Leseecke

Christian Hesse

C.H.Beck; Auflage: 2 (8. Dezember 2017), 189 Seiten, 12,00 € 
ISBN-10: 3406713858
ISBN-13: 978-3406713859

Entsprechend dem Titel „Mathe to go“ wird im Buch stets locker und mit vielen flapsigen umgangssprachlichen und „denglischen“ Ausdrücken formuliert. Weiter tischt der Autor, Professor für Mathematik und Statistik an der Universität Stuttgart, immer wieder einmal Cocktailrezepte auf, der Leser soll sich nach dem Motto „Think and Drink“ nach einigen mathematischen Tricks etwas gönnen. Zehn karikaturartige Zeichnungen sorgen noch weiter für den Hesse-typischen Stil.

Und worum geht es im mathematischen Inhalt? Da gibt der Untertitel die richtige Auskunft: um Tricks der unterschiedlichsten Art für schnelles Kopfrechnen.

Auf 60 Seiten werden Verfahren zur Multiplikation, auf 30 Seiten zur Division vorgestellt. Dabei werden natürlich auch Bemerkungen zur historischen Entwicklung gemacht (z. B. Rechnen mit römischen Zahlzeichen) und auch klassische Aufgaben fehlen nicht (z. B. nach Gauss die Summe von 1 bis 100 bilden oder nach Heron Wurzeln ziehen). Die Methoden von Jakow Trachtenberg (einschließlich eines kurzen Lebenslaufes), der diese in Gefängnissen der Gestapo (ohne Bleistift, Papier und sonstige Hilfsmittel) entwickelte, werden beispielhaft vorgeführt.

Dargestellt werden auch Neuner- und Elferprobe, die auch heute noch im Lehrplan der Grundschule enthalten sind, während die meisten Verfahren in diesem Abschnitt sicher nicht zum Schulunterricht gehören. Tricks zum Berechnen von Wurzeln und Logarithmen nehmen 50 Seiten ein. Ein modernes Rezept zur Bestimmung des Wochentags zu einem beliebigen Datum beendet das Buch – nein, ganz zum Schluss folgt ein weiteres Rezept für einen Tequila Sunrise Cocktail!

Viele der Verfahren sind zwar einfach, aber erfordern doch häufige Übung, wenn man sich beispielsweise als Rechenkünstler präsentieren will und dann natürlich die Rechenschritte im Kopf haben muss und nicht auf einen Spickzettel angewiesen sein will. Ich selbst werde ein Produkt zweier zweistelliger Zahlen allerdings auch weiterhin schneller auf herkömmliche Art und Weise im Kopf berechnen, ehe ich mir fünf (zunächst einmal) ominöse Umformungsschritte merken muss.

Wem ist dies Büchlein sonst noch zu empfehlen? Vielleicht Lehramtsstudenten! Viele der Tricks werden vom Autor nur rezeptartig vorgestellt, aber nicht erklärt. Da ist es eine lohnende (?) Aufgabe, den mathematischen Hintergrund zu entdecken.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Nick Sousanis

Harvard University Press, 196 Seiten, 18,99 € 
ISBN-10: 0674744438
ISBN-13: 978-0674744431

Im bekannten Buch „Flächenland“ von Edwin Abbott bekommt ein zweidimensionales Quadrat Besuch von einer dreidimensionalen Sphäre. Gemeinsam besuchen sie die dritte Dimension und zurück im Flächenland versucht das Quadrat fortan, seine zweidimensionalen Mitbewohner zu dieser für sie neuen Dimension zu bekehren. In seinem Buch „Unflattening“ unternimmt Nick Sousanis, Professor für Geisteswissenschaften an der Universität von San Francisco, einen ähnlichen Bekehrungsversuch. Jedoch geht es ihm nicht um eine von uns nicht wahrnehmbare vierte Dimension des Raumes (s. hierzu Graph Waldeyer, „The 4-D Doodler“). Vielmehr will Sousanis uns dazu bewegen, sowohl textuelles und über Worte getragenes Verständnis als auch bildliches Verstehen zu integrieren.

