Leseecke

Wie der Mensch rechnen lernt(e) – Evolutionäre und psychologische Grundlagen der Mathematik

Frieder Hermann

Springer; 1. Aufl. 2021 Edition (24. November 2021); 229 Seiten; 19,99 €

ISBN-10: ‎3662639629
ISBN-13: ‎978-3662639627

Um es vorweg zu sagen: Die Ankündigung, die hinter dem Titel stehende Frage zu beantworten, bleibt insofern unerfüllt, als es in der Forschung konkurrierende Beiträge zu diesem Problemkreis gibt. Einige davon stellt der Autor vor, indem er Studien aus Anthropologie, Ethnologie, Entwicklungspsychologie und anderen Bereichen heranzieht, die sich mit dem Zahlen- und Geometrieverständnis bei Schimpansen und Menschen, in der europäischen Kultur und bei Naturvölkern, die nur die Zahlworter eins, zwei und viele kennen, und bei Kleinkindern verschiedener Altersstufen auseinandersetzen. Zum Beispiel wird die Bedeutung sozialer Intelligenz/Empathie herausgestellt: Alle Menschen in allen Kulturen können einander etwas zeigen, wozu jedoch kein Schimpanse fähig ist. In anderen Studien wird diskutiert, in welchem Alter Kinder in ihrem Zahlenverständnis einen „großen Sprung nach vorn” machen und nicht nur die Bedeutung von „eins”, „zwei” und „drei”, sondern auch von größeren Zahlen verstehen. Insgesamt hat der Autor eine Reihe von Untersuchungen aufbereitet, die für sein Thema relevant sind und deren Resultate oft erstaunlich sind. Bei der Endredaktion scheint die Nummerierung der Literaturhinweise etwas ins Rutschen gekommen zu sein; im Laufe des Texts bezieht sich \([n]\) nicht mehr auf die Literaturstelle \([n]\), sondern auf \([n+j]\) (\(j=1,2,3\)).

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)

Kategorie: Leseecke

Erfolgsformeln – Anwendungen der Mathematik

erfogsformeln Matthias Ehrhardt, Michael Günther, Wil Schilders

Books4You, ’s Hertogenbosch 2021; 212 Seiten

Download https://erfolgsformeln.uni-wuppertal.de/fileadmin/mathe/erfolgsformeln/Erfolgsformeln.pdf

„Mathematik ist wie Sauerstoff. Wenn sie da ist, bemerkt man es nicht. Wenn sie nicht da wäre, könnte man nicht ohne sie leben.“

Dieses von Lex Schrijver stammende Motto steht dem im September 2021 erschienenen Buch Erfolgsformeln – Anwendungen der Mathematik von Matthias Ehrhardt, Michael Günther und Wil Schilders voran, das sowohl als Download als auch als kostenloses gedrucktes Exemplar erhältlich ist. Das Buch richtet sich den Herausgebern zufolge „nicht nur an Mathematikinteressierte, sondern vor allem an erklärte „Nicht-Zahlenmenschen“ und Formeljongleure im Alltag“. Dementsprechend wird es auch hier in den „Mathematischen Semesterberichten“ nicht von Mathematikern rezensiert.

Für den erstgenannten Referenten (L. H.) als Mediziner waren vor allem die ersten Kapitel mit Themen der angewandten Mathematik aus dem medizinischen Bereich von Interesse.

Die beiden Herausgeber Prof. Matthias Ehrhardt und Prof. Michael Günther wollten Interessierten die Aufgaben und Arbeitsweisen in der angewandten Mathematik nahebringen und konnten dazu auf die Erfahrungen ihres Kollegen Prof. Wil Schilders zugreifen, der als Gastprofessor von der Technischen Universität in Eindhoven, Niederlande bei ihnen an der Bergischen Universität Wuppertal weilte und 2014 ein ähnliches Buch veröffentlicht hatte. Also taten sie sich zusammen, konnten neun etablierte Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler der angewandten Mathematik interviewen und viele andere dazu bewegen, Aufsätze zu mathematischen Lösungswegen in ihrem jeweiligen Arbeitsfeld zu schreiben. Die Themenbereiche sind breit gestreut von der Modellierung in der Epidemiologie, soziologischen Themen bis zur künstlichen Intelligenz und anderen Themengebieten.

Wie das so ist, wenn viele Autoren und Autorinnen mitgearbeitet haben, sind die Kapitel sehr unterschiedlich in ihrer Ausführlichkeit und Verständlichkeit. Auch die Anforderungen an die mathematische Vorbildung sind unterschiedlich hoch. Zum Trost gibt es einen Satz im Interview von Dr. Thomas Hahn (seit 2011 Chief Expert Software bei der Siemens AG): „Und mein letzter Hinweis ist, dass man in der Mathematik auch nicht immer alles verstehen muss.“ Das passt zu diesem Buch: Es ist kein Lehrbuch; es will Interessenten dazu bringen, sich näher mit der Materie zu befassen und das in ihre Berufsplanung einfließen zu lassen. Solche Interessenten können Abiturienten/Abiturientinnen sein oder Naturwissenschaftler als Seiteneinsteiger, Studienanfänger oder Lehrer, die ihre Schülerinnen/Schüler gut beraten wollen.

