Leseecke

Edmund Weitz

Rowohlt Taschenbuch; 1. Edition (28. Januar 2025); Taschenbuch; 272 Seiten; 15 €

ISBN-10: ‎3499014262
ISBN-13: ‎978-3499014260

Geht es dem Verfasser hier etwa um fünf bisher ungelöste Rätsel, die noch auf eine Lösung warten? Nein, wirklich unlösbare Probleme werden hier beschrieben – Probleme, an denen sich teils über viele Jahrhunderte hin unzählige Menschen vergeblich um eine Lösung bemüht haben – bis schließlich bewiesen wurde, dass sie nicht gelöst werden können.

Liebhaber der Mathematik werden hier viel Bekanntes wiederfinden, denn der Verfasser wählt berühmte Probleme aus der Geschichte des Faches aus. Die Lektüre dieses Buches ist jedoch auch für den Kenner unbedingt empfehlenswert. Man wird nicht nur durch den lockeren, teils flapsigen und überaus unterhaltsamen Stil, sondern auch durch wenig bekannte Einzelheiten (mir war der Name Wantzel nicht bekannt) und mathematische Herleitungen belohnt. Mag auch der einen oder dem anderen auf manchen Seiten dieses Buches etwas zu viel an Rechnungen vorgeführt werden – dann bitte auf Papier selber nachrechnen oder aber überblättern und weiterlesen – die Erläuterungen der grundlegenden Ideen sind sehr anschaulich und verständlich und nebenbei erfährt man auch viel Lesenswertes aus den Biografien der großen Mathematiker.

Im erstes „Rätsel“ widmet sich Weitz den drei klassischen Problemen der Antike, deren Unlösbarkeit im 19. Jahrhundert bewiesen wurde. Eines von denen ist die „Quadratur des Kreises“, die als Paradigma für eine unlösbare Aufgabe Eingang in die Alltagssprache gefunden hat. Anhand der beiden anderen, „Verdoppelung des Würfels“ und „Dreiteilung des Winkels“, erklärt Weitz ausführlich, was die auf den ersten Blick unverständliche Schwierigkeit der Fragestellung ist. Es geht nämlich darum, dass die Aufgabe nur mit Zirkel und Lineal (und dieses ohne Längenmarkierung) bearbeitet werden darf. Diese drastische Einschränkung war eine charakteristische Eigenschaft der antiken griechischen Mathematik. „Um die Vergeblichkeit jeglicher weiterer Lösungsversuche einzusehen, musste die Mathematik … die ‚Scheuklappen‘ des griechischen Erbes loswerden.“ Ein erster wesentlicher Schritt dazu war die Erfindung der neuen analytischen Geometrie durch den Philosophen und Mathematiker René Descartes. Mit deren Hilfe wurde schließlich rund 200 Jahre später die Unlösbarkeit dieser beiden Probleme endgültig vom oben genannten Pierre Wantzel bewiesen.

Dem berühmten antiken griechischen Mathematiker Euklid haben wir ein weiteres dieser „Rätsel“ zu verdanken: Generationen von Mathematikern haben vergeblich versucht, das Parallelen-Axiom (das fünfte „Postulat“, in der Formulierung Euklids) aus den vier anderen Axiomen herzuleiten. Dass dies unmöglich ist, führte im 19. Jahrhundert schließlich zur Entdeckung der nicht-euklidischen Geometrien.

Auch ein algebraisches Problem, nämlich das Finden einer Lösungsformel für Gleichungen, hat die mathematische Welt viele Jahrhunderte beschäftigt. Wie spannend die Suche und das Finden der Formeln für Gleichungen 3. und 4. Grades im 16. Jahrhundert in Italien ausging, schildert Weitz ausführlich – ebenso wie das weitere vergebliche Suchen nach Formeln für höhere Grade. Allmählich war die Fachwelt von der Unmöglichkeit überzeugt und dank einer entscheidenden Idee des erst 20-jährigen Evariste Galois war dann ein für alle Mal das Problem erledigt und die Unlösbarkeit bewiesen.

Während man die ersten drei „Rätsel“ wegen ihrer Anschaulichkeit auch Laien recht gut erklären kann, ist das bei den letzten beiden nicht so einfach. Es geht zum einen um die „Grundlagenkrise der Mathematik“ in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts, in der Formalisten und Intuitionisten um deren Grundlagen stritten und es um die Widerspruchsfreiheit der Mathematik ging. Zum anderen um die sogenannte Kontinuumshypothese, die Georg Cantor im Rahmen seiner Entdeckungen zu aktual unendlichen Mengen formuliert hatte. Der deutsche Mathematiker David Hilbert hatte diese beiden Probleme in seinem berühmten Vortrag auf dem zweiten internationalen Mathematikerkongress im August 1900 in Paris vorangestellt. Durch die Gödel’schen Unvollständigkeitssätze und die Ergebnisse von Paul Cohen wurde bewiesen, dass beide unlösbar sind.

