Leseecke

Heinz Klaus Strick

Springer; 1. Aufl. 2023 Edition (7. November 2023); Taschenbuch, 424 S.; 29,99 €

ISBN-10: 3662669056
ISBN-13: ‎978-3662669051

Mathematik aus Indien oder China? Dazu fällt mir spontan doch gar nichts ein. Dabei halte ich etwas auf meine mathematik-historischen Kenntnisse. Doch schon beim Überfliegen des Inhaltsverzeichnisses muss ich feststellen, dass ich nicht einmal die Namen der meisten hier beschriebenen Mathematiker (es sind wirklich nur Männer) gekannt – geschweige denn, etwas von ihren Leistungen gehört oder gelesen habe. Aber da bin ich nicht der einzige, wie ich in der Einleitung des Verfassers lesen kann: „Unser heutiges Bild von Mathematik ist geprägt von der Entwicklung des Fachs auf unserem europäischen Kontinent. Andere Kulturen spielten und spielen in unserem Bewusstsein kaum eine Rolle.“

Schon der Titel des Buches „Geschichten aus der Mathematik“ zeigt, dass es dem Verfasser nicht um eine systematische Darstellung der Geschichte des Fachs geht. Vielmehr wählt er wichtige Wissenschaftler eines Landes oder einer Epoche aus und beschreibt ihre Herkunft und ihren Werdegang, bevor er ihre Leistungen recht ausführlich vorstellt. Diese sind durch ihre Schriften überliefert und enthalten in der Regel umfangreiche Aufgabensammlungen aus den Bereichen Arithmetik, Algebra und Geometrie. Strick erläutert den Aufbau der Sammlungen, gibt den Inhalt der Kapitel wieder und wählt typische Aufgaben aus, die er mit Lösungen und Grafiken ergänzt. Der Titel darf erwartungsvolle Leserinnen oder Leser nicht in die Irre führen – sehr viele „Geschichten“ im herkömmlichen Sinn werden nicht präsentiert – obwohl die hier skizzierten Lebensläufe (insbesondere der europäischen Mathematiker) auch dafür sicher Anlass böten. Der größte Teil des Buches besteht aus den historischen Aufgaben mit den Lösungen des Verfassers.

Die Zeit zwischen 500 und 1200 n. Chr. – Mittelalter in Europa – hat in eben diesem Teil der Welt keine bemerkenswerten Vertreter der Mathematik hervorgebracht – ganz anders offensichtlich in Asien: in China, Indien und im Vorderen Orient. Über die wissenschaftliche Entwicklung in der muslimischen Welt (vor allem in Persien) hat der Autor in seinem Buch „Mathematik – einfach genial“ bereits berichtet. Hier widmet er sich China und Indien, jeweils sechs Wissenschaftler aus der Zeit vom 3. bis 13. Jahrhundert bringt er uns näher. Man staunt, dass schon im 5. Jahrhundert ein Chinese die Zahl π auf sieben Dezimalen genau berechnet hat. Er nutzte die Methode der einbeschriebenen Vielecke, begann vermutlich mit einem Sechseck und muss demnach „die Seitenlänge eines regelmäßigen 12.288-Ecks berechnet haben – eine aus heutiger Sicht unglaubliche Rechenleistung!“. Und der indische Mathematiker Madhava schaffte es im 14. Jahrhundert sogar auf elf Dezimalen. Und dann kommt doch noch ein mir bekannter Inder vor, der berühmte, geniale Srinivasa Ramanujan, der allerdings erst Anfang des 20. Jahrhunderts wirkte. Vielleicht hat er von seinen Vorvätern die rätselhafte Gabe geerbt, komplexe Formeln auf intuitive und offenbar nicht rationale Weise zu finden.

Strick formuliert mehrfach sein Erstaunen darüber, welche mathematischen Ideen und Methoden dort entwickelt worden sind, die teils Jahrhunderte später in Europa wieder entdeckt wurden. Beispielsweise wurden im Zusammenhang mit Kalenderrechnungen lineare Gleichungssysteme gelöst und die Modulo-Rechnung entwickelt. Diese Methode wurde von Euler 500 Jahre später wieder entdeckt und die allgemeine Theorie dazu, heute mit dem Begriff „chinesischer Restsatz“ verbunden, schließlich von Gauß abgeschlossen.

