Leseecke

Judith R. Goodstein

American Mathematical Society 2018

xvii + 211 Seiten, 37,78 €
ISBN 978-1-4704-2846-4

Einstein – der Name zieht immer. Und so prangt der Name in großen Lettern auf dem Buchdeckel¹. Wer das Buch kauft und denkt, es ginge hier um Einstein, wird jedoch ziemlich enttäuscht sein – oder hätte besser auf das Klein(er)gedruckte achten sollen. Einsteins Name wird nämlich attributiv verwendet, und so erzählt Judith R. Goodstein eigentlich die Geschichte zweier herausragender italienischer Mathematiker, deren Namen zumindest den Absolventen eines Mathematik- oder Physikstudiums wohlvertraut sein dürften: Ricci und Levi-Civita.

1 Biographie

Vor der eigentlichen Besprechung möchte der Rezensent die im Buch genannten Lebensdaten der beiden Protagonisten zusammenfassen und die Gebiete, in denen ihr wissenschaftliches Hauptwerk verortet werden kann, benennen.

Gregorio Ricci Curbastro² wurde 1853³ in Lugo di Romagna in eine wohlsituierte Familie geboren. Von Privatlehrern ausgebildet, begann er 1869 zunächst an der päpstlichen Universität in Rom ein Mathematikstudium, welches er infolge der Wirren beim Untergang des Kirchenstaats 1870 mit einem Bachelordiplom in der Tasche unterbrach und 1871 an der Universität von Bologna fortsetzen wollte. Da er jedoch kein Abitur hatte, mußte er erst eine Ehrenrunde am Technischen Institut in Bologna drehen, bevor er dann 1872 an der Universität zugelassen wurde. Da Bologna Mobilität fördert, wechselte er im Jahr darauf schon wieder – nun an die Exzellenzuni Scuola Normale Superiore di Pisa. 1875 wurde er dort, betreut von Ulisse Dini, in Mathematischer Physik promoviert. 1876 kam die Habilitation hinzu, wodurch er Mathematik an Gymnasien unterrichten durfte. Er strebte jedoch eine Unikarriere an, und so zog es ihn – einem Stipendium sei Dank – 1878 für ein Jahr zu Felix Klein nach München, bevor er eine Assistenzstelle bei Dini erhielt. Im Dezember 1880 wurde er Extraordinarius für Mathematische Physik an der Universität von Padua und schließlich ebenda Ordinarius für Algebra 10 Jahre später. Seine wohl bedeutendste Leistung für die Mathematik war die Entwicklung des absoluten Differentialkalküls, der heute als Tensorkalkül oder auch als Ricci-Kalkül bekannt ist und 1915 das mathematische Fundament der Allgemeinen Relativitätstheorie von Albert Einstein wurde. Später erhielt Ricci Mitgliedschaften in verschiedenen Akademien und verstarb 1925.

Tullio Alessandro Levi-Civita wurde 1873 in Padua geboren und wuchs dort gleich neben der Uni auf. Auch er hatte zunächst Privatunterricht erhalten, bevor er mit 10 Jahren an ein humanistisches Elitegymnasium wechselte, welches ihm zumindest in der Oberstufe eine umfangreiche naturwissenschaftliche Ausbildung ermöglichte. 1890 nahm er sein Studium an der Universität von Padua auf und wurde 1894 unter der Betreuung von Ricci in Mathematik con lode promoviert. Nach einem kurzen Intermezzo in Bologna kletterte er in Padua flugs die Karriereleiter mit den Zwischenstufen Assistent, Dozent und Extraordinarius nach oben, bis er 1902 zum Ordinarius für Mechanik ernannt wurde. 1918 wechselte er schließlich nach Rom, wo er die Professur für Höhere Analysis bekleidete. Im Vergleich zu Ricci war Levi-Civita mathematisch deutlich vielseitiger unterwegs, auch wenn sein Name heute vor allem mit seinen Beiträgen zur Analysis auf Mannigfaltigkeiten verbunden wird, die ihren Ausgangspunkt um 1900 in der Zusammenarbeit mit Ricci hatten. Wie dieser war Levi-Civita Mitglied mehrerer Akademien, wurde 1938 jedoch aufgrund seiner jüdischen Abstammung in fast jeglicher Hinsicht verbannt – sogar der Zugang zur Bibliothek wurde ihm verweigert. Er verstarb 1941.

2 Anliegen

Durch das vorliegende Buch will die Autorin nach eigener Aussage (Seite xi) die Rolle, die Ricci und Levi-Civita bei der Entwicklung der Einsteinschen Allgemeinen Relativitätstheorie gespielt haben, einem weiteren Kreis näherbringen. Ihr gehe es insbesondere darum, daß Ricci für seine Beiträge eine größere Anerkennung erhält als bislang; Einstein fungiere eher als Nebendarsteller und Verkörperung der Wichtigkeit von Ricci und Levi-Civita.

3 Aufbau

Der Hauptteil des Buches ist in drei Teile gegliedert und im wesentlichen chronologisch aufgebaut.

Kapitel 1 beleuchtet den familiären Hintergrund von Ricci, seine Jugend sowie seine Studien in Rom und Bologna. Pisa, genauer die Zeit bis zu seiner Habilitation, und München bei Felix Klein stehen im Fokus von Kapitel 2 bzw. 3. Daß Ricci im Hörsaal keine Rampensau war, dafür aber fast druckreif lehrte, vermittelt Kapitel 4, welches seinen Wechsel nach Padua und erste Anfänge in der Lehre beschreibt. Wer mehr über Familienleben in höheren Kreisen oder über Stellenpolitik anno 1887 erfahren will, dem seien die Kapitel 5 bzw. 6 empfohlen – auch zwecks Überprüfung, in welchem der beiden Bereiche es bis 2021 die größeren strukturellen Änderungen gegeben hat. Das Hauptwerk Riccis, der absolute Differentialkalkül, steht im Zentrum von Kapitel 7. Dabei wird kurz die grundlegende Idee der Kovarianz erläutert, letztlich aber doch eher auf die vergeblichen Versuche Riccis eingegangen, einen Wissenschaftspreis und folglich Anerkennung zu erlangen.

In Kapitel 8 tritt der zweite Hauptdarsteller auf die Bühne: Levi-Civita. Nach einer kurzen Beschreibung seines familiären Hintergrundes geht es jedoch erstmal wieder um die Qualen von Ricci, bis dieser endlich sein Upgrade zum Ordinarius erhält. Levi-Civitas Weg zur Professur wird dagegen als rasant und schnörkellos dargestellt.

„Nichts als Ärger“ beschreibt weite Teile von Kapitel 9 aus der Sicht von Ricci: Zoff mit seiner Frau, Zoff mit Koenigs, Zoff mit Levi-Civita. Und natürlich wieder kein Preis. Dafür aber ein gemeinsamer Übersichtsartikel von Ricci und Levi-Civita in den Annalen.

