Leseecke

Philip Ording

Princeton Univers. Press; Illustrated Edition (5. Februar 2019), Englisch, 168 Seiten, 22,99 €

ISBN-10: 0691158835
ISBN-13: 978-0691158839

Der Held dieses feuilletonistischen Mathematikbuches ist die kubische Gleichung

\(x^{3}-6x^{2}+11x-6=2x-2\).

Die 99 Beweisvariationen liefern alle Aussagen über diese Gleichung und ihre Lösungsmenge. Versteht man die Gleichung als Polynomgleichung für ganze, reelle oder komplexe Zahlen und errät, dass 1 eine Lösung ist, so liefert die Polynomdivision durch \(x-1\), dass \(x=4\) die einzige weitere Lösung ist. Die erste Beweisvariation besteht denn auch in der Umformung zu \(x^{3}-6x^{2}+9x-4=0\) und der Feststellung \(x^{3}-6x^{2}+9x-4=(x-1)^{2}(x-4)\)

Es kann dem Autor also nicht darum gehen, durch Variationen des Beweises mehr Licht in die Struktur der Gleichung und ihrer Lösungsmenge zu bringen. Er nimmt die einzelnen Variationen vielmehr zum Anlass für diverse Anmerkungen zu Natur und Kultur der Mathematik.

Zu Beginn geht es mehr um die Präzision in der Beschreibung von zu beweisender Aussage und einzelnen Beweisschritten. Die unterschiedlichen Beweise betonen unterschiedliche Aspekte der Argumentation, verwenden unterschiedliche Darstellungsformen, gehen unterschiedlich detailliert auf verwendete Rechengesetze ein. Im Laufe des Buches thematisiert der Autor immer wieder die Frage des Stils beim Schreiben mathematischer Texte – laut Vorwort die zentrale Motivation für das ganze Buch¹.

Etliche Variationen illustrieren unterschiedliche Beweistechniken, wie zum Beispiel Variation 13 (Reductio ad absurdum), Variation 14 (Contrapositive), Variation 23 (Symmetry) und Variation 58 (Inventor’s Paradox). Letzteres besagt, dass es manchmal leichter ist, eine schärfere Aussage zu zeigen als das ursprüngliche Problem zu lösen.

Viele der Variationen sind eigentlich keine Variationen des Beweises, sondern Variationen der zu beweisenden Aussage. Hier ein Beispiel – Variation 5 (Puzzle):

Suppose that among four consecutive numbers, the product of the first three equals the third. What’s the fourth number?

Variation 7 (Found) ist der Scan einer Seite aus cardanos Ars Magna, in der 1545 zum ersten Mal die Lösungsformel für allgemeine kubische Gleichungen publiziert wurde.

Andere Variationen folgen dem Schema „im Stile von …“, wie zum Beispiel Variation 11 (Exam), Variation 34 (Medieval), Variation 43 (Screenplay) und Variation 81 (Doggerel).

Wieder eine andere Klasse von Variationen ist geometrischer Natur. Sei es, dass die algebraischen Terme als Volumina interpretiert werden wie in Variation 10 (Wordless), sei es, dass die Lösungen als Längen mit Zirkel und Lineal konstruiert werden wie in Variation 12 (Ruler and Compass), sei es, dass die Lösungen als Steigungen von Falzgeraden in Papierfaltungen produziert werden wie in Variation 39 (Origami).

Es gibt auch zwei Variationen, die mit Wahrscheinlichkeiten arbeiten: Variation 69 (Statistical) und Variation 78 (Probabilistic). Bezeichnenderweise liefern diese Beweisvarianten nur Abschätzungen für die Lösungen.

Wollte man die Variationen als Mathematiker nach ihrem mathematischen Gehalt und der Angemessenheit der Darstellung beurteilen, fiele das Urteil bisweilen harsch aus. Da werden für das eigentliche Problem unnötige Annahmen aus dem Hut gezaubert, um die Methode der Wahl überhaupt anwenden zu können und damit grobe Ergebnisse erzielt – besonders deutlich in Variation 69 (Statistics). Oder es wird mit Kanonen auf Spatzen geschossen, wie in den Variationen 61 (Modern) und 64 (Research Seminar). Aber eine solche Kritik wäre verfehlt. Der Autor gibt zu jeder Variation eine kurze Erläuterung, in der ein Phänomen beschrieben wird, das man anhand der gegebenen Variation illustrieren kann. Dieses Phänomen ist oft die eigentliche Motivation der entsprechenden Variation. Das Phänomen kann mathematischer Natur sein (zum Beispiel eine Beweistechnik). Es kann aber auch eine in der Mathematik übliche Lehrform (Variation 64) sein oder eine in der Community übliche Unart wie in Variation 94 (Authority), in der der proof by intimidation beschrieben wird. Es gibt auch Variationen, die ganz offensichtlich in erster Linie dazu da sind, einen geschichtlichen Exkurs unterzubringen, wie Variation 71 (Blog) mit seinen Erläuterungen zur persisch-arabischen Mathematik. Nicht zuletzt findet man Variationen, die den Humor des Autors widerspiegeln wie Variation 66 (Hand Waving). Hier sehen wir den Autor, wie er mit dem Finger eine kubische Kurve in die Luft malt. Die Erläuterung zu dieser Variation geht vom proof by hand waving aus, der einem in manchen Vorträgen begegnet, und spannt den Bogen zur Kognitionswissenschaft.

