Leseecke

Ernst Kleinert

Springer Spektrum 2019, VII + 165 Seiten

ISBN: 978-3-662-59678-4, 24,99 €
eBook ISBN: 978-3-662-59679-1, 19,99 €

Gottfried Wilhelm Leibniz hätte sich über dieses Buch sicher gefreut. Hat er doch geschrieben, dass man ohne die Philosophie niemals auf den Grund der Mathematik dringt (und übrigens auch umgekehrt). Ernst Kleinert arbeitet in Mathematische Modelle des Kontinuums mit einer gelungenen Mischung aus Mathematik und Philosophie daran, zu diesem Grund vorzudringen. Leitfaden des Buches ist das namensgebende Kontinuum, über das die Philosophen seit der griechischen Antike nachdenken. Die Mathematik hat im Laufe der Zeit ganz unterschiedliche Theorien entwickelt, um das Kontinuum zu beschreiben und zu formalisieren, und acht davon werden von Kleinert vorgestellt und verglichen.

Den Anfang macht die von Eudoxos begründete und von Euklid verewigte Lehre von den Proportionen, die bekanntlich nötig wurde durch die Entdeckung inkommensurabler Verhältnisse. Proportionen sind die Verhältnisse „kompatibler“ Größen, beispielsweise von Längen zu Längen. Für uns sind das heute einfach reelle Zahlen, aber mehr als 2000 Jahre lang war die Bezeichnung Zahl exklusiv für die Objekte reserviert, die wir inzwischen natürliche Zahlen nennen.

Alle weiteren Systeme sind wesentlich neueren Datums. Zumindest drei dürften vielen Lesern bekannt vorkommen. Von Hilbert stammt die Idee der Gewinnung algebraischer Strukturen aus axiomatisierter Geometrie: Auf Mengen von Punkten werden durch geometrische Konstruktionen Rechenoperationen definiert, die schließlich zu einem (also dem) vollständigen angeordneten Körper führen. Das heutige „Standardmodell“ nach Dedekind, Cantor, Méray und Heine wird oft bereits in Erstsemestervorlesungen unter dem Namen Aufbau des Zahlensystems vorgeführt: Im letzten Schritt werden die reellen Zahlen als Schnitte in der Menge der rationalen Zahlen oder als (Äquivalenzklassen von) Fundamentalfolgen eingeführt. In der Nichtstandardanalysis, die einen etwas unglücklichen Namen trägt, wird die Menge der reellen Zahlen mit Methoden aus Logik und Mengenlehre um „unendlich kleine“ und „unendlich große“ Zahlen erweitert, wodurch im Nachhinein die infinitesimalen Größen von Leibniz und die heutzutage teilweise haarsträubend anmutenden Berechnungen Eulers rehabilitiert werden.

Aus dem aktuellen Jahrtausend stammt der Ansatz von A’Campo, der ganz ohne rationale Zahlen auskommt. Die reellen Zahlen werden hier über Funktionen definiert, die ganze Zahlen auf ganze Zahlen abbilden und die sich fast wie lineare Funktionen verhalten. Und beinahe exotisch wirken auf die Nichteingeweihten die sogenannte synthetische oder glatte Infinitesimalrechnung sowie Conways System der surrealen Zahlen. Conways Zahlen, die ursprünglich zur Analyse von Spielen entwickelt wurden, werden durch einige wenige Regeln rekursiv im gewissen Sinne „aus dem Nichts“ gezaubert und man erhält als Ergebnis eine echte Klasse von Objekten, die unter anderem die reellen Zahlen, infinitesimale Zahlen und transfinite Ordinalzahlen umfasst. Die synthetische Infinitesimalrechnung verwendet Methoden aus der Kategorientheorie. Wie in der Nichtstandardanalysis gibt es infinitesimale Größen, aber diese haben keine Kehrwerte. Außerdem arbeitet man nicht mit der klassischen Logik, sondern verzichtet beispielsweise auf das Tertium non datur. Philosophisch ist dieser Ansatz insbesondere deswegen interessant, weil er im Gegensatz zu den anderen modernen nicht atomistisch ist: Das Kontinuum besteht nicht aus diskreten Punkten, sondern aus infinitesimalen Streckenstücken.

Schließlich bildet als „Kontrapunkt“ Brouwers intuitionistische Theorie der reellen Zahlen den Abschluss und erinnert an eine Zeit, in der die Natur des Kontinuums noch heftig diskutiert wurde. Auch hier wird die Logik eingeschränkt. (Für Hilbert war das, als würde man „dem Boxer den Gebrauch der Fäuste untersagen“.) Außerdem spricht man nur über Objekte, für die man eine explizite Konstruktionsregel angeben kann.

