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Alexander George und Daniel J. Velleman: Zur Philosophie der Mathematik – Logizismus, Intuitionismus, Finitismus, Gödel’sche Unvollständigkeitssätze

Springer Spektrum, Wiesbaden, 2018, XI + 210 Seiten, 22,99 €
ISBN: 978-3-662-56236-9
E-Book / ISBN: 978-3-662-56237-6

Was geschieht, wenn wir endliche Wesen nach dem Unendlichen greifen? Diese Frage trifft ins Mark der Mathematik und wurde lange vor dem Auftreten der „Russellschen Antinomien“ von I. Kant analysiert. Paradoxien und Antinomien erschütterten die Cantorsche Mengenlehre und die Mathematik als Ganzes. Drei sich bekämpfende Strömungen, Logizismus, Intuitionismus und Finitismus (letztere eher bekannt als Formalismus oder Axiomatismus), rangen um ein sicheres Fundament für die Mathematik und Logik. Dieser „Grundlagenstreit“ der Mathematik gipfelte 1931/32 in den berühmten „Gödelschen Unvollständigkeitssätzen“ mit bis heute andauernden Forschungen.

Im Springer-Verlag erschien 2018 die exzellente Übersetzung des angloamerikanischen Fachbuchs „Zur Philosophie der Mathematik. Logizismus, Intuitionismus, Finitismus, Gödel’sche Unvollständigkeitssätze“, von dem die Übersetzer zu Recht anmerken, dass ein vergleichbares Buch in deutscher Sprache bisher fehlt. Zwei amerikanische Professoren der Mathematik und Philosophie am Amherst College konzipierten das Werk für ihre Studenten. Das deutschsprachige 200 Seiten umfassende Buch erfordert außer Bekanntschaft mit der Prädikatenlogik kein aufwendiges mathematisch-logisches Training und bietet eine verständliche Einführung in die axiomatische Mengenlehre.

Für wen ist dieses Buch wichtig? Mir bekannte deutschsprachige Fachbücher, konzipiert für theorieorientierte Mathematiker, Logiker, IT-Spezialisten und Philosophen, erfordern logisches und mengentheoretisches Fachwissen, insbesondere für die Forschungen von Kurt Gödel. Aber gerade applikationsorientierte Wissenschaftler sollten ermutigt werden, sich mit der Tragfähigkeit ihrer mathematischen Praxis zu beschäftigen. Hier bietet das Buch sowohl einen verständlichen Einstieg als auch fachliche Tiefe.

Kapitel 1 behandelt philosophische Positionen der Mathematik von Platon bis A. Einstein, dessen Zitat zugleich Thema des Buchs ist: „Wie ist es möglich, dass die Mathematik, die doch ein von aller Erfahrung unabhängiges Produkt des menschlichen Denkens ist, auf die Gegenstände der Wirklichkeit so vortrefflich passt?“.

Kapitel 2 „Logizismus“: behandelt die von G. Frege angestrebte Konstruktion der Arithmetik allein mit logischen und mengentheoretischen Bausteinen, sowie schließlich sein Scheitern durch die „Russellschen Antinomien“.

Kapitel 3 „Mengenlehre“: erläutert den Rettungsversuch des Logizismus durch B. Russell und A. N. Whitehead. Die längeren Ausführungen zur Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie können beim ersten Lesen ohne Verständniseinbuße übersprungen werden.

Kapitel 4 „Intuitionismus“: konstruiert die Mathematik aus der intuitiven Anschauung der natürlichen Zahlen (unter Berufung auf I. Kant). MathematischeWahrheiten existieren nicht unabhängig von uns, sie müssen konstruiert werden. Das „Aktual Unendliche“ wird abgelehnt und damit logische Schlüsse wie der „Satz vom ausgeschlossenen Dritten“ und der „Widerspruchsbeweis“. Unter Einbezug der „Goldbach Vermutung“ und der „Primzahlzwillinge“ leitet das Kapitel unmerklich auf die Gödelschen Unvollständigkeitssätze über.

Kapitel 5 „Intuitionistische Mathematik“: erläutert das für klassische Mathematiker ungewohnte Arbeiten mit dem intuitionistischen Kalkül.

Kapitel 6 „Finitismus“: führt in das wichtige Hilbert-Programm ein. Dazu werden die aus der Linguistik geläufigen Begriffe Syntax und Semantik benötigt. (Der Ausdruck „Finitismus“ ist mehrdeutig, die deutsche Benennung „Formalismus“ oder „Axiomatismus“ erscheint geeigneter).