Edmund Weitz schreibt im Vorwort „Darum will ich versuchen, diese Ideen so darzustellen, dass man sie ohne spezielle Vorkenntnisse nachvollziehen kann“. Das ist ihm außerordentlich gut gelungen. Die Erfindung der Axiomatik in Euklids „Elementen“, die „bis in die Mitte des 19. Jahrhunderts ein Standardlehrbuch an Europas Schulen und Universitäten waren“, wird ebenso anschaulich geschildert wie die Tatsache, dass die Griechen ihre drei klassischen Geometrie-Probleme nicht lösen konnten, weil sie nur geometrisch dachten und wenig algebraische Kenntnisse besaßen. Die Entdeckung von Galois über die Unlösbarkeit der Gleichungen stieß, wie Weitz begründet, Jahrzehnte auf geringes Interesse, da man vor allem an Lösungen interessiert war, weniger an Beweisen für Unlösbares. Auch für die Grundlagenkrise der Mathematik Ende des 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts findet Weitz bei aller Kürze eine für Laien verständliche Zusammenfassung.

Dem obigen Zitat folgt im Vorwort dann der Satz „Allerdings wird die Lektüre damit nicht zum Kinderspiel“. Das gilt nicht nur für die immer wieder einmal eingefügten kurzen Einschübe mit ergänzenden Informationen, sondern auch für einige längere Passagen, in denen Weitz über die Ideen hinaus auch konkret auf mathematische Methoden eingeht. So wird etwa für den Beweis der Unmöglichkeit der Würfelverdoppelung ein Konstruktionsprozess algebraisch konkret beschrieben, der zeigt, dass die notwendige dritte Wurzel (nötig für die Berechnung der Seitenlänge aus dem Volumen) nicht gelingen kann. Beim Beweis der Unmöglichkeit einer Lösungsformel für Gleichungen höheren Grades spielt die Beobachtung eine entscheidende Rolle, dass die Lösungen wechselseitig von den Koeffizienten abhängen. Auch diese Eigenschaft wird konkret an Beispielen demonstriert und führt letzten Endes zum Beweis, dass es eine solche Formel nicht geben kann.

Der Autor meint, dass für diese beiden Herleitungen Schulkenntnisse ausreichen, sie fordern aber doch konzentriertes Mitdenken. Für das Nachvollziehen der Entdeckungen Gödels allerdings kann man nicht auf solche Kenntnisse zurückgreifen. Da handelt es sich nicht um eine leichte Kost – aber das ist beim vielleicht größten Logiker des 20. Jahrhunderts auch nicht zu erwarten.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Hartmut W. Mayer, Moritz Edermann

Noack & Block (21. November 2024); Taschenbuch; 230 Seiten, 20 €

ISBN-10: 386813199X
ISBN-13: ‎978-3868131994

Der erste Autor Hartmut W. Mayer hat Mathematik, Physik und Philosophie studiert und das Buch „Von der Grundlagenkrise der Mathematik zu den Gödelschen Unvollständigkeitssätzen“ verfasst. Der zweite, Moritz Edermann, ist Berufspilot und Experte für Risikomanagement und Flugsicherheit. Da kann man sich denken, wer von den beiden für welche Teile des Buches verantwortlich ist.

Worum geht es? In der Nähe von Frankfurt stoßen zwei Flugzeuge zusammen, die Passagiermaschinen stürzen ab, es gibt keine Überlebenden, rund 600 Tote. Das eine Flugzeug gehört einer deutschen Fluggesellschaft, das andere einer afrikanischen. Sind Wetterbedingungen, Materialermüdung, Softwarefehler, menschliches Versagen oder gar ein terroristischer Angriff dafür verantwortlich? Schnell sollen die dafür zuständigen Institutionen, darunter die Bundesstelle für Fluguntersuchungen, die Ursachen des Unglücks klären. Da sämtliche Beweismittel wie Flugzeugtrümmer, Flugpläne, Handbücher und sämtliche technische Dokumentationen und die Gespräche der Fluglotsen vorhanden und nur noch die verschiedenen Flugschreiber (die sogenannten Blackboxes) mit den hoffentlich lesbaren Daten zu analysieren sind, steht einer baldigen Auswertung eigentlich nichts im Wege. (Die hier verwendeten Fachtermini verraten den zweiten Autor.)