Das alles kann man sicher auch einzeln und ausführlicher an anderen Stellen finden – wenn man weiß, wonach man suchen muss. In dieser konzentrierten Zusammenstellung und eingebettet in die scharfsinnigen und sachkundigen Kommentare des Verfassers ist es aber ein Novum. Abgeschlossen wird jedes Kapitel durch Empfehlungen für vertiefende Lektüre, bei denen es Kleinert offenbar mehr um Qualität als um Quantität ging.

Man kann sich zusammenreimen, dass so viel Stoff auf den 140 Seiten, die zwischen Einleitung und Zusammenfassung verbleiben, nicht in epischer Breite ausgearbeitet werden kann. Definitionen, nummerierte Lemmata und Theoreme, deren Beweis mit q.e.d. endet, sollte man nicht erwarten. Alle Themen werden jedoch so weit behandelt, dass es für einen soliden Eindruck reicht. Mitbringen sollte man eine gewisse „mathematische Reife“, die man typischerweise nach den ersten drei, vier Semestern eines Mathematikstudiums erworben hat, sowie die Bereitschaft, mit Zettel und Bleistift mitzuarbeiten und Gedankengänge selbstständig zu vollenden. Zudem wird man wohl ab und zu etwas nachschlagen müssen. Für Menschen, die mit der formalen Denkweise der Grundlagenmathematik fremdeln, könnte die zweite Hälfte des Buches eine Herausforderung sein. (Und gerade das längste und abstrakteste Kapitel – das über die synthetische Infinitesimalrechnung – scheint mir didaktisch das am wenigsten gelungenste.)

Kleinert schreibt im Vorwort, dass er im Buch „den Vorlesungston mit seiner direkten Ansprache beibehalten“ habe. Und in der Tat kommt dann ein paar Seiten später unvermittelt so etwas wie „dieses Stück Kreide“ vor und man muss sich wohl vorstellen, dass der Autor in einem Vortrag, der dem Kapitel zugrunde lag, ein Stück Kreide in die Höhe hielt. Größtenteils wirkt der Text jedoch so, als wäre jedes Wort auf der Goldwaage geprüft und im Zweifelsfall gestrichen oder durch ein passenderes ersetzt worden. Der Duktus ist dichter, variantenreicher und komplexer als der, den man aus typischen Mathebüchern kennt. Wenn das wirklich der O-Ton der Vorlesung war, dann wurde wahrscheinlich vom Manuskript abgelesen und das Auditorium war zu höchster Konzentration verurteilt, da man einen gesprochenen Satz schwerlich ein zweites Mal lesen kann.

Es liegt nahe, das hier besprochene Werk mit Oliver Deisers Reelle Zahlen zu vergleichen, das 2008 in den Semesterberichten zu recht gelobt wurde und das man inzwischen kostenlos von Deisers Website aleph1.info herunterladen kann. Beide Bücher haben das Kontinuum zum Thema und beide sprechen Leser an, die über den Tellerrand des Tagesgeschäftes schauen wollen. Erfreulicherweise konkurrieren sie jedoch nicht, sondern ergänzen sich. Abgesehen von den inzwischen klassischen Konstruktionen der reellen Zahlen und der von A’Campo gibt es kaum inhaltliche Überschneidungen und auch an diesen Stellen sind die Herangehensweisen sehr unterschiedlich. Deisers Buch ähnelt vom Stil her mehr einem Lehrbuch, während Kleinert wie oben schon angedeutet fordernder ist und oft eher skizziert als ausarbeitet. Und obwohl auch Deiser auf die historische Entwicklung eingeht, ist bei ihm das Ziel der Erörterungen doch die mathematische Durchdringung der Themen, während die Mathematik bei Kleinert Ausgangspunkt philosophischer Betrachtungen ist. (Allerdings ist Deisers Buch dadurch auch ungefähr dreimal so lang.)

Auf jeden Fall sollte es mehr Bücher wie diese geben! Doch wer soll sie lesen? Idealiter wohl die, die Mathematik studieren. Es ist jedoch zu befürchten, dass solche Texte durch das Raster der Bologna-Reform fallen, weil in der eng getakteten Welt der Module und Credit Points für sie kein Platz ist. Und für das Studium generale und die meisten interessierten Laien dürften sie mathematisch zu anspruchsvoll sein. Aber vielleicht (hoffentlich!) ist diese Sichtweise ja auch zu pessimistisch.

