Leseecke

Daniel Grieser

Springer Spektrum 2017, 2. Auflage, XIII + 321 Seiten
ISBN: 978-3658147648, 25,00 €
e-Book ISBN: 978-3-658-14765-5, 19,99 €

Das vorliegende Buch ist eine insbesondere im Aufgabenteil erweiterte Neuauflage des gleichnamigen Textes von 2013. Es ging aus einer 2011/2012 in Oldenburg gehaltenen Vorlesung hervor, die sich an Studierende in der Studieneingangsphase richtete. Dementsprechend werden keine Kenntnisse in Hochschulmathematik vorausgesetzt. Im Gegenteil, selbst typische Inhalte der Oberstufenmathematik spielen allenfalls in Randbemerkungen eine Rolle. Dafür sollten die Leser aktiv über die Mittelstufenmathematik verfügen können. Insbesondere sind der sichere Umgang mit algebraischen Termen und das Umstellen von Gleichungen Voraussetzung für eine gewinnbringende Lektüre. Das übergeordnete Ziel, das der Autor mit dem Buch verfolgt, ist es, die Leser in grundlegende mathematische Denkweisen einzuführen. Seine Strategie zur Aktivierung des Publikums ist es die Gedankengänge durch Probleme zu motivieren und im Rahmen der Lösungen dieser Probleme zu erläutern. Dabei führt er vorsichtig dosiert auch einige für Abiturienten in der Regel neue Begriffe ein, nicht ohne explizit auf die Bedeutung von Begriffsbildung für mathematisches Problemlösen und mathematische Theorie einzugehen.

Nach einem einführenden Kapitel sind die meisten der zehn weiteren Kapitel je einem Thema gewidmet, das man in einer 90-Minuten Vorlesung behandeln kann. Im Einzelnen sind dies:

• Rekursion 
• Induktion 
• Graphen 
• Abzählen 
• Elementare Zahlentheorie 
• Schubfachprinzip 
• Extremalprinzip 
• Invarianzprinzip

Die Kapitel zum Extremalprinzip und zum Invarianzprinzip fallen dabei etwas aus dem Rahmen, da diese Prinzipien, so wie der Autor sie einführt, weniger präzise gefasst sind als die anderen Themen. Mit Extremalprinzip ist hier gemeint, dass Lösungen eines mathematischen Problems, die in Bezug auf irgendeine Eigenschaft extremal sind, oft Zusatzstrukturen tragen, die das Auffinden dieser Lösungen erleichtern. Mit Invarianzprinzip ist gemeint, dass man versucht den relevanten mathematischen Objekten (wie zum Beispiel Konstellationen eines Brettspiels) Größen zuzuordnen, die sich unter einem vorgegeben Satz von Modifikationen (Spielzüge) nicht ändern, das heißt invariant bleiben. Nimmt so eine Invariante auf zwei Objekten unterschiedliche Werte an, können die Objekte nicht gemäss den Spielregeln ineinander übergeführt werden.

In der Mitte des Buches gibt es zwei Querschnittskapitel über Problemlösestrategien sowie über Logik und Beweise. Das Buch verwendet Mengenschreibweisen, die auch in einem Anhang zusammengestellt sind. Die Darstellung der einzelnen Themen wird jeweils durch ein oder mehrere Probleme motiviert und ist eher beispiel- als theorieorientiert. Es werden Lösungsansätze für die jeweilige Ausgangsfrage vorgestellt, auch solche, die sich im Laufe der weiteren Diskussion als problematisch herausstellen. Danach folgt eine Lösung, ein Resumé und eine Reihe von Übungsaufgaben (samt einer Einschätzung des Schwierigkeitsgrades). Das Buch enthält keine Musterlösungen, aber Lösungshinweise für ausgewählte Aufgaben.

Probleme, Strategien und Lösungen sind gut verständlich geschrieben, und wer dieses Buch durchgearbeitet hat, wird kein Problem mehr mit dem Umstand haben, dass im Mathematikstudium dem Beweis eine so prominente Rolle zugewiesen wird. Ich würde es interessierten Oberstufenschülern, die darüber nachdenken, Mathematik zu studieren, oder AG-Leitern, die ihren Schützlingen die Natur der Mathematik nahebringen möchten, nachdrücklich empfehlen.