Insgesamt ist es Philip Ording gelungen, mit der kubischen Gleichung \(x^{3}-6x^{2}+11x-6=2x-2\) einen roten Faden in sein mathematisches Kaleidoskop einzuweben, der die 100 Kalendergeschichten – Variation 0 (Omitted) wird auch erläutert – zu einer Einheit macht. Das Buch ist unterhaltsam, informativ und spricht Profis wie Laien an. Ich kann es nur empfehlen.

 ¹ Ording nennt das Buch Exercises in Style des französischen Schriftstellers und Mathematikliebhabers Raymond queneau (1903–1976) als Vorbild. Da es erstaunlicherweise in der Literaturliste von 99 Variations on a Proof fehlt, hier die Erscheinungsdaten: Französisches Original: Exercises de Style, Gallimard 1947. Englische Übersetzung: Exercises in Style, Alma Classics, 2013. Deutsche Übersetzung: Stilübungen. Suhrkamp, 1961.

Funding Open Access funding enabled and organized by Projekt DEAL.

Open Access Dieser Artikel wird unter der Creative Commons Namensnennung 4.0 International Lizenz veröffentlicht, welche die Nutzung, Vervielfältigung, Bearbeitung, Verbreitung und Wiedergabe in jeglichem Medium und Format erlaubt, sofern Sie den/die ursprünglichen Autor(en) und die Quelle ordnungsgemäß nennen, einen Link zur Creative Commons Lizenz beifügen und angeben, ob Änderungen vorgenommen wurden. Die in diesem Artikel enthaltenen Bilder und sonstiges Drittmaterial unterliegen ebenfalls der genannten Creative Commons Lizenz, sofern sich aus der Abbildungslegende nichts anderes ergibt. Sofern das betreffende Material nicht unter der genannten Creative Commons Lizenz steht und die betreffende Handlung nicht nach gesetzlichen Vorschriften erlaubt ist, ist für die oben aufgeführten Weiterverwendungen des Materials die Einwilligung des jeweiligen Rechteinhabers einzuholen.

Weitere Details zur Lizenz entnehmen Sie bitte der Lizenzinformation auf http://creativecommons.org/ licenses/by/4.0/deed.de

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Januar 2021, Band 68, S. 171-173.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Joachim Hilgert (Paderborn)

Kim Williams und Michael J. Ostwald (Hrsg.)

Birkhäuser, 2015; Edition (19. Februar 2015), Englisch, 754 Seiten, 81,02 €

ISBN-10: 3319001361
ISBN-13: 978-3319001364

Das vorliegende zweibändige Werk gibt, wie es der Titel schon verspricht, einen guten Überblick über die zeitliche Entwicklung der vielfältigen Beziehungen zwischen den genannten Disziplinen: der Mathematik und der Architektur. Diese haben sich über die Jahrhunderte mehrfach deutlich gewandelt. Von der Antike bis in die Renaissance waren die Akteure in beiden Fachgebieten in der Regel Gelehrte, die sowohl im Bereich der Architektur als auch der Mathematik und oft auch in weiteren Disziplinen gut ausgebildet waren.

Ab dem 16. Jahrhundert führte dann das Aufkommen der Gilden und der technisch ausgerichteten Schulen dazu, dass man sich in der Befassung mit Architektur immer mehr auf rein architektur- bzw. bauspezifische Aspekte konzentrierte. Mit der Zeit entstand so eine gewisse Abgrenzung zur Mathematik. Aber auch Entwicklungen innerhalb der Mathematik trugen zu dieser Abgrenzung bei. Mit dem Aufkommen der reinen Mathematik und der rein theoretischen Betrachtung auch angewandter Fragestellungen konnte sich die Mathematik vergleichsweise schnell und unabhängig weiterentwickeln, während die Architektur wesentlich enger an die gesellschaftlichen Veränderungen und Strömungen im Bereich der Kunst gebunden war. Die zunehmende Spezialisierung in beiden Disziplinen machte es immer schwerer, in beiden Bereichen eine führende Rolle zu spielen.