Wenn es an Kleinerts Werk etwas auszusetzen gibt, dann dies: Wäre Springer noch der Verlag, der er im letzten Jahrhundert mal gewesen ist, dann hätte den Autor eine typographisch versierte Person unterstützt, die das Buch etwas liebevoller und lesefreundlicher gesetzt hätte. Und ein Lektor hätte das Manuskript tatsächlich gelesen und vor der Veröffentlichung die eine oder andere kleine Schludrigkeit bemängelt. (Man kann es aber auch positiv wenden und solche Petitessen lernpsychologisch als desirable difficulties einordnen.)

Buchbesprechungen erwecken manchmal den Eindruck, der Rezensent wisse mehr als der Verfasser des Buches oder maße sich an, ein besseres Buch schreiben zu können. Das ist hier definitiv nicht der Fall. Der Autor dieser Zeilen hat bei der Lektüre des Buches Neues gelernt und wurde zum Nachdenken angeregt. Er hat es mit viel Vergnügen gelesen und kann es wärmstens jedem empfehlen, der seinen Horizont erweitern und der Mathematik im Leibnizschen Sinne „auf den Grund dringen“ will. Und insbesondere jeder Studierende der Mathematik sollte das wollen!

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Rezension: Edmund Weitz (Hamburg)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, September 2021, Band 68, Heft 1, S. 309–312.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Agnes Handwerk

Springer Spektrum; 1. Aufl. 2021 Edition (4. März 2021), 32,99 €

ISBN-10: ‎3662626365
ISBN-13 : ‎978-3662626368

Agnes Handwerk ist eine Journalistin, die mit biographischen Filmen (zusammen mit Harrie Willems) und Radiofeatures über Mathematiker hervorgetreten ist und für ihre Arbeit mit dem Journalistenpreis der DMV ausgezeichnet wurde. Einer der porträtierten Mathematiker war Wolfgang Doeblin, der unabhängig von K. Ito wesentliche Elemente der stochastischen Analysis entwickelte, sie aber im 2. Weltkrieg nicht veröffentlichen konnte. (Die Entdeckung dieser Beiträge ist eine Geschichte für sich, die es zu googlen lohnt.)

Die Arbeit an diesem Projekt verlief parallel zum Aufschwung eines neuen Teilgebiets der Mathematik, wo die Ideen von Doeblin und Ito Anwendung finden, nämlich der Finanzmathematik. So entstand die Idee zu dem vorliegenden schmalen Buch, in dem die Autorin ihre Interviews mit den Protagonisten dieses neuen Gebiets wie z.B. Hans Föllmer, Freddie Delbaen und Werner Hillenbrand sammelt, deren Aussagen einordnet und weitere Dokumente zitiert. Durch diesen biographischen Ansatz entsteht ein sehr persönliches Bild der Entwicklung der modernen Finanzmathematik als Teil der stochastischen Analysis einerseits und der mathematischen Wirtschaftstheorie andererseits.

Den meisten hier auftretenden Akteuren ist gemein, dass sie ihren mathematischen Hintergrund in der reinen Mathematik haben (Maßtheorie, Funktionalanalysis und Wahrscheinlichkeitstheorie in ihrer in Frankreich gepflegten Ausprägung à la Meyer, Neveu und Dellacherie) und außerdem in der ökonomischen Theorie bewandert sind; das ist der biographische rote Faden, der sich durch das Buch zieht. Die Autorin stellt sowohl die Errungenschaften dieser Theoretiker vor als auch die Kritik an ihren Modellen, die sich nach dem Börsenkrach von 2008 einstellte.

Mathematiker und Ökonomen werden Agnes Handwerks Text mit Interesse lesen, wenn ihre Universitätsbibliothek den Titel vorhält. Alle übrigen hypothetischen Leserinnen und Leser werden möglicherweise davon abgeschreckt, knapp 33 € für 75 Seiten Text auszugeben; außerdem wäre ein Glossar hilfreich gewesen, das die für die Beteiligten selbstverständlichen Begriffe wie Arbitrage, Ito-Kalkül, Black-Scholes-Formel, Martingaltheorie etc. aufbereitet. (Was ein Quant tut, ist vermutlich heute, 13 Jahre nach dem Ausbruch der Bankenkrise, auch nicht mehr allgemein präsent.)

