Leseecke

Kirsti Andersen

American Mathematical Society, MAA Press, 2020
X + 80 Seiten, 33,55 €

ISBN-10: 1470452677
ISBN-13: 978-1470452674

Der Eintritt der mathematischen Theorie der Zentralperspektive in die Geschichte der Malerei ist ein kulturgeschichtliches Ereignis erster Ordnung. Allein die bloße Frage, wann er denn stattgefunden habe, ist kontrovers¹. Zwar existieren genügend Beweise dafür, dass die Malerei in der Antike eine hohe Stufe erreicht hatte. Das völlige Fehlen jeder Hinweise auf eine Verarbeitung mathematisch-technischer Methoden dabei wird diskutiert, aber auch die führende Expertin in der Kunst- und Mathematikgeschichte für die Entwicklung der perspektivischen Zeichnung, KIRSTI ANDERSEN² kommt zu dem Schluss, dass erst im Anfang des quattrocento die darstellende Geometrie in die Kunstgeschichte einzieht³. Schon eine bloße Diskussion über die Zentralperspektive verlangt die Festlegung ganz verschiedener Standpunkte, mindestens schon einmal der folgenden:

(1) die mathematische Hintergrundstheorie,
(2) die Anwendung dieser Theorie durch die Künstlerin oder den Künstler,
(3) die Beschreibung der Anwendung der Perspektive in der Betrachtung und Untersuchung eines Kunstwerkes (oder mehrerer solcher),
(4) die gründliche historische Untersuchung und Beschreibung, wie sich die Synthese dieser Aspekte im Laufe der Kunst- und Sachgeschichte entwickelt hat, und nicht zuletzt
(5) die Behandlung des Gegenstandes im Unterricht, der Lehre und dem Studium auf allen Stufen.

Eine saubere Trennung dieser Gebiete ist unmöglich. Man ist versucht, zu behaupten, dass es sich bei (1) um einen entwicklungsgeschichtlich abgeschlossenen Zweig der angewandten Mathematik handle, nämlich um die seit GASPAR MONGE konsolidierte darstellende Geometrie. Man erinnert sich aber dann sehr schnell daran, dass die Entwicklung der technischen Hilfsmittel im Zeitalter der digitalen Technologie und der dazugehörenden Mittel der Progammierung auch die darstellende Geometrie im informatischen und didaktischen Bereich fast grenzenlos erweitert hat. Ähnliches wird man zu (2) behaupten bei der Entwicklung und Verbreitung der Fotografie.

Das von der American Mathematical Society gemeinsam mit der Mathematical Association of America veröffentlichte, großzügig bebilderte Buch mit dem Titel „Optical Illusions in Rome“ von KIRSTI ANDERSEN⁴ ordne ich den Bereichen (3) und (4) zu. Der kunsthistorische Teil des Textes einschliesslich der zahlreichen Bilder umfasst 50 Seiten, der mathematische und mathematik-didaktische Teil 16, während ein abschließender Text mit bibliographischen und weiterführenden Notizen 12 Seiten in Anspruch nimmt. Die Verfasserin dieser attraktiven Monografie ist bekannt durch das von ihr verfasste enzyklopädische Standardwerk⁵ über die Geschichte der mathematischen Theorie der Perspektive. Zur Erhöhung des Genusses des kunsthistorischen Reiseführers, dem unsere Aufmerksamkeit in diesem Augenblick gilt, sowie zur Vertiefung der darin enthaltenen Informationen empfehle ich, das umfangreiche Werk der Verfasserin daneben bereitzuhalten. Freilich reicht der vorliegende Text völlig zum grundsätzlichen Verständnis dieses 2016 in dänischer Sprache für die Dänische Mathematiklehrervereinigung verfassten Essays. Dieser erschien 2019 nach seiner Übersetzung ins Englische. Falls interessierte Leser weitere Literatur zum Gegenstand „Bildende Kunst und Mathematik in der Renaissance“ suchen, dann ist auch das von J.V.FIELD verfasste und 1997 von Oxford University Press unter dem Titel „The Invention of Infinity⁶“ veröffentlichte Buch uneingeschränkt zu empfehlen.

Was ist nun der Inhalt des Buches, das wir hier besprechen? Wir werden in lebendiger, von reicher Bebilderung begleiteter Diskussion zu vier Standorten in Rom geführt, wo sich das Thema Zentralperspektive und die dahinterstehende Mathematik im Rahmen der Frescomalerei und der Architektur in der Hochrenaissance, im Manierismus und im Barock instruktiv behandeln lässt. Der Reihe nach besuchen wir dazu die folgenden Kunstwerke:

(A) Die Ausmalung der Sala delle prospettive durch BALDASSARE PERUZZI in der Villa Farnesina,
(B) die Architektur von FRANCESCO BORROMINIs Kollonade im Pallazzo Spada,
(C) ein anamorphes Fresco in der Klosterkirche von Trinitá dei Monti oberhalb der „Spanischen Treppe“ und
(D) ANDREA POZZOs Kuppelfresco in der Jesuitenkirche Sant’Ignazio, welches auch das äußere Titelbild zum Buch liefert.

Ganz nebenbei bekommen wir noch BERNINIs mathematische Konstruktion des Petersplatzes vorgeführt, von dem alle Leute glauben, es handle sich um eine Ellipse mit langer Achse parallel zur Fassade des Petersdoms, was sich aber spätestens nach der Lektüre dieses Textes als falsch erweist.

Die Exkursion zu (A) ist eine ausgezeichnete Gelegenheit, die Zentralperspektive an einem konkreten Beipiel einer Halle, eben jener „Sala delle prospettive“ zu erleben. Drei ihrer Wände sind mit Fresken ausgestattet, welche den Innenraum der Halle nach außen ins Unendliche fortsetzen. Diese Seiten täuschen einen Säulenportikus vor, durch welchen man über eine Balustrade hinweg in die umgebende Stadtszene und Landschaft blickt und sie so sieht, wie sie um etwa 1506 ausgesehen haben mag. Der Boden der Halle ist mit einem Netz von großflächigen Marmorquadraten ausgelegt und bietet somit das von allen Renaissancemalern ausgenützte rechtwinklige Koordinatensystem mit dem diese seit ALBERTI⁷ die Beherrschung des dreidimensionalen Raumes bei Projektion in die Ebene beweisen. Dieses Koordinatensystem muss natürlich auf jeder Seite des Saales getrennt in die Fresken fortgesetzt werden und bietet so der Verfasserin die Gelegenheit, schon in ihrem ersten Beipiel gut gestützt durch die zahlreichen Fotografien des Standorts vorzuführen, dass man die Augentäuschung⁸ nur dann korrekt erleben kann, wenn man die Szene von einem und nur einem Punkt aus betrachtet, dem sogenannten Augenpunkt, der begreiflicherweise in allen Büchern zur Perspektive eine zentrale Rolle⁹ spielt. Jede der drei Bildebenen (Freskowände) hat ihren Augenpunkt. Es ist anzunehmen, dass es die Konzeption des Künstlers war, dass man sich als Beschauerin oder Beschauer nicht vom Fleck bewegen muss, wenn man sich nach der Betrachtung der Westseite als Nächstes die Südseite ansieht und sich schließlich der Ostseite zuwendet. Mit anderen Worten: Der Maler vereint die drei Augenpunkte der drei bemalten Seiten zu einem und demselben Punkt¹⁰. In der „Sala“ muss der Augenpunkt eines der drei Wandfresken auf derjenigen (gedachten) Geraden im Fussboden liegen, deren gemalte Fortsetzung in ebendiesem Wandbild senkrecht abgebildet ist¹¹. Und wenn wir schon einmal beim Theoretisieren verweilen, sei auch noch das Folgende gesagt:

