Leseecke

Edmund Weitz

‎Springer; 1. Aufl. 2021 Edition (31. März 2021); 277 Seiten; 24,99 €

ISBN-10: ‎3662628791
ISBN-13: ‎978-3662628799

„Die Leibniz-Reihe ist eine Formel zur Annäherung an die Kreiszahl Pi, die Gottfried Wilhelm Leibniz in den Jahren 1673–1676 entwickelte und 1682 in der Zeitschrift Acta Eruditorum erstmals veröffentlichte. Sie lautet: \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\ldots=\frac{\pi}{4}\)

Diesen Eintrag findet man bei Wikipedia in den ersten beiden Zeilen, wenn man den Begriff Leibniz-Reihe nachschlägt. Die Formel wird in Fachbüchern mit Methoden der Analysis hergeleitet.

Der Autor, Edmund Weitz, Professor für Mathematik und Informatik an der Hochschule für Angewandte Wissenschaften Hamburg, hat zur Herleitung dieser Formel ein ganzes Buch geschrieben, nämlich das hier zu besprechende! Er ist – um das schon einmal vorwegzunehmen – ein begnadeter Erzähler.

Die ersten Sätze lauten „Dieses Buch hat keinen praktischen Wert. Wäre es ein Roman, würden Sie das wohl auch nicht von ihm erwarten ...“ und zwei Seiten weiter gesteht er „... werden wir unsere Formel sehr umständlich herleiten. … Warum sollte man sich das antun? Konfuzius würde antworten: ‚Weil der Weg das Ziel ist!‘“ Das genau trifft in der Tat die Absicht des Autors.

Die Formel ist eigentlich nicht das entscheidende. Das zeigt allein schon die Tatsache, dass der Autor erst spät, auf Seite 71, seinen Plan vorstellt, nämlich die Zahl \(\pi\) zu berechnen mit Hilfe der Anzahl der in einem Kreis liegenden Gitterpunkte (das sind die mit ganzzahligen Koordinaten). Denn jeden dieser Punkte kann man sich als Mittelpunkt eines Einheitsquadrats vorstellen und „dann entspricht das Zählen der Punkte dem Messen der Fläche der Quadrate, die augenscheinlich eine gute Näherung für die Kreisfläche ist“. In der Ausführung seines Plans führt Weitz die komplexen Zahlen und die gaußsche Zahlenebene ein, erklärt die notwendigen Rechenoperationen und untersucht dann auch zahlentheoretische Eigenschaften, die er für seinen Beweis benötigt. Auf diesem langen Weg erfährt man dann auch, welche Rolle die Primzahlen bei dieser Herleitung spielen und kann so verstehen, wie es zu dem Buchtitel gekommen ist. Mit Hilfe von Geometrie, Algebra und Zahlentheorie kommt der Autor schließlich zu der oben angegebenen Formel. Der Kurs dorthin ist nicht immer geradlinig, es gibt Kurven und Umwege, aber immer wieder wird man auf die richtige Spur gebracht.

Einen schönen Beweis hat Weitz hier entwickelt, den man sicher auch auf kürzerem Wege hätte darstellen können. Aber er hat eine ausgesprochen anregende Art zu erzählen, er lässt sich keine am Rand dieses Weges oder auch einmal etwas abseits liegenden mathematischen Edelsteine entgehen (wie z. B. Euklids Beweis für die unendliche Reihe der Primzahlen).  Auch philosophiert er immer einmal wieder über die Mathematik und ihre Methoden. Und er schweift auch gerne noch weiter ab: so erfährt man anekdotenhaft etwas Interessantes über so bekannter Mathematiker wie Archimedes, Descartes und Fermat, Leibniz und Newton oder Gauss, er bringt uns aber auch weniger bekannte wie al-Chwarizmi, Galois und Emmi Noether näher.