Kapitel 10 erlöst den ungeduldigen Leser: Einstein tritt auf. In diesem und dem folgenden Kapitel blickt die Autorin aus zwei Perspektiven auf die Zeit zwischen den Veröffentlichungen der Speziellen und der Allgemeinen Relativitätstheorie. Zunächst (Kapitel 10) liegt der Schwerpunkt auf Einstein und seinem Umfeld, dann (Kapitel 11) auf Levi-Civita analog. Dementsprechend geht es einerseits um die Themen Minkowski und Raumzeit, Einstein und Äquivalenzprinzip, Grossmann und Differentialgeometrie; andererseits wird die Beziehung zwischen Levi-Civita und Abraham beschrieben, bevor der nur unidirektional erhaltene Briefwechsel von Einstein mit Levi-Civita zum dramatischen Höhepunkt des Buches wird. Die Zeit ab dem ersten Weltkrieg behandelt das Buch in Kapitel 12. Naturgemäß liegt der Schwerpunkt nun auf Levi-Civita. Nach eher privaten Abschnitten darf die italienische Reise von Einstein im Jahre 1921 nicht fehlen, als dieser sich nicht nur mit Levi-Civita in Bologna, sondern danach auch mit Ricci in Padua treffen konnte. Fehlen darf leider auch nicht die Schilderung von Levi-Civitas Kaltstellung durch die Faschisten.

Das Buch hat neben einer Reihe von Endnoten noch drei Anhänge. In Anhang A (geschrieben von Michele Vallisneri, der auch an Kapitel 10 mitgewirkt hat) werden nochmals das Prinzip der allgemeinen Kovarianz, dazu Elemente der Riemannschen Geometrie sowie der Einfluß der Theorie von Ricci und Levi-Civita auf die Entwicklung des Entwurfs einer Allgemeinen Relativitätstheorie von Einstein und Grossmann skizziert. Anhang B bietet eine englische Übersetzung des Nekrologs von Levi-Civita auf Ricci, Anhang C schließlich den Nachruf von Hodge auf Levi-Civita.

4 Einordnung

Am ehesten kann man das vorgelegte Buch als Biographie klassifizieren. Zum Roman fehlt die Fiktionalität, zur mathematikhistorischen Studie die Mathematik. Gerade letzteres enttäuscht angesichts des Anliegens des Buches. Hinzu kommt, daß einige Stellen, in denen dann doch mathematische Sachverhalte geschildert werden, recht oberflächlich und teils zumindest unsauber sind; Beispiele hierfür werden unten angegeben.

Letztlich skizziert das Buch vor allem die Persönlichkeitsprofile zweier Mathematiker: etwas überspitzt, eines Professors mit Minderwertigkeitskomplexen und eines Glückpilzes als seines Schülers. So wird Ricci im Buch fast durchgehend als bis in recht hohes Alter verkanntes Genie dargestellt, gegen das sich die halbe Welt verschworen hat. Es geht immer wieder darum, wer dank Mauscheleien Stellen oder Preise bekommen hat, die eigentlich er verdient habe. Besonders intensiv wird suggeriert, daß sein absoluter Differentialkalkül über lange Zeit keinerlei Anhänger gefunden habe, sondern vielmehr als zwar ganz nett, aber doch als technisch und unbrauchbar herabqualifizert worden sei. Gerade hier wird es spannend, nur löst das Buch die Spannung nicht auf. Es wäre (zumindest aus Mathematikersicht) wirklich hochinteressant zu diskutieren, inwieweit die Vorbehalte berechtigt gewesen sind. Es wäre ja nicht das erste Mal gewesen, daß sehr interessante Mathematik sich anfangs hinter einem vermeidbaren Wust an Technik versteckt hat.⁴ Sicherlich könnte man anhand der Quellen sich selbst ein Bild machen. Zu einer wissenschaftshistorischen Abhandlung wird dieses Buch jedoch auch mangels detailliert geschilderter Analyse der mathematischen Quellen nicht; herausgepickt werden lediglich allgemeinere Zitate ohne technische Details, wodurch der entsprechend interessierte Leser sich etwas verlassen fühlen kann. Mit ähnlichem Unbehagen blieb der Rezensent nach der Passage zum Prioritätenstreit mit Koenigs (Seiten 72 und 73, mit Nachwehen bis Seite 76) zurück. Auch hier wäre für eine Urteilsfindung eine spezifischere Untersuchung hilfreich gewesen. So aber bleibt der Eindruck eines auf ewig Benachteiligten. Levi-Civita hingegen wird über lange Strecken als von der Sonne begünstigt beschrieben. Sieht man sich die nackten Fakten aber etwas genauer an, so schrumpfen die Unterschiede doch zusammen. Die gesicherte Position als Extraordinarius erhielt Levi-Civita beispielsweise nur etwa zwei Lebensjahre früher als Ricci. Zwar wurde Levi-Civita dann schneller zum Ordinarius befördert, allerdings darf man auch nicht vergessen, daß in seinen letzten Lebensjahren die Dunkelheit des faschistischen Italien über ihn hereinbrach und ihm seine Professur auf Basis der dortigen Rassengesetze wieder genommen wurde.

5 Kovarianz

Im folgenden soll auf einige, teils oben bereits angedeutete Kritikpunkte etwas konkreter eingegangen werden.

5.1. Kovarianz

Die Forderung nach Kovarianz, also die Forderung nach Unabhängigkeit der grundlegenden Differentialgleichungen der Physik von der Wahl der Variablen, wird im Buch als zentraler Gedanke hinter dem absoluten Differentialkalkül identifiziert und mehrfach diskutiert, zweimal sogar konkret. In beiden Fällen, also in Kapitel 7 (Seite 48) sowie im Anhang A (Seiten 136 und 137), geht es um den harmonischen Oszillator in zwei Dimensionen. Die Frage ist hier, wie die Schwingungsgleichung formuliert werden muß, damit sie sowohl im ruhenden als auch im rotierenden Bezugssystem dieselbe mathematische Gestalt hat.

Die Idee, die kovariante Ableitung an diesem Beispiel, also letztlich am Beispiel der Scheinkräfte Coriolis- und Zentrifugalkraft zu motivieren, gefällt dem Rezensenten hervorragend. Leider sind insbesondere die Erläuterungen auf den Seiten 136 und 137 mathematisch ziemlich bizarr.⁵  Der Ausdruck

\(\omega\times\frac{d\tilde{x}^i}{dt}\)

in Gleichung (7) beispielsweise wird erklärt durch

[...] where the cross product “\(\omega\times\)” has the effect of multiplying a vector by \(\omega\), and rotating it by 90°.

Wenn man nicht weiß, worum es geht, fällt es schwer, diese Passage wirklich zu verstehen. Den vollen Differentialgeometriekalkül ins Rennen zu werfen wäre selbstredend übertrieben, aber unter Verwendung elementarer analytischer Geometrie, wie sie zumindest in der guten alten Zeit einmal Standardprogramm des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe II war, könnte man den gesamten Abschnitt deutlich straffen und klarer gestalten. Ein Beispiel hierfür wird im Anhang zu dieser Rezension angegeben.