 Abb. 1 Die „Sala delle prospettive“

Die perspektivische Zeichnung einer jeden Szene, die ein horizontal ausblickender Beobachter sieht, muss gewisse notwendige Bedingungen erfüllen, um mathematisch korrekt wiedergegeben zu sein. Ein erster Test dafür ist leicht zu prüfen, nämlich so: Die eindeutige wagrechte Gerade, die in der Bildebene durch die orthogonale Projektion des Augenpunktes läuft, heisst der Horizont. In vielen Bildern ist er mindestens teilweise sichtbar; in fast allen Bildern ist er leicht rekonstruierbar¹². Die Testbedingung lautet: Die Darstellung zweier paralleler horizonaler Geraden wird sich im Bild immer auf dem Horizont schneiden (mit Ausnahme des Falles, dass sie parallel zur Bildebene laufen) (s. Abb. 1). Der Test ist deswegen praktikabel und leicht bei den meisten Bildern durchzuführen, weil fast jeder Bereich menschlicher Umwelt, der zwecks Bildgewinnung auf eine vertikale Ebene projiziert wird, von einer großen Zahl von parallelen horizontalen Geradenbündeln durchsetzt ist, die von menschlichen Artefakten wie Architekturen, Mobiliaren, Landschaftsgestaltungen herrühren. Wie gesagt: auf einem zentralperspektivischen Bild, das mathematisch korrekt konstruiert ist, muss in diesem Bild jedes solche Bündel auf einen Punkt auf dem Horizont konvergieren—ausnahmslos!¹³ Die zahlreichen Bilder im Buch auf den Seiten 4, 9 bis 13 laden den Betrachter ein, den Horizontaltest auf PERUZZIs’ meisterhaften Fresken in der Sala delle prospettive anzuwenden, und man findet sie mit einem positiven Befund bestätigt selbst bei einem so kritischen horizontalen parallelen Geradenbündel, welches gegeben ist durch die Basen und Kapitelle der dominierenden Säulen auf den Fresken, die in den Figuren 1.03, 1.04, 1.06, 1.07 abgebildet sind.¹⁴

Abb. 2 Das „Teatro Marcello“ 

Der Test stützt die Überzeugung, dass der Künstler mathematisch präzise Pläne und Entwürfe seinem Werk vorausgearbeitet haben musste. Freilich trifft das gute Testergebnis auf die Landschaftsfresken eher nicht zu. Da, wo sie sich dem Test nicht entziehen, gibt es Fehlermeldungen, wie etwa für den Ausblick auf das Teatro Marcello¹⁵ (s. Abb. 2). Auf diesem kann die darstellende Geometrie verschiedene Horizonte in einem und demselben Bild nachweisen.

Bei dem Versuch, einige Prinzipien der darstellenden Geometrie an den im Buch vorgelegten Reproduktionen nachzuvollziehen, wird man schliesslich in aller Deutlichkeit gewahr, dass wir bei der Diskussion von raumgeometrischen Problemen und deren zentralperspektivischer Darstellung noch eine dritte Stufe der Abstraktion erklimmen: Zuerst ist da der dreidimensionale Raum, in dem wir uns als Beschauer bewegen. Der Freskomaler bildet diesen in seiner Zentralperspektive auf einer Bildebene, in diesem Fall einer Wand der Sala, ab. Und drittens betrachten wir eine Fotografie, die den ursprünglichen Raum und dann die Bildebene des Freskos in ihm erfasst, und wir testen die Geometrie der Reproduktion des ursprünglichen Raum in einem Bild, das den ursprünglichen Raum und das darin abgebildete Bild, das Fresko, enthält. Dieses Bild ist eine gedachte Projektionsebene immer senkrecht zu unserem Sehstrahl, wo immer wir uns gerade befinden und das Foto in der Hand, oder auf dem Tisch, oder unter Glas an der Wand haben, oder eben das beobachtete Stück Weltsicht, das wir mit uns tragen. Ich nenne sie die zweite Bildebene. Das Fresko an der Wand ist auf die erste Bildebene gemalt. Wir stellen fest, dass gewisse Geradenbüschel auf unserer Fotografie, der zweiten Bildebene, sich in einem Punkt schneiden und schliessen daraus, dass das auch schon auf die Geradenbüschel auf dem Fresko, der ersten Bildebene zutrifft. Dass dieser Schluss mathematisch korrekt ist, beruht darauf, dass das Abbilden durch Fotografieren eine projektive Kollineation ist, die Geraden und Schnittpunkte erhält.

Es gibt in der Tat in diesem wertvollen Buch viel Übungsstoff zur Geometrie, zum Kunstunterricht, zur Kunstgeschichte für Schüler, Studenten, Lehrer und Professoren. Der anregende Stoff und das dazu gelieferte Material ist schon deswegen eine gewisse Herausforderung, weil er schon bei der Schilderung eines mit Fresken ausgestatteten Saales so ins Grübeln führt.

Abb. 3 BORROMINIs Kollonade

Aber damit kommt es noch schlimmer. Die nächste Wanderung (B) führt zu BORROMINIs Kollonaden, einem Prachtsstück manieristischer Architektur von illusionistischem Charakter.

Eine Kollonade ist ein überwölbter Zugang zu einem Gebäude oder Innenhof— üblicherweise reich dekoriert durch eine symmetrische Anordnung von Säulen auf beiden Seiten des Korridors (s. Abb. 3). Eine solche Kollonade ist freilich umso prestigeträchtiger, je länger sie ist und da liegt hier der Hase im Pfeffer: BORROMINI baut eine Kollonade, deren reale Dimensionen sich nach hinten verjüngen. Die natürlichen Abmessungen einer im Gegensatz hierzu von vorne bis hinten ebenmässig gebauten Kollonade scheinen sich durch die natürliche Perspektive im Auge der am Eingang stehenden Menschen gesehen, nach hinten zu verkleinern, und durch diese perspektivische Verkürzung bekommt der Betrachter beim Eintreten eine erste Vorstellung von der Länge der Kollonade. Wenn also der Architekt schon bei der Konstruktion eine geeignete progressive Verkleinerung einbaut, wird der Eindruck der subjektiven perspektivischen Verkleinerung verstärkt und die Kollonade wirkt beim Anschauen viel länger als sie in Wirklichkeit ist. Wieviel länger? Anders ausgedrückt: Wie lange müsste eine korrekt gebaute Kollonade (bei der Verfasserin: „die virtuelle Kollonade“) sein, damit sie in normaler perspektivischer Verkürzung dasselbe Bild ergäbe wie „la falsa prospettiva di BORROMINI“? Um diese Frage zu beantworten, brauchen wir nicht mehr als den Strahlensatz, korrekt angewandt (s. Abb. 4):

Abb. 4 Längenbestimmung der „virtuellen Kollonade“

Hier ist \(\overline{PQRS}\) die virtuelle Kollonade, \(\overline{PQ'RS'}\) die BORROMINI-Kollonade, A der Augenpunkt, dessen Höhe bei der Berechnung keine Rolle spielt und dessen Entfernung von der Vorderfassade \(\overline{PR}\) seit früheren Berechnungen durch ROCCO SINISGALLI als \(\delta = 1,625\mbox{m}\) angesetzt wird. (Bis auf mm genau!!) In der Literatur wird die Länge der BORROMINI-Kollonade mit \(L=8,6\mbox{m}\) angegeben¹⁶. Dann ist

\[\overline{F_1F_2}=1,625\mbox{m}+8,6\mbox{m}\cong 10,2\mbox{m (gerundet)}.\]