Mit dem Aufkommen der Freiformarchitektur in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts und den in den letzten Jahren immer schnelleren Entwicklungen in der Digitalisierung haben sich Architektur und Mathematik wieder angenähert. Inzwischen spielen mathematische Konzepte nicht nur bei der Baufertigstellung, sondern auch beim Entwurf der Gebäude immer öfter eine entscheidende Rolle. Führende Architekturbüros stellen von daher heutzutage auch Mathematiker ein, und im Bereich der Modellierung und Optimierung befassen sich ganze Forschergruppen in mathematischen Instituten mit Fragestellungen, die aus der Architektur erwachsen.

Auch im Bereich des wissenschaftlichen Austausches gibt es heute einige Schnittstellen zwischen Architektur und Mathematik, doch es sind bislang nur wenige. Wer in seinem Browser nach wissenschaftlichen Artikeln sucht, die beide Bereiche betreffen, dem werden verschiedene angeboten. Doch meistens stammen die Artikel aus ein- und demselben Journal, dem Nexus Network Journal. Letzteres erscheint im Birkhäuser-Programm der Springer Nature Gruppe und ist mit inzwischen vier Ausgaben pro Jahr gut etabliert.

Doch das war nicht immer so. Der Gründung des Journals im Jahr 1999 ging zunächst eine Initiative voraus. Wissenschaftler, die im Grenzbereich zwischen Architektur und Mathematik arbeiteten, suchten den Austausch. In dieser Zeit war das Internet noch kaum entwickelt, und entsprechende wissenschaftliche Arbeiten konnten nur vereinzelt in wissenschaftlichen Journalen untergebracht werden, die aber mit ihren Profilen im Kern ganz andere Ziele verfolgten. Mit den Artikeln „The cloisters of Hauterive“ von Benno Artmann (The Mathematical Intelligencer 13(2) (1991), S. 44–49), „The Sacred Cut Revisited: The Pavement of the Baptistery of San Giovanni, Florence.“ von Kim Williams (The Mathematical Intelligencer 16(2) (1994), S. 18–24) und „Friedrich II and the love of geometry“ von Heinz Götze (The Mathematical Intelligencer 17(4) (1995), S. 48–57) boten die Autoren über die breite Leserschaft des Mathematical Intelligencers erstmals einen Kristallisationspunkt für die im Wesentlichen vereinzelt arbeitenden Wissenschaftler, und es entstand eine Interessengemeinschaft.

Zügig sollte mehr entstehen, und man organisierte deshalb die Konferenz „Nexus ’96: Relationships between Architecture and Mathematics“, die 1996 in Fucecchio stattfand. Die Konferenz sollte den beabsichtigten breiteren Austausch bieten, und mit den Proceedings zur Konferenz erhielt man nun ein erstes gutes Medium, über das Forschungsergebnisse publiziert werden konnten. Die Nexus-Konferenzen fanden daraufhin alle zwei Jahre statt. Der Kreis der Interessenten wuchs schnell, und schon während der zweiten Konferenz wurde die Vision entwickelt, eine wissenschaftliche Zeitschrift für genau diesen Grenzbereich zu etablieren. Jedoch gab es nach der darauf folgenden Einführung des Nexus Network Journals im Jahre 1999 weiterhin noch die Proceedings zu den einzelnen Nexus-Konferenzen, und zwar noch bis 2008. Seit 2010 erscheinen die Proceedings in Sonderausgaben des Nexus Network Journals.

Doch die Artikel in den frühen Konferenz-Proceedings hatten Gewicht. Es waren die führenden Wissenschaftler der Szene, die hier über ihre Forschungsergebnisse berichteten. Die Artikel wurden vielfach zitiert, aber der Zugriff auf sie war oftmals nicht einfach. Die ersten Ausgaben der Konferenz-Proceedings waren teilweise schnell vergriffen, und so suchte man einen Weg, zumindest die oft zitierten Artikel der Allgemeinheit weiterhin zur Verfügung zu stellen. Statt sie nun einfach nachzudrucken, hatten die Herausgeber Kim Williams und Michael. J. Ostwald die Idee, die betreffenden Artikel chronologisch und thematisch zu sortieren und so mit dem Nachdruck gleichzeitig einen Überblick über die Entwicklung der Beziehungen zwischen Architektur und Mathematik von der Antike bis in die jüngste Zeit zu geben.

