Leseecke

Tatiana S. Samrowski

Springer Verlag; 1. Aufl. 2020; 174 Seiten; 19,99 €

ISBN-10: 3662618818
ISBN-13: 978-3662618813

Tatiana Samrowski hat in diesem großartigen Buch rund 550 Aufgaben zusammengestellt: Sie stammen aus einer Sammlung mathematischer Probleme, Rätsel und Knobeleien, die in den Jahren 2012 – 2020 für den Unterricht der „Junior Euler Society für Mathematik der Universität Zürich“ verwendet wurden. Er richtet sich an Kinder der Klassen 3/4 und 5/6, die sich gern an Knobel-, Logik- oder Mathewettbewerben beteiligen wollen. Die Autorin, habilitierte Mathematikerin, leitet diese Institution.

Das Buch ist in zwölf Kapitel gegliedert, sie enthalten Aufgaben aus klassischen Gebieten wie z. B. Wägeprobleme, Füll- und Umfüllvorgänge, Zahlenrätsel und kombinatorische Fragestellungen sowie Altersaufgaben und Uhrzeitberechnungen.

Jeder Abschnitt beginnt mit einigen Beispielen samt ausführlichen Lösungen, dabei werden – der Klassenstufe entsprechend – keine formalen algebraischen Methoden (etwa Gleichungen) benutzt, sondern es wird sehr anschaulich verbal argumentiert. Daran schließen sich in jedem Kapitel „Aufgaben zum selbständigen Lösen“ an, die auf ähnliche Weise bearbeitet werden können. Der jeweils dritte Teil enthält Aufgaben – insgesamt sind das rund 300 – aus bekannten Wettbewerben wie z. B. dem Känguru- und dem Pangea-Wettbewerb oder der Deutschen Mathematik Olympiade (DMO). Auch hier gibt es keine Lösungswege, allerdings sind die Aufgaben mancher Wettbewerbe mit Auswahlantworten versehen, so dass man die eigene Lösung überprüfen kann.

Im Titel des Buches wird schon darauf hingewiesen, dass es nicht nur für Begabte gedacht ist. Kinder haben häufig am Rätseln und Knobeln Spaß, auch wenn ihnen der Mathematikunterricht in der Schule vielleicht nicht besonders gut gefällt. Mit dem Lösen solcher Aufgaben kann man ihnen Lust auf mehr machen und zu kreativem logischen Denken hinführen, ohne dass sie gleich an Mathematik denken. Diese Sammlung kann daher gezielt auch im normalen Unterricht eingesetzt werden – und ich meine, dass manche der Probleme auch durchaus noch für höhere Klassenstufen geeignet sind. Eltern und vor allem Lehrer sollten das nutzen.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Georg Glaeser (Hrsg.)

Springer Verlag; 1. Aufl. 2020 Edition (15. September 2020), Taschenbuch: 317 Seiten, 22,99 €

ISBN-10: 366261765X
ISBN-13: 978-3662617656

Ein kurioses Sammelsurium findet sich in diesem Buch, der Grund dafür ist in seiner Entstehung zu sehen: In Österreich ist seit 2010 ein sogenannter „Mathe-Brief“, ein „monatlich erscheinendes Informationsmedium der ÖMG für Mathematik-Lehrerinnen und -Lehrer an höheren Schulen“, auf der Website der ÖMG, der Österreichischen Mathematischen Gesellschaft, erschienen. Alle diese Briefe können unter der Internetadresse der Gesellschaft gelesen werden: https://www.oemg.ac.at/Mathe-Brief/. In diesem Buch sind 77 dieser Briefe veröffentlicht.