Der in Rede stehende Abschnitt enthält aber noch weitere merkwürdige Aussagen wie z. B. auf Seite 136:

For instance, non-vectors such as \(x^2y,xy^2\) cannot appear in rotationally covariant equations.

Warum \(x^2y,xy^2\) ein non-vector sein soll, erschließt sich dem Rezensenten nicht. Ähnliche Kritikpunkte ließen sich auch für andere Teile des Anhangs auflisten, worauf hier aber verzichtet wird.

Unabhängig von den genannten Schwächen dieser Abschnitte bleiben sehr naheliegende Fragen jedoch weitgehend unbehandelt: Hatte auch Ricci dieses Beispiel als Motivation für die allgemeine Kovarianz vor Augen? Hatte er andere? Wie hatte er die kovariante Ableitung eingeführt? Das umfaßt gerade die Art mathematikhistorischer Fragen, deren Stellung, Diskussion und im Idealfall Beantwortung wünschenswert ist. Leider spielen diese Aspekte im Buch nur eine sehr untergeordnete Rolle. Eigenständige Analysen fehlen größtenteils; wenn die o. g. Aspekte gestreift werden, dann oft in Zitaten von Wissenschaftshistorikern. So wird auf Seite 48 Toscano mit

[T]he algorithm, already introduced by Christoffel—the covariant derivative—makes its first appearance [in Ricci’s 1886 paper] to generate the coefficients of a covariant quadratic differential form with respect to a given fundamental form.

zitiert. Und auf Seite 51 wird zumindest angedeutet, daß Ricci 1888 einige Gleichungen aus Mechanik bzw. Wärmelehre mit Hilfe der kovarianten Ableitung formuliert hat. Es ist unwahrscheinlich, daß es Ricci dabei belassen hat.

5.2. Faktencheck

In dieser Rubrik seien – ohne Anspruch auf Vollständigkeit – einige weitere inhaltliche Ungereimtheiten aufgelistet.

• Die Klammer in
  The distance between two points that are infinitesimally close together on a curved surface in such a manifold (now known as the Riemannian metric) [...]
  auf Seite 31 ist zumindest sehr mißverständlich.⁶
  
  
• Die Angaben
  [Einstein] had discovered the year before [das heißt 1911] [...] that the principle of equivalence “demand[ed] a deflection of the light rays passing by the sun with observable magnitude” [...] However, astronomers on both sides of the Atlantic told him they needed a full solar eclipse to observe the almost imperceptible bending of light from the nearest stars, and the next one was not due until 1919.6 Einstein resigned himself to waiting another eight years for the right viewing opportunity to present itself.
  auf Seite 85 sind sehr merkwürdig. Einerseits wird in Endnote 6 zu Kapitel 10, auf die im obigen Zitat verwiesen wird, von der mißglückten 1914er Sofi-Expedition auf die Krim berichtet. Andererseits haben auch 1912, 1916 und 1918 totale Sonnenfinsternisse – und zwar in recht gut zugänglichen amerikanischen Gefilden – stattgefunden.⁷ Selbst wenn also (im Gegensatz zur Erwartung) die Astronomen 1911 behauptet haben sollten, es gebe bis 1919 keine totalen Sonnenfinsternisse, so wäre zumindest ein einordnender Kommentar der Autorin angemessen gewesen. Es ist dabei müßig zu diskutieren, ob erst 1919 die tatsächliche Beobachtungsituation in puncto Wetter ideal gewesen ist, oder anzuführen, daß 1911 Einstein noch den falschen Wert prognostiziert hatte.
  
  
• Die Behauptung
  In mathematics, on the other hand, there do not appear to have been any significant applications of the Ricci curvature between 1904 and the early 1980s, [...]
  auf Seite 127 ist definitiv nicht haltbar – es sei denn, nicht einmal Fieldsmedaillen werden als Signifikanzindikator zugelassen. Bereits Mitte der 1950er Jahre hatte Calabi vermutet, daß eine gewisse Beziehung zwischen Kählerstrukturen, Ricci-Krümmung und erster Chernklasse besteht. Gut 20 Jahre später konnte Yau diese Vermutung beweisen – in der 1978 erschienenen Arbeit mit dem erfreulich vielsagenden Titel “On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation, I”⁸. Alsbald erhielt er den begehrten Preis.⁹
  
• Die Endnote 19 auf Seite 198 verwirrt:
  In simpler, modern terms, one speaks of a curved space embedded in a larger- dimensional Euclidian (i.e., flat) space. To move vectors along the curved surface, one follows their motion in the embedding space while projecting them “down” to the surface. [...]
  Wenn dies stimmte, dann wäre die übliche Parallelverschiebung auf der Sphäre wohl kaum isometrisch.
  Eher zum Schmunzeln regte dagegen Endnote 11 auf Seite 181 an:
  The 1878-1879 academic year in Munich consisted of only two semesters: [...]
  As expected.

5.3. Übersetzungen

Sehr bedauerlich findet der Rezensent, daß nichtenglische Quellen fast ausschließlich in der englischen Übersetzung zitiert werden. Hier wäre die Angabe des jeweiligen Originals zumindest in einer Fußnote sinnvoll gewesen, damit der Leser sich (je nach Sprachkenntnissen) ggf. selbst ein Bild machen kann. Leider trägt die Autorin nämlich nicht wirklich dazu bei, Vertrauen in die Übersetzungen zu erwecken. An einer der wenigen Stellen, an der Original und Übersetzung stehen, liegt nämlich ein deutlicher Fehler vor. So steht auf Seite 50:

In the introduction to his classic paper Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades (“On the transformation of homogenous differential equations of the second grade”), [...]

Man kann sicherlich diskutieren, ob grade die richtige Übersetzung von „Grad“ ist, jedoch sind „Differentialausdrücke“ keine differential equations. Ein Blick in die Originalquelle zeigte dem Rezensenten, daß es sich nicht um eine zulässige Übertragung eines 150 Jahre alten Begriffes auf die Jetzt-Zeit handelt, da es in der besagten Arbeit tatsächlich um Terme, aber nicht um Gleichungen geht.

Auch an anderen Stellen blieb der Rezensent zunächst ratlos zurück. Den Begriff complementary algebra konnte er nicht ausfindig machen. Anhand italienischer Bücher, deren Titel algebra complementare enthalten, läßt sich vermuten, daß es sich schlicht um „Algebra“ handelt.¹⁰ Auch der Begriff rational mechanics wird heutzutage nicht mehr (oder zumindest kaum noch) verwendet. Laut Wikipedia handelt es sich dabei um das Gebiet der klassischen Mechanik, was man wohl am besten einfach als mechanics übersetzt, auch wenn das italienische Original meccanica razionale (vgl. Endnote 9 auf Seite 194) gewesen sein dürfte.