Wir brauchen noch Informationen über das Verhältnis \(v=(H : h)\) der echten Höhe \(H=\overline{PR}\) der Vorderfassade zu der Höhe \(h=\overline{C'D'}\) der verkürzten Hinterfassade. Mein Ansatz, um wenigstens Größenordnungen zu ermitteln, ist \(v=2,4\)¹⁷. Nun bekommen wir aus dem Strahlensatz (d.h. den Proportionen ähnlicher Dreiecke) das Ergebnis \(2,4=(H : h) = (\overline{QS} : \overline{C'S'})=(\overline{SA} : \overline{S'A}) = (\overline{SF_1} : \overline{F_2F_1})\). Damit wissen wir schon einmal \(\overline{SF_1}=2,4\times \overline{F_1F_2}=2,4\times 10,2\mbox{m}\cong 24,5\mbox{m}\). Folgt man der Verfasserin und bezeichnet die gesuchte Länge \(\overline{RS}\) der virtuellen Kollonade mit \(\lambda\) , dann ist \(24,5\mbox{m}=\overline{SF_1}=\lambda+\delta=\lambda+1,625\mbox{m}\). Wir haben damit die Länge der virtuellen Kollonade berechnet zu¹⁸ 

\[\lambda\cong 22,9\mbox{m}.\]

Bei ANDERSEN heißt es, ROCCO SINISGALLI, ein in diesem Zusammenhang wohlbekannter Kunsthistoriker, habe  \(\lambda\cong 22,9\mbox{m}\) berechnet. Hätten wir \(v=2,16\) angenommen, dann wäre bei uns auch 20,5m herausgekomnen. ANDERSEN selbst schreibt an dieser Stelle: „After extensive study of the literature on the determination of \(\lambda\), I too set out to calculate it. Based on complicated arguments I found that  \(\lambda\) is about 18 meters plus 1.1 times the distance \([\delta]\), in other words 19.8 meters.“¹⁹ Über genauere Angaben ihrer „komplizierten Rechnung“ lässt sie uns im Dunkeln. Wir sehen immerhin, dass die Resultate im Variationsbereich der gegebenenfalls noch genau zu bestimmenden Parameter wie etwa \(v\) vertretbar beieinanderliegen. Die englische Wikipedia behauptet  \(\lambda=37\mbox{m}\) und überschätzt die bei mehreren Rechnungen gefundenen Werte signifikant, während sich die deutsche Wiki auf diese Frage überhaupt nicht einlässt. Glücklicherweise sind BORROMINIs Kollonaden in dem Palazzo Spada eine so berühmte Touristenattraktion, dass „Google Search“ überquillt von einschlägigem Bildmaterial²⁰. Wir diskutieren die Maße eines imaginären Gebäudes, das es nur auf der zweiten Bildebene gibt, und wir bestimmen im Prinzip seine Dimension mathematisch präzise, nachdem erst einmal die Aufgabe präzise formuliert und die real gegebenen Daten bestimmt sind. Der vorliegende Text von KIRSTI ANDERSEN ist wie im ganzen Werk überreich ausgestattet mit historischen und kunsthistorischen Informationen. Er lässt uns aber an dieser Stelle bei der mathematischen Hintergrundserklärung allein, und ich zögere, die Übungsaufgaben 2.4 auf SS. 62 bis 64 als hilfreich zu bezeichnen. Die hier wiedergegebene Rechnung ist unsere; wir haben sie komplett eingesetzt um zu zeigen, dass es sich um einfache Proportionenlehre handelt. Man müsste sich dabei auch hier nicht aufhalten, enthielte der Buchtitel nicht ausdrücklich das Wort „Mathematik“.

Die sogenannten anamorphen Kunstwerke, von denen eines im dritten Ausflug (C) berichtet wird, sind eher Kuriositäten. Bei einer Anamorphose handelt es sich um ein Bild, dessen Inhalt erst erkannt wird, wenn man es aus einem bestimmten, meist ungewöhnlichen Winkel betrachtet, oder zur Betrachtung gewisse Hilfsmittel in Anspruch nimmt. Das einzige mir bisher aus der Kunstgeschichte bekannte Beispiel waren „the Ambassadors“ von Hans Holbein dem Jüngeren²¹. Auch das Internet kommt nicht an diesem Beispiel vorbei, wenn man das geeignete Suchwort bei Google eingibt. Für eine Diskussion des Beispiels (C) in unserer Liste hat die Verfasserin gute sachliche Gründe. Allerdings hält sich meine Begeisterung dafür in Grenzen, und wenn meine Reiseplanung (wie immer) gewissen Beschränkungen unterläge, dann würde ihr dieser Standort zum Opfer fallen²².

Hingegen sollte man das vierte Exkursionsziel auf alle Fälle einplanen: Das fantastische von ANDREA POZZO virtuell ausgemalte Langschiff nebst Kuppelfresko der Jesuitenkirche Sant’Ignazio. Die Deckenfresken und besonders die Scheinarchitektur beim Ausmalen von Kuppeln wurde im Barock hoch entwickelt. Die mathematische Geometrie, die wir im Zusammenhang mit der klassischen Zentralperspektive diskutiert haben, müssen wir neu besprechen: Im „klassischen“ Fall (von ALBERTI bis PERUZZI in (A)) ist die primäre Bildfläche senkrecht auf der horizontalen Grundfläche, auf der wir stehen, und die daher in unserem Gehirn als etwas fest Gegebenes verankert ist. Jetzt stellt sich der Architekt und Maler eine andere Aufgabe: Auf der flachen Decke der Vierung von Sant’Iganzio soll virtuell eine kreiszylindrische virtuelle Architektur mit halbkugelförmigem Abschluss, genannt „eine virtuelle“ Kuppel, errichtet werden und diese soll auf die flache Decke projiziert und dann gemalt werden, und zwar so, dass sie aus einem vom Architekten und Künstler bestimmten Augenpunkt in Bodennähe als „scheinbar real“ wahrgenommen wird. Das Fresko selbst ist an Ort und Stelle zu bewundern. Aber sein Schöpfer POZZO hat zu dieser virtuellen Raumkonstruktion jene überlieferte Konstruktionszeichnung²³ erstellt, die von der Autorin mit großer Detailkenntnis und überzeugender Klarheit diskutiert wird. Im Prinzip geht es dabei überhaupt nicht um die Halbkugel, die eigentliche Kuppel, die ohnehin nicht so sehr viel Dekorationsmaterial liefert, sondern es geht um den sie tragenden Zylinder; als virtuelle Architektur ist dieser mit tragenden Säulen auf seiner Innenfläche ausgestattet. Für die perspektivische Behandlung des Problems hat POZZO im Hinblick auf die Tradition und die Lehre der Zentralperspektive das geometrisch Vernünftige getan: Er dreht die gesamte Konfiguration um 90 Grad um eine horizontale Achse senkrecht zur Symmetrieebene des Baus und studiert somit einen liegenden Kreiszylinder und dessen Zentralperspektive für eine die Basiskreisscheibe enthaltende Bildebene und für einen Augenpunkt knapp oberhalb des ins Unendliche verlängerten Zylinders ²⁴. Dabei erscheinen die Querschnitte des Zylinders als Kreise, deren Mittelpunkte konstruiert und deren Positionen von der Autorin erläutert werden.

Eine Frage freilich bleibt noch unerörtert: Ist der Architekt und Designer POZZO gerechtfertigt in seiner Annahme, eine virtuelle Kreiskontur, wie sie als jeder Querschnitt des konzipierten Zylinders auftritt, werde bei der Abbildung auf die erste Bildebene, nämlich die horizontale Decke²⁵ immer als Kreis abgebildet wie in seinem Entwurf? (S. [2], Seite 43, Figur 4.07.)