Jeder ist zwischen zwei und acht, im Mittel ca. vier Seiten lang, die meisten davon sind einem der Gebiete Algebra und Logik (13), Analysis (15), Geometrie (13), Zahlentheorie (15), Stochastik (5) zugeordnet. Sehr stark unterschiedlich ist nicht nur der Stil der 14 Autoren, sondern auch der Schwierigkeitsgrad. Wenig Vorkenntnisse erfordern die Kapitel, die nur den Stoff der Sekundarstufe I in Deutschland (also bis zur Klassenstufe 10) voraussetzen (in Österreich beginnt die Sekundarstufe II schon in der 9. Klasse). Andere Briefe verlangen Kenntnisse der Sekundarstufe II und darüber hinaus. Artikel biographischen Inhalts kann man wohl nur mit Gewinn lesen, wenn man einen gewissen Überblick über die Geschichte der Mathematik hat.

Jugendliche erhalten hier schöne Anregungen, viele Briefe können sehr gut als Grundlage für Referate oder Hausarbeiten genommen werden. Dazu gehören z. B. Kapitel über so bekannte und häufig beschriebene Themen wie die Zahlen π, e oder „Wurzel aus 2“, über die Koch-Kurve, die Fibonacci-Zahlen, das Newtonsche Näherungsverfahren, Parkettierungen, reguläre und halbreguläre Polyeder, pythagoreische Zahlentripel, ägyptische Brüche, magische Quadrate u. v. a. Auch weniger verbreitete Inhalte sind zu finden, wie z. B. über Quaternionen, Kugelgeometrie, Spieltheorie oder den Dijkstra-Algorithmus.. Allerdings kommen auch manche „Kuriositäten“ vor (vielleicht die Steckenpferde eines der Autoren), die mir so speziell erscheinen, dass ich die Gründe für deren Aufnahme in diesen Sammelband gerne kennen würde.

So recht erschließt sich mir nicht, warum die Briefe in gedruckter Form herausgegeben werden. Sie lassen sich alle, wie in der Einleitung des Buches ausdrücklich erwähnt, von der oben genannten Website einzeln herunterladen. Darüber sind hoffentlich viele  Lehrerinnen und Lehrer in Österreich informiert – das sollte aber auch in Deutschland  bekannt sein (oder werden), damit diese Information in der Schule genutzt werden kann.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Rottmann, Michael (2020). Gestaltete Mathematik. Geometrien, Zahlen und Diagramme in der Kunst in New York um 1960. München: Verlag Silke Schreiber (Edition Metzel), 395 S., 32€.

Michael Rottman ist Kunstwissenschaftler und Mathematiker. An der Themenwahl seiner Vorlesungen an Universitäten und Hochschulen der letzten 15 Jahren lässt sich die inhaltliche Spanne seiner Dissertation mit dem Titel Gestaltete Mathematik. Geometrien, Zahlen und Diagramme in der Kunst in New York um 1960 ablesen. Die Themen lauteten „Mathematik in Algebra, Analysis und Elementargeometrie“, „Mathematische Formen – von der Formel zur Form in der New Yorker Kunst“ und „Bildtheorien in der Minimal Art und der Konzeptkunst.“ Die Dissertation wurde an der Freien Universität Berlin im Fachbereich Kunstwissenschaft eingereicht.

Den Einfluss des Mathematischen in der Kunst in New York um 1960 beleuchtet Rottmann zunächst aus dem historischen Kontext heraus. In seinem Kapitel „Geometrien der Malerei“ wird die klassische Moderne in Europa mit der Künstlergruppe de Stijl und Piet Mondrian in der Auseinandersetzung mit Künstlern des abstrakten Expressionismus, hier mit künstlerischen Werken der Künstler Barnett Newman und Frank Stella (Streifenbilder) thematisiert. An dieser Stelle erklärt Rottmann auch den Begriff der „geometrischen Form (um 1960)“.

Rottmann beschreibt Sachverhalte der Mathematik nicht als Selbstzweck oder im alten Wettstreit von Mathematik und Kunst, sondern er legt dar, dass Mathematik in der Gestaltung der Kunst in den 60er Jahren in New York unterschiedliche Rollen spielte. Dies wird an ausgewählten Kunstwerken der Künstler Mel Bochner, Donald Judd, Sol LeWitt und der Künstlerin Ruth Vollmer dargestellt.