5.4. Desiderata

Eine Übersicht über die Strukturen im italienischen Bildungswesen zwischen etwa 1860 und 1920 wäre sehr hilfreich gewesen. Es ist nicht auszuschließen, daß einem deutschen Leser durch die im Buch vorgenommene Übertragung der italienischen Gegebenheiten auf die amerikanischen Institutionen doch zuviele Informationen entgehen. Interessant wäre auch eine etwas systematischere Analyse der Verflechtung von Universitäten und Politik, die im Buch an vielen Stellen durchschimmert. Es wird ein bißchen der Eindruck erweckt, daß die vielen Kungelrunden und Hintertürgeschäfte auch durch eine recht hohe Zahl von Wissenschaftlern oder bisweilen besser: Wissenschaftsfunktionären in politischen Ämtern befördert wurden. Selbst Ricci war später stellvertretender Bürgermeister von Padua, saß dort im Stadtrat und war Ratsherr für Bildung.

6. Fazit

Judith R. Goodstein hat ein lesenswertes Buch vorgelegt. Es beschreibt die Lebensläufe zweier bedeutender italienischer Mathematiker in deren privatem wie wissenschaftlichem Umfeld. Die Auswahl der Themen erfolgt mit dem Ziel, nach beider Persönlichkeiten ihre Beziehungen zu Einstein, dessen Umgebung und seiner Allgemeinen Relativitätstheorie darzulegen. Das Buch ist reich an Informationen, wenn auch nicht immer sehr flüssig geschrieben.¹¹ Obwohl angesichts kaum vorhandener persönlicher Kontakte die Mathematik das Bindeglied zwischen Ricci bzw. Levi- Civita und Einstein war, so wird sie im Buch leider nur recht allgemein behandelt. Leser mit Interesse am Ricci-Kalkül beispielsweise sollten doch eher zu einem Lehrbuch greifen – oder bei Interesse an seiner historischen Entwicklung zu den Originalarbeiten.

Dem geneigten Leser empfiehlt der Rezensent, das Buch nicht mit dem Anfang, sondern im Anhang zu beginnen. Die Nekrologe (Anhänge B und C) bieten den idealen Einstieg und erleichtern auch bisweilen das Verfolgen der Handlungsstränge im Hauptteil. Aufgrund der mathematisch doch recht gewöhnungsbedürftigen Ausgestaltung von Anhang A möchte der Rezensent diesen nur eingeschränkt empfehlen; Physikern dürften einige der dortigen Argumentationen jedoch bekannt vorkommen. Ob es der Autorin mit diesem Buch letztlich gelingen wird, die Geschichte von Ricci und Levi-Civita einem breiteren Publikum nahezubringen, kann der Rezensent nicht wirklich beantworten. Mathematisch bzw. physikalisch Vorgebildeten dürften zumindest Begriffe wie Ricci-Krümmung oder Levi-Civita-Zusammenhang und damit der Einfluß der beiden Mathematiker auf Differentialgeometrie bzw. Allgemeine Relativitätstheorie bereits bekannt sein; für diese ist das Buch eher Belletristik, garniert mit interessanten Blicken hinter die Kulissen des Wissenschaftsbetriebs. Und ohne entsprechende Prägung? Auch für diese Gruppe hält die Biographie durchaus Interessantes bereit. Nur dürfte das Buch, falls es außerhalb des mathematisch-physikalischen Publikums reüssiert, den Erfolg wahrscheinlich einem Wort verdanken. Es lautet nicht Ricci, nicht Levi-Civita. Sondern es ist das Wort, welches Judith R. Goodstein an den Beginn des Titels gestellt hat: Einstein.

Anhang

Motivation der kovarianten Ableitung

In diesem Anhang schlägt der Kritiker eine Alternative zum Abschnitt Vectors, covariance, invariance auf den Seiten 136 und 137 vor. Sie ist in deutscher Sprache verfaßt, da es sich um eine deutschsprachige Rezension handelt. Im Gegensatz zum Hauptteil der Rezension wird aus Platzgründen durchgehend darauf verzichtet, die Originalstelle aus dem Buch (dies wären knapp zwei Seiten) zu zitieren. Statt dessen stellen die im weiteren Verlaufe angegebenen Fußnoten die notwendigen Bezüge und Kommentare zum Text her; sie hätten in geeigneter Form selbstredend ebenfalls in den Alternativtext einfließen können. Wie im Buch werden die Zwischenrechnungen schließlich dem Leser überlassen. Damit genug der Vorrede – es folgt der Verbesserungsvorschlag:

Allgemeine Kovarianz. Die Ortsfunktion \(x\) eines nichtrelativistischen mechanischen harmonischen Oszillators¹² gehorcht der Gleichung

\(m\ddot{x}+kx=0\)

Hierbei ist m die Masse des schwingenden Teilchens und k eine geeignete Konstante. Betrachten wir nun eine lineare Abbildung A im \({\mathbb R}^n\), die Koordinatentransforma- tionen erzeugt.¹³ Sind also \(x\) und \(y\) die Ortsfunktionen des Teilchens im ruhenden bzw. im bewegten Koordinatensystem, so gilt \(y(t)=e^{-tA}x(t)\). Wäre die Bewegungsgleichung

\(m\ddot{x}+kx=0\)

allgemein kovariant, sprich: invariant unter (zumindest obigen) Koordinatentransformationen, so müsste eigentlich auch

\(m\ddot{y}+ky=0\)

gelten. Dies ist jedoch nicht der Fall. Durch direktes Nachrechnen erhält man nämlich

\(m\ddot{y}+ky=-2mA\dot{y}-mA^2y\)

also Corioliskraft und Zentrifugalkraft auf der rechten Seite.¹⁴ Die allgemeine Kovarianz ergibt sich erst dann, wenn auch die Ableitung transformiert wird. Aus

 \((\partial_t+A)(e^{-tA}x)=e^{-tA}\partial_tx\)

erkennt man: Die in ursprünglichen Koordinaten abgeleitete Ortsfunktion entspricht in bewegten Koordinaten der durch \(\partial_t+A\) „abgeleiteten“ Ortsfunktion. Es liegt deshalb – für uns Nachgeborene – auf der Hand,

\(\partial_t+A\)

als kovariante Ableitung zu definieren. Man rechnet sofort nach, dass nun wirklich

\(m\ddot{y}+ky=0\)

gilt, wobei \('\) die kovariante Ableitung nach t bezeichne.

¹ Coverabbildung mit freundlicher Genehmigung der American Mathematical Society. Photo of Gregorio Ricci Curbastro, ca. 1869 (left), Credit: Ida Ricci Curbastro/Biblioteca Communale Fabrizio Trisi; Photo of Tullio Levi-Civita, ca. 1912 (right), Credit: Ceccherini-Silberstein Family; Table of contents (excerpt) from Ricci and Levi-Civita’s paper published in Mathematische Annalen, October 1900. (public domain)

² Der Rezensent dankt seinem Kollegen Claudio Dappiaggi von der Università di Pavia für die Bestätigung der Schreibweise des Familiennamens. An einigen Stellen im Buch steht nämlich „Gregorio Ricci-Curbastro“ geschrieben, insbesondere in der Überschrift des von Levi-Civita verfaßten Nekrologs. Mutmaßlich ist dies zwar als Zitat korrekt, nicht aber in der Sache an sich.

³ Auf Seite xv sowie unter Photo 12 steht „1852“.

