr gut als Grundlage für Referate oder Hausarbeiten genommen werden. Dazu gehören z. B. Kapitel über so bekannte und häufig beschriebene Themen wie die Zahlen π, e oder „Wurzel aus 2“, über die Koch-Kurve, die Fibonacci-Zahlen, das Newtonsche Näherungsverfahren, Parkettierungen, reguläre und halbreguläre Polyeder, pythagoreische Zahlentripel, ägyptische Brüche, magische Quadrate u. v. a. Auch weniger verbreitete Inhalte sind zu finden, wie z. B. über Quaternionen, Kugelgeometrie, Spieltheorie oder den Dijkstra-Algorithmus.. Allerdings kommen auch manche „Kuriositäten“ vor (vielleicht die Steckenpferde eines der Autoren), die mir so speziell erscheinen, dass ich die Gründe für deren Aufnahme in diesen Sammelband gerne kennen würde.

So recht erschließt sich mir nicht, warum die Briefe in gedruckter Form herausgegeben werden. Sie lassen sich alle, wie in der Einleitung des Buches ausdrücklich erwähnt, von der oben genannten Website einzeln herunterladen. Darüber sind hoffentlich viele  Lehrerinnen und Lehrer in Österreich informiert – das sollte aber auch in Deutschland  bekannt sein (oder werden), damit diese Information in der Schule genutzt werden kann.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Rottmann, Michael (2020). Gestaltete Mathematik. Geometrien, Zahlen und Diagramme in der Kunst in New York um 1960. München: Verlag Silke Schreiber (Edition Metzel), 395 S., 32€.

Michael Rottman ist Kunstwissenschaftler und Mathematiker. An der Themenwahl seiner Vorlesungen an Universitäten und Hochschulen der letzten 15 Jahren lässt sich die inhaltliche Spanne seiner Dissertation mit dem Titel Gestaltete Mathematik. Geometrien, Zahlen und Diagramme in der Kunst in New York um 1960 ablesen. Die Themen lauteten „Mathematik in Algebra, Analysis und Elementargeometrie“, „Mathematische Formen – von der Formel zur Form in der New Yorker Kunst“ und „Bildtheorien in der Minimal Art und der Konzeptkunst.“ Die Dissertation wurde an der Freien Universität Berlin im Fachbereich Kunstwissenschaft eingereicht.

Den Einfluss des Mathematischen in der Kunst in New York um 1960 beleuchtet Rottmann zunächst aus dem historischen Kontext heraus. In seinem Kapitel „Geometrien der Malerei“ wird die klassische Moderne in Europa mit der Künstlergruppe de Stijl und Piet Mondrian in der Auseinandersetzung mit Künstlern des abstrakten Expressionismus, hier mit künstlerischen Werken der Künstler Barnett Newman und Frank Stella (Streifenbilder) thematisiert. An dieser Stelle erklärt Rottmann auch den Begriff der „geometrischen Form (um 1960)“.

Rottmann beschreibt Sachverhalte der Mathematik nicht als Selbstzweck oder im alten Wettstreit von Mathematik und Kunst, sondern er legt dar, dass Mathematik in der Gestaltung der Kunst in den 60er Jahren in New York unterschiedliche Rollen spielte. Dies wird an ausgewählten Kunstwerken der Künstler Mel Bochner, Donald Judd, Sol LeWitt und der Künstlerin Ruth Vollmer dargestellt.

Dass Mathematik auf der Ebene der Methode, der Form wie auch der Metapher künstlerisch genutzt wird und sie damit den Bilddiskurs gerade in den 60er Jahren in New York stark beeinflusst hat, belegen viele künstlerische Werkbeispiele, in denen Geometrien, Zahlen und Diagramme eine Rolle spielen. Auch steht die formalästhetische und innovative Funktion der Mathematik innerhalb der Kunst der 1960er Jahre in New York im Fokus. Rottmann untersucht hier insbesondere deren Bestandteil im Bild- und Visualitätsdiskurs.

Rottmann zeigt auf, dass in New York in den 60er Jahren viele Künstler gleichzeitig Künstler und Theoretiker waren, einige Künstler standen teilweise in direktem Austausch mit Mathematikern. Donals Judd und Sol Le Witt als Hauptvertreter des Minimalismus, in deren Werken geometrische Objekte die Hauptrolle spielen, waren in den 60er Jahren gleichzeitig Künstler, Theoretiker und in der Lehre an Universitäten tätig. Interessant ist, wenn Rottmann veranschaulicht, dass aus der Mathematik heraus Denkmodelle entwickelt wurden. Der Künstler Mel Bochner hat beispielweise das Cantorsche Paradox als Denk-Modell in Bezug auf das Verhältnis von Sehen und Denken herangezogen.

Rottmann strukturiert das Verhältnis der Mathematik zur Kunst in New York um 1960 unter in vier Themenbereiche mit den Kapitelüberschriften „Gestaltete Mathematik“, „Gebaute Geometrien“, „Gerechnete Geometrien“ und „Diagrammatische Kunst“. Rottmanns präzise Analyse und Fülle von Vergleichsbeispielen mit der zeitgenössischen Kunst (Carl Andre, Hanne Darboven, Jasper Johns, Ellsworth Kelly, Robert Morris, Robert Rauschenberg, Ad Reinhardt, Andy Warhol) sowie der europäischen Moderne (Josef Albers, Max Bill, Marcel Duchamp, Piet Mondrian, dem Manifest von de Stijl). Es entsteht eine unter diesen vier Themenschwerpunkten aufbereitete Materialsammlung.