Dass Mathematik auf der Ebene der Methode, der Form wie auch der Metapher künstlerisch genutzt wird und sie damit den Bilddiskurs gerade in den 60er Jahren in New York stark beeinflusst hat, belegen viele künstlerische Werkbeispiele, in denen Geometrien, Zahlen und Diagramme eine Rolle spielen. Auch steht die formalästhetische und innovative Funktion der Mathematik innerhalb der Kunst der 1960er Jahre in New York im Fokus. Rottmann untersucht hier insbesondere deren Bestandteil im Bild- und Visualitätsdiskurs.

Rottmann zeigt auf, dass in New York in den 60er Jahren viele Künstler gleichzeitig Künstler und Theoretiker waren, einige Künstler standen teilweise in direktem Austausch mit Mathematikern. Donals Judd und Sol Le Witt als Hauptvertreter des Minimalismus, in deren Werken geometrische Objekte die Hauptrolle spielen, waren in den 60er Jahren gleichzeitig Künstler, Theoretiker und in der Lehre an Universitäten tätig. Interessant ist, wenn Rottmann veranschaulicht, dass aus der Mathematik heraus Denkmodelle entwickelt wurden. Der Künstler Mel Bochner hat beispielweise das Cantorsche Paradox als Denk-Modell in Bezug auf das Verhältnis von Sehen und Denken herangezogen.

Rottmann strukturiert das Verhältnis der Mathematik zur Kunst in New York um 1960 unter in vier Themenbereiche mit den Kapitelüberschriften „Gestaltete Mathematik“, „Gebaute Geometrien“, „Gerechnete Geometrien“ und „Diagrammatische Kunst“. Rottmanns präzise Analyse und Fülle von Vergleichsbeispielen mit der zeitgenössischen Kunst (Carl Andre, Hanne Darboven, Jasper Johns, Ellsworth Kelly, Robert Morris, Robert Rauschenberg, Ad Reinhardt, Andy Warhol) sowie der europäischen Moderne (Josef Albers, Max Bill, Marcel Duchamp, Piet Mondrian, dem Manifest von de Stijl). Es entsteht eine unter diesen vier Themenschwerpunkten aufbereitete Materialsammlung.

Rottmann weist auch auf die „Ambivalenzen des Mathematischen“ hin, in der Art und Weise der Nutzung des Mathematischen und auf den Bereich der Pseudorationalität. Er nutzt zudem Selbstaussagen der Künstler, die einen sehr interessanten Blick auf die Künstlerintention geben. Die akribische Auflistung der Kunstwerke von Künstler Mel Bochner, Donald Judd, Sol LeWitt und der Künstlerin Ruth Vollmer, die Rottmann den vier Kapiteln unterordnet wirkt insgesamt etwas unübersichtlich. Biografische und Bibliografische Angaben und eine Werkübersicht nach Künstlerpersönlichkeiten sortiert wären im Anhang deshalb interessant gewesen.

Das Buch kann allen Lesern wärmstens empfohlen werden, die sich einen Überblick des werkimmanenten Einflusses der Mathematik in der Kunst in New York um 1960 verschaffen wollen. Diese werden den Materialreichtum dieses Buches – vom Wandel des Geometrischen, über das Arithmetische und die numerischen Ordnungen, zum Einfluss der Funktionen mathematischer Diagramme in der Kunst – zu schätzen wissen.

Rezension: Beate Klompmaker

Robert Resel

Herausgeber: Logos Berlin (15. März 2014), Taschenbuch, 312 Seiten, 44 €

ISBN-10: 3832536728
ISBN-13: 978-3832536725

„Dieses Buch bietet allen Interessenten und Liebhabern der Mathematik eine Sammlung mathematischer Leckerbissen …“ schreibt der Verlag auf dem hinteren Buchdeckel. Leckerbissen für alle Interessenten – davon allerdings dürfte man in diesem Buch nicht so viel finden. Und Liebhaber müssen auch schon besondere Vorlieben für die doch recht speziellen Themen haben. Das wird schon deutlich, wenn man in der Verlagsbeschreibung weiter liest: „Beginnend mit je einem Dutzend Zugängen zum skalaren bzw. vektoriellen Produkt zweier Vektoren …“ (womit dann knapp 40 Seiten gefüllt werden).