Ob ein Austausch von Wissen zwischen China und Indien und dann weiter auch mit den vorderasiatischen Mathematikern stattgefunden hat, lässt sich nicht im Detail nachweisen – wie der Verfasser schreibt. So bleibt es auch offen, ob und wie umfangreich solche Kenntnisse schließlich nach Europa gelangt sind. Unser Erdteil tritt in die Geschichte der Mathematik erst wieder ein, nachdem durch den Kontakt zu den arabischen Gelehrten die antike griechische Mathematik und die Abhandlungen der islamischen Wissenschaftler in Europa bekannt werden.

Der erste Mathematiker von Rang ist Leonardo von Pisa, heute vor allem durch seine „Kaninchen-Aufgabe“ als Fibonacci und durch die nach ihm benannte Zahlenfolge bekannt. Erstaunlicherweise gerät sein Werk nach seinem Tode in Vergessenheit, erst im 18. Jahrhundert wird es wieder entdeckt. Strick nennt zwei Gründe dafür. Erstens sei Fibonacci seiner Zeit zu weit voraus gewesen, als dass er von Zeitgenossen verstanden wurde. Zweitens konnte sein Buch, „Liber Abacci“, das „heute als eines der wichtigsten Bücher der Mathematikgeschichte Europas gilt“, vor der Erfindung des Buchdrucks mit beweglichen Lettern nur manuell kopiert werden und war daher wenig verbreitet. Es ist dem Verfasser ein Anliegen, Fibonaccis umfangreiches Werk ausführlich darzustellen: auf rund 100 Seiten erfahren wir, nach den Originalkapiteln gegliedert, vom Rechnen im Dezimalsystem mit den arabischen Ziffern, von Brüchen und vom Lösen von Dreisatzaufgaben. Viele der ausgewählten Aufgaben variieren dieselben mathematischen Ansätze in verschiedenen kaufmännischen Anwendungsfeldern. Wurzelrechnung, quadratische Gleichungen und lineare Gleichungssysteme zeigen, dass Fibonacci auch über höhere mathematische Kenntnisse verfügt.

Erstaunlich aber ist auf jeden Fall, dass dieses Wissen ohne unsere heutige formale Fachsprache entwickelt wurde. Aufgabenstellung und Lösung werden immer rein verbal formuliert. Selbst eine einfache quadratische Gleichung „x² + 10x = 39“ lautet bei Fibonacci „census et decem radices equantur 39“ und entsprechend wird der Lösungsweg in Worten formuliert.

Ein „europäisches Erwachen“ stellt der Autor im 15. Jahrhundert fest. Zwei Franzosen, Oresme und Chuquet, zwei Deutsche, Regiomontanus (Johann Müller) und Albrecht Dürer, sowie zwei Italiener Luca Pacioli und Leonardo da Vinci werden beschrieben. Wichtige Grundlage für die weitere Verbreitung mathematischen Wissens waren Übersetzungen antiker und arabischer Schriften ins Lateinische oder noch besser in die Landessprachen. Da Vinci, bekannt als Maler und Ingenieur, und Dürer haben sich durch ihre geometrischen Arbeiten hervorgetan. In Dürers Kupferstich „Melencolia“ weist das magische 4x4-Quadrat auf sein Interesse an Mathematik und seine weitreichenden Kenntnisse hin.

Im 16. Jahrhundert ist Europas Mathematik endlich auf dem neuen Stand der Forschung. Wir erfahren hier von sieben Männern, zwei der Namen dürften in Deutschland bekannt sein, nämlich Adam Ries(e) und Michael Stifel. Ries ist weniger als Wissenschaftler bedeutend, sondern hat als pädagogisch begabter Verfasser von Rechenbüchern in deutscher Sprache einen großen Einfluss auf die Verbreitung des Rechnens mit den arabischen Ziffern. Seine Bücher werden in insgesamt über 100 Auflagen nachgedruckt. „Waren bis dahin die einfachen Leute auf Rechenmeister angewiesen, […] wurden jetzt viele in die Lage versetzt, solche Rechnung selbst durchzuführen“. Stifel hingegen arbeitete eher wissenschaftlich, fasste die damals bekannten Kenntnisse aus Arithmetik und Algebra in einem großen Lehrbuch in lateinischer Sprache zusammen: auch dieses wird „zu den wichtigsten Werken der Mathematikgeschichte gezählt“.