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)

Edmund Weitz

‎Springer; 1. Aufl. 2021 Edition (31. März 2021); 277 Seiten; 24,99 €

ISBN-10: ‎3662628791
ISBN-13: ‎978-3662628799

„Die Leibniz-Reihe ist eine Formel zur Annäherung an die Kreiszahl Pi, die Gottfried Wilhelm Leibniz in den Jahren 1673–1676 entwickelte und 1682 in der Zeitschrift Acta Eruditorum erstmals veröffentlichte. Sie lautet: \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\ldots=\frac{\pi}{4}\)

Diesen Eintrag findet man bei Wikipedia in den ersten beiden Zeilen, wenn man den Begriff Leibniz-Reihe nachschlägt. Die Formel wird in Fachbüchern mit Methoden der Analysis hergeleitet.

Der Autor, Edmund Weitz, Professor für Mathematik und Informatik an der Hochschule für Angewandte Wissenschaften Hamburg, hat zur Herleitung dieser Formel ein ganzes Buch geschrieben, nämlich das hier zu besprechende! Er ist – um das schon einmal vorwegzunehmen – ein begnadeter Erzähler.

Die ersten Sätze lauten „Dieses Buch hat keinen praktischen Wert. Wäre es ein Roman, würden Sie das wohl auch nicht von ihm erwarten ...“ und zwei Seiten weiter gesteht er „... werden wir unsere Formel sehr umständlich herleiten. … Warum sollte man sich das antun? Konfuzius würde antworten: ‚Weil der Weg das Ziel ist!‘“ Das genau trifft in der Tat die Absicht des Autors.

Die Formel ist eigentlich nicht das entscheidende. Das zeigt allein schon die Tatsache, dass der Autor erst spät, auf Seite 71, seinen Plan vorstellt, nämlich die Zahl \(\pi\) zu berechnen mit Hilfe der Anzahl der in einem Kreis liegenden Gitterpunkte (das sind die mit ganzzahligen Koordinaten). Denn jeden dieser Punkte kann man sich als Mittelpunkt eines Einheitsquadrats vorstellen und „dann entspricht das Zählen der Punkte dem Messen der Fläche der Quadrate, die augenscheinlich eine gute Näherung für die Kreisfläche ist“. In der Ausführung seines Plans führt Weitz die komplexen Zahlen und die gaußsche Zahlenebene ein, erklärt die notwendigen Rechenoperationen und untersucht dann auch zahlentheoretische Eigenschaften, die er für seinen Beweis benötigt. Auf diesem langen Weg erfährt man dann auch, welche Rolle die Primzahlen bei dieser Herleitung spielen und kann so verstehen, wie es zu dem Buchtitel gekommen ist. Mit Hilfe von Geometrie, Algebra und Zahlentheorie kommt der Autor schließlich zu der oben angegebenen Formel. Der Kurs dorthin ist nicht immer geradlinig, es gibt Kurven und Umwege, aber immer wieder wird man auf die richtige Spur gebracht.

Einen schönen Beweis hat Weitz hier entwickelt, den man sicher auch auf kürzerem Wege hätte darstellen können. Aber er hat eine ausgesprochen anregende Art zu erzählen, er lässt sich keine am Rand dieses Weges oder auch einmal etwas abseits liegenden mathematischen Edelsteine entgehen (wie z. B. Euklids Beweis für die unendliche Reihe der Primzahlen).  Auch philosophiert er immer einmal wieder über die Mathematik und ihre Methoden. Und er schweift auch gerne noch weiter ab: so erfährt man anekdotenhaft etwas Interessantes über so bekannter Mathematiker wie Archimedes, Descartes und Fermat, Leibniz und Newton oder Gauss, er bringt uns aber auch weniger bekannte wie al-Chwarizmi, Galois und Emmi Noether näher.

Die Lektüre ist nicht immer ganz einfach, da werden Schulkenntnisse nur ausreichen, wenn man dem Autor folgt und sich mit den eingestreuten Fragen auseinandersetzt. Aber selbst wenn man manche Denkschritte nicht auf Anhieb nachvollziehen kann, bringt der Autor es immer wieder fertig, das Interesse aufrecht zu halten. Der unterhaltsame und lockere Stil begeistert mich und wird das auch bei allen tun, die sich für Mathematik und ihre Geschichte interessieren.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Thomas de Padova

Carl Hanser Verlag GmbH & Co. KG; 3. Edition (19. April 2021); 384 Seiten; 25 €

ISBN-10: ‎3446269320
ISBN-13: ‎978-3446269323

„Alles wird Zahl“ – ein Blick auf die letzten 40 Jahre bestätigt diese Aussage: Wie sehr hat doch die Digitalisierung, haben PC, Internet, Smartphone und Soziale Medien unsere Welt verändert – und die Grundlage dafür ist der Binärcode, sind 0 und 1. Alles, auch Texte, Bilder und Videos sind zu Zahl geworden.