Natürlich ist dieses Buch kein Lehrbuch für Mediziner und will es auch nicht sein. Beim ersten Kapitel wird nicht klar, wer diesen Aufsatz geschrieben hat. Mal wird Frau Dr. Maria Vittoria Barbarossa zitiert, in welcher persönlichen Situation sie war, als die COVID-Pandemie aufkam und wie sie und andere zusammen erste Modellierungen der Infektionsverbreitung entwickelt haben. Dann scheint sie selber das SIR-Modell einer Pandemie zu erklären: wie sich die Veränderungen der Zahl der Empfänglichen \(S'(t)\) Infizierten \(I'(t)\) , der Genesenen/Verstorbenen \(R'(t)\) und die Basisreproduktionszahl \(R_0\) mathematisch beschreiben lassen und wie sich diese Werte bei verschiedenen Infektionskrankheiten auswirken. Dann folgen Zitate, wie sie selber zur angewandten Mathematik gefunden hat.

Im zweiten Kapitel geht es um die Zuverlässigkeit von Corona-Schnelltests. Die wird zwar vorgerechnet, anschaulicher wäre aber gewesen, zusätzlich eine Wahrheitsmatrix (Konfusionsmatrix) und den Fachbegriff „positiver Vorhersagewert“ (positive predictive value PPV) zu verwenden. Ich vermisse einen Verweis auf die drastisch bessere Spezifität der PCR auch bei niedriger Inzidenz und eine mathematische Begründung dafür (gemeinsame Bestimmung zweier verschiedener Nukleotidsequenzen).

Das dritte Kapitel über Inzidenzzahlen ist zwar sehr interessant und ausführlich, aber eher geeignet für Leser, die schon etwas Mathematik studiert haben. Ausgleichsrechnungen gehörten bei mir 1969 jedenfalls nicht zum Abiturwissen.

Im vierten Kapitel geht es um die Effekte nicht-pharmazeutischer Interventionen bei Pandemien. Es wird gezeigt, wie es damit unter Zuhilfenahme von Modellierungen möglich ist, einen Pandemieverlauf so zu steuern, dass die Zahl der gleichzeitig Infizierten das Gemeinwesen nicht überfordert.

Im fünften Kapitel geht es um die Quantifizierung der Wirksamkeit von Impfstoffen. Zuerst werden die immunologischen Grundlagen erklärt. Es wird der Begriff der „verlorenen Lebensjahre“ genannt. Die folgende Rechnung mit Regressionsmodellen übersteigt wieder mein Abiturwissen von 1969. Dann steht da ein wichtiger Satz: „Die Wirksamkeit von Impfstoffen in klinischen Studien (engl. vaccine efficacy, VE) ist nicht zu verwechseln mit der Impfstoffeffektivität (engl. vaccine effectiveness, VE_eff), der Wirksamkeit des Impfstoffes unter klinischen Alltagsbedingungen.“ Das wird ausführlich mathematisch ausgeführt. Es wird am Beispiel u. a. der Masern auch der Begriff der „Herdenimmunität“ mathematisch untersucht. Leider ist der Begriff für den Verlauf der Sars-CoV2-Pandemie ungeeignet, weil diese Viren zu stark mutieren.

Im sechsten Kapitel geht es die Optimierung von Dosierung und Therapieintervall einer zytostatischen Behandlung. Diese Therapien brauchen zur Antitumorwirkung eine gewisse Mindestdosierung, die aber die Blutneubildung im Knochenmark schädigt. Der Pfad zwischen zu schwacher therapeutischer Wirkung und zu starker toxischer Nebenwirkung ist nur schmal. Es werden Ergebnisse demonstriert, wie man diesen Pfad mathematisch beschreiben und planen kann. Am Schluss des Kapitels steht ein wichtiger Satz: „Wer an der Mathematik mit Anwendung Pharmazie Interesse hat, sollte ein grundständiges Mathematik-Studium wählen, z. B. mit Nebenfach in Richtung Biologie, oder falls möglich Pharmazie. Wichtig ist eine solide Grundausbildung; spezialisieren kann man sich später.“

Das Buch eignet sich gut zur Berufsplanung von Mathematikstudenten oder wissenschaftlichen Seiteneinsteigern, die sich für angewandte Mathematik interessieren. Es eignet sich nicht zur Fortbildung von Medizinern, ist dafür aber auch nicht geschrieben worden. (L. H.)

Der folgende zweite Teil der Besprechung wurde vom zweitgenannten Rezensenten (H. K.) verfasst.