Interessant fände ich auch einen vom üblichen Muster abweichenden Vorkurs (für zukünftige Studierende der Mathematik, auch für das Lehramt, nicht für Naturwissenschaftler oder Ingenieure), der diesem Buch folgt.

Für problematisch hielte ich dagegen den Einsatz des Buches in einem Anfängerkurs, der einen der Standardkurse Lineare Algebra oder Analysis ersetzt. Dafür bietet er zu wenig Anknüpfungspunkte an den Standardstoff, der ja (auch im Lehramtsstudium) nicht dadurch verzichtbar wird, dass die Kursteilnehmer besser mit gewissen grundlegenden mathematischen Denkweisen und Methoden vertraut sind.

Der Autor bietet auf auch Hinweise zur Durchführung von Lehrveranstaltungen mit desem Buch an.

Rezension: Joachim Hilgert (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2020, Band 67, S. 97-98.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Heinz Klaus Strick

Springer; Auflage: 1. Aufl. 2019 (25. Februar 2019), 350 Seiten, 17,99 €
ISBN-10: 3662581000
ISBN-13: 978-3662581001

Schön, ja wunderschön ist nicht nur die Mathematik sondern auch das Buch von Heinz Klaus Strick, das er hier als drittes in seiner Serie vorlegt.

Großartig wie in den vorhergegangenen beiden Büchern ist die grafische Aufarbeitung mathematischer Inhalte. Übersichtliche farbige Abbildungen prägen das Buch: Nicht nur geometrische Sachverhalte – da liegt es zwar nahe, jedoch in dieser Fülle und Klarheit ist mir kein anderes Buch bekannt – werden so visualisiert. Auch die nicht-geometrischen Abschnitte werden auf beeindruckende Weise mit farbig unterlegten Tabellen und Diagrammen veranschaulicht. Ich kann dies in Worten nur unzulänglich beschreiben – man muss dazu einfach einmal das Buch durchblättern.

Vier der zwölf Kapitel sind geometrischen Themen gewidmet: Friesmuster und Ornamente, vielfältige Varianten über Kreisfiguren und Kreisbögen sowie Spiralen werden ausführlich dargestellt.

Vier weitere Abschnitte haben elementare arithmetische, zahlentheoretische und kombinatorische Begriffe zum Inhalt. Einer zeigt alte schriftliche Verfahren zur schriftlichen Multiplikation natürlicher Zahlen, die in anderen Kulturen entwickelt wurden – ist also eher von mathematik-historischem Interesse. Drei Kapitel haben mich besonders begeistert. Teilbarkeitsregeln und vor allem die Eigenschaften über Teiler natürlicher Zahlen und deren Anzahl, über zueinander teilerfremde Zahlen bis hin zur Euler‘schen φ-Funktion, über Teiler-Diagramme und Teilersummen führen zu vollkommenen Zahlen und zu Mersenne-Primzahlen. Und die 40 Seiten (das längste Kapitel) über das Pascal‘sche Dreieck stellen überzeugend viele der dazu gehörigen Zusammenhänge vor: binomische Formeln, Binomialkoeffizienten und Binomialverteilung, Anzahl von Wegen in Netzen, die Verteilung der geraden und ungeraden Zahlen im Dreieck  und  das Auftreten von Primzahlen und Fibonacci-Zahlen.

In weiteren Kapiteln werden sehr unterschiedliche Schwerpunkte gesetzt. Klassische Umfüllprobleme, magische Quadrate, das Rencontre-Problem (Anwendungen von fixpunktfreien Permutationen) werden einfach ganz wunderschön vorgestellt. Ein ganzes Kapitel ist der „Wurzel aus 2“ gewidmet: geometrische Veranschaulichungen, Heron-Verfahren, Intervallschachtelungen, Kettenbrüche, Pell‘sche Folgen und weitere Verfahren zur Berechnung und natürlich das DIN-A-Format bilden ein weites Umfeld – schöner kann man das alles wohl nicht zusammenbringen.