In früheren Zeiten – so schien es mir – haben solche gewaltigen Veränderungen sich doch sehr viel langsamer vollzogen. Aber stimmt das? Ich staunte beim Lesen dieses Buches von Seite zu Seite mehr, wie schnell sich vor 500 Jahren durch Gutenbergs Erfindung des Buchdrucks mit beweglichen Lettern eine technische Revolution vollzogen hat, die auch die Entwicklung der Mathematik stark beschleunigt hat. Thomas de Padova, dem Autor dieses Buches, gelingt es in faszinierender Weise zu zeigen, wie die Mathematik sich im westlichen Europa aufbauend auf den „Hinterlassenschaften der griechischen Antike und des arabischen Mittelalters“ in kurzer Zeit neu erfunden hat und in wenigen Jahrzehnten nicht nur unter den Wissenschaftlern, sondern auch in der städtischen Bevölkerung verbreitet hat.

Diese rasante Entwicklung stellt er dar, indem er den Fokus auf fünf bedeutende Persönlichkeiten der Renaissance legt: Johannes Müller (genannt Regiomontanus), Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer sowie Michael Stifel und Gerolamo Cardano. Während die Namen da Vinci und Dürer weithin bekannt sind, dürften die drei anderen eher nur mathematisch interessierten Lesern etwas sagen.

Dass allerdings auch die beiden Künstler sich intensiv mit Mathematik, speziell Geometrie, befasst haben, wird doch überraschen. Wohl enthalten manche ihrer Kunstwerke mathematische Objekte, so der „vitruvianische Mensch“ (das ist die berühmte Zeichnung da Vincis mit einem nackten Mann in einem Kreis und einem Quadrat) und das magische Quadrat Dürers in seinem populären Kupferstich „Melencolia I“ – aber reicht das, um beiden eine wichtige Rolle in der Entwicklung der Mathematik zuzusprechen? Der Autor beschreibt eindrucksvoll, wie die Künstler sich intensiv mit Fragen der Geometrie, insbesondere der erst vor kurzem in Italien entwickelten Zentralperspektive befasst haben. Beide „arbeiten die quantitativen Aspekte der bildenden Künste akribisch heraus“ und sind für den Autor „Künstler-Ingenieure“. Da Vinci und Dürer haben ihre Erkenntnisse in wissenschaftlichen Schriften publiziert. Dürer schreibt z. B. über Parkettierungen, platonische und archimedische Körper, er entwirft Ausschneidebögen, aus denen sich Modelle der Körper basteln lassen.

Die drei anderen oben Genannten sind ebenfalls vielseitig interessiert (Müller war Astronom und Verleger, Stifel Priester und Luthers evangelischer Prediger, Cardano Arzt und Professor), lassen sich aber durchaus als Mathematiker bezeichnen, die sich überwiegend mit Algebra beschäftigt haben. Regiomontanus bringt als erster die Mathematik der alten Griechen nach Deutschland, die mit den Arabern über Spanien ins mittelalterliche Italien gelangt war. Und – vielleicht noch wichtiger für die Entwicklung der Mathematik – er verwendet in seinen Büchern die arabischen Ziffern und das Dezimalsystem und propagiert darin das schriftliche Rechnen. Obwohl er nur 40 Jahre alt wurde, ist seine Wirkung immens, er gründet um 1470 herum (erst 1440 hat Gutenberg seine Erfindung gemacht) in Nürnberg den ersten mathematisch-wissenschaftlichen Fachverlag und bringt in wenigen Jahren mehrere Dutzend Werke heraus. Ein Rechenmeister namens Wagner veröffentlicht hier auch das erste Rechenbuch in deutscher Sprache. Bekannter aber wird das didaktisch gut aufbereitete von Adam Ries, dessen weite Verbreitung zu der sprichwörtlichen Redewendung „nach Adam Riese“ führte, die sich bis heute erhalten hat.