In der Tat liefert jede Parallel- oder Zentralprojektion eines Kreises im Raum auf eine Ebene eine Ellipse²⁶. In dem Falle, dass die den Kreis enthaltende Ebene parallel zur Bildebene ist—und nur in diesem—ist die Projektion wieder ein Kreis. Aber genau das ist der Fall bei POZZOs Konstruktion. Zweifel daran könnten nur aus der Tatsache entstehen, dass der Augenpunkt (nämlich das Projektionszentrum einer Zentralprojektion) abseits von der Projektionsachse liegt. Aber die Projektionsrichtung spielt bei der Aussage der Kreiserhaltung keine hinderliche Rolle. POZZO hat recht!²⁷ Und wir stellen fest, dass das Auge im etwas seitlich gewählten korrekten Augenpunkt beim Blick nach oben auf seiner eigenen mitgetragenen zweiten Bildebene alle auf der ersten Bildfläche, der ebenen Vierungsdecke, gemalten Kreise als Ellipsen sieht—genau so wie die Kamera auf Seite x (=römische Ziffer 10) dieses Buches.

Abb. 5 Pozzo malt eine Kuppel auf eine flache Decke in Untersicht

Leider ist der mathematische Kommentar im Buch in „Section 6.4. for Chapter 4“ auf den Seiten 66, 65 graphisch misslungen (s. Abb. 5a).

Die Quelle der Irreführung dürfte in der Figur 6.11 bei der Geraden \(\overline{OA}\) zu suchen sein, die im mathematischen Inhalt von 6.11 keinerlei Bedeutung hat, wohingegen die für die Diskussion wichtige Gerade \(\overline{ON}\) fehlt und eigentlich rot eingezeichnet sein müsste.²⁸ Der fehlende Schnittpunkt \(X\) der zwei Geraden \(\overline{HE}\) und \(\overline{ON}\) in 6.11 muss auch in 6.12 erscheinen, weil der Kreis  um \(\kappa\) mit Radius \(|\overline{L_iM_i}|\) durch diesen in der Vorlage nicht markierten Punkt \(X\) in 6.12 läuft. Der Umstand, dass die Punkte \(X\) und \(A\) so nahe beieinanderlägen, dass sie bei der Zeichengenauigkeit der Zeichnungen im Buch kaum zu trennen wären, ist wohl vermutlich der Grund dafür, dass man auf die Angabe des Punktes \(X\) verzichtet hat. Tatsache ist aber, dass sich die Kreise \(\kappa\) und der grosse Kreis durch \(A\) und \(E\) nicht tangentiell berühren wie BERNINIs Kreise auf dem Petersplatz²⁹ sondern sie sich schneiden (s. Abb. 5b); auf POZZOs eigener Zeichnung³⁰ ist das glasklar.

Die Zeichnung in Figur 6.12 erweckt den Eindruck, sie sei der Grundriss zur Figur 6.11. Das allerdings trifft nicht zu: Eine verpasste Chance! (Vgl. Abb. 5b) Nur noch eine Bemerkung zu diesem Thema: Im den letzten zwei Sätzen des Abschnitts 6.4 auf Seite 67 wird behauptet, der kleine Kreis \(c\) sei das Bild des Querschnitts des Domes in der Höhe \(2k/3\) von der Basis des Domes mit Radius \(k\). Dieser Kreis hat nun den Radius \(\sqrt{5}\times k/3\cong 0.57k\). Dass die Behauptung, die Projektion dieses Querschnitts sei \(c\), damit nicht zutreffen kann, sieht man mit blossem Auge.

Im Buch selbst wird darauf hingewiesen³¹, wo man sich in der Sant’Ignazio aufstellen muss, um im Augenpunkt der kunstvollen Projektion der Vierungskuppel zu sein. Die Fotografie in Figur 4.08 zeigt, wie man von anderen Sichtpunkten, die gar nicht weit vom kanonischen Augenpunkt entfernt sind, einen geradezu anamorphischen Anblick der Kuppel erzwingt. Damit ist ja wohl auch das Kapitel 3 über die Anamorphismen im Ende noch zusätzlich gerechtfertigt.

Die Ausmalung des Mittelschiffs von Sant’Ignazio liefert den Anlass, die brilliante Deckenmalereimalerei POZZO wiederzugeben, besonders die grandiose Apotheose Ignazios fußend auf den Pfeilern der vier Erdteile³² als ein Symbol des weltweiten Wirkens seines Ordens (s. Titelbild). Zu dem Thema der vier Kontinente entsteht wenige Jahre später in der Residenz in Würzburg das geniale Deckenfresko von GIOVANNI BATTISTA TIEPOLO. Dieses soll flächenmäßig das größte Fresko der Welt sein.

Der American Mathematical Society und der Mathematical Association of America ist zu danken, dass sie diese inspirierende Vorlage der Mathematik- und Kunsthistorikerin KIRSTI ANDERSEN in ihrer Spectrum-Serie veröffentlicht und damit einer großen interessierten Lesergemeinde zugänglich gemacht haben. Der Umstand, dass ich mir bei der Behandlung mathematischer Hintergründe des Stoffes manchmal etwas größere Klarheit, Zuwendung zum Detail, und Präzision gewünscht hätte, fällt nicht ins Gewicht gegenüber meiner Bewunderung für die historische Detailgenauigkeit und Vernetzung der mit großer Sachkenntnis und mitreißender Bebilderung ausgewählten Beispiele zur Entstehung der Zentralperspektive in der Kunstgeschichte. Konkret ausgedruckt: Das Buch ist sehr wohl geeignet, dem kulturinteressierten Romreisenden zur Anregung und Wegweisung zu dienen, wie auch schon sein Untertitel ankündigt. Es enthält in der Tat auch einen Stadtplan mit dem öffentlichen Verkehrsnetz von Rom. Ich komme zu dem Schluss, dass dieses Buch den praktizierenden Lehrkräften im Geometrieunterricht von der Mittelstufe an bis ins Grundstudium hinein, im US-amerikanischen Unterrichts- und Studiensystem bis zur Stufe eines Bachelor degrees, ausgiebiges Material zur Motivierung und Übung an die Hand gibt. In einer Neuauflage sollten einige meist harmlose Druckfehler³³ beseitigt werden. Man sagt den Mathematikern nach, sie seien besonders der Musik zugewandt: „Scratch a mathematician: find a musician!“ Die Veröffentlichungen von KIRSTI ANDERSEN tragen dazu bei, dass man zitieren sollte: „Scratch a mathematician; find an artist“ oder auch „an art historian“.