Neben der Geschichte des Quadrats aus dem „Flächenland“ dient das Prinzip der Parallaxe als ein zweiter roter Faden durch das Buch. Die Parallaxe bezeichnet den Winkel, der entsteht, wenn ein Objekt von zwei verschiedenen Standorten aus betrachtet wird. Zum Beispiel nutzen wir täglich Parallaxe, um aus der zweidimensionalen Wahrnehmung unserer beiden – leicht versetzten – Augen ein dreidimensionales Bild unserer Umgebung zu schaffen.

In seinem Buch schreibt Sousanis: „David Lewis calls Image-Text interaction a ‚double orientation‘ – a ‚looking in more than one direction at the same time‘.“ (S. 64) Dies ist für den Autor die Grundlage, auf derer er Text und Illustration zusammenbringen möchte, um aus diesen niedrigdimensionalen Wahrnehmungen analog zur Parallaxe eine höherdimensionale Wahrnehmung zu schaffen. Doch nicht nur das Betrachten von Bildern, auch das Schaffen von Illustrationen und Visualisierungen hat bereits seine Wichtigkeit und Berechtigung im Verständnisprozess. So schreibt Sousanis: „We draw not to transcribe ideas from our heads but to generate them in search of greater understanding.“ (S. 79) Diametral steht er somit den Überzeugungen des Mathematikerkollektivs entgegen, das unter dem Namen Nicolas Bourbaki publizierte und die Verdrängung von Bildern aus der Mathematik forderte.

Neben dem Bezug auf Abbotts „Flächenland“ ziehen sich mathematische Ideen durch das gesamte Buch. Das Auffalten eines Tetraeders in sein Netz dient dem Autor als Illustration für das Eröffnen neuer Perspektiven. (S. 43) Betrachtungen der Küstenlinie von Ithaka motiviert fraktale Konstruktion und die Idee, dass jedes genauere Hinsehen etwas Neues zu Tage fördert. So kann ein Kreis mit einer Folge aus regelmäßigen Polygonen immer besser approximiert werden, deren Ecken immer weiter „abrunden“. Andersherum entsteht aus einem Dreieck, das vollständig glatte Kanten hat, über mehrere Iterationen die Koch'sche Schneeglockenkurve, die nirgendwo mehr glatt ist. (S. 44) Weitere Anspielungen an Mathematik finden sich zum Beispiel in der Weltkarte von Buckminster Fuller – projiziert auf einen Ikosaeder (S. 57) oder in der Illustration einen vierdimensionalen Würfels. (S. 131)

Passend zu Sousanis' vehementer Unterstützung von Bildern und Illustrationen ist das 152 Seiten umfassende Buch als Graphic Novel erschienen. Es handelt sich um die Veröffentlichung der Dissertation, die Sousanis 2014 an der Columbia University, NYC, USA, einreichte. Einer wissenschaftlichen Publikation gemäß erläutern Endnoten die präsentierten Ideen weiter und erklären Hintergründe, die sich nicht direkt aus den Comiczeichnungen erschließen. Ein umfangreiches Literaturverzeichnis lädt zum Weiterverfolgen der präsentierten Konzepte ein. Sousanis verwendet häufig wechselnde Zeichenstile und argumentiert mit Bild- und Textelementen von der Antike bis hinein in die moderne Unterhaltungskultur. Die Panels sind teilweise sehr kleinteilig und es entsteht der Eindruck, dass der Autor zu viel auf einer Seite unterbringen wollte. Dadurch fällt es mitunter schwer, den vermischten Konzepten und Theorien zu folgen. Dennoch bietet das Buch viel Stoff zum Nachdenken und lädt gerade wegen der Fülle an Bildideen zur Relektüre ein. In jedem Fall kommt Sousanis' Anliegen deutlich zum Ausdruck: Ohne Bilder geht es nicht.

Rezension: Elisabeth Schaber (Universität Leipzig) und Martin Skrodzki (Freie Universität Berlin)

Gudrun Mebs, Harald Lesch

cbj (21. November 2016), 192 Seiten, 12,99 € 
ab 8 Jahren
ISBN-10: 3570173631
ISBN-13: 978-3570173633

Der Verlag fasst auf der Rückseite des Buches zusammen: „Ein spannendes Buch für alle, die mehr über die bunte und vielfältige Welt der Zahlen erfahren möchten!“ Als Altersempfehlung wird „ab 8 Jahren“ genannt.