Dies ist nun genau der Inhalt der beiden vorliegenden Bände: Es sind gut sortierte, ausgewählte Nachdrucke aus den frühen Konferenz-Proceedings. Die Gesamtheit der ausgewählten Artikel ist so umfangreich, dass die Sammlung das Beabsichtigte auch leistet. Sie umfasst fast 100 Artikel, über 60 Bauwerke werden explizit beschrieben, es wird auf über 20 verschiedene theoretische Entwicklungen der Geometrie und des Designs eingegangen, und die Beispiele kommen aus vielen verschiedenen Kontinenten und umspannen zeitlich vier Jahrtausende.

Die Artikel, die die Zeit von den Anfängen in der Antike bis etwa 1500 n. Chr. betreffen, befinden sich im ersten der beiden Bände, die Zeit nach 1500 n. Chr. wird im zweiten Band behandelt. Für beide Bände haben die Herausgeber jeweils eine über zwanzigseitige Einleitung geschrieben, die zum einen die Entwicklung über die Zeit darstellt und zum anderen eine thematische Bündelung der Artikel vornimmt und reflektiert. Zusammen mit diesen Einleitungen entsteht in der Tat ein sehr rundes Bild der Geschichte der Architektur und der Mathematik, das die Artikel für sich alleine nicht hätten erreichen können.

Mit dem gewählten Konzept stellen die beiden Bände also – anders als es der Titel suggeriert – keine vollständige Enzyklopädie der geschichtlichen Entwicklung der Beziehungen zwischen beiden Fächern dar. Zwar erhält man, wie schon gesagt, durch die vorzüglichen Einleitungen der Herausgeber ein recht umfassendes Bild. Jedoch bieten die diversen Artikel darüber hinaus die Möglichkeit, einen viel tieferen und detaillierteren Einblick zu einzelnen Aspekten zu erhalten, als es in einem Werk möglich wäre, das dem Anspruch einer uniformen Betrachtung aller Zusammenhänge verpflichtet ist.

Für mich hat diese Mischung aus einer Gesamtschau und der Option, über einzelne Artikel bis an die Grenze der (aktuellen) Forschung zu kommen, die Lektüre der beiden Bände besonders lebendig gemacht. In einer auf vier Wochen in vier Semestern angelegten Fortbildung der Studienstiftung des deutschen Volkes (einem sogenannten wissenschaftlichen Kolleg) habe ich das zweibändige Werk daraufhin zum Thema gemacht. Wir verfolgten den mit den Einleitungen vorgegebenen Bogen über die Zeit und nutzten die einzelnen Artikel, um bei ausgewählten Themen in die Tiefe zu gehen. Zudem nahmen wir weitere Themen aus der Übersicht hinzu, die uns neugierig gemacht hatten. Die gleiche Lebendigkeit, die ich schon für mich aus der Lektüre ziehen konnte, war dann auch in der Arbeitsgemeinschaft zu spüren. Insofern möchte ich den Herausgebern ein ganz großes Lob zu dieser besonderen Ausgabe von Nachdrucken aussprechen.

Wie schon erwähnt, war die Motivation für die Herausgabe dieser beiden Bände vorrangig die Bereitstellung von viel zitierten Artikeln aus den Proceedings der ersten Nexus-Konferenzen. Da diese Proceedings das erste Printmedium waren, in dem regelmäßig Themen im Grenzgebiet zwischen Architektur und Mathematik besprochen wurden, veröffentlichten dort auch die für dieses Gebiet führenden Persönlichkeiten. Dazu gehören Leonard Eaton, Marco Frascari, Lionel March, Alberto Pérez-Gémez, Mario Salvadori, Robert Tavorner sowie der Herausgeber der Imagine Math-Reihe Michele Emmer, um nur einige zu nennen. Auch die Protagonisten der ersten Stunde, darunter die Herausgeberin Kim Williams sowie Benno Artmann von der TU Darmstadt und Heinz Götze vom Springer Verlag, lieferten Beiträge für die frühen Proceedings, die in die vorliegende Sammlung mit aufgenommen wurden. Natürlich wird nicht jeder Leser, jede Leserin alle Artikel des zweibändigen Werks gleichermaßen interessant finden, aber es ist für jeden und jede mit einer Neugierde für das Themenfeld sicher etwas dabei.

Exemplarisch möchte ich ein paar Thematiken nennen, die in den Beiträgen aufgenommen wurden. Mich persönlich hat zum Beispiel der Artikel von Heinz Götze sehr angesprochen. Dort stellt der Autor mathematische Überlegungen zum Castel del Monte in Apulien an, das seit 1996 Teil des Weltkulturerbes ist. Letzteres wurde im Auftrag des deutschen Staufferkaisers Friedrich II. im 13. Jahrhundert erbaut. Friedrich II. interessierte sich nachweislich sehr für Mathematik, und das Bauwerk weist offenkundig viele mathematisch initiierte Details auf. Es gibt zudem Vermutungen, die besagen, dass das ganze Gebäude ein reiner Kunstbau sei.