Die Lektüre ist nicht immer ganz einfach, da werden Schulkenntnisse nur ausreichen, wenn man dem Autor folgt und sich mit den eingestreuten Fragen auseinandersetzt. Aber selbst wenn man manche Denkschritte nicht auf Anhieb nachvollziehen kann, bringt der Autor es immer wieder fertig, das Interesse aufrecht zu halten. Der unterhaltsame und lockere Stil begeistert mich und wird das auch bei allen tun, die sich für Mathematik und ihre Geschichte interessieren.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Thomas de Padova

Carl Hanser Verlag GmbH & Co. KG; 3. Edition (19. April 2021); 384 Seiten; 25 €

ISBN-10: ‎3446269320
ISBN-13: ‎978-3446269323

„Alles wird Zahl“ – ein Blick auf die letzten 40 Jahre bestätigt diese Aussage: Wie sehr hat doch die Digitalisierung, haben PC, Internet, Smartphone und Soziale Medien unsere Welt verändert – und die Grundlage dafür ist der Binärcode, sind 0 und 1. Alles, auch Texte, Bilder und Videos sind zu Zahl geworden.

In früheren Zeiten – so schien es mir – haben solche gewaltigen Veränderungen sich doch sehr viel langsamer vollzogen. Aber stimmt das? Ich staunte beim Lesen dieses Buches von Seite zu Seite mehr, wie schnell sich vor 500 Jahren durch Gutenbergs Erfindung des Buchdrucks mit beweglichen Lettern eine technische Revolution vollzogen hat, die auch die Entwicklung der Mathematik stark beschleunigt hat. Thomas de Padova, dem Autor dieses Buches, gelingt es in faszinierender Weise zu zeigen, wie die Mathematik sich im westlichen Europa aufbauend auf den „Hinterlassenschaften der griechischen Antike und des arabischen Mittelalters“ in kurzer Zeit neu erfunden hat und in wenigen Jahrzehnten nicht nur unter den Wissenschaftlern, sondern auch in der städtischen Bevölkerung verbreitet hat.

Diese rasante Entwicklung stellt er dar, indem er den Fokus auf fünf bedeutende Persönlichkeiten der Renaissance legt: Johannes Müller (genannt Regiomontanus), Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer sowie Michael Stifel und Gerolamo Cardano. Während die Namen da Vinci und Dürer weithin bekannt sind, dürften die drei anderen eher nur mathematisch interessierten Lesern etwas sagen.

Dass allerdings auch die beiden Künstler sich intensiv mit Mathematik, speziell Geometrie, befasst haben, wird doch überraschen. Wohl enthalten manche ihrer Kunstwerke mathematische Objekte, so der „vitruvianische Mensch“ (das ist die berühmte Zeichnung da Vincis mit einem nackten Mann in einem Kreis und einem Quadrat) und das magische Quadrat Dürers in seinem populären Kupferstich „Melencolia I“ – aber reicht das, um beiden eine wichtige Rolle in der Entwicklung der Mathematik zuzusprechen? Der Autor beschreibt eindrucksvoll, wie die Künstler sich intensiv mit Fragen der Geometrie, insbesondere der erst vor kurzem in Italien entwickelten Zentralperspektive befasst haben. Beide „arbeiten die quantitativen Aspekte der bildenden Künste akribisch heraus“ und sind für den Autor „Künstler-Ingenieure“. Da Vinci und Dürer haben ihre Erkenntnisse in wissenschaftlichen Schriften publiziert. Dürer schreibt z. B. über Parkettierungen, platonische und archimedische Körper, er entwirft Ausschneidebögen, aus denen sich Modelle der Körper basteln lassen.