Es fällt mir schwer, einen Adressatenkreis näher zu identifizieren. Es handelt sich doch weniger um ein populärwissenschaftliches Buch für ein breites Publikum, eher um ein wissenschaftliches Werk. Viele Originalquellen hat der Autor recherchiert und die originalen historischen Aufgaben daraus wieder gegeben. Jedes Kapitel enthält ausführliche Quellenangaben, die eine noch weitergehende Beschäftigung mit der Geschichte leicht machen. Strick erhofft sich, dass „dieses Buch das Interesse erweckt, die etwas ausführlicher behandelten Bücher – insbesondere von Leonardo von Pisa, Adam Ries, Christoff Rudolf und Michael Stifel – selbst zu lesen“. Denn, so im Vorwort weiter, bei diesen „wunderbaren, leider oft in Vergessenheit geratenen Einsichten […] kommt man oft aus dem Staunen nicht heraus“.

Diese Rezension ist auch, in gekürzter Form, auf Spektrum.de erschienen.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Nicolas Bacaër, Christina Binder, Hefeng Wang

2021, PDF, kostenfrei

ISBN: 979-10-343-7393-2

In dem vorliegenden Buch werden die bekannten Modelle der Populationsdynamik vorgestellt, z.B. die Fibonacci-Folge, geometrisches und logistisches Wachstum, das Räuber-Beute-Modell von Lotka-Volterra und viele weitere Modelle zu Krankheitsentwicklung und Epidemien, zu Impfungen, zum Aussterben von Populationen, und last but not least zur Einkindpolitik Chinas. Das Inhaltsverzeichnis enthält die folgenden chronologisch sortierten Kapitel.

1. Die Fibonacci-Folge (1202)
2. Die Sterbetafel von Halley (1693)
3. Euler und das geometrischeWachstum von Populationen (1748–1761)
4. Daniel Bernoulli, d’Alembert und die Pockenimpfung (1760)
5. Malthus und die Hindernisse für geometrisches Wachstum (1798)
6. Verhulst und die logistische Gleichung (1838)
7. Bienaymé, Cournot und das Aussterben von Familiennamen (1845–1847)
8. Mendel und die Vererbung (1865)
9. Galton,Watson und die Aussterbewahrscheinlichkeit (1873–1875)
10. Lotka und die Theorie der stabilen Bevölkerung (1907)
11. Das Hardy-Weinberg-Gesetz (1908)
12. Ross und Malaria (1911)
13. Lotka, Volterra und das Räuber-Beute-System (1920–1926)
14. Fisher und natürliche Selektion (1922)
15. Yule und die Evolution (1924)
16. McKendrick und Kermack über die Modellierung von Epidemien (1926–1927)
17. Haldane und Mutationen (1927)
18. Erlang und Steffensen über die Aussterbewahrscheinlichkeit (1929–1933)
19. Wright und zufällige genetische Drift (1931)
20. Die Diffusion von Genen (1937)
21. Die Leslie-Matrix (1945)
22. Perkolation und Epidemien (1957)
23. Spieltheorie und Evolution (1973)
24. Chaotische Populationen (1974)
25. Chinas Ein-Kind-Politik (1980)
26. Einige aktuelle Probleme

Die Autoren stellen jedes Kapitel im historischen Zusammenhang dar und scheuen sich nicht davor, die relevanten Formeln aufzuschreiben und die wichtigsten Eigenschaften der Modelle mathematisch zu beschreiben oder sogar herzuleiten. Die Biographien der entscheidenden Protagonisten (Leonardo da Pisa für die Fibonacci-Folge, Leonhard Euler für das geometrische Wachstum usw.) werden ebenfalls sehr lebendig dargestellt. Auf diese Weise kann man dieses Buch mit viel Freude lesen, wenn man das mathematische Rüstzeug mitbringt, die verwendeten Formeln zu verstehen und nachzuvollziehen. Achtung: Manche Kapitel enthalten Querbezüge zu anderen, so dass sich nicht jedes Kapitel als Einzellektüre eignet.