Kapitel 7 „Die Unvollständigkeitssätze“: erläutert deren Beweis von Kurt Gödel und ihre große theoretische und praktische Bedeutung. Danach kann es keine einzelne mathematische Theorie geben, aus der alle mathematischen Wahrheiten abgeleitet werden können.

Kapitel 8 „Schluss“: faßt Leistungen und Scheitern aller Strömungen zusammen. Nur der Intuitionismus bleibt von den Gödelschen Sätzen geschont, wird aber meistens von klassischen Mathematikern ignoriert. Spannend für den Praktiker dürfte sein zu erfahren, dass über die Art menschlicher Messungen der Intuitionismus verständlich werden könnte.

Zusammenfassend ist dieses Werk neben den Büchern von Dirk W. Hoffmann („Grenzen der Mathematik“ und „Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze“, beide Springer Spektrum) das beste deutschsprachige Fachbuch über die Grundlagenkrise der Mathematik, das ich kenne.

Zuletzt noch eine (leicht zu behebende) Kritik: das Personen- und Sachregister fällt dürftig aus. Wichtige Begriffe fehlen, und viele Termini sind nicht am Ort ihrer Definition aufgeführt.

Rezension: Hartmut W. Mayer (Freising)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2019, Band 66, Seiten 123 -125.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags.

Øystein Linnebo: Philosophy of Mathematics

Princeton University Press 2017, VI + 203 Seiten, 25,48 €
ISBN: 978-0-691-16140-2

Das vorliegende Buch ging aus Vorlesungen zur Philosophie der Mathematik hervor, die Øystein Linnebo an diversen Universitäten gehalten hat, und ist eine erste Einführung in das Thema. Der Autor setzt einen klaren Schwerpunkt auf den Entwicklungen rund um die Grundlagenkrise. Es gibt aber auch ein Einführungskapitel, in dem er einen Abriss der Positionen von Platon bis Kant gibt. Gegen Ende des Buches geht Linnebo auch auf aus seiner Sicht besonders interessante neuere Diskussionen ein.

Als Ausgangspunkt beschreibt der Autor drei Charakteristika von mathematischem Wissen, die den besonderen Status der Mathematik als Wissenschaft verdeutlichen: Es beruht auf keinerlei Erfahrung oder Experiment. Es ist zwangsläufig, das heisst, es gibt keine Alternativen. Es beschreibt Objekte, die abstrakt sind, also nicht in Raum oder Zeit verortbar. Der Umstand, dass man diese Charakteristika sonst eher religiösen Gewissheiten zuschreiben würde, zeigt deutlich den Bedarf an einer Philosophie der Mathematik, die sich mit dem Wesen mathematischer Gewissheiten beschäftigt. Linnebo diskutiert die drei Charakteristika und die Fragen, womit sich Mathematik überhaupt beschäftigt und wie wir zu unseren mathematischen Überzeugungen gelangen, vor allem anhand von Platon (427–347 v. Chr.) und Immanuel Kant (1724–1804), erwähnt diesem Kontext aber auch Empiriker wie John Stuart Mill (1806–1873).

Schon bei dieser Einführung gibt Linnebo einen Ausblick auf den Logizisten Gottlob Frege (1848–1925) und den Intuitionisten Luitzen Brouwer (1881–1966), deren Beiträge in den Kapiteln 2 und 5 ausführlicher geschildert werden. Dazwischen erklärt der Autor Versionen des Formalismus, in denen die Syntax gegenüber der Semantik in den Vordergrund gestellt wird, und David Hilberts (1862–1943) Programm zur Überwindung der mengentheoretischen Paradoxa. In diesem Kontext wird auch der Deduktivismus diskutiert, der die Reine Mathematik als die formale Ableitung von Aussagen aus beliebig gewählten Prämissen (Axiomen) sieht.

In Kapitel 6 geht der Autor näher auf die Außensicht der Mathematik durch die Philosophen John Stuart Mill und Willard Van Orman Quine (1908–2000) ein, die in der Mathematik auch empirische Aspekte sehen.

In der zweiten Hälfte des Buches wendet sich Linnebo mehr zeitgenössischen Debatten zu. In Kapitel 7 beschreibt er anhand der Überlegungen von Paul Bencerraf (*1931) und Hartry Fields (*1946) die Problematik, dass man keinen kausalen Zusammenhang zwischen mathematischem Wissen und abstrakten (also nicht mit Raum und Zeit interagierenden) mathematischen Objekten herstellen kann. Dies führt zur Zurückweisung der Existenz abstrakter Objekte im Nominalismus.