⁴ Andeutungen in diese Richtung liefern die beiden abgesetzten Zitate von Beltrami auf Seite 49.

⁵ Man muß allerdings den beteiligten Autoren zugute halten, daß sie selbst wohl keine Mathematiker sind.

⁶ Dem Rezensenten ist die Rekonstruktion von Skalarprodukten aus den zugehörigen Normen mittels Polarisierung bekannt.

⁷ vergleiche z. B. https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_solar_eclipses_in_the_20th_century

⁸ Communications on Pure and Applied Mathematics 31 (1978) 339–411

⁹ Die Verleihung der Fieldsmedaille an Yau wurde mit den Worten “Made contributions in differential equations, also to the Calabi conjecture in algebraic geometry, to the positive mass conjecture of general relativity theory, and to real and complex Monge-Ampère equations” begründet. Siehe https://www. mathunion.org/imu-awards/fields-medal/fields-medals-1982.

¹⁰ Bemerkenswerterweise wird auf diese Übersetzungsproblematik im Hauptteil nicht eingegangen, sondern überraschenderweise in Endnote 8 zu Anhang B. Hier wird als Translators’ Note angegeben: There is no record of this usage in English; in Italian it meant the parts of algebra that were most useful for analysis. Ein Hinweis hierauf hätte dem Hauptteil gut zu Gesicht gestanden – insbesondere, weil die Übersetzung wohl nicht von der Buchautorin vorgenommen worden war.

¹¹ Es ist nicht auszuschließen, daß es bei dieser Einschätzung eine Rolle gespielt hat, daß Englisch nicht die Muttersprache des Rezensenten ist.

¹² Im Buch ist von einem massive particle attached to a spring, and confined to the plane die Rede. Dessen Bewegungsgleichung sei

\(ma^i=m\frac{d^2x^i}{dt^2}=F^i=-kx^i\)

wobei \(x^i\) für \(i = 1, 2\) die Position des Teilchens in Euklidischen Koordinaten darstelle sowie \(m\) und \(k\) seine Masse bzw. die Federkonstante seien. Dem Rezensenten fehlt die Phantasie, wie die genannte Bewegungsgleichung für ein solches zweidimensionales System (zumindest als Näherungsgleichung für eine einzelne Feder) hergeleitet werden kann, solange man wie üblich annimmt, daß eine in Ruhelage befindliche Feder eine nichtverschwindende Ausdehnung hat. Statt dessen sollte allgemeiner von einem harmonischen Oszillator gesprochen werden.

¹³ In der Situation des Buches wird ein mit Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) und im mathematisch positiven Richtungssinn gleichförmig rotierendes ebenes Koordinatensystem betrachtet. Folglich wäre \(n = 2\) und

\(A=\omega \left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)\), also \(e^{-tA}=\left(\begin{array}{cc}\cos\omega t&\sin\omega t\\-\sin\omega t&\cos\omega t\end{array}\right)\)

Alternativ, um die Formulierung mittels Kreuzprodukt zu nutzen, könnte man auch \(n=3\) und allgemein \(Az:=\Omega\times z\) setzen. Hierbei legt \(\Omega\in{\mathbb R}^3\) Drehachse, Drehrichtung und Winkelgeschwindigkeit \(\omega=|\Omega|\) fest. Im konkreten Beispiel auf Seite 136 wäre \(\Omega=(0,0,\omega)\) und die fragliche Ebene die Menge \(E\) aller Punkte mit verschwindender dritter Komponente. Beachte, daß \(A\) die Menge \(E\) erhält, mithin \(A\) und \(e^{-tA}\) auch als lineare Abbildungen von \(E\) nach \(E\) aufgefaßt werden können.

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Rezension: Christian Fleischhack (Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, September 2021, Band 68, Heft 1, S. 283–293.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Hendrik Kasten und Denis Vogel

Springer Spektrum 2019, IX + 333 Seiten

ISBN 978-3-662-57620-5, 32,99 €
eBook ISBN 978-3-662-57621-2, 24,99 €

Der Titel „Grundlagen der ebenen Geometrie“ allein lässt wenig Rückschlüsse auf die Ausrichtung des Buches zu. Deswegen möchte ich zu Beginn einige generelle Einordnungen vornehmen. Das Buch beruht ausweislich des Vorworts auf einem Vorlesungsskript der Autoren. Die Veranstaltung trägt den Titel „Einführung in die Geometrie“ und setzt die Inhalte der Grundvorlesungen zur Analysis und Linearen Algebra voraus. Das Buch liefert eine Zusammenstellung von Standardthemen der ebenen Geometrie, sowohl aus axiomatischer Sicht als auch aus Perspektive der analytischen Geometrie. Dabei setzten es sich die Autoren zum Ziel, beide Zugänge als miteinander verbunden darzustellen. Auch wenn es ein Kapitel zur nichteuklidischen Geometrie (meint hier: hyperbolisch und elliptisch) gibt, liegt der Schwerpunkt des Buches im euklidischen.

Die vorgeschaltete Einleitung enthält eine kurze Reise durch die Geschichte der ebenen Geometrie mit Haltestellen bei Euklid, Hilbert und Descartes. Das erste inhaltliche Kapitel (Kapitel 2) trägt den Titel „Inzidenzgeometrie“. Aufbauend auf Inzidenzebenen werden dort affine und projektive Ebenen (inkl. des Dualitätskonzepts) eingeführt und verglichen sowie abschließend die einschlägigen Schnittpunktsätze behandelt. Kapitel 3 („Hilbertebenen“) ist im Wesentlichen eine Präsentation von Hilberts Festschrift zu den Grundlagen der Geometrie. Dabei wird en passant gezeigt, unter welchen Bedingungen die vorher eingeführten Inzidenzebenen Modelle für einzelne Teilmengen der Hilbert-Axiomatik sind. Das anschließende Kapitel 4 („Der Hauptsatz“) trägt in seinem Titel die Referenz auf die zentrale Isomorphie von axiomatisch beschriebenen euklidischen Ebenen und der euklidischen Standardebene im Sinne der analytischen Geometrie. Dieser Hauptsatz wird von den Autoren dabei unter dem Credo vorgestellt, dass er es erlaubt, Aussagen der euklidischen Geometrie sowohl mit synthetischen als auch mit analytischen Mitteln zu beweisen, ohne dass das Argument an Allgemeingültigkeit verliert. In Kapitel 5 werden dann eine Vielzahl an Standard-Sätzen der euklidischen Geometrie unter Verwendung der in den vorherigen Kapiteln bereitgestellen Werkzeuge bewiesen. Die beiden letzten Kapitel des Buches zeigen noch einmal zwei andere Perspektiven auf ebene Geometrie: Kapitel 6 beschäftigt sich mit geometrischen Konstruktionen (Zirkel und/ oder Lineal) und Kapitel 7 mit nichteuklidischer Geometrie (hyperbolische Ebenen und elliptische Geometrie).