Ein weiterer Artikel der Sammlung, den wir im Übrigen auch bei dem oben erwähnten wissenschaftlichen Kolleg in den Fokus genommen haben, ist eine Arbeit über Muqarnas von Yvonne Dold-Samplonius und Silvia Hamsen. Murqarnas sind aufwändige Zierelemente der persischen Architektur, mit denen ein oberer Abschluss einer Nische oder ein Gewölbe ausgeschmückt werden. Die Muqarnas entstanden in der Mitte des 10. Jahrhunderts als Architekturelement und verbreiteten sich rasch über das gesamte damalige islamische Herrschaftsgebiet. In dem Artikel wird die zugrundeliegende mathematische Struktur der Muqarnas analysiert, und es wird aufgezeigt, wie man sie mit dem Einsatz von Computern rekonstruieren kann.

Leonard Eaton analysiert in einem anderen Artikel die Geometrie der Fenster im Meyer May House von Frank Lloyd Wright, und in einem weiteren Artikel der Reprint-Sammlung erklärt der aktuelle Ars legendi-Preisträger Ulrich Kortenkamp die mathematischen Hintergründe zu einem Architektenentwurf der Firma Mettler zur Pflasterung des Berliner Alexanderplatzes mittels einer Penrose-Parkettierung, an dessen Umsetzung er beteiligt war. Die Beispiele sollen verdeutlichen, welche Bandbreite und welche Vielfalt das zweibändige Werk aufweist.

Natürlich decken die beiden Bände nicht alle Themenfelder des Grenzgebiets vollständig ab. Beispielsweise fehlen Artikel zu Brunelleschi, der zum einen als Bauherr der Kuppel von Santa Maria del Fiore in Florenz, aber vor allem für die konsequente Einführung der Perspektive in der Architektur verantwortlich war. Auch werden die auffälligen Bezüge der Bauwerke von Otto Frei (dem Erbauer des Münchener Olympiastadions) zur Theorie der Minimalflächen nur beiläufig in einem Aufsatz von Michele Emmer erwähnt, und die Freiformarchitektur als Ganzes mit ihren bekannten Vertretern wie Norman Foster, Frank Gehry oder Zaha Hadid bleiben gänzlich ungenannt.

Andererseits werden andere Aspekte überproportional in Szene gesetzt. So gibt es beispielsweise alleine drei Artikel zur Architekturtheorie des Leon Battista Alberti. Und auch Werke von Frank Lloyd werden gleich in drei verschiedenen Werken in den Fokus genommen. Aber dies liegt natürlich auch darin begründet, dass es sich hier um eine Auswahl von Nachdrucken handelt und nicht jedes Thema im Grenzbereich der Architektur und der Mathematik schon Thema eines Nexus-Konferenzvortrages gewesen sein kann. Naturgemäß findet man in den beiden Bänden von daher auch keine Artikel zu den ganz jungen und spannenden Entwicklungen, wie zum Beispiel zum Entwerfen von Gebäuden mittels moderner digitaler Entwicklungstools wie der Grashopper-Anwendung. Jedoch ist es den beiden Herausgebern gelungen, mit der Aufbereitung der Artikel ein wunderschönes Sammelsurium von Informationen zusammenzustellen, das auch einem Laien das wissenschaftliche Grenzgebiet zwischen Architektur und Mathematik eröffnen kann. Viele Artikel erfahren durch das hochwertige Format eine besondere Wertschätzung und erreichen so hoffentlich einen erweiterten Leserkreis. Die Qualität der Artikel verdient dies allemal.

Funding Open Access funding enabled and organized by Projekt DEAL.

Open Access Dieser Artikel wird unter der Creative Commons Namensnennung 4.0 International Lizenz veröffentlicht, welche die Nutzung, Vervielfältigung, Bearbeitung, Verbreitung und Wiedergabe in jeglichem Medium und Format erlaubt, sofern Sie den/die ursprünglichen Autor(en) und die Quelle ordnungsgemäß nennen, einen Link zur Creative Commons Lizenz beifügen und angeben, ob Änderungen vorgenommen wurden. Die in diesem Artikel enthaltenen Bilder und sonstiges Drittmaterial unterliegen ebenfalls der genannten Creative Commons Lizenz, sofern sich aus der Abbildungslegende nichts anderes ergibt. Sofern das betreffende Material nicht unter der genannten Creative Commons Lizenz steht und die betreffende Handlung nicht nach gesetzlichen Vorschriften erlaubt ist, ist für die oben aufgeführten Weiterverwendungen des Materials die Einwilligung des jeweiligen Rechteinhabers einzuholen.