Das Buch kann kostenlos als pdf-Datei im Internet heruntergeladen werden, z.B. von https://hal.science/hal-03328869. Das ist natürlich ein großes Plus!

Das vorliegende Buch ist meines Erachtens besonders gut für folgende Leserschaft geeignet: Lehrer*innen, die sich weiterbilden wollen und ihren Unterricht durch das ein oder andere historische Beispiel anreichern möchten. Mathematik-Studierende, denen die Vorlesungen zu theoretisch sind und die sich auch für historische Bezüge interessieren. Und natürlich jene mathematische Laien, die sich für die besprochenen Themen interessieren und von den vielen Formeln nicht abschrecken lassen. Ich habe das Buch jedenfalls mit Genuss gelesen!

Rezension: Wolfram Koepf (Kassel)

Heinz Klaus Strick

Springer; 1. Aufl. 2023 Edition (18. Oktober 2023); Taschenbuch, 268 Seiten, 24,99 €

ISBN-10: 3662673126
ISBN-13: ‎978-3662673126

Ein Bilderbuch voller Mathematik! Beim Blättern durch das Buch sieht man auf fast jeder Seite farbige Grafiken, Figuren und Muster. Der Verfasser knüpft an seine drei Bücher über „schöne“ Mathematik an und stellt hier Themen zusammen, die sich auch als Lektüre für Jüngere eignen. Er adressiert es ausdrücklich an „Kinder ab etwa 8 Jahren und Jugendliche“.

Konsequent wählt der Verfasser daher einen spielerischen Zugang, alle mathematischen Zusammenhänge werden an Beispielen erkundet, die Überlegungen bleiben stets an konkreten Objekten und werden sehr ausführlich hergeleitet, nur an ganz wenigen Stellen taucht eine Formel auf. In allen Abschnitten folgt nach einer kurzen Vorstellung des Sachverhalts fast auf jeder Seite ein Abschnitt „Anregungen zum Nachdenken und für eigene Untersuchungen“. Hier wird dazu aufgefordert, Figuren zu zeichnen, auseinander zu schneiden und auszumalen, Gesetzmäßigkeiten zu entdecken, Begründungen zu finden und zu formulieren, Verallgemeinerungen zu suchen und zu prüfen, Spiele mit den geometrischen Objekten auszuprobieren.

Für diese Herangehensweise eignet sich am besten die Geometrie: neun der zwölf Kapitel befassen sich mit Inhalten aus diesem Gebiet. Es geht allerdings nicht um einen Lehrgang durch den geometrischen Schulstoff – der wird nebenbei, wenn nötig, aufgegriffen aber im wesentlichen hat der Verfasser Fragestellungen ausgesucht, die leider im Schulunterricht keinen Platz haben.

Er beginnt mit dem Parkettieren, dem Auslegen einer Fläche mit einfachen Bausteinen, nämlich Quadraten, Rechtecken und den aus fünf Quadraten zusammengesetzten Pentominos. Hier können sogar schon Vorschulkinder, die häufig gerne Puzzles legen, mit diesen Teilen spielerisch erste Erfahrungen mit geometrischen Formen gewinnen, die später zu systematischem Probieren und zur Entdeckung von Strukturen führen. Da vermisse ich einen Hinweis auf das Brettspiel „Blokus“, mit dem meine Enkel sich schon als kleine Kinder gerne beschäftigt haben. Auch die dreidimensionalen Pentominos, bei denen die Quadrate durch Würfel ersetzt sind, motivieren Kinder (und Erwachsene) beim Zusammenbau der „Bauklötzchen“ sehr.

In weiteren Kapiteln werden Parkettierungen mit Fliesen und gemusterten Kacheln ausführlich und in vielen Varianten vorgestellt – auch diese Abschnitte können schon jüngere Kinder gut bearbeiten. Schwieriger dürften die Anregungen zu den Flechtbändern mit kreisförmigen Bögen sein, die man ebenfalls auf Fliesen finden kann. Für das selbständige Arbeiten damit helfen die Vorlagen, die man aus dem Internet herunterladen kann. Wie man sich – nebenbei bemerkt – auch zu allen Abschnitten des Buches Zusatzmaterial über die jeweils angegebenen Links beschaffen kann.

