Leseecke

Andreas Helfrich-Schkarbanenko

Springer Spektrum; 1. Aufl. 2023 Edition (26. September 2023); Taschenbuch, 304 Seiten, 29,99 €

ISBN-10: 3662682087
ISBN-13: ‎978-3662682081

Seit ChatGPT am Ende des Jahres 2022 der Öffentlichkeit vorgestellt wurde, sind KI-Anwendungen in aller Munde, und die Reaktionen reichen von glühender Befürwortung bis zu warnender Kritik. Im vorliegenden Buch beschreibt der Autor, ein Mathematikprofessor an der Hochschule Karlsruhe, wie er dieses Werkzeug einsetzt, etwa zur Lösung von (mehrheitlich Rechen-) Aufgaben, zur Erstellung von Tests und zur Korrektur von Programmieraufgaben.

Einige Beispiele sind äußerst beeindruckend; genauso beeindruckend ist allerdings die Liste der Schwachstellen, die dankenswerterweise explizit in einem Anhang gesammelt sind. So kann ChatGPT die Aufgabe „Finde den Schnittpunkt einer Ebene mit einer Geraden” (mit konkreten Parametern) problemlos lösen, scheitert aber daran, die Schnittgerade zweier Ebenen zu bestimmen; tatsächlich wird die Lösung dann doch gefunden, wenn man ein zusätzliches Plugin lädt.

Die analysierten Beispielaufgaben haben das Niveau von Schulmathematik bis ca. 2. Semester. Der Autor fragt ChatGPT auch nach Beweisen; hier sieht es jedoch mitunter eher trübe aus. Selbst Beweise, die er für korrekt hält, erweisen sich bei näherem Hinsehen als hanebüchen (siehe Seite 117). Forschungsmathematik steht nicht im Fokus des Texts; gerade hier produziert ChatGPT nach meiner Erfahrung jede Menge falsche bzw. inhaltsfreie Antworten, die als „Halluzinationen” bekannt sind.

Eine Stärke von ChatGPT, die der Text dokumentiert, liegt in seinen Fähigkeiten, Code fur LaTeX, TikZ oder Matlab zu erzeugen; viele Beispiele im Buch belegen das. Außerdem sieht man, dass als Eingabe natürliche Sprache akzeptiert wird („Kommt Dir die Notation \(\mathbb R^2\) bekannt vor?”), und es wird (unfreiwillig) dokumentiert, dass ChatGPT auch falsches Deutsch klaglos versteht („gebe an” , „lese vor” ).

Generell legt der Autor Wert darauf, seine Erfahrungen zum „prompt engineering”, d.h. zur geschickten Formulierung und Nachjustierung von Anfragen weiterzugeben. Auch hierzu gibt es einen eigenen Anhang mit Tipps.

Das Buch ist 2023 erschienen, und diese Rezension stammt vom September 2024. Ob ChatGPT und andere Sprachmodelle auch nützliche Werkzeuge für fortgeschrittene Mathematik werden, wird die (vermutlich nicht allzu ferne) Zukunft zeigen.

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)

Jürgen Brater

Yes Publishing (20. August 2024); Kalender 100 Seiten; 12 €

ISBN-10: 3969053528
ISBN-13: 978-3969053522

Dieses Buch wird auf dem rückseitigen Buchdeckel als „außergewöhnliches Adventsgeschenk“ deklariert. Die Aufmachung ist dementsprechend ausgeführt, das Layout farblich passend: Die Seiten sind im Querformat gehalten, in weißer Schrift ist der Text auf rotem oder tannengrünem Grund gedruckt, einfache Grafiken mit adventlichen oder weihnachtlichen Motiven schmücken die Seiten. Für jeden der 24 Tage bis zum Heiligen Abend gibt es jeweils zwei „Matherätsel“, die auf einer Doppelseite präsentiert werden, die Lösungen stehen auf der Rückseite.

Mathematisch betrachtet handelt es sich bei den Rätseln zum einen um Varianten bekannter Typen von Problemen der Unterhaltungsmathematik. Weithin bekannte Rätsel verändert der Autor geschickt: da geht es zum Beispiel um ein Umfüllproblem (wie kann man ein bestimmtes Volumen mit zwei Gefäßen abfüllen), Zeitmessung (wie kann man mit zwei verschiedenen Sanduhren eine bestimmte Zeit abmessen) oder um eine Spielart der altbekannten Aufgabe, in der Kamele an die drei Söhne eines Scheichs vererbt werden. Nette kleine Geschichten verbergen Rätsel, bei denen man Kenntnisse aus der Algebra der Mittelstufen-Mathematik gut anwenden kann. Schließlich dürfen auch logische Denksport-Aufgaben nicht fehlen, genau so wie kleine knifflige Scherzfragen, bei denen man „um die Ecke“ denken muss, um die Lösung zu finden.