Alle Ausführungen sind durchgehend von hoher Präzision und werden durch viele instruktive Zeichnungen unterstützt. Die Präzision wird dabei unter anderem durch einen konsequent eingesetzten Formalismus unterstützt. Ich schätze und nutze das Buch als Nachschlagewerk für geometrische Themen, die mir als Lehrender in der Lehrerausbildung und als Geometriedidaktiker begegnen. Bemerkenswert ist hier die reichhaltige und synergetische Zusammenstellung verschiedener Perspektiven auf ebene Geometrie. Damit unterscheidet sich das Buch von anderen Büchern zur ebenen Geometrie, die oft entweder sehr überblicks- und spotlightartig vorgehen oder zwar sehr präzise sind, aber dabei auch nur in einem kleinen inhaltlichen Feld bleiben.

Auf dem Klappentext wird die Zielgruppe des Buches als „Studierende der universitären Mathematikstudiengänge“ sowie Gymnasiallehrkräfte angegeben. Ich habe allerdings Zweifel, ob das Buch den Belangen dieser beiden Zielgruppen gerecht wird. Für die Empfehlung als Studierendenlektüre fehlen mir persönlich einordnende und reflektierende Textbausteine, die Lernende an die Hand nehmen, sie auf besonders wichtige oder schöne Dinge aufmerksam machen und Aktuelles in Relation zu dem bereits Behandelten aber auch in Relation zu den kommenden Inhalten setzen. Für den geometrisch nicht vorgebildeten Leser fehlt es an Schwerpunktsetzungen und den Anknüpfungspunkten zu bekanntem Vorwissen (sowohl zur Schulgeometrie als auch zu anderen Veranstaltungen). Das oben bereits erwähnte Zusammenspiel von synthetischen und analytischen Argumenten wird zwar vollzogen jedoch nicht reflektiert. Hilfreich wären beispielweise Gegenüberstellungen und vergleichende Analysen beider Argumentationsvarianten zum selben Theorem.

Für die Verwendung durch Lehrkräfte fehlt mir die explizite Diskussion von Bezugspunkten zur Schulmathematik, die einer Lehrkraft helfen, beim „Nachschlagen“ einen Einstiegspunkt zu finden, ohne das Buch systematisch durcharbeiten zu müssen. Wichtige Begriffe der ebenen Schulgeometrie, wie „Symmetrie“ kommen gar nicht vor. Darüber hinaus führt die enge Symboldichte und die Verwendung einer Vielzahl von Nichtstandardnotationen dazu, dass ein Einstieg mitten im Buch (wie er beim Nachschlagen oft vorkommt) immer mit einem großen notationellen Orientierungsaufwand einher geht. Das aus Schulsicht hochgradig relevante Thema der geometrischen Konstruktionen geht meiner Einschätzung nach gerade durch einen anspruchsvollen und abstrakten Zugang an dieser Zielgruppe vorbei.

„Grundlagen der ebenen Geometrie“ von Hendrik Kasten und Denis Vogel ist eine präzise, reichhaltige und sorgfältig aufgebaute Zusammenstellung von wichtigen Aspekten der ebenen Geometrie. Wem sich die Schönheit der Geometrie bereits an anderer Stelle offenbart hat, der wird mit diesem Buch ein wirklich instruktives Nachschlage- und Vertiefungswerk finden. Die Beschäftigung mit klassischer Geometrie ist, gerade in den Nicht-Lehramts-Studiengängen, leider von immer geringerer Bedeutung. Ich befürchte allerdings, dass hier für Geometrie-Novizinnen und Novizen, die Leichtigkeit und Schönheit geometrischer Argumente auf der Strecke bleibt. Für meinen Geschmack wird die Geometrie ein wenig zu sehr abgearbeitet und dabei zu wenig zelebriert.

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Rezension: Max Hoffman (Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, September 2021, Band 68, Heft 1, S. 295–297.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Ernst Kleinert

Springer Spektrum 2019, VII + 165 Seiten

ISBN: 978-3-662-59678-4, 24,99 €
eBook ISBN: 978-3-662-59679-1, 19,99 €

Gottfried Wilhelm Leibniz hätte sich über dieses Buch sicher gefreut. Hat er doch geschrieben, dass man ohne die Philosophie niemals auf den Grund der Mathematik dringt (und übrigens auch umgekehrt). Ernst Kleinert arbeitet in Mathematische Modelle des Kontinuums mit einer gelungenen Mischung aus Mathematik und Philosophie daran, zu diesem Grund vorzudringen. Leitfaden des Buches ist das namensgebende Kontinuum, über das die Philosophen seit der griechischen Antike nachdenken. Die Mathematik hat im Laufe der Zeit ganz unterschiedliche Theorien entwickelt, um das Kontinuum zu beschreiben und zu formalisieren, und acht davon werden von Kleinert vorgestellt und verglichen.

Den Anfang macht die von Eudoxos begründete und von Euklid verewigte Lehre von den Proportionen, die bekanntlich nötig wurde durch die Entdeckung inkommensurabler Verhältnisse. Proportionen sind die Verhältnisse „kompatibler“ Größen, beispielsweise von Längen zu Längen. Für uns sind das heute einfach reelle Zahlen, aber mehr als 2000 Jahre lang war die Bezeichnung Zahl exklusiv für die Objekte reserviert, die wir inzwischen natürliche Zahlen nennen.

Alle weiteren Systeme sind wesentlich neueren Datums. Zumindest drei dürften vielen Lesern bekannt vorkommen. Von Hilbert stammt die Idee der Gewinnung algebraischer Strukturen aus axiomatisierter Geometrie: Auf Mengen von Punkten werden durch geometrische Konstruktionen Rechenoperationen definiert, die schließlich zu einem (also dem) vollständigen angeordneten Körper führen. Das heutige „Standardmodell“ nach Dedekind, Cantor, Méray und Heine wird oft bereits in Erstsemestervorlesungen unter dem Namen Aufbau des Zahlensystems vorgeführt: Im letzten Schritt werden die reellen Zahlen als Schnitte in der Menge der rationalen Zahlen oder als (Äquivalenzklassen von) Fundamentalfolgen eingeführt. In der Nichtstandardanalysis, die einen etwas unglücklichen Namen trägt, wird die Menge der reellen Zahlen mit Methoden aus Logik und Mengenlehre um „unendlich kleine“ und „unendlich große“ Zahlen erweitert, wodurch im Nachhinein die infinitesimalen Größen von Leibniz und die heutzutage teilweise haarsträubend anmutenden Berechnungen Eulers rehabilitiert werden.