Dieses Buch wendet sich an eine interessierte Leserschaft, um dieser einen Einblick in die vielfältigsten Anwendungsfelder der Mathematik in unserem Alltag zu ermöglichen. Es ist kein Lehrbuch, es erfordert keine Spezialkenntnisse der Mathematik und ist somit sowohl für mathematische Laien als auch Fortgeschrittene geeignet. Auch Spezialisten können dieses Werk durchaus mit Interesse lesen, auch wenn sie keinen unmittelbaren Wissenszuwachs erwarten sollten.

Ziel des Buches ist es, an Hand einer Vielzahl von Beispielen, nicht unmittelbar aus dem täglichen Leben, aber immer unseren Alltag betreffend, die Rolle und Nützlichkeit von mathematischem Wissen aufzuzeigen.

Da dieses Buch von Mathematik handelt, hier zunächst einige mathematische Zahlen und Fakten. Das Buch hat ca. 195 Textseiten, 18 Kapitel und 64 Beiträge sowie 9 Interviews. Die durchschnittliche Länge eines Artikels beträgt also ungefähr 3 Seiten. Daran sieht man schon, dass die Thematik sehr breit gefächert ist. Sie reicht von Medizin, Chemie über Kunst und Musik bis hin zu einem Kapitel über Kriminologie. Angenommen, man veranschlagt für ein bewusstes Lesen ca. 5 Minuten pro Seite, dann benötigt man für ein komplettes Durchlesen ungefähr 16–17 Stunden. Durch die Vielfalt der behandelten Themen kann man dieses Buch aber problemlos auszugsweise und mit Unterbrechungen lesen, so dass bei einer Beschäftigungsdauer von 1–2 Stunden pro Tag ein Urlaub mit diesem Buch sehr gut verbracht werden kann.

Im Folgenden sollen einige der Kapitel und Artikel kurz gestreift werden, um beim potentiellen Leser das Interesse zu wecken, womöglich doch tiefer in die Welt der Mathematik einzutauchen.

Wahrscheinlich geschuldet der aktuellen Covid-19 Situation beginnt das Buch mit einem Kapitel über Epidemiologie. Der erste Artikel beschäftigt sich auf 3 Seiten mit der Erklärung von Infektionsmodellen, also der Frage, wie schnell sich ein Virus in der Bevölkerung ausbreitet. Beschrieben wird das an Hand des inzwischen weit genutzten sogenannten „SIR-Modells“, eines Klassikers schon aus den 60-er Jahren des letzten Jahrhunderts. SIR steht dabei für S wie Susceptible (empfänglich für das Virus), I wie Infected (infiziert mit dem Virus) und R wie Recovered (genesen oder gestorben). Die hierfür benutzten gewöhnlichen Differentialgleichungen werden verständlich erklärt, und ein Rechenbeispiel graphisch anschaulich dargestellt. Die auch in den Medien oft erwähnte Basisreproduktionszahl wird erklärt. Ein extra Absatz widmet sich dann Erweiterungen dieses Grundmodells, um Aussagen über die Virusausbreitung zu verfeinern. Obwohl der Artikel nicht über den Inhalt des Wikipedia-Eintrags hinausgeht, lohnt es sich durchaus beide vergleichend zu lesen, da dadurch das Verständnis der Methodik vertieft werden kann.

Der darauf folgende Artikel „Die Verlässlichkeit von Covid-19 Schnelltests“ gibt einen interessanten und konzentrierten Kurzeinblick in das Gebiet der bedingten Wahrscheinlichkeiten mit der Erläuterung des Bayes-Theorems an Hand der Erläuterung des Zusammenhangs zwischen falschen Testergebnissen und einer tatsächlichen Erkrankung. Es wird vorgerechnet, wie uns die Intuition der Vorstellung von Wahrscheinlichkeiten einen gewaltigen Streich spielen kann. Das ist spätestens seit der Diskussion über HIV-Tests bekannt, ist aber durchaus Wert hier noch einmal an einem aktuellen, graphisch sehr instruktiv illustrierten Beispiel aufgefrischt zu werden.