Eine Gruppe von vier Grundschulkindern, einem dreijährigen, etwas vorlauten Kind, einem Hund und einem Professor, genannt Prof, besucht auf einem Tagesausflug verschiedene Stationen, bei denen die Kinder vom Prof erfahren sollen, in welchen alltäglichen Arbeiten und Situationen „Mathe“ vorkommt und wo man rechnen muss. „Mathematik ist überall“, „ohne Berechnung geht nix.“ erklärt der Prof gleich zu Anfang.

So sehen sie bei einem Tischler, dass ein Plan für eine Tischplatte gezeichnet wird und 60 cm in der Wirklichkeit zu 6 cm auf dem Papier werden. Nebenbei doziert der Prof, dass man früher Längen mit Ellen gemessen hat, „mal war ‘ne Elle länger, mal kürzer, … aber zur Berechnung der Ackerfläche hat‘s gereicht und so sind die Ägypter den Gesetzen der Geometrie auf die Spur gekommen, bei der Flächenberechnung, ist das nicht genial?“

Weitere Stationen folgen. Beim Bäcker und bei der Marktfrau erfahren die Kinder, wie Kosten aus Preisen berechnet werden. Dann geht es zu Bauarbeitern und einem Bankier. Die mathematischen Aufgaben entsprechen etwa den Sachaufgaben, die in Grundschulbüchern zu finden sind und hier auch nicht interessanter sind. Es wird um solche Aufgaben von den Kindern und Prof viel herumgeredet, aber als „bunt und vielfältig“ empfinde ich die „Welt der Zahlen“ in diesen Kapiteln nicht.

Was soll man denn von folgenden Sätzen beim Eisverkäufer halten? „Weil, es ist uns eingefallen, dass wir mit dem Eis auch Mathe schlecken. Nämlich, Eis zu 2 gleichen Teilen, 1 Teil Schokolade, 1 Teil Vanille. Beide Kugeln sollen ja gleich groß sein. Und zum Beispiel beim Schoko-Eis, so viel Schokolade, so viel Sahne. Das muss alles berechnet werden, damit die Mischung stimmt ...“ Was hat man da erfahren? Soll das zum eigenen Rechnen anhalten?

Auch die Abschnitte zur Geometrie und zur Musik überzeugen mich nicht. Hier wird auf die alten Griechen Euklid und Pythagoras zurückgegriffen, aber ob es für die Kinder spannend ist, zu erfahren, dass „ein Punkt ist, was keine Teile hat“ und „eine Strecke eine Verbindung zwischen 2 Punkten ohne Breite“, das möchte ich doch bezweifeln.

Der Stil des Buches scheint mir – trotz der bewusst auf kindlich getrimmten Sprache – nicht motivierend. Die witzig gemeinten Wortwechsel zwischen den Kindern erscheinen mir aufgesetzt und nicht echt. Und das meint ein Opa, der viel Erfahrung im Vorlesen für seine Enkelkinder hat.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Geheimnisse der Zahl und Wunder der Rechenkunst
Mit einer Einführung von Hans-Erhard Lessing