Bei vielen spielen der Weihnachtsmann oder Knecht Ruprecht eine Rolle, manchmal wirken die Geschichten allerdings ein wenig bemüht. So befassen sich die beiden mit einem Pfarrer zusammen etwa um eine theoretische Frage der Fußball-Bundesliga-Tabelle. Mehrere Aufgaben werden mit Zitaten aus der biblischen Weihnachtsgeschichte eingeleitet. Entgegen der Angabe im Text entstammt eines davon allerdings nicht dem Markus-Evangelium sondern dem von Lukas. Wer auch die vorgegebenen Lösungen aufmerksam studiert, wird hier einen Fehler finden – der sicher in der nächsten Auflage des Buches berichtigt ist.

Das Buch wird für „clevere Schüler ab 16 Jahren und erwachsene Rechenfans“ empfohlen. Viele der Aufgaben sind allerdings auch schon für interessierte jüngere Mädchen und Jungen geeignet, denn sie erfordern Kenntnisse, die schon in der Mittelstufe im Mathematikunterricht behandelt werden. Ich halte daher das wirklich schön gestaltete Buch als Geschenk für Jugendliche ab zehn bis zwölf Jahren für gut geeignet. Wer damit erfolgreich zu recht kommt, kann dann auch zu mathematisch anspruchsvolleren Büchern der so reichhaltigen Literatur der Matherätsel greifen.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Holger Dambeck

KiWi-Taschenbuch; 1. Edition (8. Mai 2024); 256 Seiten; 14 €
ISBN-10: 3462006401
ISBN-13: 978-3462006407

Wer gelegentlich oder gar regelmäßig bei Spiegel-Online das „Mathe-Rätsel der Woche“ liest, löst oder sich die Lösung ansieht, wird hier an Aufgaben aus den letzten Jahren wieder erinnert. Schon früher hat der Verfasser jeweils 100 dieser mathematischen Rätsel und Knobelaufgaben in zwei Büchern veröffentlicht (Kommen drei Logiker in eine Bar im Jahr 2017 und Blind Date mit zwei Unbekannten im Jahr 2021).

Die neue Sammlung enthält wieder 100 Rätsel. Es beginnt – wie Dambeck schreibt – mit leichten Aufgaben „zum Warmrechnen“. Aber Vorsicht, auch diese sind schon nicht von Pappe! Leser, die keine große Erfahrung mit solchen Rätseln haben, dürfen den Schwierigkeitsgrad nicht unterschätzen. Aber da können die Lösungen helfen, die im zweiten Teil des Buches recht ausführlich den Lösungsweg beschreiben – und an dem man für die nächsten Aufgaben seine Überlegungen schulen kann.

Wie im Buch von 2021, geht es auch hier thematisch sortiert weiter. Enger an die Mathematik angelehnt folgen Zahlenrätsel, geometrische Aufgaben und solche aus den Bereichen Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Logischer „Denksport“, Spielstrategien und Aufgaben aus der Physik sind die weiteren Abschnitte, bevor noch schwierigere „Knobeleien für Profis“ das Buch beenden.

Die Vielfalt der Themen verlangt recht unterschiedliche Denkweisen. Bei den eher mathematischen Aufgaben benötigt man keine „höhere“ Mathematik, wohl aber sind Grundkenntnisse hilfreich oder gar notwendig. Umformen und Lösen von einfachen Gleichungen, Kenntnisse über Primzahlen, Teilbarkeit von Zahlen, geometrische Grundlagen wie Winkelsumme im Dreieck, Flächeninhalt von Kreis und Vielecken oder der Satz des Pythagoras werden vom Verfasser für die Lösungen verwendet. Während bei den Logeleien und Spielstrategien unkonventionelle Einfälle am ehesten weiterhelfen, verlangen die Physik-Aufgaben Kenntnisse über den Zusammenhang von Weg, Zeit und Geschwindigkeit.

Der Schwierigkeitsgrad vieler Rätsel ist recht hoch, für Anfänger und jüngere Menschen sind diese wohl zu schwer. Die Lösung erfordert jedenfalls Geduld und Hartnäckigkeit.