Der Autor ist Gymnasiallehrer an einer höheren Schule in Wien und unterrichtet auch im Wahlpflichtfach Mathematik, das in Österreich für interessierte und besonders motivierte Schülerinnen und Schüler vorgesehen ist. Zusätzlich ist er in der Begabtenförderung engagiert. Diese beruflichen Erfahrungen spielen wohl eine wichtige Rolle bei der Auswahl und der Darstellung der Themen.

Die Geometrie bildet für Resel den Mittelpunkt der Mathematik – so stellt er dem Buch auch das Zitat „Kein der Geometrie Unkundiger möge hier eintreten“ voran (Schrift über dem Eingang der Philosophenschule von Platon). So beschäftigt er sich hauptsächlich mit ihr und betrachtet dabei vor allem nicht zum Oberstufen-Lehrplan gehörenden Stoff. Abbildungen wie perspektive Affinitäten, Zentralprojektionen, auch mathematische Sätze wie der Grassmann‘sche Entwicklungssatz, der Satz von Desargues oder Eigenschaften über Gram‘sche Matrizen sind doch sehr ausgefallene Beispiele. Auch drei als neu bezeichnete Beweise des Satzes von Pythagoras sind sicher nur etwas für Fans (wobei ich bei der für mich unübersehbaren Fülle solcher Beweise nicht einschätzen kann, wie neu die hier vorgeführten sind). Meistens nutzt Resel für die Behandlung Methoden der analytischen Geometrie, die oft aufwendigen Koordinaten-Rechnungen werden ausführlich  notiert, alle Zwischenschritte angegeben, so dass Leser die Überlegungen gut nachverfolgen können (die in Lehrbüchern manchmal genutzte Floskel „wie man leicht sieht“ kommt bei ihm nicht vor).

Den Kegelschnitten ist ein langes Kapitel gewidmet. In der Oberstufe der Gymnasien in Deutschland gehört es seit langem nicht mehr zum obligatorischen Kanon. Auch wenn man diese Thematik für wesentlich angemessener halten würde als die derzeit vorgeschriebenen Inhalte der linearen Algebra (und analytischen Geometrie), überzeugen mich die hier im Buch vorgestellten Probleme mit ihren seitenlangen Rechnungen doch nur selten.

Der Autor ist offensichtlich ein Fan der reinen Mathematik. Eine einzige Anwendung (auf die kognitive Psychologie) scheint – der Überschrift nach – vorzukommen, entpuppt sich auf den drei dafür zur Verfügung gestellten Seiten aber doch als wenig relevant.

Engagierte Lehrerinnen und Lehrer können in diesem Buch teilweise ungewöhnliche und wenig bekannte Zugänge zu schulrelevanten Themen finden, die Mehrzahl der Vorschläge wird allerdings im standardisierten Unterricht keinen Platz haben. Zwar hielte ich eine stärkere Betonung geometrischer Sachverhalte im Schulunterricht für wünschenswert, aber die vorgestellten Inhalte und Methoden scheinen mir dafür doch zu speziell. Allenfalls könnten sie in Arbeitsgemeinschaften z. B. für Teilnehmer von Mathematikwettbewerben von Interesse sein.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Klaus Hasemann, Hedwig Gasteiger

Herausgeber: Springer Spektrum; 4., überarb. Aufl. 2020 Edition (2. Juli 2020), 308 Seiten, 27,99 €

ISBN-10: 366261359X
ISBN-13: 978-3662613597

Es handelt sich hier um ein Studienlehrbuch, Zielgruppe sind Studierende des Lehramts ‚Mathematik für die Primarstufe‘ und Grundschullehrerinnen und -lehrer sowie Erzieherinnen und Erzieher.