Dann aber kommt die Politik ins Spiel. In Berlin ist eine Koalition aus den Sozialdemokraten, die den Bundeskanzler stellen, und einer rechtsstehenden Partei an der Regierung. In Kürze sind Neuwahlen, in der die rechte Partei mit ihrem derzeitigen Justizminister gute Aussichten hat zu gewinnen. Der will mit seinem Wahlkampfteam den Unfall ausnutzen und bei den Wählern mit krassen rassistischen Argumenten punkten. Er macht das afrikanische Flugzeug, gesteuert von afrikanischen Piloten, für den Unfall verantwortlich, obwohl er dafür keine Beweise vorlegen kann. Um die Aufklärung der Ursachen bis nach den Wahlen zu verzögern, hat er deshalb den Leiter der Bundesanwaltschaft angewiesen, dass dieser die Untersuchung an sich zieht und als neuer hauptverantwortlicher Beamter weitere Nachforschungen vorerst verzögert oder gar unterbindet. Diese Abschnitte erinnern sehr an die aktuelle (Januar 2025) politische Situation in manchen Teilen der Welt.

Die IT-Firma, die das Steuerungsprogramm für das deutsche Flugzeug entwickelt hat, untersucht nach dem Unfall noch einmal ihre Software, ob diese womöglich doch einen bisher übersehenen Fehler enthält. In diesem Zusammenhang spielt ein erstes Mal das Thema „Wissenschaft“ eine – allerdings nur kleine – Rolle. Denn die Mathematikerin der Firma setzt durch, dass diese erneute Evaluation mit einer klaren „Falsifikationsstrategie gemäß dem Wissenschaftstheoretiker Karl Popper“ durchgeführt wird.

Dann aber wird von einem Spaziergänger am Unfallort zufällig ein „Quick Access Recorder“ gefunden, der in die richtigen Hände gelangt und schließlich nach einigen weiteren Ereignissen zur Aufklärung führt. Die Manipulationen des Justizministers kommen ans Licht und schließlich verliert seine Partei auch die Wahl und er muss von allen Ämtern zurücktreten.

Endlich liegt auch der Abschlussbericht über den Unfall vor. Es ist fast alles eindeutig geklärt. Das deutsche Flugzeug ist abgestürzt und hat das andere mitgerissen. Es liegt kein menschliches Versagen vor. Obwohl die Steuerungssoftware alle Tests einwandfrei bestanden hat, wurde der Absturz von ihr verursacht. Zwei Parameter wurden in dem Programm vertauscht und führten zu dem fatalen Fehler. Die Ursache dafür ist unerklärlich, denn „selbst millionenfache Simulationen hatten dieses Fehlverhalten nicht zu reproduzieren vermocht“. Und wieder kommt die schon oben erwähnte Mathematikerin zu Wort. Kurt Gödel wird von ihr mit seinen Forschungen zur Widerspruchsfreiheit der Mathematik in die Diskussion eingebracht. Sie sagt „Somit drängt sich die Frage auf, ob die Gödelsche Unvollständigkeit ein Erklärung liefern könnte. Die Frage muss unbeantwortet bleiben, sie ist reine Spekulation.“

Der „Vollständigkeit“ halber endet das Buch dann versöhnlich. Alle Beteiligten erhalten ihren gerechten Lohn – die „Bösen“ werden enttarnt, verlieren ihre Posten oder werden verhaftet, die „Guten“ lösen ihre privaten und geschäftlichen Beziehungen bestens.

Ich hatte mir beim Lesen des Titels und der Kennzeichnung des Buches als „Wissenschaftsbuch“ noch etwas mehr aus diesem Bereich erwartet. Aber so liest sich der Roman flüssig und ist recht unterhaltsam.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Andreas Helfrich-Schkarbanenko

Springer Spektrum; 1. Aufl. 2023 Edition (26. September 2023); Taschenbuch, 304 Seiten, 29,99 €

ISBN-10: 3662682087
ISBN-13: ‎978-3662682081

Seit ChatGPT am Ende des Jahres 2022 der Öffentlichkeit vorgestellt wurde, sind KI-Anwendungen in aller Munde, und die Reaktionen reichen von glühender Befürwortung bis zu warnender Kritik. Im vorliegenden Buch beschreibt der Autor, ein Mathematikprofessor an der Hochschule Karlsruhe, wie er dieses Werkzeug einsetzt, etwa zur Lösung von (mehrheitlich Rechen-) Aufgaben, zur Erstellung von Tests und zur Korrektur von Programmieraufgaben.