An den Schulstoff angelehnte Mathematik findet sich im Kapitel über Flächenteilungen: vom geometrischen Halbieren und Dritteln einfacher Figuren führt der Verfasser sogar hin zu einem propädeutischen Grenzwertbegriff bei unendlichen Reihen. Auch hier werden keinerlei Formeln entwickelt, die kleinen Rechnungen sind stets beispielgebunden. Die Abbildungen zeigen intuitiv den dahinter liegenden rechnerischen Zusammenhang.

Das Kapitel „Muster aus Steinen“ stellt etwas höhere Anforderungen an Leserinnen und Leser. Die Methode, Zahlen durch Figuren darzustellen, war auch schon bei den Pythagoräern beliebt: Quadrat-, Rechtecks- und Dreieckszahlen werden farbig und wunderbar anschaulich abgebildet, so dass auch hier der zugehörige Text kurz gefasst bleiben kann.

Wer sich wundert, was eine „Wortschlange“ in einem Mathematik-Buch zu suchen hat, muss sich die Beispiele ansehen, bei denen zuerst Buchstaben in die richtige Reihenfolge zu einem sinnvollen Wort zu bringen sind, dann aber die Mathematik dahinter auftaucht: Da geht es um Wege in Rechteckrastern (z. B. auf kariertem Papier) und zu Labyrinthen und Rösselsprüngen bis hin zu Fragen der Kombinatorik.

Ein bekanntes, in der mathematischen Unterhaltungsliteratur oft beschriebenes Rätsel handelt von einem kleinen Quadrat, das beim Umlegen der Teile einer ersten Figur zu einer zweiten angeblich verschwindet. Dieses Problem wird vom Verfasser nicht nur in aller Ausführlichkeit analysiert, sondern verallgemeinert und führt so zur Entdeckung der Fibonacci-Zahlen und des goldenen Schnitts. Letzterer wird im folgenden aufgegriffen, ausgehend vom Pentagon und Pentagramm lernen wir noch einmal Parkette mit goldenen Dreiecken in vielen Varianten kennen.

Die letzten drei Kapitel gehen über die Geometrie hinaus und dürften eher ältere Kinder und Jugendliche ansprechen. Ausführlich wird gezeigt, wie man magische Quadrate konstruieren kann. Würfel und  Würfelnetze erfordern noch einmal geometrische Überlegungen, dann aber führen Würfelspiele zu ersten Fragen und Antworten der Stochastik. Abschließend erläutert der Verfasser an Hand von Quadratzahlen und Potenzen einfache Probleme aus dem Bereich der Zahlentheorie. 

Wie die jüngste PISA-Studie gezeigt hat, haben in Deutschland Schülerinnen und Schüler große Lücken in ihren Rechen-Kenntnissen. Viele Unterrichtsinhalte bedürfen der Einübung von Routinen (kleines Einmaleins, die schriftlichen Rechenverfahren, Bruch- und Prozentrechnung) – da kommen geometrische Inhalte oft zu kurz. Aber wer schneller lernt, für mathematische Inhalte zu motivieren ist und Freude an ungewohnten Aufgaben hat, den können solche Unterrichtsphasen nicht für Mathematik begeistern. Eine wichtige Zielgruppe neben den Kindern und Jugendlichen sind daher Lehrerinnen und Lehrer. Wer Mathematik unterrichtet, sollte dieses Buch besitzen und verwenden. Er findet in Hülle und Fülle Material für die, die im Unterricht nicht ausgelastet sind und sich langweilen und hier kreative Veranschaulichungen und herausfordernde kleine Probleme finden und lösen lernen. In einem guten binnen-differenzierten Unterricht kann es Lehrerinnen und Lehrern eine große Hilfe sein.