Die drei anderen oben Genannten sind ebenfalls vielseitig interessiert (Müller war Astronom und Verleger, Stifel Priester und Luthers evangelischer Prediger, Cardano Arzt und Professor), lassen sich aber durchaus als Mathematiker bezeichnen, die sich überwiegend mit Algebra beschäftigt haben. Regiomontanus bringt als erster die Mathematik der alten Griechen nach Deutschland, die mit den Arabern über Spanien ins mittelalterliche Italien gelangt war. Und – vielleicht noch wichtiger für die Entwicklung der Mathematik – er verwendet in seinen Büchern die arabischen Ziffern und das Dezimalsystem und propagiert darin das schriftliche Rechnen. Obwohl er nur 40 Jahre alt wurde, ist seine Wirkung immens, er gründet um 1470 herum (erst 1440 hat Gutenberg seine Erfindung gemacht) in Nürnberg den ersten mathematisch-wissenschaftlichen Fachverlag und bringt in wenigen Jahren mehrere Dutzend Werke heraus. Ein Rechenmeister namens Wagner veröffentlicht hier auch das erste Rechenbuch in deutscher Sprache. Bekannter aber wird das didaktisch gut aufbereitete von Adam Ries, dessen weite Verbreitung zu der sprichwörtlichen Redewendung „nach Adam Riese“ führte, die sich bis heute erhalten hat.

Michael Stifel und Gerolamo Cardano sind in die Wissenschaftsgeschichte eingegangen, weil sie über die Ergebnisse von Griechen und Arabern hinaus neue Entdeckungen gemacht haben. Stifel, der noch im hohen Alter von 55 Mathematik studierte, hat als Buchautor zum Beispiel die Symbole „+“, „-“, „=“ und das Wurzelzeichen √ verwendet und populär gemacht. Damit hat er dazu beigetragen, die heutige Formelsprache zu entwickeln, die eine ganz wesentliche Voraussetzung für die stürmische Entwicklung der Mathematik war (was man sich gut vorstellen kann, wenn man in diesem Buch die Beispiele liest, wie bis dahin fast alle Rechenoperationen nur durch Worte ausgedrückt werden konnten). Stifel hat die Null, Bruchzahlen, negative Zahlen, Exponenten (auch negative!) und irrationale Zahlen verwendet und eine Gleichungslehre entwickelt. Cardano ist berühmt-berüchtigt für die Veröffentlichung der Lösungen für die Gleichungen dritten Grades, die vor ihm von anderen gefunden aber nicht bekannt gemacht worden waren. Der große Wissenschaftlerstreit, der um diese Lösungen zwischen Cardano und Tartaglia entbrannte, wird von de Padova natürlich auch ausführlich dargestellt.

Dieses Buch möchte ich jedem historisch Interessierten wärmstens empfehlen – nicht nur den Mathematik-Liebhabern. Denn neben den mathematischen Inhalten werden die Fortschritte der Wissenschaften und Technik in diesen Jahrzehnten lebendig. Die schnelle Verbreitung von Papierfabriken und Druckereien wird eindrucksvoll beschrieben und man kann nachvollziehen, welch große Bedeutung diese für die Lebensläufe der fünf genannten Protagonisten und weiterer historischer Persönlichkeiten hatte. Der Zeitgeist der Renaissance mit seinen gewaltigen Veränderungen wird den Lesern plastisch vor Augen geführt.

Mit meinem Urteil über dieses Buch bin ich nicht allein. Kurz vor der Veröffentlichung dieser Rezension erfahre ich, dass Thomas de Padova den Medienpreis der Deutschen Mathematiker-Vereinigung des Jahres 2021 für „die herausragende Darstellung von Mathematik in seinen Publikationen, insbesondere in seinem Werk ‚Alles wird Zahl‘ erhält.“ Da kann ich nur gratulieren!