Weitere Details zur Lizenz entnehmen Sie bitte der Lizenzinformation auf http://creativecommons.org/ licenses/by/4.0/deed.de

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Januar 2021, Band 68, S. 165-169.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Michael Joachim (Münster)

Georg Glaeser (Hrsg.)

Springer Verlag; 1. Aufl. 2020 Edition (15. September 2020), Taschenbuch: 317 Seiten, 22,99 €

ISBN-10 : 366261765X
ISBN-13 : 978-3662617656

Seit geraumer Zeit gibt es in den verschiedensten Ländern vielfache Aktivitäten, deren Ziel es ist, Interesse an und Verständnis für Mathematik in einem breiteren Kreis der Bevölkerung zu generieren. In Deutschland hat sich die Deutsche Mathematikervereinigung DMV besonders um dieses Anliegen verdient gemacht, und einzelne Autoren wie Ehrhard Behrends haben regelmäßige Kolumnen mit mathematischen Themen geschrieben, die später in dem Buch „Fünf Minuten Mathematik“ in aufbereiteter Form gesammelt wurden.

Das hier zu besprechende Buch ist aus einer österreichischen Initiative hervorgegangen. Einer Idee des 2019 verstorbenen Gilbert Helmberg folgend hat die Österreichische Mathematische Gesellschaft ÖMG seit 2010 rund 100 sogenannter „Mathe-Briefe“ an Interessierte verschickt, in denen unterschiedliche Themen im Umfeld von Mathematik und Mathematikunterricht diskutiert wurden. „77-mal Mathematik für zwischendurch“ ist eine Auswahl von für diese Veröffentlichung neu editierten Versionen solcher „Mathe-Briefe“. Die einzelnen Beiträge sind thematisch geordnet in den folgenden Rubriken zusammengefasst:

I. Algebra und Logik
II. Analysis
III. Geometrie
IV. Zahlentheorie
V. Stochastik
VI. Olympisches
VII. Diverses

Die „Mathe-Briefe“ der ÖMG richten sich ganz explizit an Mathematiklehrerinnen und -Lehrer an höheren Schulen. Das merkt man auch den editierten Texten an, denn fast alle gehen in der einen oder anderen Form auf inhaltliche Bezüge zum Schulunterricht ein, und sei es durch Angabe von an Schüler gerichteter Literatur.

Inhaltlich unterscheidet sich dieser Band nicht grundsätzlich von anderen Sammelbänden zur Popularisierierung von Mathematik. Es gibt Beiträge zu Fibonacci und Adam Ries, zu kubischen Gleichungen, zur Koch-Kurve, zum Newton-Verfahren, zu pythagoreischen Tripeln, zur vollständigen Induktion, zur Spieltheorie und auch einen mit kryptologischem Inhalt. Es gibt aber auch viele Beiträge zu Themen, die ich anderswo noch nicht zur populären Verbreitung aufgearbeitet gesehen habe. Als Beispiel seien G. Glaesers Beiträge zu Stereoskopie und zur Tiefenschärfe von Fotos und L. Summerers Beitrag zu Polynomfunktionen in mehreren Variablen genannt. Auch die biographischen Beiträge haben Überraschendes zu bieten. So war mir die bemerkenswerte Mathematikerin Hilda Geiringer (1893–1973), hier porträtiert von Ch. Binder, vorher nicht bekannt.

Sammelbände zur Popularisierung von Mathematik haben sich in den letzten Jahren zu einem regelrechten Genre entwickelt. Allein im deutschsprachigen Raum sind etliche Bände mit unterschiedlichem Anspruch und unterschiedlichen Schwerpunkten (Anwendungen, Logik und Strukturen, Knobelaufgaben, Wettbewerbsaufgaben, Historisches etc.) erschienen. Ich persönlich habe den Überblick verloren. Während ich bei etlichen Themen des vorliegenden Buches sicher sagen kann, dass sie anderswo auch schon mehrfach behandelt wurden, bleibt mir bei den übrigen Beiträgen nur zu sagen, dass mir nicht bekannt ist, ob sie auch an anderer Stelle zu finden sind. Als Lehrer würde ich mir wünschen, es gäbe eine einschlägige Datenbank, in der ich stöbern könnte, wenn ich Material für eine Unterrichtsreihe oder ein wissenschaftspropädeutisches Projekt suche. Als Forscher haben wir mit dem MathSciNet der American Mathematical Society AMS und dem zbMATH (früher Zentralblatt für Mathematik und ihre Grenzgebiete) solche Datenbanken zur Verfügung.