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¹ [1], S. 730.
² [1], pp. 723ff.
³ L.B.ALBERTI 1434, de Pictura.
⁴ [2], 2019, ix+80 Seiten.
⁵ [1], 2007.
⁶ [3].
⁷ LEON BATTISTA ALBERTI,De pictura, 1435.
⁸ «trompe l’oeil»ist der so offenbar nur im Französischen existierende Fachausdruck.
⁹ no pun!
¹⁰ Was die Autorin hierzu meint, sagt sie auf Seite 13, Spalte 1.
¹¹ Da die Halle drei bemalte zu einander entweder parallele oder orthogonale Wände hat, muss es auf dem Fussboden zwei orthogonale Geraden geben, die sich senkrecht unter dem gemeinsamen Augenpunkt schneiden.
¹² Wenn ich mit meinem Handy am Strand am Meer stehe und mit meinem Handy das Meer fotografiere, dann ist das Handy der Augenpunkt. Auf dem Meer stehen viele Surfer meiner Größe auf Ihrem Paddelbrett und paddeln umher, fern und nah, überall. Auf meinem Foto läuft der Horizont genau durch die Augen aller auf dem Foto sichtbaren Surfer, vorausgesetzt ihre Körpergrösse entspräche der Höhe des Handys bei der Aufnahme. Wenn ich auf einem Berg stehe, ist alles ganz anders, s. z.B. [1], S. 487.
¹³ Cf. [1] pp. 3–15, and p.179.
¹⁴ Wer mehr Bildmaterial über die Sala delle prospettive in der villa faresina anschauen möchte, der findet es via Google im Internet.
¹⁵ Figur 1.13 auf S. 13
¹⁶ Wikipedia,engl., unter „forced perspective“.
¹⁷ Dafür habe ich unter den zahlreichen Fotografien im Internet eine herausgesucht, die eine Person \(X\) auf der Vorderfassade \(\overline{PR}\) und eine gleichgrosse Person \(Y\) auf der Hinterfassade \(\overline{C'D'}\) zeigt. Auf der Fotografie messe ich das Verhältnis \( \overline{PR} : |X| \) als \( (13 : 4) \) beziehungsweise \( \overline{Q'S'} : |Y| \) = \(( 3,4 :2,5 )\); damit bekomme ich \(v=(13\times 2,5)/(4\times 3,4)=2,39\mbox{m}\) auf zwei Kommastellen, gerundet 2,4m.
¹⁸ Unsere Formel war:  \(\lambda=v(L+\delta)-\delta=vL+(v-1)\delta\). Man sieht, dass die Information über das
Verhältnis \(v\) erwarteterweise wesentlich ist. Auch präzisere Angaben werden sie wohl immer knapp über 2 ansetzen.
¹⁹ S. 21, Spalte 2.
²⁰ vielleicht auch unter Stichwörtern wie colonne prospettive — La falsa prospettiva, Borromini, forced perspective — die Nutzer wissen ohnehin, wie hier ein Wort ins andere führt!
²¹ London National Gallery.
²² Für weitere kunsthistorische Details s. [1], pp. 452–457.
²³ Fig. 4.07, s. auch [1], pp. 388–394.
²⁴ Fig. 4.07.
²⁵ AD.
²⁶ abgesehen von dem Entartungsfall, dass die Projektionsrichtung in der Ebene selbst liegt.
²⁷ und ist korrekt beschrieben in [1], pp. 386–394.
²⁸ Es fehlt auch die horizontale Fortsetzung der blauen Geraden MN nach links bis zur vertikalen Geraden OH, ohne welche die in Übungsaufgabe 4.1. angesprochenen „similar triangles“ nicht vollständig sichtbar sind. Übrigens sollte in der Übungsaufgabe die Referenz auf Figur 6.11 verweisen und nicht auf 6.12!
²⁹ (s. Seite 27, Figur 2.11).
³⁰ (s. Seite 43, Figur 4.07).
³¹ Seite 44, Spalte 1.
³² Fig. 4.09-4.13, s. auch S. 36, ganzseitig
³³ Seite 7, Spalte 1, Zeile-4 [easily]; Seite 8, Spalte 1, Zeile 9 [Following]; Seite 20, Spalte 1, Zeile 13 [line through I2]; Seite 27, Spalte 2, Zeile 5 [arcs]; auf Seite 26, Spalte 3 ist der Name des auf den Seiten 12, 13 eingeführten SEBASTIANO SERLIO dreimal hinereinander falsch gedruckt; Seite 29, Spalte 2, Zeile 10 [Louis]; Seite 30, Spalte 2, Zeile 3v.u. [Klammer?]; Seite 41, Spalte 1, Zeile 14v.u. [plane]; Seite 44, Spalte 1, Zeile 2 [replace „vertical“ by „horizontal“]; Seite 66, Spalte 2, Zeile 9v.u. [6.11 statt 6.12].

Literatur
1. Andersen, K.: „The Geometry of an Art,“ The History of the Mathematical Theory of Perspective from Alberti to Monge, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Science. Springer, xxxvii, S. 812 (2007)
2. Andersen, Kirsti, „Optical Illusions in Rome,“ A Mathematical Travel Guide, AMS/MAA Spectrum 99 Amer.Math.Soc., Providence, R.I., 2019, x+80 pp.
3. Field, J.V.: „The Invention of Infinity“—Mathematics and Art in the Renaissance. Oxford University Press, xii, S. 250 (1997)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, 2020, Band 67, Seiten 311-322.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags.

Rezension: Karl Heinrich Hofmann (Darmstadt)

Heinz Klaus Strick

Springer; 1. Aufl. 2020 Edition (29. April 2020), 399 Seiten, 24,99 €
Kindle-Version: 19,99 €
ISBN-10: 3662604485
ISBN-13: 978-3662604489

Da hat der Verfasser mit diesem Buch wieder einen „echten Strick“ herausgebracht. Wer auch nur eines seiner drei Bücher über „schöne Mathematik“ kennt, erwartet auch hier wieder ein detailreiches, überaus anschaulich und klar formuliertes Werk – und er wird nicht enttäuscht. Bereits das Layout regt zum ausführlichen und genauen Hinschauen an: farbige Grafiken und Zeichnungen, übersichtlich organisierte Tabellen, immer mit unterschiedlichen Farben gegliedert, sowie Textabschnitte, je nach Typ farblich unterlegt.

Die Faszination der Mathematik ist das Thema des Autors und er zeigt ihre Bedeutung auch in „Kleinigkeiten“, zum Beispiel in der erstaunlich großen Zahl der Abbildungen von Briefmarken, die im Text eingestreut sind und die zeigen, welche Bedeutung der Mathematik in vielen Ländern zukommt.

Jedes der 18 Kapitel ist einem Mathematiker gewidmet. Die Auswahl beginnt mit der griechischen Antike und zwei berühmten Namen (Pythagoras, Archimedes), die vielen von der Schule her bekannt sein dürften. Aus dem Mittelalter werden – mir bisher auch in der Mathematik eher als „finster“ bekannt – fünf herausragende Mathematiker vorgestellt: alle kommen aus dem arabisch-persischen Raum. Hier wird deutlich, dass die arabisch-islamische Forschung den Wissensschatz der Antike übernommen, weiter entwickelt und schließlich in das mittelalterliche christliche Europa transferiert hat. So konnten dann Italiener als erste die Mathematik auch hier voranbringen – sie folgen daher als nächste in diesem Buch, bevor sich zehn weitere große Namen (Engländer, Franzosen und Deutsche) anschließen.

Alle Kapitel können voneinander unabhängig gelesen werden und da sie konsequent in derselben Weise gegliedert sind, lassen sich sogar einzelne Abschnitte der Kapitel herausgreifen und miteinander in Beziehung setzen. So enthält stets der zweite Abschnitt eine kurzgefasste Lebensgeschichte. Dadurch kann man sich beispielsweise schnell über die biografischen Daten verschiedener Männer informieren, wie etwa Descartes, Fermat und Pascal, die in derselben Zeit gelebt und miteinander korrespondiert haben.

Die zum Verständnis der Mathematik notwendigen Vorkenntnisse gehen (laut Vorwort) nur selten über schulische Kenntnisse der Oberstufe hinaus, und wenn das doch der Fall ist, gibt der Autor – wie beispielsweise zum Thema „Kettenbrüche“ – etwas ausführlichere Beispiele. Wie denn überhaupt die Argumentation stets Beispiel gebunden erfolgt und nicht etwa abstrakte Beweise geführt werden.

Der erste Abschnitt eines jeden Kapitels präsentiert – dem Buchtitel folgend – unter dem Stichwort „einfach genial“ eine zentrale mathematische Idee, die eine völlig neue Lösung eines bekannten mathematischen Problems ermöglichte. So entwickeln Pythagoras und seine Schüler die überaus anschauliche Idee der figurierten Zahlen: Punktmuster stellen einfache zahlentheoretische Zusammenhänge überzeugend dar und reichten den „alten“ Griechen als Beweis völlig aus.

Genial ist tatsächlich auch die Methode mit der Khayyam mit Hilfe von Kegelschnitten Gleichungen dritten Grades löst – Jahrhunderte bevor Tartaglia seine Lösung auf andere Weise, aber ebenfalls mit Hilfe geometrischer Anschauung durch Verallgemeinerung der Methode von al-Khwarizmi für quadratische Gleichungen findet. Und um so größer muss die Bewunderung für diese kreativen Ansätze sein, wenn man sich klar macht – wie es der Autor auch mehrfach anmerkt – dass nicht die uns heute vertraute mathematische Formelsprache existierte.