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Jörg Witte

Wallstein Verlag GmbH; 1. Edition (19. Oktober 2020); 280 Seiten; 24 €

Kindle-Ausgabe: 18,99 €
ASIN: ‎B08KTGJ6SH

In den 1970er Jahren entwickelte der Psychologe Endel Tulving seine Theorie des Gedächtnisses. Er unterschied zwischen dem episodischen Gedächtnis (das Dinge speichert, die man persönlich erlebt hat) und dem semantischen Gedächtnis (das Dinge speichert, die man weiß). Wie Jörg Witte in seiner Abhandlung ausführt, gehen mit diesen Erinnerungsformen unterschiedliche Zeit- und Zahlvorstellungen einher. Zur episodischen Erinnerung assoziiert er einen linearen Zeitbegriff und die Idee der Ordinalzahl (zuerst kommt dies, dann das, dann jenes etc.); dazu baut er die Idee der episodischen Erinnerung zu der der rekursiven episodischen Erinnerung aus (ich erinnere mich, dass ich mich gestern an etwas erinnert habe etc.). Im Unterschied dazu korrespondiert mit der semantischen Erinnerung ein zyklischer Zeitbegriff und die Idee der Kardinalzahl. Erst der Mensch der Neuzeit war zur episodischen Erinnerung fähig, während im Mittelalter und der Antike die semantische Erinnerung als Abbild eines göttlichen Plans vorherrschte.

Dies sind die Grundideen, die in diesem Buch entwickelt werden. Mit "Zahl" ist fast immer eine "natürliche Zahl" gemeint; auf die Null und negative Zahlen geht der Autor nicht ein. Hingegen stellt er sehr wohl (positive) reelle Zahlen als Zeitpunkte vor, die die Vergangenheit von der Zukunft trennen; Fachleute erkennen an dieser Stelle die Idee des Dedekindschen Schnitts wieder. Der Theorie des Gedächtnisses folgend beginnt der Autor bei Zahl- und Zeitvorstellungen der Renaissance und folgt dem Gedächtnisstrom zur Antike und den vorderasiatischen Kulturen. Jörg Wittes Buch ist eine anregende Lektüre für alle, die sich mit den hier angesprochenen erkenntnistheoretischen Fragen auseinandersetzen möchten.

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)

Adriane Gründers

Springer Spektrum Verlag; 1. Aufl. 2021 Edition (27. April 2021), 224 Seiten; 27,99 €

ISBN-10: ‎366263161X
ISBN-13: ‎978-3662631614

Ein Lehrbuch von Springer, so steht es auf dem Einband. Und dann wundere ich mich ein wenig beim ersten Blättern: Seite für Seite ein Rezept zum Lösen von Aufgaben. Soll das ein neuer Stil für ein Mathematik-Lehrbuch sein? Ich komme in Versuchung, es ungelesen beiseite zu legen.

Doch ich will es ja rezensieren und werde mich also genauer damit befassen. Das Inhaltsverzeichnis gibt schon Auskunft über die Themen (Seite für Seite!). Es geht tatsächlich (Basics) los mit den Rechenverfahren für natürliche Zahlen und ihren Rechengesetzen, weiter über negative Zahlen, Brüche und Dezimalzahlen hin zu Potenzen, Wurzeln und Logarithmen. Auf jeder Seite wird links in einer Spalte in einfachen, kurzen Sätzen die durchzuführende Operation beschrieben, während in der Spalte rechts daneben ein Zahlenbeispiel vorgerechnet wird. So ist etwa eine Seite dem Erweitern und Kürzen und daneben eine zur Addition und Subtraktion von Brüchen gewidmet.

Weitere Abschnitte zeigen das Lösen von Gleichungen (lineare, quadratische, exponentielle, Betragsgleichungen, Ungleichungen, lineare Gleichungssysteme) und deren Anwendung bei Sachaufgaben. Beim Kapitel über Funktionen kommen alle Typen vor, die im Gymnasialunterricht auf dem Lehrplan stehen. Ein weiteres Drittel des Buches stellt in der gleichen Weise die Grundlagen und Verfahren der Analysis dar (Folgen und Grenzwerte, Differential- und Integralrechnung).

Eingeschoben auf zehn Seiten werden Begriffe der Aussagenlogik, auf 20 Seiten die geometrischen Lehrplaninhalte und abschließend wird ein Ausblick gegeben auf die komplexen Zahlen und auf Taylor-Reihen. Ein ausführliches Stichwortverzeichnis hilft neben dem detaillierten Inhaltsverzeichnis, dass man schnell die richtige Seite findet.