Hier gilt – wie durchgehend in diesem Buch –, dass Strick ausführlich und beispielgebunden die Eigenschaften herleitet, so dass der weniger erfahrene Leser nicht (wie oft in Mathematik-Büchern) vor der Aufgabe steht, zu viele Zwischenschritte selbst erst zu überlegen oder davor zu verzweifeln. Dass im Buch aber sehr viele Anregungen gegeben werden, selbständig weiter zu denken und eigene Untersuchungen anzuschließen, um die Ergebnisse zu vertiefen, das macht das Buch auch zu einer Sammlung von Aufgaben, die forschendes Lernen provozieren können.

Für jeden Liebhaber dieses Faches ist das Buch (wie auch schon die beiden anderen) eine Fundgrube an schöner Mathematik. Alle Themen lassen sich auch hervorragend für die Ausbildung von Lehramtsstudenten einsetzen, sie können einerseits lernen, wie man Mathematik „mundgerecht“ aufbereiten kann, andererseits aber Mathematik selber nicht nur rezeptiv nachvollziehen, sondern kreativ weiter entwickeln kann.

Antworten und Lösungen zu den vielen „Anregungen zum Nachdenken und für eigene Untersuchungen“ kann man auf der Internet-Seite des Verlags finden. Auch die sonst üblichen Literaturhinweise werden von Strick stark auf digitale Medien konzentriert: am Ende jedes Kapitels nennt er die Stichwörter, unter denen man bei Wikipedia und bei Wolfram Mathworld fachliche Informationen suchen kann.  Außerdem gibt es noch viele spezielle Internet-Verweise.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Lara Alcock

Springer Spektrum 2017, XVIII + 272 Seiten, 24,99€

ISBN 978-3-662-50384-3
ISBN 978-3-662-50385-0

Dies ist ein wichtiges Buch für alle Erstsemester im Studienfach Mathematik, das zumindest in Teilen Plichtlektüre werden sollte. Die Autorin unternimmt den Versuch, Studenten der Anfangssemester die „Besonderheiten eines nichttrivialen Studiengangs“ (so der Untertitel) zu erläutern, Handreichungen im Mathematikstudium zu geben und die Furcht vor diesem Fach zu nehmen, das sich in der universitären Lehre oft als wesentlich unerbittlicher erweist, als man vor dem Hintergrund der Schulmathematik erwarten wurde. Zu den Handreichungen gehören eine ausführliche Einführung in die Trias Definition-Satz-Beweis, Hinweise aufs präzise Formulieren eines Gedankengangs und grundsätzliche Bemerkungen etwa zur Kommunikation mit Dozenten und zu Studiertechniken wie Zeitmanagement oder „Concept Maps“. Einige ihrer Hinweise sind gewiss nicht fachspezifisch (auch in Philosophievorlesungen sollte man nicht mit dem Handy spielen), aber die meisten sind wirklich aufs Mathematikstudium zugeschnitten (was heißt das logische „wenn“, was sind und wie benutzt man Quantoren, wie schreibt man einen Beweis auf, warum wird in Vorlesungen scheinbar Offensichtliches detailliert begründet, ... ).

Lara Alcock ist Dozentin an einer englischen Universität, und sie hat ihr Buch für Studenten in Großbritannien geschrieben; aber fast alles trifft genauso auf das hiesige Universitätssystem zu (der Übersetzer gibt in einigen Fußnoten Kommentare zu den Unterschieden). Deswegen ist ihr Buch auch im deutschen Sprachraum sehr willkommen.

Leider ist der Übersetzer in der mathematischen Fachsprache nicht hundertprozentig zu Hause (und der Verlag hat es versäumt, die Übersetzung unter diesem Gesichtspunkt korrekturlesen zu lassen): Auf Seite 114 wird der Zwischenwertsatz formuliert und dann Mittelwertsatz genannt; die „Verbindung“ zweier Mengen heißt auf Deutsch Vereinigung (Seite 167); „for some u“ übersetzt man nicht mit „für manche u“ (Seite 68); etc. Hauptsächlich auf die Kappe der Autorin geht ein Gestammel wie „Wir wollen beweisen, dass, wenn \(f\) gerade ist, \(\Rightarrow\) \(df/dx\) ist ungerade.“ Und da dieses Buch ja zur Präzision im Ausdruck anleiten soll, wäre es nicht verkehrt gewesen, f als differenzierbare Funktion vorauszusetzen.