Michael Stifel und Gerolamo Cardano sind in die Wissenschaftsgeschichte eingegangen, weil sie über die Ergebnisse von Griechen und Arabern hinaus neue Entdeckungen gemacht haben. Stifel, der noch im hohen Alter von 55 Mathematik studierte, hat als Buchautor zum Beispiel die Symbole „+“, „-“, „=“ und das Wurzelzeichen √ verwendet und populär gemacht. Damit hat er dazu beigetragen, die heutige Formelsprache zu entwickeln, die eine ganz wesentliche Voraussetzung für die stürmische Entwicklung der Mathematik war (was man sich gut vorstellen kann, wenn man in diesem Buch die Beispiele liest, wie bis dahin fast alle Rechenoperationen nur durch Worte ausgedrückt werden konnten). Stifel hat die Null, Bruchzahlen, negative Zahlen, Exponenten (auch negative!) und irrationale Zahlen verwendet und eine Gleichungslehre entwickelt. Cardano ist berühmt-berüchtigt für die Veröffentlichung der Lösungen für die Gleichungen dritten Grades, die vor ihm von anderen gefunden aber nicht bekannt gemacht worden waren. Der große Wissenschaftlerstreit, der um diese Lösungen zwischen Cardano und Tartaglia entbrannte, wird von de Padova natürlich auch ausführlich dargestellt.

Dieses Buch möchte ich jedem historisch Interessierten wärmstens empfehlen – nicht nur den Mathematik-Liebhabern. Denn neben den mathematischen Inhalten werden die Fortschritte der Wissenschaften und Technik in diesen Jahrzehnten lebendig. Die schnelle Verbreitung von Papierfabriken und Druckereien wird eindrucksvoll beschrieben und man kann nachvollziehen, welch große Bedeutung diese für die Lebensläufe der fünf genannten Protagonisten und weiterer historischer Persönlichkeiten hatte. Der Zeitgeist der Renaissance mit seinen gewaltigen Veränderungen wird den Lesern plastisch vor Augen geführt.

Mit meinem Urteil über dieses Buch bin ich nicht allein. Kurz vor der Veröffentlichung dieser Rezension erfahre ich, dass Thomas de Padova den Medienpreis der Deutschen Mathematiker-Vereinigung des Jahres 2021 für „die herausragende Darstellung von Mathematik in seinen Publikationen, insbesondere in seinem Werk ‚Alles wird Zahl‘ erhält.“ Da kann ich nur gratulieren!

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Jörg Witte

Wallstein Verlag GmbH; 1. Edition (19. Oktober 2020); 280 Seiten; 24 €

Kindle-Ausgabe: 18,99 €
ASIN: ‎B08KTGJ6SH

In den 1970er Jahren entwickelte der Psychologe Endel Tulving seine Theorie des Gedächtnisses. Er unterschied zwischen dem episodischen Gedächtnis (das Dinge speichert, die man persönlich erlebt hat) und dem semantischen Gedächtnis (das Dinge speichert, die man weiß). Wie Jörg Witte in seiner Abhandlung ausführt, gehen mit diesen Erinnerungsformen unterschiedliche Zeit- und Zahlvorstellungen einher. Zur episodischen Erinnerung assoziiert er einen linearen Zeitbegriff und die Idee der Ordinalzahl (zuerst kommt dies, dann das, dann jenes etc.); dazu baut er die Idee der episodischen Erinnerung zu der der rekursiven episodischen Erinnerung aus (ich erinnere mich, dass ich mich gestern an etwas erinnert habe etc.). Im Unterschied dazu korrespondiert mit der semantischen Erinnerung ein zyklischer Zeitbegriff und die Idee der Kardinalzahl. Erst der Mensch der Neuzeit war zur episodischen Erinnerung fähig, während im Mittelalter und der Antike die semantische Erinnerung als Abbild eines göttlichen Plans vorherrschte.

Dies sind die Grundideen, die in diesem Buch entwickelt werden. Mit "Zahl" ist fast immer eine "natürliche Zahl" gemeint; auf die Null und negative Zahlen geht der Autor nicht ein. Hingegen stellt er sehr wohl (positive) reelle Zahlen als Zeitpunkte vor, die die Vergangenheit von der Zukunft trennen; Fachleute erkennen an dieser Stelle die Idee des Dedekindschen Schnitts wieder. Der Theorie des Gedächtnisses folgend beginnt der Autor bei Zahl- und Zeitvorstellungen der Renaissance und folgt dem Gedächtnisstrom zur Antike und den vorderasiatischen Kulturen. Jörg Wittes Buch ist eine anregende Lektüre für alle, die sich mit den hier angesprochenen erkenntnistheoretischen Fragen auseinandersetzen möchten.

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)