Wenn man, wie der Autor, keine kausale Beziehung zwischen mathematischer Einsicht und mathematischem Objekt fordert, bleibt die Frage nach der Evidenz mathematischen Wissens. Diese Frage spielt in den letzten Kapiteln des Buches eine zentrale Rolle. In Kapitel 8 greift Linnebo zunächst den Begriff der mathematischen Intuition neu auf und beschreibt verschiedene neuere Diskussionsbeiträge dazu. Kapitel 9 ist der Abstraktion gewidmet, die in der Praxis eine wichtige Quelle von mathematischer Evidenz ist. Linnebo beschreibt zunächst Freges Zugang zur Abstraktion über Äquivalenzrelationen und wie er zu den Russelschen Paradoxien führt. Dann erklärt er Neo-Fregesche und dynamische Zugänge, die diese logischen Probleme vermeiden.

Ausgehend vom iterativen Charakter der dynamischen Konzepte von Abstraktion wendet sich Linnebo in Kapitel 10 der Frage zu, in welcher Relation dynamische und iterative Konzeptualisierung mit den Zermelo-Fraenkel-Axiomen der Mengenlehre stehen. In diesem Kontext diskutiert er auch die Begriffe des aktual und potentiell Unendlichen.

Kapitel 11 ist dem auf Richard Dedekind (1831–1916) zurückgehenden Strukturalismus gewidmet, der in seiner extremsten Form sagt, dass mathematische Objekte außer ihrer Position innerhalb einer Struktur keinerlei Eigenschaften haben. Der Autor diskutiert verschiedene Varianten des Strukturalismus und geht in diesem Zusammenhang auch kurz auf die Kategorientheorie ein.

Im letzten Kapitel beschreibt Linnebo einige Fragen zur Axiomatik der Mengenlehre, die sich aus Kurt Gödels (1906–1978) Unvollständigkeitssätzen ergeben.

Ans Ende des Buches stellt der Autor abschließende Bemerkungen, in denen er nochmal Schüsselwörter nennt und auflistet, wie und wo sie in den unterschiedlichen Kapiteln wiederholt auftauchen: Abstraktion, Idealisierung, Berechnung, Extrapolation, Unendlichkeit. Außerdem erläutert er kurz seine persönliche Haltung zu den aufgeworfenen Fragen, insbesondere nach der Realität mathematischer Objekte und der Evidenz mathematischer Einsichten.

Øystein Linnebo beschreibt nicht nur historische Positionen zur Philosophie der Mathematik, sondern er motiviert die Fragen und spielt jeweils Argumente und Gegenargumente durch. So versetzt er den Leser in die Lage, einerseits selbst Position zu beziehen, andererseits aber auch die eigenen Positionen in Frage zu stellen. Das Buch ist anspruchsvolle und anregende Lektüre. Ich finde es ausgesprochen gelungen und nützlich.

Rezension: Joachim Hilgert (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2019, Band 66, Seiten 127-129.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags.

Holger Dambeck

KiWi-Taschenbuch (7. September 2017), 240 Seiten, 9,99 € 
ISBN-10: 9783462050516
ISBN-13: 978-3462050516

Holger Dambeck schreibt seit vier Jahren die Spiegel-Online-Kolumne „Rätsel der Woche“ und hat laut Aussage des Verlags wöchentlich rund 200 000 Leser.

In diesem Taschenbuch hat er eine Reihe dieser Probleme zusammengestellt und durch weitere bekannte Aufgaben aus dem Bereich der Unterhaltungsmathematik ergänzt. So finden sich hier 100 Mathe-Rätsel mit Lösungen zusammen. Vorangestellt sind den Aufgaben einige systematische Hinweise zum Lösen solcher Probleme – bei vielen werden diese allerdings nicht ausreichen, darüber hinaus ist bei den meisten doch eine kreative Idee gefragt.

Das Buch beginnt mit einer Reihe von Rätsel-Klassikern, den Kennern von solcher Mathematik bekannt, teils aber in neuem Gewand vorgestellt. Es folgen einige „Rätsel-Geschichten“, bei denen man aus wenigen rätselhaften Sätzen die dahinter stehende Geschichte erraten muss (oft als Gruppenspiel geeignet).

Ein weiteres Kapitel ist logischen Rätseln gewidmet, mehrere Aufgaben folgen hier dem Schema „eine Person lügt ständig / sagt immer die Wahrheit“. Rechnerische Knobeleien nehmen dann einen größeren Teil ein. Dambeck beschließt das Buch mit neun „ganz dicken Brettern“.