Der nächste Artikel widmet sich dem Thema „Robuste Inzidenzzahlen“, einem Schlagwort, das lange Zeit als 7‑Tage-Inzidenz in aller Munde war. Dieser Beitrag bedarf allerdings von Seiten des Lesers schon etwas erweiterter Kenntnisse der Mathematik sowie deren Notation. Umgang mit Logarithmus und Exponentialfunktion sowie Matrizenrechnung sind zum Verständnis erforderlich. Der Hintergrund bzw. die Motivation der durchgeführten Berechnungen erschließen sich aber ganz gut aus dem erklärenden Text. Es wird nämlich ausgeführt, dass die 7‑Tage-Inzidenz kein sonderlich robuster Parameter ist, da er stark durch äußere Gegebenheiten wie die Zahl der Tests und die Qualität der Kontaktnachverfolgung beeinflusst wird. Der Autor erläutert dann mathematisch etwas anspruchsvoller ein alternatives Verfahren zur Schätzung der Infektionsbelastung an Hand des EPG-Indexes. Allerdings ist auf Grund der stark komprimierten Darstellung sowie einer Vielzahl von verwendeten Abkürzungen bzw. Formelzeichen ein schnelles und komplettes Durchdringen und Nachvollziehen der Methodik nicht ohne weiteres möglich. Aber wenn das Interesse bei dem einen oder anderen fortgeschritten Leser geweckt wurde, kann er durch ein mitgeliefertes Quellenverzeichnis sein Verständnis erweitern.

Schauen wir uns zur Abwechslung zwei Beiträge aus dem Kapitel Sport an. Beginnen wir mit dem Artikel „Der optimale Freiwurf im Basketball“. Hier wird ein – eigentlich physikalisches – Problem erläutert, wie beim Basketball ein Freiwurf auszuführen ist, der einen möglichst großen Spielraum an Abwurfparametern zulässt. Der Sportler visiert den Korb unter bestimmtem Winkel und Abwurfgeschwindigkeit an, um den Korb zu treffen. Dafür könnte er einen flachen oder auch steileren Wurf planen. Da seine Schätzung aber verständlicherweise nicht perfekt ist, geht es darum unter welchem Winkel eine möglichst große Abweichung vom optimalen Wurf noch zum Korb führt. Es wird somit eine Strategie entwickelt, die unter realen Bedingungen die Erfolgsquote deutlich erhöhen kann. Leider wird die Lösung nicht weiter ausgeführt, sondern nur darauf hingewiesen, dass die beste Strategie darin besteht, sowohl den Abwurfwinkel als auch die Abwurfgeschwindigkeit zu optimieren. Da es sich aber im betrachteten vereinfachten Modell um die Analyse reiner Wurfparabeln handelt, kann man dies gerne als Anregung nehmen, diese Aufgabe in einer Arbeitsgemeinschaft unter fachkundiger Anleitung ausführlicher zu untersuchen.

Im folgenden Beitrag „Das Geheimnis hinter einem erfolgreichen Endspurt im Radsport“ erläutert ein bei einem sehr bekannten Radrennstall (Shimano) angestellter Bewegungswissenschaftler, wie er alle ihm übermittelten Messdaten der Rennfahrer, sogenannte SRM-Daten, für eine optimale Zielsprinttaktik auswertet. Leider geht es auch hier nicht ins Detail, aber einige radsportaffine Leser werden das präsentierte Diagramm sicher sehr interessant und vielleicht sogar hinterfragenswert finden.

Da in diesem kurzen Abriss unmöglich alle Beiträge erwähnt werden können, abschließend noch ein Beispiel aus einem Gebiet, in dem man weniger Mathematik vermutet: aus der Musik zum Thema „Wie fair ist die Punktevergabe im Eurovision-Song-Contest“. Hier wird von den Autoren diskutiert, ob man aus dem Abstimmverhalten der einzelnen Länder erkennen kann, ob sich bestimmte Ländergruppen gegenseitig Punkte „zuschieben“, oder ob doch eine halbwegs „objektive“ Bewertung der Songs vorliegt. Dies erfolgt an Hand von Begriffen wie Nachbarschaft, Sprachvorliebe und ähnlichen. Dabei erklären sie, wie bei dieser Untersuchung Elemente der Graphentheorie zur Anwendung kommen können. Das sind Untersuchungen, wie man sie schon bei der Analyse von sozialen Netzwerken wie Facebook durchgeführt hat. Der Autor kommt zu dem Schluss, dass bei skandinavischen Ländern wahrscheinlich der ähnliche Musikgeschmack die Punktevergabe erklärt und Lena Meyer-Landrut ihren Wettbewerb zurecht und fair gewonnen hat.

Abschließend kann man sagen, dass dieses Buch eine Vielzahl von Themen in verständlicher und kurzer Weise darbringt. Das erforderliche Niveau zum Verständnis ist dabei durchaus unterschiedlich und reicht von rein verbaler Darstellung bis hin zu detailierteren mathematischen Erläuterungen. Insgesamt vermittelt das Buch einen interessanten Einblick in die Vielfalt der mathematischen Anwendungen für die unterschiedlichsten Gebiete der Gesellschaft. (H. K.)