An letztere wendet sich der erste Teil dieses Bandes: die Entwicklung des mathematischen Verständnisses im Vorschulalter und die Gestaltung des Übergangs vom Kindergarten zur Grundschule. Die Verfasser erläutern auf dem Hintergrund entwicklungspsychologischer Erkenntnisse, wie sich Zahlbegriff und Zählkompetenz entwickeln. Ebenso stellen sie statistische Ergebnisse über die Kenntnisse der Kinder zu Schulbeginn zur Verfügung. Auch geometrische Vorerfahrungen von Kindern können bereits im Kindergarten erweitert und vertieft werden (dazu gehören auch das Erfassen von Lagebeziehungen, das Erkennen von räumlichen Körpern und ihren Merkmalen). In diesem Zusammenhang sind auch motorische Fertigkeiten wie Falten, Schneiden, Zeichnen, Ausmalen usw. zu trainieren.

Den zweiten Schwerpunkt bildet das Thema Arithmetik: Wie führt man die Zahlen ein und wie übt man die Rechenoperationen mit ihnen im Anfangsunterricht? Viele – wie ich meine  sehr schöne – Beispiele aus der didaktischen Literatur werden hier exemplarisch für die verschiedenen Abschnitte abgedruckt. Für Addition und Subtraktion werden heuristische Strategien vorgestellt. Multiplikation und Division schließen diesen Abschnitt ab. Mögliche Arbeitsmittel (z. B. Cuisenaire-Stäbe, Rechenrahmen, Zahlentafeln) werden thematisiert.

Der dritte Schwerpunkt ist der Geometrie gewidmet. Nach Ansicht der Autoren werden „geometrische Inhalte im Vergleich zum ‚Rechnenlernen‘ häufig als weniger wichtig betrachtet“. Demgegenüber plädieren sie für Geometrie-Inhalte auch schon im ersten Schuljahr, da diese den „Vorteil [haben], über weite Strecken sehr anschaulich, lebensnah und attraktiv zu sein.“ Geometrische Formen aus der Umwelt und ihre Konstruktion von zweidimensionalen Gebilden z. B. am Geo-Brett, von dreidimensionalen aus Knetmaterial, auch als Kantenmodell oder aus Pappe seien geeignet. Geometrische Muster, wie Bandornamente und Parkette erlauben Bezüge zur Umwelt. Selbst gelegt, gezeichnet und gefärbt sind sie anschauliches Material im Unterricht.

Der letzte Teil befasst sich mit dem Sachrechnen. Größen sind Schulanfängern in der Regel schon bekannt, Preise oder Längen gehören zu ihrem Erfahrungsbereich. Größen führen im Anfangsunterricht direkt zu Sachaufgaben, die „sehr gute Indikatoren dafür ...[sind], inwieweit die Kinder Grundvorstellungen zu den Rechenoperationen aufgebaut haben“. Auch in diesem Abschnitt illustrieren Aufgaben aus verschiedenen Grundschul-Lehrwerken mögliche Einstiege und Übungen. Interessant ist hier ein Set von Sachaufgaben, die sich für einen Erwachsenen nur geringfügig unterscheiden, für Kinder im ersten Schuljahr aber – wie die statistische Auswertung in einer Studie zeigt – stark unterschiedliche Schwierigkeitsgrade haben.

Ein eigenes Kapitel mit dem Titel „Spezielle Lerngruppen“ geht zum einen auf Kinder mit „Schwierigkeiten beim Mathematiklernen“ ein, zum anderen aber auch auf solche mit „besonders guten Lernvoraussetzungen“ und gibt Hinweise für die Förderung beider.

Dem Buch ist ein ausführliches Literaturverzeichnis mit über 300 Titeln angefügt– leider nicht kommentiert, was für Studierende sicher eine Hilfe wäre.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)