Meine anfängliche Skepsis hat sich gelegt. Die Autorin (A. Gründers ist übrigens ein Pseudonym, sie hat laut Verlagsangabe „in mathematischer Physik promoviert und ist in einem wissenschaftsnahen Unternehmen tätig. Die Vermittlung von Mathematik ist ihr ein Herzensanliegen.“) legt Wert darauf, nicht nur formale Rechenverfahren nahe zu bringen. So beschreibt sie auf mehreren Seiten – und auch hier mit einfachen Formulierungen ohne komplizierte Nebensätze –, wie man ein Sachproblem in mathematische Formelsprache übersetzt und wie man diese Lösung in die Realität zurück überträgt. Warum Einheiten eine gute Hilfe zur Überprüfung von Formeln sein können, wird gut demonstriert. Und für die Darstellung des Zusammenhangs von Differential- und Integralrechnung im Hauptsatz gilt ebenfalls: kurz, aber prägnant.

Wem das Buch zu empfehlen ist? Ich zitiere die Autorin aus dem Vorwort – dem habe ich nichts hinzuzufügen:

„Für alle, die nicht gern viel lesen, aber Mathe verstehen wollen oder müssen.
Für alle, die es gern übersichtlich haben.
Für alle, die auf einen Blick das Wesentliche finden wollen. Für alle, die visuell denken und die gern Videos schauen, für die aber Videos zum Mathelernen nicht immer optimal sind, weil man nicht schnell etwas nachschauen kann.“

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Holger Dambeck

KiWi-Taschenbuch; 1. Edition (15. April 2021), ‎256 Seiten, 11 €
ISBN-10: ‎3462001248
ISBN-13: ‎978-3462001242

Vielleicht gehören Sie zu denen, die sich schon einmal ein Mathematik-Rätsel auf der Internet-Seite „spiegel.de“ angesehen und daran geknobelt oder es auch gelöst haben. So ganz unwahrscheinlich ist das nicht, denn das machen – laut Aussage des Autors im Vorwort – wöchentlich immerhin zwischen 50 und 100 Tausend Menschen.

Holger Dambeck gibt dort seit 2015 Mathe-Rätsel auf, einhundert davon sind in diesem Buch zusammengestellt. Er hat sie nach Themen sortiert und so kann man sich auch die Gebiete wählen, die einem besonders liegen. Neben Zahlenknobeleien findet man typische Logikrätsel (so wie früher von „Zweistein“ in der Zeitschrift „Die Zeit“), aus der Geometrie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Probleme vorgestellt und für den Abschnitt „Kopfnüsse aus der Physik“ braucht man nur ein wenig Kenntnisse über den Zusammenhang von Weg, Zeit und Geschwindigkeit.

Für den Einstieg beginnt der Autor mit 12 leichten Rätseln – damit sollten Anfänger auf jeden Fall beginnen, damit sie womöglich nicht gleich an einem schwierigeren Problem scheitern und vorschnell zur Lösung blättern. Bei den teilweise durchaus kniffligen Rätseln braucht es ein wenig Geduld und Nachdenken und häufig auch einen Gedankenblitz – um so größer wird dann die Befriedigung über die gelungene Lösung sein. Und wenn man wirklich nicht die richtige Idee gefunden hat – eventuell bei den 11 „echten Herausforderungen“, die im letzten Abschnitt des Buches versammelt sind – dann wird einem bei der gut erklärten Lösung sicher ein Licht aufgehen.

Wer ein wenig mehr Erfahrung mit solchen Rätselaufgaben hat, dem wird die eine oder andere wahrscheinlich bekannt vorkommen – auch Dambeck hat sich in der großen Sammlung der Rätsel-Literatur natürlich Anregungen geholt. Aber die kurzen Geschichten, die jedes Problem einleiten, sind amüsant und verleiten wirklich zum Knobeln oder gar zur systematischen Analyse und Lösung. Für die reichhaltige Mathematik-Rätsel-Literatur ist dieses Buch eine schöne Ergänzung.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)