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Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, 2023, Band 70, S. 63-68
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Ludger Hartmer (Arnsberg), Harald Krawczyk (DLR Berlin)

Kategorie: Leseecke

Periodic Orbits. F. R. Moulton’s quest for a new lunar theory

Craig A. Stephenson

American Mathematical Society (18. Juni 2021); Englisch; 255 Seiten; 126,09 €

ISBN-10: ‎1470456710
ISBN-13: ‎978-1470456719

Forest Ray Moulton (1872-1952) ist der Verfasser eines berühmten Werks „Periodic Orbits“⁴. Wie es oft passiert, wenn man ein mathematisches Werk zur Hand nimmt, so fragt sich der Leser, wie der Autor auf diese mathematische Theorie gekommen ist. Eine Ausnahme hierzu ist wohl die „Astronomia Nova“ von Johannes Kepler, in der Kepler nicht nur seine Resultate erklärt, sondern auch erzählt, durch welche Irrwege er diese gefunden hat². Kepler schreibt dazu im Vorwort:

Dabei handelt es sich nicht allein darum, wie der Leser auf die einfachste Weise in die Kenntnis des vorzutragenden Stoffes eingeführt wird, sondern hauptsächlich darum, durch welche Gründe, Schliche und auch günstige Zufälle ich, der Urheber, von Anfang an darauf gekommen bin. Wenn Christoph Columbus, Magelhaens, die Portugiesen von ihren Irrfahrten erzählen, so verzeihen wir ihnen nicht nur, sondern wir möchten ihre Erzählung nicht einmal missen …

Dank dem hochinteressanten Buch von Craig Stephenson über Moulton haben wir nun ein viel tieferes Verständnis über die Gründe, Schliche aber auch Irrfahrten, die Moulton zu diesem monumentalen Werk geführt haben. Insbesondere lernen wir auch über die neue Mondtheorie, an der Moulton jahrelang arbeitete, die aber nie in der geplanten Form erschienen ist, und die es in der von Moulton geplanten Form vermutlich auch nie geben wird, die aber einen ganz entscheidenden Einfluss auf Moultons Werk und die Entwicklung der Mathematik hatte.

In den ersten fünf Kapiteln erzählt uns Craig Stephenson über die Suche nach periodischen Bahnen vor Moulton. Die Bestimmung der Mondbahn hat bereits Newton große Kopfschmerzen bereitet. In der Tat sind die Anziehungskräfte der Erde und der Sonne auf den Mond von vergleichbarer Grössenordnung, so dass man die eine Kraft nicht als kleine Störung der anderen betrachten kann. Andererseits ist die Anziehungskraft des Mondes auf die Erde und Sonne sehr klein. Deshalb macht es Sinn, das restringierte Dreikörperproblem zu betrachten, in dem die Anziehungskraft des Mondes auf die Erde und die Sonne vernachlässigt wird. Hill hat von diesem Problem einen Grenzfall betrachtet und für diesen Grenzfall, das sogenannte Hill’sche Mondproblem, eine periodische Bahn gefunden¹. In der Tat ist es keine schlechte Idee, periodische Bahnen zu suchen, wenn man die Bahn des Mondes verstehen will. Diese ist nämlich tatsächlich fast periodisch mit der Periode einen Monat.

Poincaré war zutiefst beeindruckt von der Arbeit von Hill. Nach seiner Entdeckung des Chaos schätzte er periodische Bahnen umso mehr als „die einzige Bresche in eine sonst uneinnehmbare Festung“. So vermutete er dann auch, dass sich jede Bahn durch eine periodische Bahn beliebig gut annähern lässt, wenngleich die Periode der approximierenden periodischen Bahn dabei beliebig lang werden kann. So allgemein kann die Vermutung von Poincaré nicht wahr sein, kennen wir doch auch Hamiltonsche Systeme ohne periodische Bahnen. Doch inwieweit Poincaré’s Vermutung stimmt, wenn man das System ein bisschen stört, ist ein Problem, zu dem auch heute noch neue Forschungsresultate gefunden werden.

Wie wir im Buch von Craig Stephenson lernen, wollte Moulton, motiviert durch die Vermutung von Poincaré, eine bessere Annäherung an die tatsächliche Mondbahn finden als diejenige, die Hill gefunden hatte. Die Bahn von Hill liegt in der Ekliptik, das heißt der Ebene in der sich die Erde und die Sonne bewegen. Die Mondbahn ist aber etwa fünf Grad gegen die Ekliptik geneigt. Deshalb sollte eine solche bessere Approximation eine räumliche periodische Bahn sein.

Bereits in seiner Dissertation hatte Moulton räumliche periodische Bahnen gefunden. Heutzutage sind diese bekannt als vertikale Lyapunovbahnen, während Moulton diese Bahnen „ice-tong“ Bahnen nannte. Wie er deren Existenz zeigte, ist der Inhalt der Kapitel fünf und sechs in seinem Buch über „Periodic Orbits“. Die Tatsache, dass er als erster die Existenz von räumlichen periodischen Bahnen bewies, war ein wichtiges Argument von Moulton in seinem Forschungsantrag an die Carnegie Institution. Was im heutigen Zeitalter der Computer etwas nostalgische Gefühle hervorruft, ist, dass Moulton in seinem Forschungsantrag fünf Männer beantragte, die für ihn rechnen würden. Zur grossen Enttäuschung von Moulton wurde sein Forschungsantrag vom Carnegie Institut nicht berücksichtigt, und es scheint, dass er zu diesem Zwecke den Präsidenten der Carnegie Institution, Robert Simpson Woodward, nicht einmal persönlich treffen konnte.