Einige Beispiele sind äußerst beeindruckend; genauso beeindruckend ist allerdings die Liste der Schwachstellen, die dankenswerterweise explizit in einem Anhang gesammelt sind. So kann ChatGPT die Aufgabe „Finde den Schnittpunkt einer Ebene mit einer Geraden” (mit konkreten Parametern) problemlos lösen, scheitert aber daran, die Schnittgerade zweier Ebenen zu bestimmen; tatsächlich wird die Lösung dann doch gefunden, wenn man ein zusätzliches Plugin lädt.

Die analysierten Beispielaufgaben haben das Niveau von Schulmathematik bis ca. 2. Semester. Der Autor fragt ChatGPT auch nach Beweisen; hier sieht es jedoch mitunter eher trübe aus. Selbst Beweise, die er für korrekt hält, erweisen sich bei näherem Hinsehen als hanebüchen (siehe Seite 117). Forschungsmathematik steht nicht im Fokus des Texts; gerade hier produziert ChatGPT nach meiner Erfahrung jede Menge falsche bzw. inhaltsfreie Antworten, die als „Halluzinationen” bekannt sind.

Eine Stärke von ChatGPT, die der Text dokumentiert, liegt in seinen Fähigkeiten, Code fur LaTeX, TikZ oder Matlab zu erzeugen; viele Beispiele im Buch belegen das. Außerdem sieht man, dass als Eingabe natürliche Sprache akzeptiert wird („Kommt Dir die Notation \(\mathbb R^2\) bekannt vor?”), und es wird (unfreiwillig) dokumentiert, dass ChatGPT auch falsches Deutsch klaglos versteht („gebe an” , „lese vor” ).

Generell legt der Autor Wert darauf, seine Erfahrungen zum „prompt engineering”, d.h. zur geschickten Formulierung und Nachjustierung von Anfragen weiterzugeben. Auch hierzu gibt es einen eigenen Anhang mit Tipps.

Das Buch ist 2023 erschienen, und diese Rezension stammt vom September 2024. Ob ChatGPT und andere Sprachmodelle auch nützliche Werkzeuge für fortgeschrittene Mathematik werden, wird die (vermutlich nicht allzu ferne) Zukunft zeigen.

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)

Jürgen Brater

Yes Publishing (20. August 2024); Kalender 100 Seiten; 12 €

ISBN-10: 3969053528
ISBN-13: 978-3969053522

Dieses Buch wird auf dem rückseitigen Buchdeckel als „außergewöhnliches Adventsgeschenk“ deklariert. Die Aufmachung ist dementsprechend ausgeführt, das Layout farblich passend: Die Seiten sind im Querformat gehalten, in weißer Schrift ist der Text auf rotem oder tannengrünem Grund gedruckt, einfache Grafiken mit adventlichen oder weihnachtlichen Motiven schmücken die Seiten. Für jeden der 24 Tage bis zum Heiligen Abend gibt es jeweils zwei „Matherätsel“, die auf einer Doppelseite präsentiert werden, die Lösungen stehen auf der Rückseite.

Mathematisch betrachtet handelt es sich bei den Rätseln zum einen um Varianten bekannter Typen von Problemen der Unterhaltungsmathematik. Weithin bekannte Rätsel verändert der Autor geschickt: da geht es zum Beispiel um ein Umfüllproblem (wie kann man ein bestimmtes Volumen mit zwei Gefäßen abfüllen), Zeitmessung (wie kann man mit zwei verschiedenen Sanduhren eine bestimmte Zeit abmessen) oder um eine Spielart der altbekannten Aufgabe, in der Kamele an die drei Söhne eines Scheichs vererbt werden. Nette kleine Geschichten verbergen Rätsel, bei denen man Kenntnisse aus der Algebra der Mittelstufen-Mathematik gut anwenden kann. Schließlich dürfen auch logische Denksport-Aufgaben nicht fehlen, genau so wie kleine knifflige Scherzfragen, bei denen man „um die Ecke“ denken muss, um die Lösung zu finden.