Diese Rezension erschien am 5. Februar 2024 auch bei Spektrum.de: https://www.spektrum.de/rezension/buchkritik-zu-kunterbunte-mathematik/2206109

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Thomas Barth

Wiley-VCH; 1. Edition (5. Oktober 2022); Taschenbuch; 368 Seiten;34,90 €

ISBN-10: 3527413790
ISBN-13: 978-3527413799

Der Untertitel trifft den Inhalt dieses Buches besser als die Überschrift „Die Kunst des Zählens“. Der Autor will – wie er in seiner Einleitung mehrfach betont –  dass sein Buch für Nicht-Mathematiker verständlich bleibt. So kommt „richtige“ Mathematik nur an sehr wenigen Stellen vor, auf die er auch noch vorweg ausdrücklich hinweist, um den Lesern ein Überblättern zu ermöglichen.

Eher für mathematisch Interessierte ist die Darstellung der Entwicklung des Zahlbegriffs gedacht, sie reicht von den natürlichen Zahlen, über die Problematik des aktual oder potentiell Unendlichen bei Aristoteles und Platon, bis hin zur Grundlegung der reellen Zahlen durch Cauchy, Weierstrass und Dedekind im 19. Jahrhundert – nimmt aber nur rund 20 Prozent der 330 Seiten ein. Dabei zeigt sich der Verfasser als ein Anhänger des sog. Konstruktivismus und Student von Paul Lorenzen. Statt der von dieser Denkschule verwendeten Begriffe „Proponent“ und „Opponent“ verwendet er im dialogischen Argumentieren die Wörter „Auftraggeber“ und „Dienstleister“. Allerdings geht er auf diese spezielle Auffassung von Mathematik nicht explizit ein.

Der Reiz des Buches liegt für mich in den anderen Kapiteln, die rund 80 Prozent des Textes ausmachen – ich vermute, dass dies auch für viele andere Leser zutreffen wird.

Hier legt der Autor den Schwerpunkt auf den historischen Abriss nicht der theoretischen, sondern der angewandten Mathematik. Es geht dabei um Landvermessung, Zeitmessung, Kartenkunde, das heliozentrische Weltbild, Astronomie und die mathematischen Hilfsmittel dafür. Das alles ist sehr gut lesbar und auch für mathematische „Laien“ verständlich und interessant. Auch die immer wieder eingestreuten biografischen Daten der Wissenschaftler und die Einbettung in den historischen Zeitgeist machen diese Abschnitte lesenswert.

In rund einem Drittel des Buches widmet er sich der Zeit des Hellenismus. In ihr fand seiner Ansicht nach eine wissenschaftliche Revolution statt, die durch Namen wie Aristoteles, Archimedes, Eratosthenes und Ptolemäus sowie durch die Bibliothek von Alexandria geprägt wurde. Vor allem die damals entwickelten technischen Hilfsmittel werden ausführlich vorgestellt. Der Vermessung der Erde, am bekanntesten wohl der von Eratosthenes erstmals ermittelte Umfang eines Großkreises der Erde, wird detailliert beschrieben. Die Bestimmung von Breiten- und Längengrad waren nötig geworden, damit man Landkarten möglichst genau erstellen konnte. Wasseruhren wurden erfunden, die genauer als Sonnenuhren die Zeit messen. Das ermöglichte es, von der temporalen Einteilung der Tageszeit zu der äqualen (äquinoktialen) überzugehen. Bei der ersten wird der lichte Tag, unabhängig von der Jahreszeit, in je 12 Abschnitte geteilt, so dass diese Abschnitte im Sommer länger sind als im Winter, während bei letzterer, wie wir es gewohnt sind, jeder Abschnitt, also jede Stunde gleich lang ist. Astronomische Geräte und Modelle, die von Archimedes gebaut wurden, sind leider nicht erhalten, nur aus Berichten wissen wir davon. Der überraschend im Jahre 1901 gefundene „Mechanismus von Antikythera“, ein Wunderwerk der Technik, wird ausführlich beschrieben.