Ob exklusiv oder nicht, die Beiträge des vorliegenden Bandes sind durchwegs interessant und mit Engagement geschrieben. Manche sind mehr deskriptiv und sehr leicht zu lesen, manche verlangen dem Leser etwas mehr Konzentration ab, und einige setzen zusätzlich zur mathematischen Grundbildung etwas Hintergrund in den Naturwissenschaften, speziell der Physik, voraus. Der aufmerksame Leser findet Kleinigkeiten, die er kritisieren könnte, wie einige stehengebliebene Referenzen aus den urspünglichen „Mathe-Briefen“, die jetzt ins Leere laufen, fehlende Literaturhinweise in einigen Artikeln oder fehlende Erklärungen von für deutsche Leser (die an eine Klassennummerierung von 1 bis 13 gewöhnt sind) irritierende Aussagen wie „Waren früher solche Probleme bestenfalls in der 6. Klasse beim Kapitel Folgen und Reihen und mit Hilfe von Logarithmen lösbar, können heute Schülerinnen und Schüler der 4. Klasse diese Aufgaben bearbeiten.“ Der Gesamteindruck ist dennoch sehr positiv.

Die durchgehende Berücksichtigung schulischer Aspekte machen das Buch insbesondere auch für engagierte Lehrkräfte interessant. Angesichts der tagtäglichen Herausforderungen, denen sich Mathematiklehrer und -Lehrerinnen in der Praxis konfrontiert sehen, frage ich mich, ob es möglich ist, ihnen noch eine Extrabelohnung anzubieten, wenn sie in einem Akt selbstgesteuerter Weiterbildung einen Aufsatz aufmerksam durchgelesen haben. Vielleicht in Form eines ausgearbeiteten Arbeitsblattes, das sich auf der Webseite des Verlags runterladen kann, wer online drei Fragen zum Text korrekt beantwortet hat.

Funding Open Access funding enabled and organized by Projekt DEAL.

Open Access Dieser Artikel wird unter der Creative Commons Namensnennung 4.0 International Lizenz veröffentlicht, welche die Nutzung, Vervielfältigung, Bearbeitung, Verbreitung und Wiedergabe in jeglichem Medium und Format erlaubt, sofern Sie den/die ursprünglichen Autor(en) und die Quelle ordnungsgemäß nennen, einen Link zur Creative Commons Lizenz beifügen und angeben, ob Änderungen vorgenommen wurden. Die in diesem Artikel enthaltenen Bilder und sonstiges Drittmaterial unterliegen ebenfalls der genannten Creative Commons Lizenz, sofern sich aus der Abbildungslegende nichts anderes ergibt. Sofern das betreffende Material nicht unter der genannten Creative Commons Lizenz steht und die betreffende Handlung nicht nach gesetzlichen Vorschriften erlaubt ist, ist für die oben aufgeführten Weiterverwendungen des Materials die Einwilligung des jeweiligen Rechteinhabers einzuholen.

Weitere Details zur Lizenz entnehmen Sie bitte der Lizenzinformation auf http://creativecommons.org/ licenses/by/4.0/deed.de

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Januar 2021, Band 68, S. 175-177.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Joachim Hilgert (Paderborn)

Tatiana S. Samrowski

Springer Verlag; 1. Aufl. 2020; 174 Seiten; 19,99 €

ISBN-10: 3662618818
ISBN-13: 978-3662618813

Tatiana Samrowski hat in diesem großartigen Buch rund 550 Aufgaben zusammengestellt: Sie stammen aus einer Sammlung mathematischer Probleme, Rätsel und Knobeleien, die in den Jahren 2012 – 2020 für den Unterricht der „Junior Euler Society für Mathematik der Universität Zürich“ verwendet wurden. Er richtet sich an Kinder der Klassen 3/4 und 5/6, die sich gern an Knobel-, Logik- oder Mathewettbewerben beteiligen wollen. Die Autorin, habilitierte Mathematikerin, leitet diese Institution.

Das Buch ist in zwölf Kapitel gegliedert, sie enthalten Aufgaben aus klassischen Gebieten wie z. B. Wägeprobleme, Füll- und Umfüllvorgänge, Zahlenrätsel und kombinatorische Fragestellungen sowie Altersaufgaben und Uhrzeitberechnungen.