Dem Buch ist rege Verbreitung in der avisierten Zielgruppe zu wünschen, aber auch Dozenten, die ein möglicherweise ungenügendes Vorverständnis ihrer Studenten reflektieren möchten, werden davon profitieren.

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)

Carla Cederbaum

Springer; Auflage: 2., korr. Aufl. 2018 (25. Januar 2018), 161 Seiten, 19,99 €
ISBN-10: 3662561425
ISBN-13: 978-3662561423

Ein nettes kleines Taschenbuch hat der Verlag hier in zweiter korrigierter Auflage und in neuem Gewand herausgebracht.

Laut Verlagstext auf der Rückseite des Buches ist es „ideal für Eltern, Großeltern, Lehrer und Kinder“. Da wohl die meisten Kinder gerne als Zauberer auftreten und Tricks vorführen möchten, trifft diese Aussage mit Sicherheit zu. Auch kleinere Kinder (im Grundschulalter) können durchaus eine Reihe der „Kunststücke“ vorführen, allerdings müssen Eltern oder Großeltern zu diesem Buch greifen und den Kleinen die Tricks zeigen und mit ihnen ein wenig üben. Ältere Kinder (ab dem zehnten Lebensjahr) dürften auch schon selbständig die meisten Kapitel verstehen und dann als Zauberer auftreten können.

Die einfachen, aber teils verblüffenden Zaubertricks beruhen alle auf elementaren mathematischen Eigenschaften. Die meisten Kunststücke nutzen Besonderheiten von Zahlen aus, wenige verwenden geometrische oder logische Gesetzmäßigkeiten. Man kann nur staunen, mit welch einfacher Mathematik sich hübsche Tricks vorführen lassen.

Die einfache Rechnung 37·3 = 111 und die periodische Ziffernfolge des Bruchs 1/7 stecken hinter den ersten Tricks. Kettenaufgaben führt der Zauberer zu gewünschten Zahlen und lange Zahlenreihen kann er im Handumdrehen addieren. Kommutativ- und Distributivgesetz werden dabei genutzt, die Eigenschaften der Fibonacci-Zahlenfolge verwendet. Auch von weithin bekannten Aufgaben wie die „Verteilung der 17 Kamele an drei Erben“ und das Zerschneiden eines Möbius-Bandes werden so aufbereitet, dass sie für eine Vorführung geeignet sind.

In jedem Kapitel wird am Ende der mathematische Hintergrund dargestellt, hier geht die Autorin zwar sehr anschaulich vor, doch werden diese Abschnitte – wenn überhaupt – erst für ältere Jugendliche geeignet sein (da hier die sonst kindgemäße Sprache doch schwerer wird).

Übrigens: Als Käufer des Buches kann man das eBook zu diesem Buch kostenlos herunterladen.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Ehrhard Behrends

Springer Spektrum; Auflage: 1. Aufl. 2017 (7. Juli 2017), 27,99 €
ISBN-10: 3658175044
ISBN-13: 978-3658175047

Vor ein paar Jahren habe ich das Buch „Der mathematische Zauberstab – Verblüffende Tricks mit Karten und Zahlen“ desselben Autors hier rezensiert. Da urteilte ich unter anderem: „Das Buch ist so angelegt, dass – wer will – die Mathematik stets überblättern kann. Das wäre aber schade. Die Mathematik hinter den Kunststücken ist nicht sehr kompliziert, und der Autor möchte sicher gerne, dass viele sich auch damit beschäftigen.“

Hier, in seinem nächsten „Zauberbuch“ allerdings, ist das anders: In der Einleitung schreibt Behrends „Die zugrunde liegende Mathematik benötigt zum Verständnis eine fachliche Vorbildung: Für mathematische Laien wird es (leider) zu schwierig.“

In 15 Kapiteln wird jeweils ein Zaubertrick (mit Varianten) relativ kurz vorgestellt, ausführlich aber wird die Mathematik erklärt, hergeleitet und bewiesen, die hinter diesem Trick verborgen ist (den man „auch dann vorführen kann, wenn man den mathematischen Hintergrund nicht bis in alle Einzelheiten verstanden hat“). Der Schwierigkeitsgrad dieser kleinen Theorien wird vom Autor als von „leicht bis mittel“ bis hin zu „schwer“ eingeschätzt. (Diese subjektiven Einstufungen haben sich „auch durch Erfahrungen in Seminaren und Proseminaren an der FU Berlin“ ergeben.)