Von Alexandria aus verlagerte sich das mathematische und technische Wissen „nach Indien und Bagdad“, wie der Autor formuliert und auf wenigen Seiten nur skizziert. Erst das Europa in der Zeit der Renaissance wird wieder sehr ausführlich geschildert: Die mathematische Technik mit der Erfindung der Perspektive durch Leonardo da Vinci, des Baus der feinmechanischen Uhren und Himmelsgloben durch den Uhrmacher Jost Bürgi, die physikalischen und astronomischen Entdeckungen von Kepler und Galilei bis hin zur Bestimmung des Längengrads auch auf hoher See (mit Hilfe präziser Uhren im 18. Jahrhundert). Als Kasseler freue ich mich über die ausführliche Beschreibung der Bedeutung von Kassel zu dieser Zeit: als „genialer Instrumentenbauer und Uhrmacher“ wird Jost Bürgi vom Verfasser gewürdigt und auch als Mathematiker, der „einen größeren Anteil an den Kepler’schen Gesetzen gehabt haben [dürfte], als allgemein bekannt“.

Nachdem die Bedeutung von Archimedes in der Antike schon ausführlich gewürdigt worden war, wird auch die Wiederentdeckung seiner Schriften spannend erzählt – ein Teil seiner Aufzeichnungen wurde in der Renaissance wieder entdeckt: „Durch seine Kongenialität hat Bürgi sehr zur Rezeption von Archimedes beigetragen.“ Ein Manuskript aber, in der Wissenschaftsgeschichte bekannt als „Kodex C“, verschwindet nach seiner Entdeckung Anfang des 20. Jahrhunderts erneut und wird erst jüngst in unserem Jahrhundert auf abenteuerlichen Wegen wieder gefunden und ausgewertet – wie spannend beschrieben wird.

In den letzten beiden Kapiteln wird die Entwicklung der Computer dargestellt. Es geht los mit den Rechenmaschinen, die Schickard, Pascal und Leibniz im 17. Jahrhundert konstruiert haben, bis hin zu Zuse, von Neumann und Turing. Die Bedeutung der für die modernen Computer entwickelten Algorithmen zeigt der Verfasser auf und weist auf die Gefahren für den Persönlichkeitsschutz hin. Abschließend gibt der Autor eine kurze und sehr klare Einschätzung der aktuellen Fragen zu Big Data und der Künstlichen Intelligenz.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Bernd Simeon

Springer; 1. Aufl. 2023 Edition (11. April 2023); Taschenbuch; 214 Seiten; 27,29 €

ISBN-10: ‎3662662981
ISBN-13: ‎978-3662662984

Der Autor dieses Buches ist Professor an der TU Kaiserslautern und forscht und lehrt mit dem Schwerpunkt „Entwicklung und Analyse von Computermodellen“. Der Mathematiker hat hier ein Buch vorgelegt, das für alle – auch ohne mathematische Vorkenntnisse – eine anschauliche Einführung gibt, wie solche Modelle funktionieren. Er vermeidet fast vollständig mathematische Formelsprache, benennt zwar die zugehörigen Fachbegriffe, erklärt diese jedoch stets in allgemeinverständlicher Sprache. Für weiter gehende Informationen werden im Text Literatur und Internet-Verweise genannt.

„Der Begriff der Computermodelle steht für all das, was sich mit mathematischen Modellen und Algorithmen beschreiben, erkunden, verstehen und letztlich vorhersagen lässt.“ Dafür gibt Bernd Simeon Beispiele aus vielen Anwendungsbereichen.

Industrieroboter sind mit ihren präzise eingestellten Programmen längst millionenfach für bestimmte Fertigungsschritte in der Industrie im Einsatz. An autonom agierenden Robotern hingegen, die auch auf unvorhergesehene Ereignisse angemessen reagieren können, forschen Wissenschaftler immer noch. Deren Bewegungen werden im Computermodell durch Differentialgleichungen gesteuert. Ohne diese zu notieren, demonstriert der Autor mit grafischen Methoden, wie man die Lösung einer solchen Gleichung finden kann. Er veranschaulicht das an einem Fluss, auf dem ein kleiner Papierball fortbewegt wird und ermittelt daraus dessen Bahnkurve in der Strömung zeichnerisch. Diese schrittweise Konstruktion mit einem Richtungsfeld kann man selbst nachvollziehen (der Autor fordert dazu auf) und die Lösungskurve durch einen Streckenzug annähern. Diese Art der Darstellung gilt für viele Abschnitte im Buch: die speziellen Fachtermini werden genannt, deren Bedeutung aber anschaulich und allgemein verständlich beschrieben.