Jeder Abschnitt beginnt mit einigen Beispielen samt ausführlichen Lösungen, dabei werden – der Klassenstufe entsprechend – keine formalen algebraischen Methoden (etwa Gleichungen) benutzt, sondern es wird sehr anschaulich verbal argumentiert. Daran schließen sich in jedem Kapitel „Aufgaben zum selbständigen Lösen“ an, die auf ähnliche Weise bearbeitet werden können. Der jeweils dritte Teil enthält Aufgaben – insgesamt sind das rund 300 – aus bekannten Wettbewerben wie z. B. dem Känguru- und dem Pangea-Wettbewerb oder der Deutschen Mathematik Olympiade (DMO). Auch hier gibt es keine Lösungswege, allerdings sind die Aufgaben mancher Wettbewerbe mit Auswahlantworten versehen, so dass man die eigene Lösung überprüfen kann.

Im Titel des Buches wird schon darauf hingewiesen, dass es nicht nur für Begabte gedacht ist. Kinder haben häufig am Rätseln und Knobeln Spaß, auch wenn ihnen der Mathematikunterricht in der Schule vielleicht nicht besonders gut gefällt. Mit dem Lösen solcher Aufgaben kann man ihnen Lust auf mehr machen und zu kreativem logischen Denken hinführen, ohne dass sie gleich an Mathematik denken. Diese Sammlung kann daher gezielt auch im normalen Unterricht eingesetzt werden – und ich meine, dass manche der Probleme auch durchaus noch für höhere Klassenstufen geeignet sind. Eltern und vor allem Lehrer sollten das nutzen.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Georg Glaeser (Hrsg.)

Springer Verlag; 1. Aufl. 2020 Edition (15. September 2020), Taschenbuch: 317 Seiten, 22,99 €

ISBN-10: 366261765X
ISBN-13: 978-3662617656

Ein kurioses Sammelsurium findet sich in diesem Buch, der Grund dafür ist in seiner Entstehung zu sehen: In Österreich ist seit 2010 ein sogenannter „Mathe-Brief“, ein „monatlich erscheinendes Informationsmedium der ÖMG für Mathematik-Lehrerinnen und -Lehrer an höheren Schulen“, auf der Website der ÖMG, der Österreichischen Mathematischen Gesellschaft, erschienen. Alle diese Briefe können unter der Internetadresse der Gesellschaft gelesen werden: https://www.oemg.ac.at/Mathe-Brief/. In diesem Buch sind 77 dieser Briefe veröffentlicht.

Jeder ist zwischen zwei und acht, im Mittel ca. vier Seiten lang, die meisten davon sind einem der Gebiete Algebra und Logik (13), Analysis (15), Geometrie (13), Zahlentheorie (15), Stochastik (5) zugeordnet. Sehr stark unterschiedlich ist nicht nur der Stil der 14 Autoren, sondern auch der Schwierigkeitsgrad. Wenig Vorkenntnisse erfordern die Kapitel, die nur den Stoff der Sekundarstufe I in Deutschland (also bis zur Klassenstufe 10) voraussetzen (in Österreich beginnt die Sekundarstufe II schon in der 9. Klasse). Andere Briefe verlangen Kenntnisse der Sekundarstufe II und darüber hinaus. Artikel biographischen Inhalts kann man wohl nur mit Gewinn lesen, wenn man einen gewissen Überblick über die Geschichte der Mathematik hat.

Jugendliche erhalten hier schöne Anregungen, viele Briefe können sehr gut als Grundlage für Referate oder Hausarbeiten genommen werden. Dazu gehören z. B. Kapitel über so bekannte und häufig beschriebene Themen wie die Zahlen π, e oder „Wurzel aus 2“, über die Koch-Kurve, die Fibonacci-Zahlen, das Newtonsche Näherungsverfahren, Parkettierungen, reguläre und halbreguläre Polyeder, pythagoreische Zahlentripel, ägyptische Brüche, magische Quadrate u. v. a. Auch weniger verbreitete Inhalte sind zu finden, wie z. B. über Quaternionen, Kugelgeometrie, Spieltheorie oder den Dijkstra-Algorithmus.. Allerdings kommen auch manche „Kuriositäten“ vor (vielleicht die Steckenpferde eines der Autoren), die mir so speziell erscheinen, dass ich die Gründe für deren Aufnahme in diesen Sammelband gerne kennen würde.

So recht erschließt sich mir nicht, warum die Briefe in gedruckter Form herausgegeben werden. Sie lassen sich alle, wie in der Einleitung des Buches ausdrücklich erwähnt, von der oben genannten Website einzeln herunterladen. Darüber sind hoffentlich viele  Lehrerinnen und Lehrer in Österreich informiert – das sollte aber auch in Deutschland  bekannt sein (oder werden), damit diese Information in der Schule genutzt werden kann.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)