Liebhaber solcher Mathe-Rätsel werden unter den 100 Aufgaben sicher viel Neues finden. Wer solche Probleme noch selten kennen gelernt hat, muss wissen, dass man hier „harte Nüsse“ zu knacken hat – da ist die Versuchung groß, schnell in die Lösung zu schauen. Damit aber würde man sich des eigentlichen Reizes auf ein Aha-Erlebnis begeben, wenn man die Lösung – heureka! - gefunden hat. Da neben der Vielfalt der Typen auch der Schwierigkeitsgrad deutlich variiert, darf der Leser nicht zu schnell aufgeben – vielleicht läuft es mit dem nächsten Rätsel besser.

Das Literaturverzeichnis ist recht knapp, enthält Hinweise auf zwei Große der Unterhaltungsmathematik Sam Lloyd und Martin Gardner und einige Internet-Verweise, auf denen man weitere Quellen finden kann.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Christian Hesse

C.H.Beck; Auflage: 2 (8. Dezember 2017), 189 Seiten, 12,00 € 
ISBN-10: 3406713858
ISBN-13: 978-3406713859

Entsprechend dem Titel „Mathe to go“ wird im Buch stets locker und mit vielen flapsigen umgangssprachlichen und „denglischen“ Ausdrücken formuliert. Weiter tischt der Autor, Professor für Mathematik und Statistik an der Universität Stuttgart, immer wieder einmal Cocktailrezepte auf, der Leser soll sich nach dem Motto „Think and Drink“ nach einigen mathematischen Tricks etwas gönnen. Zehn karikaturartige Zeichnungen sorgen noch weiter für den Hesse-typischen Stil.

Und worum geht es im mathematischen Inhalt? Da gibt der Untertitel die richtige Auskunft: um Tricks der unterschiedlichsten Art für schnelles Kopfrechnen.

Auf 60 Seiten werden Verfahren zur Multiplikation, auf 30 Seiten zur Division vorgestellt. Dabei werden natürlich auch Bemerkungen zur historischen Entwicklung gemacht (z. B. Rechnen mit römischen Zahlzeichen) und auch klassische Aufgaben fehlen nicht (z. B. nach Gauss die Summe von 1 bis 100 bilden oder nach Heron Wurzeln ziehen). Die Methoden von Jakow Trachtenberg (einschließlich eines kurzen Lebenslaufes), der diese in Gefängnissen der Gestapo (ohne Bleistift, Papier und sonstige Hilfsmittel) entwickelte, werden beispielhaft vorgeführt.

Dargestellt werden auch Neuner- und Elferprobe, die auch heute noch im Lehrplan der Grundschule enthalten sind, während die meisten Verfahren in diesem Abschnitt sicher nicht zum Schulunterricht gehören. Tricks zum Berechnen von Wurzeln und Logarithmen nehmen 50 Seiten ein. Ein modernes Rezept zur Bestimmung des Wochentags zu einem beliebigen Datum beendet das Buch – nein, ganz zum Schluss folgt ein weiteres Rezept für einen Tequila Sunrise Cocktail!

Viele der Verfahren sind zwar einfach, aber erfordern doch häufige Übung, wenn man sich beispielsweise als Rechenkünstler präsentieren will und dann natürlich die Rechenschritte im Kopf haben muss und nicht auf einen Spickzettel angewiesen sein will. Ich selbst werde ein Produkt zweier zweistelliger Zahlen allerdings auch weiterhin schneller auf herkömmliche Art und Weise im Kopf berechnen, ehe ich mir fünf (zunächst einmal) ominöse Umformungsschritte merken muss.

Wem ist dies Büchlein sonst noch zu empfehlen? Vielleicht Lehramtsstudenten! Viele der Tricks werden vom Autor nur rezeptartig vorgestellt, aber nicht erklärt. Da ist es eine lohnende (?) Aufgabe, den mathematischen Hintergrund zu entdecken.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Nick Sousanis

Harvard University Press, 196 Seiten, 18,99 € 
ISBN-10: 0674744438
ISBN-13: 978-0674744431

Im bekannten Buch „Flächenland“ von Edwin Abbott bekommt ein zweidimensionales Quadrat Besuch von einer dreidimensionalen Sphäre. Gemeinsam besuchen sie die dritte Dimension und zurück im Flächenland versucht das Quadrat fortan, seine zweidimensionalen Mitbewohner zu dieser für sie neuen Dimension zu bekehren. In seinem Buch „Unflattening“ unternimmt Nick Sousanis, Professor für Geisteswissenschaften an der Universität von San Francisco, einen ähnlichen Bekehrungsversuch. Jedoch geht es ihm nicht um eine von uns nicht wahrnehmbare vierte Dimension des Raumes (s. hierzu Graph Waldeyer, „The 4-D Doodler“). Vielmehr will Sousanis uns dazu bewegen, sowohl textuelles und über Worte getragenes Verständnis als auch bildliches Verstehen zu integrieren.