Aus dem aktuellen Jahrtausend stammt der Ansatz von A’Campo, der ganz ohne rationale Zahlen auskommt. Die reellen Zahlen werden hier über Funktionen definiert, die ganze Zahlen auf ganze Zahlen abbilden und die sich fast wie lineare Funktionen verhalten. Und beinahe exotisch wirken auf die Nichteingeweihten die sogenannte synthetische oder glatte Infinitesimalrechnung sowie Conways System der surrealen Zahlen. Conways Zahlen, die ursprünglich zur Analyse von Spielen entwickelt wurden, werden durch einige wenige Regeln rekursiv im gewissen Sinne „aus dem Nichts“ gezaubert und man erhält als Ergebnis eine echte Klasse von Objekten, die unter anderem die reellen Zahlen, infinitesimale Zahlen und transfinite Ordinalzahlen umfasst. Die synthetische Infinitesimalrechnung verwendet Methoden aus der Kategorientheorie. Wie in der Nichtstandardanalysis gibt es infinitesimale Größen, aber diese haben keine Kehrwerte. Außerdem arbeitet man nicht mit der klassischen Logik, sondern verzichtet beispielsweise auf das Tertium non datur. Philosophisch ist dieser Ansatz insbesondere deswegen interessant, weil er im Gegensatz zu den anderen modernen nicht atomistisch ist: Das Kontinuum besteht nicht aus diskreten Punkten, sondern aus infinitesimalen Streckenstücken.

Schließlich bildet als „Kontrapunkt“ Brouwers intuitionistische Theorie der reellen Zahlen den Abschluss und erinnert an eine Zeit, in der die Natur des Kontinuums noch heftig diskutiert wurde. Auch hier wird die Logik eingeschränkt. (Für Hilbert war das, als würde man „dem Boxer den Gebrauch der Fäuste untersagen“.) Außerdem spricht man nur über Objekte, für die man eine explizite Konstruktionsregel angeben kann.

Das alles kann man sicher auch einzeln und ausführlicher an anderen Stellen finden – wenn man weiß, wonach man suchen muss. In dieser konzentrierten Zusammenstellung und eingebettet in die scharfsinnigen und sachkundigen Kommentare des Verfassers ist es aber ein Novum. Abgeschlossen wird jedes Kapitel durch Empfehlungen für vertiefende Lektüre, bei denen es Kleinert offenbar mehr um Qualität als um Quantität ging.

Man kann sich zusammenreimen, dass so viel Stoff auf den 140 Seiten, die zwischen Einleitung und Zusammenfassung verbleiben, nicht in epischer Breite ausgearbeitet werden kann. Definitionen, nummerierte Lemmata und Theoreme, deren Beweis mit q.e.d. endet, sollte man nicht erwarten. Alle Themen werden jedoch so weit behandelt, dass es für einen soliden Eindruck reicht. Mitbringen sollte man eine gewisse „mathematische Reife“, die man typischerweise nach den ersten drei, vier Semestern eines Mathematikstudiums erworben hat, sowie die Bereitschaft, mit Zettel und Bleistift mitzuarbeiten und Gedankengänge selbstständig zu vollenden. Zudem wird man wohl ab und zu etwas nachschlagen müssen. Für Menschen, die mit der formalen Denkweise der Grundlagenmathematik fremdeln, könnte die zweite Hälfte des Buches eine Herausforderung sein. (Und gerade das längste und abstrakteste Kapitel – das über die synthetische Infinitesimalrechnung – scheint mir didaktisch das am wenigsten gelungenste.)

Kleinert schreibt im Vorwort, dass er im Buch „den Vorlesungston mit seiner direkten Ansprache beibehalten“ habe. Und in der Tat kommt dann ein paar Seiten später unvermittelt so etwas wie „dieses Stück Kreide“ vor und man muss sich wohl vorstellen, dass der Autor in einem Vortrag, der dem Kapitel zugrunde lag, ein Stück Kreide in die Höhe hielt. Größtenteils wirkt der Text jedoch so, als wäre jedes Wort auf der Goldwaage geprüft und im Zweifelsfall gestrichen oder durch ein passenderes ersetzt worden. Der Duktus ist dichter, variantenreicher und komplexer als der, den man aus typischen Mathebüchern kennt. Wenn das wirklich der O-Ton der Vorlesung war, dann wurde wahrscheinlich vom Manuskript abgelesen und das Auditorium war zu höchster Konzentration verurteilt, da man einen gesprochenen Satz schwerlich ein zweites Mal lesen kann.

Es liegt nahe, das hier besprochene Werk mit Oliver Deisers Reelle Zahlen zu vergleichen, das 2008 in den Semesterberichten zu recht gelobt wurde und das man inzwischen kostenlos von Deisers Website aleph1.info herunterladen kann. Beide Bücher haben das Kontinuum zum Thema und beide sprechen Leser an, die über den Tellerrand des Tagesgeschäftes schauen wollen. Erfreulicherweise konkurrieren sie jedoch nicht, sondern ergänzen sich. Abgesehen von den inzwischen klassischen Konstruktionen der reellen Zahlen und der von A’Campo gibt es kaum inhaltliche Überschneidungen und auch an diesen Stellen sind die Herangehensweisen sehr unterschiedlich. Deisers Buch ähnelt vom Stil her mehr einem Lehrbuch, während Kleinert wie oben schon angedeutet fordernder ist und oft eher skizziert als ausarbeitet. Und obwohl auch Deiser auf die historische Entwicklung eingeht, ist bei ihm das Ziel der Erörterungen doch die mathematische Durchdringung der Themen, während die Mathematik bei Kleinert Ausgangspunkt philosophischer Betrachtungen ist. (Allerdings ist Deisers Buch dadurch auch ungefähr dreimal so lang.)

Auf jeden Fall sollte es mehr Bücher wie diese geben! Doch wer soll sie lesen? Idealiter wohl die, die Mathematik studieren. Es ist jedoch zu befürchten, dass solche Texte durch das Raster der Bologna-Reform fallen, weil in der eng getakteten Welt der Module und Credit Points für sie kein Platz ist. Und für das Studium generale und die meisten interessierten Laien dürften sie mathematisch zu anspruchsvoll sein. Aber vielleicht (hoffentlich!) ist diese Sichtweise ja auch zu pessimistisch.

Wenn es an Kleinerts Werk etwas auszusetzen gibt, dann dies: Wäre Springer noch der Verlag, der er im letzten Jahrhundert mal gewesen ist, dann hätte den Autor eine typographisch versierte Person unterstützt, die das Buch etwas liebevoller und lesefreundlicher gesetzt hätte. Und ein Lektor hätte das Manuskript tatsächlich gelesen und vor der Veröffentlichung die eine oder andere kleine Schludrigkeit bemängelt. (Man kann es aber auch positiv wenden und solche Petitessen lernpsychologisch als desirable difficulties einordnen.)

Buchbesprechungen erwecken manchmal den Eindruck, der Rezensent wisse mehr als der Verfasser des Buches oder maße sich an, ein besseres Buch schreiben zu können. Das ist hier definitiv nicht der Fall. Der Autor dieser Zeilen hat bei der Lektüre des Buches Neues gelernt und wurde zum Nachdenken angeregt. Er hat es mit viel Vergnügen gelesen und kann es wärmstens jedem empfehlen, der seinen Horizont erweitern und der Mathematik im Leibnizschen Sinne „auf den Grund dringen“ will. Und insbesondere jeder Studierende der Mathematik sollte das wollen!