Der Verfasser hat schon 300 schöne Mathe-Rätsel in seinen drei Büchern zusammengestellt. Wie kann er immer wieder neue, interessante Probleme finden und geschickt in kleine Geschichten verpacken? „Die Ideen für meine Rätsel finde ich häufig im Internet“, schreibt Dambeck zu Beginn seines Quellenverzeichnisses. Dort gibt er für fast alle seiner 100 Aufgaben die Quelle an, das sind neben Internet-Adressen aber auch viele Bücher. Liebhaber weiterer solcher Mathe-Rätsel werden dort mit Sicherheit fündig.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Albrecht Beutelspacher

C.H.Beck Paperback; 26. August 2021; 160 S.; 12 €

ISBN-10: ‎3406775543
ISBN-13: 978-3406775543

Der Autor, emeritierter Mathematik-Professor, ist bekannt als Gründer und Leiter des Mathematikums, des viel besuchten Mitmach-Museums in Gießen. In diesem Buch hat er 11x11 mathematische Denksportaufgaben zusammengestellt, die er ursprünglich für seine lokale Tageszeitung verfasst hatte.

In jedem Kapitel hat Beutelspacher an den Anfang einen „Klassiker“ gesetzt. Darunter versteht er eine Knobelei, die Kennern dieses Genres wahrscheinlich bekannt sein dürfte. Auch ich kannte auf Anhieb viele davon oder erinnerte mich, sie in einem anderen „Rätselbuch“ schon einmal in gleicher oder ähnlicher Form gesehen zu haben.

Wie oft klingt es beim Anstoßen von Sektgläsern in einer geselligen Runde? Wie lässt sich eine falsche Münze unter den richtigen durch Wiegen ermitteln? Wie lange dauert es, bis ein Becken gefüllt ist, das von unterschiedlichen Zuflüssen gespeist wird? Wie muss man ein Quadrat mit Zahlen füllen, damit ein magisches Quadrat entsteht? Wie kann man an einer Weggabelung den richtigen Weg wählen, wenn man nicht weiß, ob der Hinweis wahr oder gelogen ist? Und wie alt ist der Kapitän, von dem man nur wenige Informationen erhalten hat?

Dieser Einstiegsaufgabe folgen dann jeweils elf weitere, die teils von ähnlicher Struktur, teils verwandten Inhalts sind – bei der elften handelt es sich um eine „besonders herausfordernde Aufgabe“. Auch hier tauchen hin und wieder Probleme auf, die aus der Literatur der Unterhaltungsmathematik bekannt sind. Der Verfasser hat offensichtlich auch manche Fragestellungen so variiert, dass sie sich mit demselben Ansatz bearbeiten lassen. So erhält man also Hilfen, wenn man die Lösung selbst finden will. Andere Knobelaufgaben erfordern aber auch neue Einfälle. Dadurch schwankt der Schwierigkeitsgrad beträchtlich.

Ungewöhnlich ist, dass der Lösungsweg stets direkt nach der Problemstellung folgt, nicht etwa – wie oft bei solchen Büchern – im hinteren Teil. Beutelspacher schreibt dazu im Vorwort: „Auch wenn Sie eine Aufgabe nur teilweise oder gar nicht lösen konnten oder wollten, werden Sie an den Geistesblitzen teilhaben können“. Deshalb erfordert es vom Leser einige Disziplin, „tatsächlich ein paar Minuten lang [zu] versuchen, die Lösung selbst zu finden“, wie es im Vorwort weiter heißt – und nicht sofort von der Aufgabe zur Lösung weiterzulesen. Bei manchen der Probleme wäre es sicher auch reizvoll, etwas mehr Zeit darauf zu verwenden, denn „Jede Aufgabe hat das Potential zu einem Erfolgserlebnis!“.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Klaus Truemper

Leibniz Company (25. Februar 2024); 161 Seiten, 14,47 €

ISBN-10: 0999140280
ISBN-13: 978-0999140284

Als junger Lehrer habe ich in den 70iger Jahren des letzten Jahrhunderts noch Schülerinnen und Schülern beigebracht, wie sie Logarithmentafel und Rechenschieber als Rechenhilfsmittel gebrauchen konnten. Danach dienten sie mir nur noch als museale Demonstrationsobjekte für die Geschichte der Mathematik. Klaus Truemper bestätigt meine Erfahrungen: „Diese Entwicklung [von Logarithmentafeln, Rechenschiebern u. ä.] schreitet über Jahrhunderte voran bis 1976, dem Geburtsjahr des ersten billigen elektronischen Taschenrechners.“

Der Verfasser begründet, warum er dieses Buch geschrieben hat, obwohl es über dieses Thema schon gute Veröffentlichungen gibt. Er will, dass „wir uns in diesem Buch in das Leben eines der Erfinder“ versetzen, „ihm gewissermaßen über die Schulter schauen, wie er über das Problem […] nachdenkt und daran arbeitet“. Das zeigt er ausführlich an den von Jost Bürgi erstellten „arithmetischen und geometrischen Progresstabulen“.