Sehr interessant ist zu erfahren, welche Ideen es vor Leibniz und Newton für die Aufgaben der Differential- und Integralrechnung gab, und spannend, diese Ideen zu vergleichen. So werden in diesem Buch für das Problem der Berechnung von Flächeninhalten Methoden bei Archimedes (Exhaustionsprinzip), Fermat und Pascal, für das Tangentenproblem Lösungen von Descartes (mit Hilfe von Kreisen) und Fermat  vorgestellt.

Über die „genialen Ideen“ hinaus werden im dritten Abschnitt eines jeden Kapitel weitere Themen aufgeführt, mit denen sich die jeweiligen Mathematiker beschäftigt haben. Strick zieht bei diesen Problemen häufig Verbindungen zu den Vorarbeiten anderer Wissenschaftler und ordnet deren Bedeutung historisch ein. So findet man in diesen Teilen insgesamt eine großartige Zusammenstellung vieler höchst bedeutender mathematischer Entdeckungen.

Nicht verwunderlich ist es, dass Euler, „zweifelsohne der produktivste Mathematiker aller Zeiten“ mehr Seiten als alle anderen beansprucht. Allerdings überrascht mich, dass die Wahl für die geniale Lösung auf das sogenannte Basler Problem (Bestimmung des Grenzwerts der Reihe der reziproken Quadratzahlen) fiel, hat doch gerade Euler in besonderem Maße sehr viele Entdeckungen gemacht, die bekannter und für mich beeindruckender sind.

Nicht unerwähnt bleiben darf die Liste der Literaturhinweise, die jedem Kapitel angefügt sind. Meist noch mit einem kurzen Kommentar versehen werden Buch- und Internetquellen genannt, insbesondere auch die passenden Stichworte zu Wikipedia-Artikeln aufgezählt.

Die Auswahl gerade dieser 18 genialen Ideen für dieses Buch muss dem Verfasser sicher schwer gefallen sein, fallen mir doch spontan viele weitere große Namen ein wie Euklid, Leibniz, Newton, Gauß, Riemann, Hilbert. Da kann man sich hoffentlich bald auf einen Folgeband freuen.

Diese Rezension erschien zuerst bei spektrum.de.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Adam Kucharski

S. Hirzel Verlag; 1. Edition (13. Oktober 2020), 344 Seiten, 26 €
Kindle-Version: 22,90 €
ISBN-10: 3777629049
ISBN-13: 978-3777629049

Vor einem Jahr noch hätten viele Menschen recht wenig oder gar nichts anfangen können mit Begriffen wie Reproduktionszahl, Herdenimmunität, Clusterbildung und Superspreader. Jetzt im November 2020 treten sie fast täglich in Zeitungs-, Radio- und Fernsehberichten auf. Bei Google wird die Anzahl der Suchergebnisse zum Begriff „Superspreader“ mit rund fünfeinhalb Millionen angezeigt und zum deutschsprachigen Begriff „Reproduktionszahl“ mit immerhin noch 870.000 (17. 11. 2020, 16 Uhr).

Da hat Adam Kucharski mit seinem Buch den Nerv der Zeit getroffen. Der Autor hat Mathematik und Epidemiologie studiert und unterrichtet jetzt als Professor an einer Londoner Universität, wo er Ausbruchsverläufe von Infektionskrankheiten mit Hilfe mathematischer Verfahren analysiert. Demzufolge bildet das Phänomen der Ansteckung bei Epidemien einen Schwerpunkt in diesem Buch. Es werden Ansteckungseffekte aber nicht nur in medizinischen, sondern auch - der Untertitel deutet das schon an - in weiteren, davon ganz verschiedenen Bereichen wie der Soziologie, Psychologie und der Finanzwirtschaft untersucht und beschrieben.

Die historische Entwicklung der mathematischer Modellierung von Infektionskrankheiten beginnt Ende des 19. Jahrhunderts am Beispiel der Malaria mit dem englischen Arzt Ronald Ross, der schon im Jahre 1902 den Medizin-Nobelpreis erhielt für seine Untersuchungen, „durch die er nachwies, wie die Krankheit in den Organismus gelangt“ - so damals die Begründung des Nobelkomitees. Seine Anregungen wurden in den 1920iger Jahren von zwei englischen Ärzten wieder aufgenommen, sie entwickelten ein mathematisches Modell, das sogenannte SIR-Modell, das eine Bevölkerung nach ihrem Gesundheitsstatus in drei Kategorien aufteilte: Personen die empfänglich (susceptible), ansteckend (infectious) oder genesen (recovered) sind. Diese Merkmale liegen auch den heutigen Modellierungen noch zugrunde.

Der Autor beschreibt die weitere Entwicklung der Epidemiologie nicht kontinuierlich, sondern stellt sie an den Stellen im Buch vor, an denen sie sich von der Sache her ergeben: nämlich da, wo sie benötigt werden, um die Verbreitung und Eindämmung „moderner“ durch Viren verursachter Epidemien wie z. B. HIV, Dengue-Fieber, Ebola oder Zika zu verstehen. Diese Vorgehensweise von Kucharski ist, wie ich meine, sehr geschickt; der Text lässt sich bei aller Wissenschaftlichkeit leicht und spannend lesen.

Für den Laien verblüffend ist, dass sich mit demselben „Werkzeugkasten“ Ereignisse wie Börsencrashs, Terroristen-Bewegungen wie dem IS, die Verbreitung von wissenschaftlichen Erkenntnissen genau so wie von Werbe-Aktionen und Fake News beschreiben und prognostizieren lassen.

Und so ist es nur konsequent, dass Epidemiologen z. B. bei der Analyse und Bewältigung der Finanzkrise von 2007/2008 eingesetzt wurden. Denn die Finanzschwierigkeiten der Banken haben sich von einer zur anderen verbreitet oder deutlicher: die eine hat die andere infiziert. Solche Ereignisse zu untersuchen, ist das tägliche Brot von Epidemiologen.

Aber auch für die Analyse von Beziehungen in sozialen Kontexten sind diese Wissenschaftler als Fachleute gefragt. Kontakte zwischen Menschen treiben solche Ansteckungseffekte mit ähnlichen Mechanismen voran: das gilt für elementare Ereignisse wie Gähnen („Gähnen ist ansteckend!“) oder Lachen genau so wie für die Akzeptanz von Innovationen bis hin zur Verbreitung wissenschaftlicher Erkenntnisse oder umgekehrt auch deren Leugnung. Besondere Bedeutung haben solche Prozesse durch das Internet, die zunehmende Kommunikation mit E-Mails (nach dem Jahr 2000) und durch die sozialen Medien (ab 2010) gewonnen.

Schon in der „Frühzeit“ der PC‘s in den 1980iger Jahren macht eine neue „Art“ von Viren Furore: Computerviren (und andere Malware wie Würmer) bedrohen zunächst einzelne Computer (verbreitet durch Disketten) und später über das Internet z. B. per Mail  sehr schnell ganze Computernetze (die Malware erhält hier weitere Vertreter wie z. B. Bots oder Trojaner). Ansteckungswege über Rückverfolgung aufzudecken, das ist hier dieselbe Methode wie bei einer Pandemie.

Während es dort darum geht, Infektionen möglichst zu vermeiden, ist man in anderen Bereichen sehr daran interessiert „Ausbrüche“ effektiv voranzutreiben. Kucharski beschreibt eindrucksvoll, mit welchen Methoden personalisierte Werbung betrieben wird. Genauso interessant sind die Verfahren, mit denen Informationen und – schlimmer und erschreckend – Desinformationen über soziale Medien und Kanäle wie Youtube verbreitet werden. Algorithmen bieten dem Nutzer z. B. Nachrichten (Newsfeed bei Facebook) oder Videos (Youtube) an, von denen zu erwarten ist, dass sie bei diesem auf Interesse stoßen und ihn zu weiterem Clicks „verführen“ – so  entstehen die oft beklagten „Echokammern“ bzw. „Filterblasen“.