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Rezension: Edmund Weitz (Hamburg)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, September 2021, Band 68, Heft 1, S. 309–312.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Agnes Handwerk

Springer Spektrum; 1. Aufl. 2021 Edition (4. März 2021), 32,99 €

ISBN-10: ‎3662626365
ISBN-13 : ‎978-3662626368

Agnes Handwerk ist eine Journalistin, die mit biographischen Filmen (zusammen mit Harrie Willems) und Radiofeatures über Mathematiker hervorgetreten ist und für ihre Arbeit mit dem Journalistenpreis der DMV ausgezeichnet wurde. Einer der porträtierten Mathematiker war Wolfgang Doeblin, der unabhängig von K. Ito wesentliche Elemente der stochastischen Analysis entwickelte, sie aber im 2. Weltkrieg nicht veröffentlichen konnte. (Die Entdeckung dieser Beiträge ist eine Geschichte für sich, die es zu googlen lohnt.)

Die Arbeit an diesem Projekt verlief parallel zum Aufschwung eines neuen Teilgebiets der Mathematik, wo die Ideen von Doeblin und Ito Anwendung finden, nämlich der Finanzmathematik. So entstand die Idee zu dem vorliegenden schmalen Buch, in dem die Autorin ihre Interviews mit den Protagonisten dieses neuen Gebiets wie z.B. Hans Föllmer, Freddie Delbaen und Werner Hillenbrand sammelt, deren Aussagen einordnet und weitere Dokumente zitiert. Durch diesen biographischen Ansatz entsteht ein sehr persönliches Bild der Entwicklung der modernen Finanzmathematik als Teil der stochastischen Analysis einerseits und der mathematischen Wirtschaftstheorie andererseits.

Den meisten hier auftretenden Akteuren ist gemein, dass sie ihren mathematischen Hintergrund in der reinen Mathematik haben (Maßtheorie, Funktionalanalysis und Wahrscheinlichkeitstheorie in ihrer in Frankreich gepflegten Ausprägung à la Meyer, Neveu und Dellacherie) und außerdem in der ökonomischen Theorie bewandert sind; das ist der biographische rote Faden, der sich durch das Buch zieht. Die Autorin stellt sowohl die Errungenschaften dieser Theoretiker vor als auch die Kritik an ihren Modellen, die sich nach dem Börsenkrach von 2008 einstellte.

Mathematiker und Ökonomen werden Agnes Handwerks Text mit Interesse lesen, wenn ihre Universitätsbibliothek den Titel vorhält. Alle übrigen hypothetischen Leserinnen und Leser werden möglicherweise davon abgeschreckt, knapp 33 € für 75 Seiten Text auszugeben; außerdem wäre ein Glossar hilfreich gewesen, das die für die Beteiligten selbstverständlichen Begriffe wie Arbitrage, Ito-Kalkül, Black-Scholes-Formel, Martingaltheorie etc. aufbereitet. (Was ein Quant tut, ist vermutlich heute, 13 Jahre nach dem Ausbruch der Bankenkrise, auch nicht mehr allgemein präsent.)

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)

Edmund Weitz

‎Springer; 1. Aufl. 2021 Edition (31. März 2021); 277 Seiten; 24,99 €

ISBN-10: ‎3662628791
ISBN-13: ‎978-3662628799

„Die Leibniz-Reihe ist eine Formel zur Annäherung an die Kreiszahl Pi, die Gottfried Wilhelm Leibniz in den Jahren 1673–1676 entwickelte und 1682 in der Zeitschrift Acta Eruditorum erstmals veröffentlichte. Sie lautet: \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\ldots=\frac{\pi}{4}\)

Diesen Eintrag findet man bei Wikipedia in den ersten beiden Zeilen, wenn man den Begriff Leibniz-Reihe nachschlägt. Die Formel wird in Fachbüchern mit Methoden der Analysis hergeleitet.

Der Autor, Edmund Weitz, Professor für Mathematik und Informatik an der Hochschule für Angewandte Wissenschaften Hamburg, hat zur Herleitung dieser Formel ein ganzes Buch geschrieben, nämlich das hier zu besprechende! Er ist – um das schon einmal vorwegzunehmen – ein begnadeter Erzähler.

Die ersten Sätze lauten „Dieses Buch hat keinen praktischen Wert. Wäre es ein Roman, würden Sie das wohl auch nicht von ihm erwarten ...“ und zwei Seiten weiter gesteht er „... werden wir unsere Formel sehr umständlich herleiten. … Warum sollte man sich das antun? Konfuzius würde antworten: ‚Weil der Weg das Ziel ist!‘“ Das genau trifft in der Tat die Absicht des Autors.

Die Formel ist eigentlich nicht das entscheidende. Das zeigt allein schon die Tatsache, dass der Autor erst spät, auf Seite 71, seinen Plan vorstellt, nämlich die Zahl \(\pi\) zu berechnen mit Hilfe der Anzahl der in einem Kreis liegenden Gitterpunkte (das sind die mit ganzzahligen Koordinaten). Denn jeden dieser Punkte kann man sich als Mittelpunkt eines Einheitsquadrats vorstellen und „dann entspricht das Zählen der Punkte dem Messen der Fläche der Quadrate, die augenscheinlich eine gute Näherung für die Kreisfläche ist“. In der Ausführung seines Plans führt Weitz die komplexen Zahlen und die gaußsche Zahlenebene ein, erklärt die notwendigen Rechenoperationen und untersucht dann auch zahlentheoretische Eigenschaften, die er für seinen Beweis benötigt. Auf diesem langen Weg erfährt man dann auch, welche Rolle die Primzahlen bei dieser Herleitung spielen und kann so verstehen, wie es zu dem Buchtitel gekommen ist. Mit Hilfe von Geometrie, Algebra und Zahlentheorie kommt der Autor schließlich zu der oben angegebenen Formel. Der Kurs dorthin ist nicht immer geradlinig, es gibt Kurven und Umwege, aber immer wieder wird man auf die richtige Spur gebracht.

Einen schönen Beweis hat Weitz hier entwickelt, den man sicher auch auf kürzerem Wege hätte darstellen können. Aber er hat eine ausgesprochen anregende Art zu erzählen, er lässt sich keine am Rand dieses Weges oder auch einmal etwas abseits liegenden mathematischen Edelsteine entgehen (wie z. B. Euklids Beweis für die unendliche Reihe der Primzahlen).  Auch philosophiert er immer einmal wieder über die Mathematik und ihre Methoden. Und er schweift auch gerne noch weiter ab: so erfährt man anekdotenhaft etwas Interessantes über so bekannter Mathematiker wie Archimedes, Descartes und Fermat, Leibniz und Newton oder Gauss, er bringt uns aber auch weniger bekannte wie al-Chwarizmi, Galois und Emmi Noether näher.

Die Lektüre ist nicht immer ganz einfach, da werden Schulkenntnisse nur ausreichen, wenn man dem Autor folgt und sich mit den eingestreuten Fragen auseinandersetzt. Aber selbst wenn man manche Denkschritte nicht auf Anhieb nachvollziehen kann, bringt der Autor es immer wieder fertig, das Interesse aufrecht zu halten. Der unterhaltsame und lockere Stil begeistert mich und wird das auch bei allen tun, die sich für Mathematik und ihre Geschichte interessieren.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)