Bei vielen spielen der Weihnachtsmann oder Knecht Ruprecht eine Rolle, manchmal wirken die Geschichten allerdings ein wenig bemüht. So befassen sich die beiden mit einem Pfarrer zusammen etwa um eine theoretische Frage der Fußball-Bundesliga-Tabelle. Mehrere Aufgaben werden mit Zitaten aus der biblischen Weihnachtsgeschichte eingeleitet. Entgegen der Angabe im Text entstammt eines davon allerdings nicht dem Markus-Evangelium sondern dem von Lukas. Wer auch die vorgegebenen Lösungen aufmerksam studiert, wird hier einen Fehler finden – der sicher in der nächsten Auflage des Buches berichtigt ist.

Das Buch wird für „clevere Schüler ab 16 Jahren und erwachsene Rechenfans“ empfohlen. Viele der Aufgaben sind allerdings auch schon für interessierte jüngere Mädchen und Jungen geeignet, denn sie erfordern Kenntnisse, die schon in der Mittelstufe im Mathematikunterricht behandelt werden. Ich halte daher das wirklich schön gestaltete Buch als Geschenk für Jugendliche ab zehn bis zwölf Jahren für gut geeignet. Wer damit erfolgreich zu recht kommt, kann dann auch zu mathematisch anspruchsvolleren Büchern der so reichhaltigen Literatur der Matherätsel greifen.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Holger Dambeck

KiWi-Taschenbuch; 1. Edition (8. Mai 2024); 256 Seiten; 14 €
ISBN-10: 3462006401
ISBN-13: 978-3462006407

Wer gelegentlich oder gar regelmäßig bei Spiegel-Online das „Mathe-Rätsel der Woche“ liest, löst oder sich die Lösung ansieht, wird hier an Aufgaben aus den letzten Jahren wieder erinnert. Schon früher hat der Verfasser jeweils 100 dieser mathematischen Rätsel und Knobelaufgaben in zwei Büchern veröffentlicht (Kommen drei Logiker in eine Bar im Jahr 2017 und Blind Date mit zwei Unbekannten im Jahr 2021).

Die neue Sammlung enthält wieder 100 Rätsel. Es beginnt – wie Dambeck schreibt – mit leichten Aufgaben „zum Warmrechnen“. Aber Vorsicht, auch diese sind schon nicht von Pappe! Leser, die keine große Erfahrung mit solchen Rätseln haben, dürfen den Schwierigkeitsgrad nicht unterschätzen. Aber da können die Lösungen helfen, die im zweiten Teil des Buches recht ausführlich den Lösungsweg beschreiben – und an dem man für die nächsten Aufgaben seine Überlegungen schulen kann.

Wie im Buch von 2021, geht es auch hier thematisch sortiert weiter. Enger an die Mathematik angelehnt folgen Zahlenrätsel, geometrische Aufgaben und solche aus den Bereichen Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Logischer „Denksport“, Spielstrategien und Aufgaben aus der Physik sind die weiteren Abschnitte, bevor noch schwierigere „Knobeleien für Profis“ das Buch beenden.

Die Vielfalt der Themen verlangt recht unterschiedliche Denkweisen. Bei den eher mathematischen Aufgaben benötigt man keine „höhere“ Mathematik, wohl aber sind Grundkenntnisse hilfreich oder gar notwendig. Umformen und Lösen von einfachen Gleichungen, Kenntnisse über Primzahlen, Teilbarkeit von Zahlen, geometrische Grundlagen wie Winkelsumme im Dreieck, Flächeninhalt von Kreis und Vielecken oder der Satz des Pythagoras werden vom Verfasser für die Lösungen verwendet. Während bei den Logeleien und Spielstrategien unkonventionelle Einfälle am ehesten weiterhelfen, verlangen die Physik-Aufgaben Kenntnisse über den Zusammenhang von Weg, Zeit und Geschwindigkeit.

Der Schwierigkeitsgrad vieler Rätsel ist recht hoch, für Anfänger und jüngere Menschen sind diese wohl zu schwer. Die Lösung erfordert jedenfalls Geduld und Hartnäckigkeit.

Der Verfasser hat schon 300 schöne Mathe-Rätsel in seinen drei Büchern zusammengestellt. Wie kann er immer wieder neue, interessante Probleme finden und geschickt in kleine Geschichten verpacken? „Die Ideen für meine Rätsel finde ich häufig im Internet“, schreibt Dambeck zu Beginn seines Quellenverzeichnisses. Dort gibt er für fast alle seiner 100 Aufgaben die Quelle an, das sind neben Internet-Adressen aber auch viele Bücher. Liebhaber weiterer solcher Mathe-Rätsel werden dort mit Sicherheit fündig.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)