Auf Social-Media-Plattformen wird untersucht, mit welcher Verdoppelungszeit sich eine Nachricht verbreitet, die Reproduktionszahl dient als wichtige Kennzahl nicht nur bei Pandemien, sondern auch bei Werbekampagnen. Auch bei der Prävention von Gewalt (angefangen bei Jugendkriminalität, über Amokläufe bis hin zu den Aktionen des IS) sucht man nach Superspreading-Effekten. Und „Herdenimmunität“ kann auch bei der Verbreitung eines neuen Internetspiels entstehen.

Dem Autor gelingt es überzeugend, die in der Medizin und Epidemiologie entwickelten Verfahren zur Ausbreitung und Eindämmung an Beispielen zu erläutern und dabei zu demonstrieren, wie hilfreich diese Instrumente auch für andere Gebiete sind. Dabei braucht er keine mathematische Formel (mit einer einzigen Ausnahme), Grafiken veranschaulichen seine Erklärungen gut. Der hohe Grad an Wissenschaftlichkeit wird durch die große Anzahl von Fußnoten (ca. 600) belegt, zum Glück sind sie nicht auf den einzelnen Seiten, sondern im Anhang aufgeführt.

Das Buch ist spannend und hochinformativ von der ersten bis zur letzten Seite.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Fabio Toscano

Princeton University Press 2020, VIII + 161 Seiten, 24,95 €
ISBN: 978-0-691-18367-15

Im Jahr 1202 veröffentlichte Leonardo von Pisa, auch bekannt unter dem Namen Fibonacci, sein Buch Liber Abaci, den ersten westlichen Text, in dem der Umgang mit den indisch-arabischen Zahlen erklärt wird. Dieses Buch steht am Anfang der Tradition der italienischen Abakisten, die die „neuen“ Rechentechniken weiterverbreiteten. Gestützt auf an praktischen Problemen orientierten vereinfachten Fassungen des Liber Abaci unterrichteten sie hauptsächlich zukünftige Kaufleute an speziellen Schulen, nicht an den noch jungen Universitäten. Im Wettbewerb um Renommee und zahlungskräftige Schüler entwickelte sich eine Art „Duellkultur“, in der Abakisten sich gegenseitig Rechenaufgaben stellten, die innerhalb einer vereinbarten Frist gelöst werden mussten. Gewonnen hatte das Duell, wer mehr Aufgaben gelöst hatte. Natürlich waren nur solche Aufgaben zulässig, die der Aufgabensteller selbst lösen konnte.

Die Geschichte, die Toscano erzählt, ist die der Entdeckung der Lösungsformel für kubische Gleichungen, das heißt Polynomgleichungen dritten Grades (in einer Variablen) Anfang des 16. Jahrhunderts. Die Hauptprotagonisten dieser Geschichte sind Niccolo Tartaglia (1499/1500–1557), ein Abakist, der 1535 die Lösungsformel für einen Spezialfall fand, und Gerolamo Cardano (1501–1576), ein Arzt und Universalgelehrter, der 1545 die Lösungsformeln für allgemeine kubische und biquadaratische (d. h. 4. Grades) Gleichungen veröffentlichte.

Luca Paccioli (ca. 1445–1514), ein hochangesehener Mathematikprofessor aus der Toskana, hatte 1494 in seinem Hauptwerk Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità behauptet, es gäbe keine Lösungsformel für kubische Gleichungen. Aufgrund dieses Diktums musste Tartaglia erst durch einen konkurrierenden Abakisten dazu gebracht werden, die Existenz einer Lösungsformel in Betracht zu ziehen. Mithilfe seiner Lösungsformel für einen Spezialfall konnte Tartaglia 1535 einen anderen Abakisten vernichtend schlagen, der ihm 30 Aufgaben gestellt hatte, die alle auf kubische Gleichungen führten. Das brachte Tartaglia Ruhm und die Aufmerksamkeit von Cardano, dem er auf intensives und wiederholtes Drängen seine Lösungsformel 1539 unter dem Siegel der Verschwiegenheit überließ, was er aber umgehend bereute. Cardano entwickelte auf der Basis von Tartaglias Spezialfall eine allgemeine Lösungsformel für kubische Gleichungen und teilte seine Einsichten mit seinem Schüler Lodovico Ferrari (1522–1562), der daraufhin die Lösungsformel für biquadratische Gleichungen fand. Als Cardano und Ferrari 1542 herausfanden, dass der Spezialfall von Tartaglia schon 1526 von dem Bologneser Mathematikprofessor Scipione del Ferro (1465–1526) gefunden worden war, sah sich Cardano nicht mehr an sein Geheimhaltungsversprechen gebunden und veröffentlichte die Lösungsformeln 1545 in seinem Buch Artis Magnae Sive de Regulis Algebraicis.

Soweit die durch umfangreiche Quellen abgesicherten und lange bekannten Fakten. Der Wissenschaftsjournalist Fabio Toscano erzählt sie als eine spannende Geschichte von Ehrgeiz und Misstrauen, Arroganz und Regelverstößen, Enttäuschungen, unerwarteten Wendungen und einem finalen Showdown in sechs Kapiteln:

1. The Abbaco Master
2. The Rule of the Thing
3. The Venetian Challenge
4. An Invitation to Milan
5. The Old Professor’s Notebook
6. The Final Duel

Dass Toscano gerne zugespitzt formuliert, kann man schon am Vorwort¹ erkennen, in dem heißt, vor den geschilderten Entdeckungen hätte es 3.000 Jahre keine signifikanten Fortschritte in der Algebra gegeben. Als hätten Euklid und Diophant, Bramagupta und al-Khwarizmi nie existiert. Im Haupttext erfährt man dann, dass Toscano mit diesen Namen sehr wohl vertraut ist. Man kann aus seinen Erläuterungen schließen, dass er die 3.000 Jahre zwischen den ersten babylonischen Tontafeln, in denen es um quadratische Gleichungen geht, und der Entdeckung der Lösungsformel für kubische Gleichungen meint.

Auch wenn die Lösungsformeln für kubische und biquadratische Gleichungen vielleicht nicht ganz die von Toscano behauptete Bedeutung für die Algebra haben, so ist ihre Entdeckung doch ein sehr wichtiges Ereignis. Diese Formeln stehen für den Eintritt Westeuropas als Akteur in die Geschichte der Mathematik. Die Frage nach dem nächsten Schritt (Gleichungen 5. Grades) hat großartige mathematische Entwicklungen motiviert.

Trotz der manchmal etwas reißerischen Darstellung ist The Secret Formula nicht nur ein gut zu lesendes, sondern auch ein informatives Buch mit einer Reihe von interessanten kulturhistorischen Exkursen und einer Vielzahl von Quellenangaben und weiterführenden Referenzen. Insbesondere lässt Toscano die Protagonisten recht ausführlich selbst zu Wort kommen². Die mathematischen Inhalte rund um die Lösungsformeln werden für Laien mit Kenntnissen gymnasialer Mathematik sorgfältig erklärt. Ich wünsche dem Buch eine breite Leserschaft.

Funding Open Access funding provided by Projekt DEAL.

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¹ Es handelt sich um die Übersetzung des Vorworts zur italienischen Originalausgabe von 2009. Es wird
in diesem Vorwort auch der Künstlerin Andrea Morando für die Umschlagsgestaltung gedankt. Ich füge
dieser Besprechung auch die Titelseite der italienischen Ausgabe hinzu, auf der man die Tartaglia’s
Lösungsformel in moderner Notation und in der von ihm produzierten Gedichtform sehen kann. Der Umschlag
der englischen Übersetzung zeigt Cardano (links) und Tartaglia. Er wurde von C. Alvarez-Gaffin
gestaltet.