Von seiner neuen Mondtheorie, in die er so viel investierte, publizierte Moulton am Ende bloss das paper „A Class of Periodic Solutions of the Problem of Three Bodies with Application to the Lunar Theory“³. Wie aber seine Mondtheorie nach vielen weiteren Irrungen und Wirrungen lange Zeit später zu Moultons fundamentalem Werk über periodische Bahnen führte, das wird im Buch von Craig Stephenson tief berührend erzählt. Dabei erfahren wir auch etwas über die oftmals mysteriöse Art wie Forschung voranschreitet. Selbst wenn die ursprünglichen Motivationen der Forschenden am Ende kaum mehr ersichtlich sind, so führen sie nach vielen schweren Schicksalsschlägen und Irrfahrten doch zu ganz unerwarteten neuen Resultaten, die dann wiederum eine neue Generation von Forschenden zu neuen Expeditionen anregen.

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Literatur
¹ Hill, G.: Researches in the lunar theory. Am. J. Math. 1(1-3), 5–26, 129–147, 245–260 (1878). Reprinted in The Collected Mathematical Works of George William Hill, Vol. 1, Carnegie Institution of Washington 284–335 (1905)
² Kepler, J.: Astronomia Nova, Übersetzt vonM.Kaspar, Durchgesehen von F.Krafft.Marixverlag, Wiesbaden (2005)
³ Moulton, F.: A class of periodic solutions of the problem of three bodies with application to the lunar theory. Trans. Amer. Math. Soc. 7(4), 537–577 (1906)
⁴ Moulton, F.: Periodic orbits, the Carnegie Institution of Washington. Publication 161, xv+524 Seiten (1920)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, 2023, Band 70, S. 73-75
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Urs Frauenfelder (Uni Augsburg)

Kategorie: Leseecke

So einfach ist Mathematik – Gewöhnliche Differentialgleichungen für Anwender

Emmy Noether Ihr steiniger Weg an die Weltspitze der Mathematik Dirk Langemann

Springer Spektrum; 1. Aufl. 2022 Edition (15. Mai 2022); 223 Seiten; 27,99 €

ISBN-10: ‎366264830X
ISBN-13: ‎978-3662648308

Mit diesem Buch setzt Dirk Langemann die Reihe So einfach ist Mathematik erfolgreich fort, zu der mittlerweile die Bände Basiswissen für Studienanfänger aller Disziplinen¹, Zwölf Herausforderungen im ersten Semester² sowie Partielle Differenzialgleichungen für Anwender³ gehören. Das Buch richtet sich vor allem an Studierende von Ingenieurwissenschaften, wobei der Autor von seinen entsprechenden, langjährigen Lehrerfahrungen an der TU Braunschweig profitieren kann.

Der Inhalt des Buchs ist klar im üblichen Kanon eines grundlegenden Studiums der Ingenieurwissenschaften angesiedelt, etwa Maschinenbau oder Bauingenieurwesen, und lässt keine Themen vermissen. Grundlagen aus den ersten Semestern wie etwa Analysis und Lineare Algebra werden vorausgesetzt, an einigen Stellen im Buch jedoch auch wiederholt und in Erinnerung gerufen, sodass der Fluss erhalten bleibt ohne auf ein anderes Nachschlagewerk zurückgreifen zu müssen.

Die Tour durch die gewöhnlichen Differentialgleichungen beginnt mit einer Einführung, in der motivierende Beispiele vorgestellt und diskutiert werden. Dazu gehört heutzutage natürlich auch die Epidemie-Modellierung anhand des grundlegenden SIR-Modells, aus dem Begriffe wie die Basisreproduktionszahl abgeleitet werden. Darüber hinaus werden vor allem natur- und ingenieurwissenschaftliche Beispiele diskutiert, allen voran natürlich der klassische Federschwinger.

Anschließend werden eine Handvoll Klassen von Differentialgleichungen vorgestellt, die man mit einfachen Rezepten lösen kann, etwa durch Trennung der Veränderlichen. Hier und im Folgenden legt der Autor aber sehr viel Wert darauf, dass es um das Verständnis geht, nicht um das bloße Auswendiglernen von ein paar Rezepten. Dies gelingt ihm aus meiner Sicht gut, auch wenn ich natürlich nicht so unvoreingenommen wie Studierende im Bachelor sein kann. Es folgt eine Diskussion klassischer Existenz- und Eindeutigkeitsresultate, die im Rahmen des Buches nicht bewiesen sondern vor allem erklärt, veranschaulicht und diskutiert werden. Nicht nur an dieser Stelle kann das Buch auch für Studierende der Mathematik gewinnbringend sein und eine angenehme Ergänzung zu vergleichsweise trockenen und technischen Vorgehensweisen bieten.

Lineare Differentialgleichungen werden im folgenden Viertel des Buchs diskutiert. Wie vorher auch werden wiederkehrende Beispiele erneut aufgegriffen, um wichtige Grundlagen aus unterschiedlichen Perspektiven zu beleuchten und neue Techniken in bekannten Zusammenhängen zu erproben. Der klassische Federschwinger wird ausführlich diskutiert und dient als eines der Leitbeispiele, das Verknüpfungen mit üblichen Vorlesungen der Physik und Ingenieurwissenschaften herstellt.

Schließlich folgt die Kür durch eine Reihe von Einblicken in fortgeschrittenere Techniken wie die Laplace-Transformation, die Stabilitätstheorie dynamischer Systeme sowie einfache Randwertprobleme und deren Green-Funktionen. Hierbei werden wie bisher auch viele Beispiele verwendet und Ausblicke auf folgende Veranstaltungen im Ingenieursstudium gegeben.

Aus meiner Sicht gelingt dem Autor eine sehr eingängige Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen, vor allem für Studierende der Ingenieurwissenschaften. Dazu trägt auch der ganz eigene Charme und Witz bei, den der Autor immer wieder durchblicken lässt. Während der Lektüre werden die Leserinnen und Leser gezielt direkt angesprochen und angeregt, über Sachverhalte nachzudenken und sie selbst zu veranschaulichen oder zu rechnen. Dazu gehören auch viele Vorschläge, wie man sich (idealerweise in kleinen Gruppen) eigene Übungsaufgaben erstellen kann, um notwendige Rechentechniken zu üben. Dafür enthält das Buch keine gesonderten Übungsaufgaben.

Zusammenfassend kann ich nur eine klare Empfehlung für das Buch geben. Durch den Aufbau und den schriftstellerischen Stil liest es sich sehr flüssig und angenehm. Am Anfang werden auch kleine Code-Beispiele aus Matlab und Mathematica eingestreut, um die ersten Schritte in der numerisch-symbolischen Lösung von Differentialgleichungen zu erleichtern, die heutzutage zum Handwerkzeug gehören. Für anwendungsorientierte Studiengänge kann das Buch sicherlich gut genutzt werden und auch in theoretischer arbeitenden Studiengängen kann man davon profitieren, solange man sich nicht von anwendungsnahen Schreibweisen (oder einem „Missbrauch“?) wie \(\bf{q}\)\(=\)\(\bf{q}\)\((t)\) abschrecken lässt, sondern die Veranschaulichungen und Anwendungen als Motivation und Bereicherung empfindet.

Literatur
¹ Langemann, D., Sommer, V.: So einfach ist Mathematik. Basiswissen für Studienanfänger aller Disziplinen.
Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg (2018) https://doi.org/10.1007/978-3-662-55823-2
² Langemann, D.: So einfach ist Mathematik. Zwölf Herausforderungen im ersten Semester. Springer
Spektrum, Berlin, Heidelberg (2021) https://doi.org/10.1007/978-3-662-63720-3
³ Langemann, D., Reisch, C.: So einfach ist Mathematik. Partielle Differenzialgleichungen für Anwender.
Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg (2018) https://doi.org/10.1007/978-3-662-57502-4

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Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, 2023, Band 70, S. 77-79
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Hendrik Ranocha (Uni Hamburg)

Kategorie: Leseecke

Emmy Noether. Ihr steiniger Weg an die Weltspitze der Mathematik. Biografie

Emmy Noether Ihr steiniger Weg an die Weltspitze der Mathematik Lars Jaeger

Südverlag; 1. Edition (26. September 2022;); 256 Seiten; 22 €

ISBN-10: ‎3878001614
ISBN-13: ‎978-3878001614

Emmy Noether wurde am 23. März 1882 in Erlangen geboren, sie starb am 14. April 1935 in Bryn Mawr in den USA, wo sie auch begraben wurde. Das Werk und die Biographie Emmy Noethers blieben zwar stets ein lohnendes Thema zahlreicher Autoren, vor allem von Mathematikern, aber die Jahre 2021 und 2022 sind, was Biographien anbelangt, auffallend, da in diesen Jahren gleich 3 größere Biographien veröffentlicht wurden. Cordula Tollmien (*1951) wurde nach einem Mathematik- und Physikstudium Wissenschaftshistorikerin, Historikerin und Kinderbuchautorin. Seit 30 Jahren war Emmy Noether eines Ihrer Schwerpunktthemen, sie plant eine 30 Bände umfassende Biographie Emmy Noethers unter dem Generaltitel „Die Lebens- und Familiengeschichte der Mathematikerin Emmy Noether in Einzelaspekten“, von der 2021 die ersten zwei Bände erschienen. In demselben Jahr veröffentlichte auch David E. Rowe (*1950) seine Biographie „Emmy Noether – Mathematician Extraordinaire.“¹ Der Autor ist Wissenschaftshistoriker mit den Schwerpunkten Mathematik- und Physikgeschichte im 20. Jahrhundert. Und nun, nur ein Jahr später, kann auch Lars Jaeger seine Noether-Biographie der Öffentlichkeit vorstellen.

Es lohnt sich, zunächst einen Blick auf den 1969 in Heidelberg geborenen Autor Lars Jaeger zu werfen. Er studierte Physik und Philosophie in Bonn und in Paris, promovierte 1997 in Dresden, wo er noch weitere acht Jahre als Postdoc am „Max Planck-Institut für Physik komplexer Systeme“ wirkte. Danach wanderte er in die Finanzwelt ab, wurde Unternehmer und ist in der Hedgefond-Industrie ein bekannter Autor. Seit 2014 veröffentlicht er auch Werke aus dem Bereich Wissenschaftsgeschichte; er selbst bezeichnet sich auf seiner Homepage als „Sachbuchautor, Wissenschaftsblogger, Unternehmer“.² 2022 erschien neben seiner Noether-Biographie auch sein Werk „Die Neuentdeckung der Welt – Wie Genies die Wissenschaften aus ihren tiefsten Krisen in die Moderne führten“. Er veröffentlicht, wie man so schön sagt, am laufenden Bande, darunter auch sehr viele Titel aus dem Bereich des Finanzwesens.

Jaegers Noether-Biographie beginnt ungewöhnlich, nämlich mit dem „Umsturz in der Mathematik“ (S. 10–35), wobei die Kapitelüberschriften hier lauten: „Cantors neue Unendlichkeit“, „Paradoxien zerstören die klassische Mathematik“, „Hilberts Hoffnung und Gödels Schneise der Verwüstung“ und „Vom Entscheidungsproblem zum Halteproblem“. Es ist damit klar, dass sich seine Biographie nicht an eine Leserschaft ohne Einblicke in die Mathematik richtet.

Erst jetzt folgt Noethers „steiniger Weg an die Weltspitze der Mathematik“ in Form von 9 weiteren Kapiteln. Dem Autor mangelt es in der Tat nicht an Sachkenntnis in Mathematik und Physik, seine Darstellung ist auf einem hohen Niveau gut und spannend geschrieben. Besonders ausführlich geht Jaeger auf „die Noether- Jungs [und Mädels]“ (S. 143–167) ein, ein besonderes Kapitel ist Grete Hermann gewidmet (S. 168–191). Im „Nachwort“ (S. 237–238) zieht der Autor die Bilanz: „Ihre tiefen, heute zentralen mathematischen Einsichten und ihr nicht weniger tiefes physikalisches Noether-Theorem machten Emmy Noether zu einem historisch raren Menschen [...]. Emmy Noether würde heute ohne Frage die beiden höchsten Auszeichnungen dieser Dispziplinen verdienen: den Physik-Nobelpreis und die Fields-Medaille.“ Einen Physik-Nobelpreis an Emmy Noether, das würde wohl viele Kenner der Physikgeschichte eher nicht überzeugen. Im Anhang folgt eine Zeittafel (S. 240), ein Kapitel „Expertenwissen“ für mathematisch besonders Interessierte (S. 241–248), Anmerkungen (S. 249–260) sowie eine Bibliographie. Hier zitierte der Autor u. a. drei Titel von Peter Roquette, die auch deutlich machen, dass Jaeger in seiner Noether-Biographie von Roquettes Ausführungen zu Emmy Noether sehr profitierte.

Die 5 Abbildungen bieten nichts Neues, hätten aber von besserer Qualität sein dürfen.

Die Noether-Biographie von Lars Jaeger wird jedem ein willkommener Lesestoff sein, der keine Berührungsängste mit der höheren Mathematik und der theoretischen Physik hat.

¹Springer-Verlag, Cham, 339 S.
² Siehe Lars Jaeger Home/Lars Jaeger.

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Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, 2023, Band 70, S. 89-91
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Karin Reich (Uni Hamburg)

Kategorie: Leseecke

Leseecke

Wie der Mensch rechnen lernt(e) – Evolutionäre und psychologische Grundlagen der Mathematik

Erfolgsformeln – Anwendungen der Mathematik

Periodic Orbits. F. R. Moulton’s quest for a new lunar theory

So einfach ist Mathematik – Gewöhnliche Differentialgleichungen für Anwender

Emmy Noether. Ihr steiniger Weg an die Weltspitze der Mathematik. Biografie

Mathematik

Schule

Hochschule/Beruf

DMV