Bei manchen Abschnitten konnte Behrends auf vorliegende mathematische Veröffentlichungen zurückgreifen, in anderen Teilen hat er die notwendige Mathematik erst selber entwickelt und teilweise hier erstmals veröffentlicht!

Ich finde es erstaunlich und verblüffend, welche Vielfalt an mathematischen Themen dabei zur Sprache kommt. Ich will das an einigen der Kapitel näher beschreiben.

In zwei Kapiteln geht es um (verallgemeinerte) magische Quadrate. Neben der Methode der vollständigen Induktion werden Kenntnisse über Permutationen und die Theorie linearer Gleichungssysteme benötigt. Und dann werden die Überlegungen – typisch Mathematiker! – auf höhere Dimensionen übertragen (magische Würfel und Hyperwürfel). Aber lässt sich das denn einfach visualisieren? In der Tat wird für die dritte Dimension eine realisierbare Variante vorgeschlagen: man kann sie in den Quadraten durch Farben darstellen!

Ein Kartentrick – relativ einfach durchzuführen, da das meiste die Mathematik erledigt – ist Thema eines anderen Kapitels. Warum es funktioniert, wird erklärt: man nehme ein wenig Gruppentheorie mit einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe und deren Normalisator, die Begriffe Faktorgruppe, Permutation und Homomorphismus und schon ist eine kleine „Theorie“ dieses speziellen Kartenmischens entstanden.

Ein weiterer Abschnitt handelt von der „mysteriösen Zahl 1089“, die häufig in Lehrbüchern für Arithmetik (Grundschullehrer) und in Zauberbüchern zu finden ist. Während man das Entstehen dieser Zahl (ausgehend von einer dreistelligen Zahl) durch den kurzen Rechenprozess in wenigen Zeilen herleiten kann, nimmt der Autor – auch hier wieder typisch Mathematiker! - Verallgemeinerungen vor: Er untersucht, ob sich diese Eigenschaft erhält, wenn man mit Zahlen beliebiger Länge arbeitet und dann – das wäre ja noch zu wenig – wenn man die Zahlen in beliebigen anderen Zahlsystemen (etwa dem Dualsystem) darstellt. Zur Lösung dieser Fragen muss Behrends erst einmal die Grundschultechniken der schriftlichen Subtraktion und Addition präzisieren, um dann mit Hilfe von komplexen Rekursionsformeln das Ergebnis zu erhalten – und überrascht festzustellen, dass dabei die Fibonacci-Zahlen auftauchen!

In weiteren Kapiteln erscheinen dann noch Primzahlen und Binomialkoeffizienten, Restklassengruppen und quadratische Reste, Palindrome, Codierungen und deBruijn-Folgen, Wahrscheinlichkeiten und Wartezeiten und immer wieder Rekursion und vollständige Induktion.

Wer mehr zur praktischen Umsetzung der Zaubertricks erfahren möchte, greife zum anfangs genannten Buch oder zu anderen Zauberbüchern, die vom Autor am Ende eines jeden Kapitels beschrieben werden. Ergänzende mathematische Literatur und Ehrhard Behrends eigene Originalarbeiten zu diesem Thema werden in einem ausführlichen Verzeichnis aufgeführt.

Das Buch ist sicher nicht für jeden Amateur-Zauberer die passende Lektüre. Wohl aber für Mathematik-Liebhaber, Dozenten und Studenten, für Seminare, in denen man mathematische Theorien in einem Zusammenhang anwenden kann, den man vor dieser Lektüre wohl kaum für möglich gehalten hätte.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)