Karl Ferdinand Braun
Rowohlt Taschenbuch Verlag rororo 2000, 316 Seiten, 7,00 €

ISBN: 349-9-608-081
ISBN-13: 978-3-499-608-087

Das Buch von Karl Ferdinand Braun, bekannt als Erfinder der Braunschen Röhre, führt die Leserschaft in Kunst der mathematischen und logischen Gedanken ein und lädt zum Mitdenken ein.
Die Originalausgabe erschien unter dem Titel ,,Der Junge Mathematiker und Naturforscher. Einführung in die Geheimnisse der Zahl und Wunder‘‘ im Jahr 1876. Der vorliegenden Ausgabe ist eine Einführung von Hans-Erhard Lessing neu hinzugefügt. Sie umfasst 16 Kapitel, die von diversen Knobeleien, Logeleien, Gedankenexperimente und Paradoxien handeln sowie einen zusätzlichen Abschnitt, der sich Lösungsvorschlägen zuwendet.
Jedes Kapitel beginnt mit dem Gespräch eines Vaters mit seinen Kindern, welches als Leitmotiv für die Problemstellung dient. Dabei gibt der Autor eine Abbildung vor, beziehungsweise skizziert die Aufgabe schematisch und erleichtert den Lesern und Leserinnen durch ausführliche Beispiele das Verständnis des Problems. Verschiedene Ansätze und Herangehensweisen werden zum Lösen eines scheinbar einfachen Problems eingeführt, mit denen die Leser unterstützt werden und die zum tieferen Gedankengang anspornen. Mit literarischen Darstellungen und sprachlicher Feinheit demonstriert der Autor die Schönheit der Mathematik und des Lösens von mathematischen Problemen und stellt gleichzeitig unter Beweis, dass dies auch nur mit grundlegenden Rechenoperationen möglich ist.
Allen Interessierten, die sich gerne von einer einfachen, aber nichtsdestoweniger großartigen Rechenkunst ohne fachspezifische Vorkenntnisse begeistern lassen, ist das Buch stark empfohlen.

Rezension: Donghyun Kim

Quelle: math.berlin

Barry Mazur und William Stein

Cambridge University Press 2016, XI + 142 Seiten, 21,99 €
ISBN 978-1-107-49943-0

Eines der prominentesten offenen Probleme der Mathematik ist die Frage nach der Gültigkeit der Riemann-Hypothese. Sie ist das achte der 23 offenen Probleme, die David Hilbert in der schriftlichen Version seines Vortrags auf dem Internationalen Mathematiker-Kongress im Jahr 1900 in Paris als zukunftsweisend benannt hat. Als einziges der Hilbertschen Probleme (von denen inzwischen viele gelöst wurden) steht sie auch auf der Liste der sieben Millenniums-Probleme, für deren Lösung das Clay Mathematics Institute einen Preis von jeweils einer Million US-Dollar ausgesetzt hat.

Es gibt eine Reihe von Büchern, in denen die Riemann-Hypothese und ihre Relevanz für die Theorie der Primzahlen für mathematisch interessierte Laien in unterschiedlichem Detailgrad erläutert wird. Das erklärte Ziel der beiden Autoren des vorliegenden Buches ist es, Lesern mit solider mathematischer Schulbildung Folgendes nahezubringen: man kann das Abzählen des Anteils der Primzahlen an allen natürlichen Zahlen bei aller augenscheinlichen Unregelmäßigkeit so systematisieren, dass sich ganz erstaunliche Regelmäßigkeiten zeigen.

Diesem Ziel ist der erste von vier Teilen des Buches gewidmet, der ungefähr die Hälfte des Textes ausmacht. In diesem Teil finden sich zwei Formulierungen der Riemann-Hypothese:

A: Für jede reelle Zahl X ist die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als X sind, durch das Logarithmische Integral Li(X) approximiert, und diese Approximation ist Quadratwurzel-genau.
B: Die durch den Logarithmus der Primzahl gewichtete Zählfunktion \(\Psi\) der Primzahlpotenzen approximiert die Funktion f(X)= X Quadratwurzel-genau.

Alle in diesen Formulierungen vorkommenden mathematischen Begriffe werden im Vorfeld ausführlich motiviert, diskutiert und – für den mathematisch versierten Leser – präzise definiert. Die Diskussion der Zählfunktionen und ihrer Approximationen ist mit vielen Beispielen und Grafiken unterlegt, und ich denke die Autoren erreichen ihr Ziel, einen Text zu produzieren, der einem interessierten Geisteswissenschaftler den Ursprung und die Fragestellung der Riemann-Hypothese nahebringen kann.

Die Teile II bis IV des Buches setzen sukzessive mehr mathematische Kenntnisse voraus und haben den Anspruch, die Brücke zu Riemanns Formulierung seiner Hypothese durch die Nullstellen der Zeta-Funktion und die spektrale Interpretation der nicht-trivialen Nullstellen zu bauen. Leider sind diese Teile auch sukzessive weniger sorgfältig geschrieben.