Das gilt auch für die Navier-Stokes-Gleichungen, eines der sieben Milleniumsprobleme. Sie treten in vielen Anwendungen auf: sie sind nämlich das mathematische Modell des Strömungsverhaltens von vielen Flüssigkeiten und Gasen. Dazu müssen Näherungsverfahren entwickelt werden, da keine exakten analytischen Lösungen für diese komplizierten Anwendungsfälle bekannt sind. Es ist einleuchtend, dass sie eine wichtige Rolle bei der Wetter-Prognose spielen, die Kenntnisse über die Luftströmungen voraussetzen. In der Meteorologie sind Computermodelle zur Wettervorhersage schon sehr früh eingesetzt worden: John von Neumann hat sich schon kurz nach dem zweiten Weltkrieg mit Hilfe eines der ersten Universalrechner ENIAC „an die numerische Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen herangetraut“. Für die Wetterprognosen gibt es längst bessere Modelle und Algorithmen, aber trotz der heute viel größeren Datenbasis und der neuen Hochleistungs-Hardware stoßen sie an Grenzen. Warum eine langfristige Vorhersage unsicher ist, beschreibt der Autor auch: die von dem Meteorologen Edward Lorenz entdeckte Eigenschaft des mathematischen Chaos macht das prinzipiell unmöglich.

Weitere wichtige Bereiche werden behandelt, die ohne Computermodelle gar nicht denkbar wären: Raumfahrt und Astronomie, Finanzwirtschaft und Medizin. Durch die Covid19-Pandemie wurden in den Medien in den drei vergangenen Jahren Ergebnisse von Computermodellen weit verbreitet und manche Frauen und Männer, die sie produziert haben, sind als Modellierer in Fernsehsendungen vielen bekannt geworden. In diesem Abschnitt kommen schließlich doch noch mathematische Gleichungen (SIR-Modell) vor. An den nur grafisch dargestellten Lösungen diskutiert der Autor grundsätzliche Probleme solcher Modelle und bemängelt „die oftmals katastrophale Datenlage“, die unsichere Startwerte für die Simulationen liefern.

Die hier vom Verfasser geübte Kritik gilt auch für andere Bereiche, wie etwa die Finanzwirtschaft: er spricht von einem „Paradox des blinden Vertrauens“ – es „wuchs die Erwartungshaltung an die Computermodelle, obwohl die dahintersteckende Mathematik für viele Menschen, einschließlich der meisten Entscheidungsträger, undurchschaubar ist“. Aber auch für für Fachleute einer Disziplin ist es eine Gefahr, zu Fehlschlüssen zu kommen, er schreibt „… was mit der heutigen Software möglich ist, und das, was man in strengem Sinn verstanden hat, klafft immer weiter auseinander“. Bernd Simeon spricht von einer Krise der Modelle. Diese Bedenken gelten für ihn auch auf dem Gebiet der lernenden Modelle der KI. Er erklärt wesentliche Grundlagen neuronaler Netze und das Potential dieser Technik und stellt fest, dass es einen Trend gibt, „die klassische physikalisch orientierte Modellbildung und die neuronalen Netze miteinander zu verknüpfen“. Aber er konstatiert, dass auch hier selbst für die Wissenschaftler „Verstandenes nicht Schritt mit dem Machbaren“ hält.

So erklärt sich auch der Untertitel dieses Buches. Die Frage, ob Computermodelle „Quellen der Erkenntnis oder digitale Orakel“ sind, zieht sich als ein Leitfaden durch das Buch. Das macht es zu einer spannenden und nachdenkenswerten Lektüre. Zudem auch noch zu einer unterhaltsamen: der Verfasser erzählt nebenbei immer wieder von Kolleginnen und Kollegen aus vielen Ländern, mit denen er Probleme und Lösungen diskutiert und zusammengearbeitet hat. Dabei erfährt man auch manche Interna aus der Wissenschaftswelt, von Kongressen und Forschungseinrichtungen, wie etwa dem Robotik-Labor an der TU Darmstadt oder dem Fraunhofer-Institut für Techno- und Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern.

Resension: Hartmut Weber (Kassel)