² Es existieren Briefe, öffentliche Verlautbarungen und autobiographisches Material.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, 2020, Band 67, Seiten 307-309.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags.

Rezension: Joachim Hilgert (Paderborn)

David M. Bressoud

Princeton University Press 2019, XVI + 221 Seiten, 24,99 €
Sprache: Englisch
ISBN: 978-0-691-18131-8

David Bressoud unterrichtet Mathematik am Macalester College in St. Paul Minnesota. Insbesondere kennt er die Unterrichtspraxis für das Fach Calculus an amerikanischen Universitäten sehr genau. Der Titel Calculus Reordered – A History of the Big Ideas ist ein Versprechen. Es geht Bressoud darum zu erklären, dass „Calculus“ sich nicht in mechanistischen Flächen- und Volumensberechnungen erschöpft und die Ableitung mehr ist als die Steigung einer Tangente. Er zieht aus seinen Überlegungen auch Schlüsse für die Lehrpraxis, denen er einen Anhang „Reflections on the Teaching of Calculus“ gewidmet hat.

Bressouds Ansatz ist es Schlüsselideen in der Entwicklung der Infinitesimalrechnung historisch einzuordnen und damit für den durch die gängige Lehrpraxis geprägten Leser besser sichtbar zu machen. Sein „Reordering“ besteht darin, diese Schlüsselideen in der historischen Reihenfolge vorzustellen. Dementsprechend fängt er mit der Integration an. Er wählt den Namen „Accumulation“ für Integration um deutlich zu machen, dass es ganz allgemein um die Aufsummierung infinitesimaler Bestandteile geht, nicht nur um Flächen und Volumina. Er beginnt mit Archimedes und beschreibt diverse Beiträge zur Berechnung von Flächen, Volumina und Drehmomenten auch aus der islamischen Phase und dem 17. Jahrhundert in Westeuropa (Cavalieri, Toricelli, Fermat). Er geht aber auch ausführlich auf die Entdeckung des Konzepts einer Momentangeschwindigkeit und die Methode zurückgelegte Wege aus Geschwindigkeit zu berechnen ein (Rektifizierung von Kurven). Das führt ihn zur Himmelsmechanik, Galileo, Huygens, Kepler und Newton.

Auch für die Differentiation wählt Bressoud einen alternativen Namen: „Ratios of Change“. Er betont dabei, dass Astronomen mit Änderungsraten gearbeitet haben lange bevor man Steigungen von Tangenten berechnet hat. Er geht dabei insbesondere auf die Abhängigkeit von Kreissekanten vom Winkel ein und somit auf die Entwicklung der Winkelfunktionen (Hipparchus, Aryabhata). Ein anderes Beispiel für die frühe Untersuchung von Änderungsraten ist die Erfindung von Logarithmen durch Napier Anfang des 17. Jahrhunderts, die ausdrücklich dem Ziel diente Multiplikationen in Additionen umzuwandeln. Das dritte Beispiel ist die Analytische Geometrie, die im 17. Jahrhundert als Synthese der indisch-arabischen Algebra und der griechischen Geometrie entstand (Descartes, Fermat) und auf schon modern anmutende Probleme wie die Bestimmung von Extrema und Tangenten gekrümmter Kurven führte. Bressoud geht dann auf weitere Wegbereiter für Newton und Leibniz ein, die sich mit der Arithmetik infinitesimaler Änderungsraten beschäftigten (Wallis, Gregory, Huygens). Als zentrale Leistung von Newton und Leibniz sieht Bressoud deren Herausstellung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung als Brücke zwischen Differentiation und Integration.

Die letzten Abschnitte des Kapitels über Änderungsraten sind den Weiterentwicklungen der Differentialrechnung hin zu den Differentialgleichungen (gewöhnlich und partiell) gewidmet. Sie werden anhand einiger Beispielprobleme von zentralen Akteuren wie den Bernoullis, Euler, Laplace und schließlich Maxwell beschrieben. Begrifflich geht der Autor hier nur auf die Entwicklung des Funktionsbegriffs, insbesondere in Eulers Lehrbüchern, näher ein.

Die letzten drei Kapitel des Buches entfernen sich vom Thema „Calculus“ als Kalkül und bewegen sich in Richtung Analysis. Für den im deutschen Lehrbetrieb ausgebildeten Mathematiker sind die Betonungen, die der Autor hier in seiner Namensgebung setzt, wenig überraschend: Das dritte Kapitel des Buches ist unendlichen Reihen mit Schwerpunkt auf Taylorreihen gewidmet und mit „Sequences of Partial Sums“ überschrieben. Im Zentrum des vierten Kapitels, das mit „The Algebra of Inequalities“ überschrieben ist, steht die Epsilontik. In diesem Kapitel wird das Ringen um mathematische Strenge im 19. Jahrhundert thematisiert, insbesondere die Beiträge Cauchys. Unter anderem geht es um den Zwischenwertsatz, in dessen Umfeld die Bedeutung der Stetigkeit erkannt wurde. Das letzte Kapitel heißt einfach „Analysis“ und greift einige isolierte Themen auf, wie die Integrierbarkeit von Funktionen, Gegenbeispiele zum Hauptsatz, Elliptische Funktionen oder die Cantor- Mengen.

Der Anhang zur Unterrichtspraxis im Fach „Calculus“ ist letztlich ein Plädoyer dafür, dieses Fach so zu unterrichten, dass es anschlussfähig für Folgeveranstaltungen zum Thema Analysis ist. Im deutschen Lehrkontext ist dies vor allem für die Gestaltung des Analysisunterrichts in der gymnasialen Oberstufe von Interesse. Die Betonung der Inhalte hat sich hier in den letzten Jahrzehnten eher in die umgekehrte Richtung, weg von der Analysis, hin zum mechanistischen Kalkül verschoben.

Bressouds Buch ist keine umfassende Geschichte der Infinitesimalrechnung. Historisch interessierte Leser, die zum Beispiel mit „Analysis by its History“ von Ernst Hairer und Gerhard Wanner vertraut sind, erfahren hier nicht viel Neues. Aber sein Ansatz Schlüsselideen des Gebiets in ihrer Entstehungsgeschichte zu beschreiben, die mit bestimmten Personen und von ihnen studierten Problemen zusammenhängen, bietet jedem Leser eine interessante Perspektive. Er regt dazu an, über die Genese eines im Lehrbetrieb oft genug statisch, ja erstarrt, wirkenden Themas nachzudenken. Ich wünsche dem Buch eine breite Leserschaft in Schule und Universität.

Funding Open Access funding provided by Projekt DEAL.

Open Access Dieser Artikel wird unter der Creative Commons Namensnennung 4.0 International Lizenz veröffentlicht, welche die Nutzung, Vervielfältigung, Bearbeitung, Verbreitung und Wiedergabe in jeglichem Medium und Format erlaubt, sofern Sie den/die ursprünglichen Autor(en) und die Quelle ordnungsgemäß nennen, einen Link zur Creative Commons Lizenz beifügen und angeben, ob Änderungen vorgenommen wurden. Die in diesem Artikel enthaltenen Bilder und sonstiges Drittmaterial unterliegen ebenfalls der genannten Creative Commons Lizenz, sofern sich aus der Abbildungslegende nichts anderes ergibt. Sofern das betreffende Material nicht unter der genannten Creative Commons Lizenz steht und die betreffende Handlung nicht nach gesetzlichen Vorschriften erlaubt ist, ist für die oben aufgeführten Weiterverwendungen des Materials die Einwilligung des jeweiligen Rechteinhabers einzuholen. Weitere Details zur Lizenz entnehmen Sie bitte der Lizenzinformation auf http://creativecommons.org/ licenses/by/4.0/deed.de.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, 2020, Band 67, Seiten 297–299.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags.

Rezension: Joachim Hilgert (Paderborn)