Rottmann weist auch auf die „Ambivalenzen des Mathematischen“ hin, in der Art und Weise der Nutzung des Mathematischen und auf den Bereich der Pseudorationalität. Er nutzt zudem Selbstaussagen der Künstler, die einen sehr interessanten Blick auf die Künstlerintention geben. Die akribische Auflistung der Kunstwerke von Künstler Mel Bochner, Donald Judd, Sol LeWitt und der Künstlerin Ruth Vollmer, die Rottmann den vier Kapiteln unterordnet wirkt insgesamt etwas unübersichtlich. Biografische und Bibliografische Angaben und eine Werkübersicht nach Künstlerpersönlichkeiten sortiert wären im Anhang deshalb interessant gewesen.

Das Buch kann allen Lesern wärmstens empfohlen werden, die sich einen Überblick des werkimmanenten Einflusses der Mathematik in der Kunst in New York um 1960 verschaffen wollen. Diese werden den Materialreichtum dieses Buches – vom Wandel des Geometrischen, über das Arithmetische und die numerischen Ordnungen, zum Einfluss der Funktionen mathematischer Diagramme in der Kunst – zu schätzen wissen.

Rezension: Beate Klompmaker

Robert Resel

Herausgeber: Logos Berlin (15. März 2014), Taschenbuch, 312 Seiten, 44 €

ISBN-10: 3832536728
ISBN-13: 978-3832536725

„Dieses Buch bietet allen Interessenten und Liebhabern der Mathematik eine Sammlung mathematischer Leckerbissen …“ schreibt der Verlag auf dem hinteren Buchdeckel. Leckerbissen für alle Interessenten – davon allerdings dürfte man in diesem Buch nicht so viel finden. Und Liebhaber müssen auch schon besondere Vorlieben für die doch recht speziellen Themen haben. Das wird schon deutlich, wenn man in der Verlagsbeschreibung weiter liest: „Beginnend mit je einem Dutzend Zugängen zum skalaren bzw. vektoriellen Produkt zweier Vektoren …“ (womit dann knapp 40 Seiten gefüllt werden).

Der Autor ist Gymnasiallehrer an einer höheren Schule in Wien und unterrichtet auch im Wahlpflichtfach Mathematik, das in Österreich für interessierte und besonders motivierte Schülerinnen und Schüler vorgesehen ist. Zusätzlich ist er in der Begabtenförderung engagiert. Diese beruflichen Erfahrungen spielen wohl eine wichtige Rolle bei der Auswahl und der Darstellung der Themen.

Die Geometrie bildet für Resel den Mittelpunkt der Mathematik – so stellt er dem Buch auch das Zitat „Kein der Geometrie Unkundiger möge hier eintreten“ voran (Schrift über dem Eingang der Philosophenschule von Platon). So beschäftigt er sich hauptsächlich mit ihr und betrachtet dabei vor allem nicht zum Oberstufen-Lehrplan gehörenden Stoff. Abbildungen wie perspektive Affinitäten, Zentralprojektionen, auch mathematische Sätze wie der Grassmann‘sche Entwicklungssatz, der Satz von Desargues oder Eigenschaften über Gram‘sche Matrizen sind doch sehr ausgefallene Beispiele. Auch drei als neu bezeichnete Beweise des Satzes von Pythagoras sind sicher nur etwas für Fans (wobei ich bei der für mich unübersehbaren Fülle solcher Beweise nicht einschätzen kann, wie neu die hier vorgeführten sind). Meistens nutzt Resel für die Behandlung Methoden der analytischen Geometrie, die oft aufwendigen Koordinaten-Rechnungen werden ausführlich  notiert, alle Zwischenschritte angegeben, so dass Leser die Überlegungen gut nachverfolgen können (die in Lehrbüchern manchmal genutzte Floskel „wie man leicht sieht“ kommt bei ihm nicht vor).

Den Kegelschnitten ist ein langes Kapitel gewidmet. In der Oberstufe der Gymnasien in Deutschland gehört es seit langem nicht mehr zum obligatorischen Kanon. Auch wenn man diese Thematik für wesentlich angemessener halten würde als die derzeit vorgeschriebenen Inhalte der linearen Algebra (und analytischen Geometrie), überzeugen mich die hier im Buch vorgestellten Probleme mit ihren seitenlangen Rechnungen doch nur selten.

Der Autor ist offensichtlich ein Fan der reinen Mathematik. Eine einzige Anwendung (auf die kognitive Psychologie) scheint – der Überschrift nach – vorzukommen, entpuppt sich auf den drei dafür zur Verfügung gestellten Seiten aber doch als wenig relevant.

Engagierte Lehrerinnen und Lehrer können in diesem Buch teilweise ungewöhnliche und wenig bekannte Zugänge zu schulrelevanten Themen finden, die Mehrzahl der Vorschläge wird allerdings im standardisierten Unterricht keinen Platz haben. Zwar hielte ich eine stärkere Betonung geometrischer Sachverhalte im Schulunterricht für wünschenswert, aber die vorgestellten Inhalte und Methoden scheinen mir dafür doch zu speziell. Allenfalls könnten sie in Arbeitsgemeinschaften z. B. für Teilnehmer von Mathematikwettbewerben von Interesse sein.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)