Will man erklären, wie Logarithmentafeln funktionieren und wie man die Logarithmen zum Rechnen verwendet, benutzt man natürlich die mathematische Fachsprache und die übliche Notation mit Formeln und Gesetzen. So verwendet man die Schreibweise von Potenzen, die aus Basis und Exponenten bestehen, und kennt die Rechengesetze für Potenzen und Logarithmen – heute gängiger Schulstoff. In der Zeit um 1600 waren viele unserer mathematischen Zeichen und Schreibweisen nicht bekannt, es wurden fast alle Aufgaben und Regeln noch rein verbal ausgedrückt.

Der Verfasser steht also vor seiner selbst gestellten Aufgabe, Bürgis Schlüsselideen und vermuteten Gedankengänge darzustellen, ohne erst später entwickelte Kenntnisse dabei zu verwenden. Ganz allerdings geht das nicht, denn er will uns Lesern nicht zumuten, das alles rein verbal nachzuvollziehen.

Die Überlegungen und Rechnungen, so der Verfasser, fordern „keine mathematischen Kenntnisse, die über das alltägliche Wissen von Zahlen und den Grundrechenarten […] hinausgehen“ – manche dürften aber doch für mathematische Laien nicht ganz einfach zu verstehen sein. Interessant und verblüffend, welche Arbeit Bürgi demnach in die Entwicklung seiner Tafeln gesteckt haben muss. Erstaunlich auch, dass er als Basis der Logarithmen die Zahl 1,0001 gewählt hat – Bürgi hat darüber keine Informationen hinterlassen, Truemper findet gute Argumente dafür.

In weiteren Abschnitten geht der Verfasser auf die Arbeit von Napier ein, der einige Jahre nach Bürgi seine Logarithmentafel erstellt hat. Dessen Herangehensweise unterscheidet sich gänzlich von der Bürgis – ein wesentliches Argument dafür, dass keiner von beiden vom anderen wusste. Briggs, Mathematik-Professor in London, schlug zur Vereinfachung der Napier’schen Tafeln als Basis für die Logarithmen die Zahl 10 vor und begann sofort mit den Berechnungen. Diese Tafeln haben sich dann schnell europaweit durchgesetzt.

Nach einer wissenschaftstheoretischen Analyse stellt Klaus Truemper abschließend fest, dass beide, Bürgi und Napier, Erfinder der Logarithmen sind. Dass diese Tatsache lange Zeit nicht bekannt war, hat eine wesentliche Ursache darin, dass Bürgi seine Arbeiten erst spät veröffentlicht hat, obwohl er von Johannes Kepler schon lange dazu gedrängt worden war. Zudem verhinderte der Ausbruch des 30-jährigen Kriegs dann eine weite Verbreitung seiner Schrift, denn Bürgi lebte zu dieser Zeit in Prag. Kepler hatte für die aus seinen astronomischen Beobachtungen entwickelten mathematischen Modelle vor der Erfindung der Logarithmen Rechnungen angestellt, die „manchmal Monate oder sogar Jahre in Anspruch“ genommen haben. Das neue mathematische Hilfsmittel der Logarithmen löste eine Revolution im Rechnen aus, man benötigte nur noch Wochen oder gar nur Tage.

Der Verfasser geht bei seiner Spurensuche sehr ins Detail. So dürfte dieses Buch in erster Linie für die interessant sein, die für mathematik-historische Themen aufgeschlossen sind.

Biografische Daten kommen in diesem Buch etwas kurz. Jost Bürgi hat neben seiner Arbeit als Mathematiker mit seinen technischen und künstlerisch hochwertigen Instrumenten, Himmelsgloben und Uhren einen bedeutenden Ruf errungen. Über sein Leben und Werk findet man mehr in Büchern und Internet-Quellen, die Truemper im ausführlichen Literaturverzeichnis angibt. Jost Bürgi hat lange in Kassel gelebt. Seine Werke zählen zu den Glanzstücken der Ausstellung im Astronomisch-Physikalischen Kabinett in der Orangerie in Kassel – das Museum ist wegen Gebäudesanierung leider seit März 2021 geschlossen. Ein Besuch nach hoffentlich baldiger Wiedereröffnung lohnt sich sehr.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)