Neben der Geschichte des Quadrats aus dem „Flächenland“ dient das Prinzip der Parallaxe als ein zweiter roter Faden durch das Buch. Die Parallaxe bezeichnet den Winkel, der entsteht, wenn ein Objekt von zwei verschiedenen Standorten aus betrachtet wird. Zum Beispiel nutzen wir täglich Parallaxe, um aus der zweidimensionalen Wahrnehmung unserer beiden – leicht versetzten – Augen ein dreidimensionales Bild unserer Umgebung zu schaffen.

In seinem Buch schreibt Sousanis: „David Lewis calls Image-Text interaction a ‚double orientation‘ – a ‚looking in more than one direction at the same time‘.“ (S. 64) Dies ist für den Autor die Grundlage, auf derer er Text und Illustration zusammenbringen möchte, um aus diesen niedrigdimensionalen Wahrnehmungen analog zur Parallaxe eine höherdimensionale Wahrnehmung zu schaffen. Doch nicht nur das Betrachten von Bildern, auch das Schaffen von Illustrationen und Visualisierungen hat bereits seine Wichtigkeit und Berechtigung im Verständnisprozess. So schreibt Sousanis: „We draw not to transcribe ideas from our heads but to generate them in search of greater understanding.“ (S. 79) Diametral steht er somit den Überzeugungen des Mathematikerkollektivs entgegen, das unter dem Namen Nicolas Bourbaki publizierte und die Verdrängung von Bildern aus der Mathematik forderte.

Neben dem Bezug auf Abbotts „Flächenland“ ziehen sich mathematische Ideen durch das gesamte Buch. Das Auffalten eines Tetraeders in sein Netz dient dem Autor als Illustration für das Eröffnen neuer Perspektiven. (S. 43) Betrachtungen der Küstenlinie von Ithaka motiviert fraktale Konstruktion und die Idee, dass jedes genauere Hinsehen etwas Neues zu Tage fördert. So kann ein Kreis mit einer Folge aus regelmäßigen Polygonen immer besser approximiert werden, deren Ecken immer weiter „abrunden“. Andersherum entsteht aus einem Dreieck, das vollständig glatte Kanten hat, über mehrere Iterationen die Koch'sche Schneeglockenkurve, die nirgendwo mehr glatt ist. (S. 44) Weitere Anspielungen an Mathematik finden sich zum Beispiel in der Weltkarte von Buckminster Fuller – projiziert auf einen Ikosaeder (S. 57) oder in der Illustration einen vierdimensionalen Würfels. (S. 131)

Passend zu Sousanis' vehementer Unterstützung von Bildern und Illustrationen ist das 152 Seiten umfassende Buch als Graphic Novel erschienen. Es handelt sich um die Veröffentlichung der Dissertation, die Sousanis 2014 an der Columbia University, NYC, USA, einreichte. Einer wissenschaftlichen Publikation gemäß erläutern Endnoten die präsentierten Ideen weiter und erklären Hintergründe, die sich nicht direkt aus den Comiczeichnungen erschließen. Ein umfangreiches Literaturverzeichnis lädt zum Weiterverfolgen der präsentierten Konzepte ein. Sousanis verwendet häufig wechselnde Zeichenstile und argumentiert mit Bild- und Textelementen von der Antike bis hinein in die moderne Unterhaltungskultur. Die Panels sind teilweise sehr kleinteilig und es entsteht der Eindruck, dass der Autor zu viel auf einer Seite unterbringen wollte. Dadurch fällt es mitunter schwer, den vermischten Konzepten und Theorien zu folgen. Dennoch bietet das Buch viel Stoff zum Nachdenken und lädt gerade wegen der Fülle an Bildideen zur Relektüre ein. In jedem Fall kommt Sousanis' Anliegen deutlich zum Ausdruck: Ohne Bilder geht es nicht.

Rezension: Elisabeth Schaber (Universität Leipzig) und Martin Skrodzki (Freie Universität Berlin)