Der zweite Teil, Distributions, enthält eine intuitive Beschreibung der grundsätzlichen Ideen, die den Dirac-Distributionen und ihren Fouriertransformationen zugrunde liegen. Er kulminiert in der Definition des Riemann-Spektrums als Menge der Spikes einer aus den Primzahlpotenzen gebildeten trigonometrischen Reihe.

Im dritten Teil, The Riemann Spectrum of the Prime Numbers, findet man empirische Daten, hauptsächlich in Form von Graphiken, darüber, wie sich die Spikes tatsächlich als steile Ausschläge in der Fouriertransformation einer aus der Zählfunktion der Primzahlpotenzen gewonnenen Funktion \(\Phi\) manifestieren. In dem kurzen Ausblickskapitel 34 wird auch der Zusammenhang des Riemann-Spektrums mit den Spektren von Zufallsmatrizen angesprochen. In diesem Kapitel zeigt sich, dass die Autoren über das Riemann-Spektrum nicht so denken, wie sie es für den Leser eingeführt haben. Sie stellen dort nämlich die Frage nach der Multiplizität der Spektralwerte, was in der gegebenen Definition der Spektralwerte als Spikes einfach nicht sinnvoll ist.

Im vierten Teil, Back to Riemann, soll die genannte Brücke geschlagen werden. Hier zeigen sich dann die Schwächen des Buches, die möglicherweise dem Umstand geschuldet sind, dass die Autoren das Buch über einen Zeitraum von zehn Jahren hinweg in kurzen Arbeitsphasen von je einer Woche im Sommerurlaub geschrieben haben. Zu Beginn von Teil IV nehmen die Autoren auf eine in Teil III nicht vorgestellte dritte Formulierung der Riemann-Hypothese auf der Basis der Funktion \(\Phi\) Bezug und machen diese zum Ausgangspunkt der weiteren Diskussion. Damit hängt der gesamte Abschnitt über Riemanns Funktion \(R(X)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n}\mbox{li}(X^{\frac{1}{n}})\) und die daraus entwickelten Korrekturterme in der Luft. Für den Zusammenhang des Riemann-Spektrums mit den Nullstellen der Zeta-Funktion bieten die Autoren dann überhaupt keine Erklärung mehr an, sondern formulieren ganz lapidar eine fourth formulation (sic!) der Riemann-Hypothese:

D: Alle nicht-trivialen Nullstellen von \(\zeta(s)\) liegen af der vertikalen Gerade in der komplexen Ebene, die aus den Zahlen mit Realteil gleich 1=2 besteht. Diese Nullstellen sind nichts anderes als \(\frac{1}{2}\pm i\theta_1,\frac{1}{2}\pm i\theta_2,\frac{1}{2}\pm i\theta_3,\ldots,\) wobei die \(\theta_1,\theta_2,\theta_3,\ldots\) gerade die Zahlen aus dem Riemann-Spektrum sind.

Ich finde den ersten Teil des Buches sehr gelungen, die Teile II und III durchaus lesenswert, den vierten Teil aber enttäuschend.

Für eine zweite Auflage des Buches würde ich mir wünschen, dass neben den offensichtlichen Fehlern wie 1824–1908 (sic) als Lebensdaten von Gauß auch die genannten Ungereimtheiten behoben würden. Außerdem wäre es schön, wenn es für die wiederholt beschworene Vielfalt der Anwendungen einer Bestätigung der Riemann-Hypothese im Text auch weniger selbstreferentielle Belege gäbe. Bisher wird lediglich gesagt, welche Konsequenzen sie für die Approximationseigenschaften der zur Formulierung und Untersuchung der Hypothese herangezogenen Zählfunktionen und Korrekturterme hätte. Schließlich wäre zu überlegen, ob nicht in den „Endnotes”, die sich an die professionellen Mathematiker richten, etliche der zahlreichen Verweise auf Texte im Internet durch dauerhaftere Referenzen ersetzt werden können.

Rezension: Joachim Hilgert (Universität Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2018, Band 65, Heft 2 , S. 311-313
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags