Leseecke

Karlheinz Schüffler

Zweite, neu bearbeitete Auflage, Springer Spektrum 2017, xv + 280 Seiten, 24,99 €
eBook: 19,99 €
ISBN 978-3-658-15185-0
ISBN 978-3-658-15186-7 eBook

Ein Tasteninstrument sauber zu stimmen - im Zeitalter präziser elektronischerMessgeräte scheint das keine allzu große Kunst mehr zu sein. Dass dahinter aber (aus theoretischer und historischer Perspektive) eine Menge Mathematik verborgen ist, zeigt das Buch „Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma“ von Karlheinz Schüffler.

In der heute gebräuchlichen gleichstufigen Stimmung entsprechen sieben Oktaven genau zwölf (gleichstufige) Quinten. Das ist aber nicht richtig, wenn die Quinten völlig rein gestimmt werden, wie eine einfache Rechnung zeigt: Das Frequenzverhältnis der Oktave zum Grundton ist 2 : 1, das der reinen Quinte 3 : 2. Das Verhältnis von zwölf Quinten zu sieben Oktaven ist also

\(\varepsilon_P:=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{12}}{2^7}=\frac{3^{12}}{2^{19}}\approx 1,\!0136\)

Dies entspricht etwa 1/8 eines Ganztons. Der Unterschied ist also deutlich hörbar. Der Überlieferung nach war dieses Phänomen bereits Pythagoras bekannt; das Intervall mit Frequenzverhältnis \(\varepsilon_P\) ist das berühmte „Pythagoräische Komma“. Zwischen der 11. Quinte und der 12. Oktave entsteht dabei ein Intervall, das genau um das Pythagoräische Komma kleiner ist als eine reine Quinte, die sogenannte „Wolfsquinte“, die für das Ohr unschön klingt.

Die aus Quinten und Oktaven generierte „pythagoräische Skala“ war bis ins Mittelalter hinein das vorherrschende System in der Musik. Mit der Entwicklung der Mehrstimmigkeit erkannte man immer mehr die Nachteile der pythagoräischen Tonleiter, denn neben der Wolfsquinte klingen in ihr auch Dur- und Moll-Akkorde nicht rein und das Transponieren in andere Tonarten ist nur sehr eingeschränkt möglich.

Während Streicher und Sänger ihre Intonation der jeweiligen Tonart anpassen können, ist dies bei einem Tasteninstrument nicht möglich. Temperierung bedeutet, eine Stimmung zu wählen, bei der möglichst viele Tonarten spielbar sind und gleichzeitig die Akkorde nicht allzu unsauber klingen.

Durch die Musikgeschichte hindurch gab es unterschiedliche Ansätze, das Temperierungsproblem zu lösen. Karlheinz Schüffler systematisiert und beschreibt in seinem Buch unterschiedliche historische Tonsysteme, angefangen von der pythagoräischen Skala über die rein-harmonische Stimmung und die Mitteltönigkeit bis hin zum heute meist verwendeten gleichstufigen System. Bemerkenswert im Vergleich zu anderer Fachliteratur ist dabei vor allem der Ansatz, die Skalen als Beispiele einer allgemeinen mathematischen Theorie von quintgenerierten Tonleitern zu beschreiben, sofern dies möglich ist.

Das erste Kapitel legt die Grundlagen für die folgenden und bietet dabei einen Überblick über die behandelten Themen. So wird z.B. die für das Buch zentrale Intervallarithmetik erklärt, das Cent-Maß wird eingeführt und das Eulersche Tongitter wird vorgestellt. Leider teilt der Autor dem Leser nicht immer mit, welche Konzepte er in einem späteren Kapitel genauer erläutern wird und welche nicht. Im zweiten Kapitel wird die bereits im ersten Kapitel eingeführte Intervallarithmetik verwendet, um eine allgemeine (algebraische) Theorie von quintgenerierten Skalen herzuleiten. Der Begriff „Quinte“ kann je nach verwendeter Temperierung eine unterschiedliche Bedeutung haben. Beispielsweise umfasst die reine Quinte der pythagoräischen Skala 702 Cent, die Quinte der gleichstufigen Temperierung hat 700 Cent und diejenige von mitteltönigen Stimmungen zwischen 694 und 698 Cent. Deshalb definiert der Autor eine abstrakte Quinte und nutzt Gruppenstruktur und Äquivalenzklassen, um allgemeine Eigenschaften von quintgenerierten Tonleitern beschreiben zu können. Ein sehr interessanter Ansatz, weil er die Stärke mathematischer Abstraktion an einem einfachen Beispiel zeigt. Schade nur, dass abstrakte Theorie und konkrete Beispiele nicht immer scharf genug getrennt werden.

Die Kapitel 3 bis 7 sind dann den unterschiedlichen Stimmungen bzw. Temperierungen gewidmet. Zunächst wird die bereits im Grundlagenkapitel eingeführte pythagoräische Stimmung, die aus reinen Quinten generiert wird, nochmals ausführlich erklärt, auch unter Berücksichtigung des historischen Kontexts (Kapitel 3). Das im folgenden Kapitel behandelte natürlich-harmonische System ist nicht ausschließlich aus Quinten generiert und nutzt stattdessen das auf Leonard Euler zurückgehende Eulersche Tongitter, welches in seiner klassischen Form in der einen Richtung aus reinen Quinten und in der anderen aus reinen großen Terzen besteht. Dieses Kapitel enthält einige interessante Aspekte, z.B. zur harmonischen Teilung von Intervallen und der dazugehörigen elementaren Mathematik. Es fehlt aber etwas der rote Faden, weshalb das Kapitel nicht leicht lesbar ist.

Es folgen zwei Kapitel über mitteltönige und andere historische Temperierungen. Die mitteltönigen Skalen werden generiert aus einer Quinte, die so gewählt wird, dass entweder möglichst viele reine große Terzen oder möglichst viele reine kleine Terzen entstehen. Die anderen vorgestellten historischen Temperierungen lassen sich meist nicht allein aus Quinten erzeugen.

Allen bisher vorgestellten Temperierungen ist gemeinsam, dass dabei unterschiedlich große Halbtöne entstehen. Dadurch erhält jede Tonart ihre eigene Charakteristik. Bei der in Kapitel 7 beschriebenen gleichstufigen Temperierung ist dies anders. Sie entsteht, indem man die Oktave in zwölf genau gleich große Intervalle (Halbtöne) teilt. Mathematisch basiert die Teilung im wesentlichen auf dem geometrischen Mittel.

Das letzte Kapitel enthält eine Ansammlung von mathematischen Konzepten, die in einem Zusammenhang zur Thematik stehen, in den übrigen Kapiteln aber als zu schwierig für mathematisch weniger versierte Leser angesehen wurden. Über Jahrhunderte wurde die Musik als eng verwandt mit mathematischen Disziplinen angesehen. Das ist heute nur noch Wenigen bewusst. Karlheinz Schüffler zeigt in seinem Buch, wo man mathematische Konzepte aus der Schulmathematik und dem Grundstudium in der Musiktheorie wiederfinden kann.

Hier nur einige Beispiele:

• der Logarithmus,
• der Strahlensatz aus der elementaren Geometrie,
• arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel,
• Primzahlen,
• Äquivalenzklassen,
• Gruppenstruktur.

Bei weitem das meiste mathematische Vorwissen benötigt man für folgenden Satz, der im Buch auf mehrere Arten bewiesen wird: Für \(q\in\mathbb{C}\) mit \(|q|=1\) ist die Menge \(\{q^k\;:\;k\in\mathbb{Z}\}\) entweder endlich oder sie liegt dicht im Einheitskreis der komplexen Ebene. (Als Anwendung auf die Musiktheorie kann man hieraus folgern, dass man jedes Intervall beliebig genau durch Aufeinanderschichten von reinen Quinten und geeignete Reoktavierung approximieren kann.)

Laut Klappentext ist das Buch auch an Nichtmathematiker gerichtet. Tatsächlich werden für die meisten vorgestellten Themen nur relativ geringe mathematische Vorkenntnisse gebraucht. Allerdings wird der Laie vielerorts von der stark formalen Sprache irritiert sein, während der Mathematiker an manchen Stellen die mathematische Präzision vermisst. Trivialitäten werden teilweise sehr breit und unnötig kompliziert dargestellt, über schwierigere Punkte dagegen wird stellenweise schnell hinweg gegangen. Und nicht immer wird transparent genug dargestellt, welchen Mehrwert es mit sich bringt, aus der Musiktheorie wohlbekannte Tatsachen zu mathematisieren.

Trotzdem kann das Buch durchaus als Grundlage für ein interdisziplinäres Seminar für Lehramtsstudierende mit den Unterrichtsfächern Mathematik und Musik dienen, sofern der Dozent bereit ist, genügend Zeit und Mühe in die Betreuung zu investieren.

„Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma“ behandelt ein spannendes Thema, zu dem es sonst wenig deutschsprachige Literatur gibt. Für den mathematikinteressierten Musiker oder den musikinteressierten Mathematiker bietet das Buch eine Vielzahl von interessanten Ansätzen zum Weiterdenken, vielleicht gerade deshalb, weil in der Darstellung noch nicht alles ausgereift und glattgeschliffen ist.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2017, Band 64, S. 249–252
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Cornelia Kaiser (Uni Paderborn)

Ronald S. Calinger

Princeton University Press, 2015, 696 Seiten, 36,99 €
eBook: 35,27 €
ISBN 9780691119274
ISBN 9781400866632

Die vorliegende Biographie sprengt in mannigfaltiger Hinsicht den Rahmen des Üblichen. Obwohl das 696 Seiten umfassende Werk zweifellos als Hauptmotiv Euler und dessen aussergewöhnliche wissenschaftliche Leistungen in den Vordergrund spielt, gelingt es dem Autor überdies in unnachahmlicher Weise die wesentlichen Strömungen philosophischer, theologischer und politischer Denkungsart einzufangen, die das so kurze Jahrhundert der Aufklärung ausmachen.

Die aus chronologisch angeordneten 15 Kapiteln bestehende Monographie – den wesentlichen Stationen der bewegten und ereignisreichen wissenschaftlichen Karriere Eulers angepasst – lässt einerseits den klassischen linearen Leseansatz für eine Erkenntnis steigernde Zeitreise in die Geschichte der Mathematik zu, bietet jedoch auch andererseits, durch das Vorhandenseins eines ausführlichen Sachregisters, die praktische Möglichkeit sich spezifischen Themenkreisen, vom Königsberger Brückenproblem, über die griechisch-lateinischen Quadrate (Problem der 36 Offiziere), zum Prinzip der kleinsten Wirkung, dem großen Fermatschen Satz, oder der Lösung des Basler Problems, zuzuwenden.

Das Namenregister ermöglicht zusätzlich eine penible Beschäftigung mit den wechselseitigen Beziehungen, Querelen und Disputationen zwischen den unterschiedlichen Denkschulen der wissenschaftlichen Aufklärung. Als Beispiel dafür mag die detaillierte Beschreibung von Eulers Verwicklung in zahlentheoretische Fragestellungen dienen, die anhand der langjährigen Korrespondenz mit Goldbach die minutiöse Verfolgung der von Euler erzielten Fortschritte bewerkstelligt.

Callinger zeichnet nebenbei die unbeirrte, jedoch Störungen vom Rang russischer Staatsstreiche oder schlesischer Kriege unterworfene, Umlaufbahn eines wissenschaftlichenWandersterns im Einflussbereich zweier gigantischer politischer Machtzentren, Preussen und Russland, und beschreibt, wie eine mit vernachlässigbarer politischer Masse versehene mathematische Koryphäe zur wesentlichen Gestaltung der neugegründeten Akademien zu Berlin und Sankt Petersburg beitragen konnte.

Zusammenfassend erweist sich Calingers Euler-Biographie als eine wahre Fundgrube mathematisch-historischer Kleinodien und beeindruckt vor allem durch die erstaunliche Vielfalt und Menge an Informationen, die dem Leser zur Verfügung gestellt werden. So haben sich mir aus der Fülle genealogischer Hinweise, die das erste Kapitel bevölkern, vor allem zwei Merkwürdigkeiten unauslöschlich eingeprägt. Die erste betrifft Eulers Großmutter väterlicherseits, – die Tochter eines Zuckerbäckers, der aus dem heimatlichen Vöcklabruck an den Bodensee verschlagen wurde. Kein, wie auch immer gearteter, Grund Euler zu einem Achtel der Eidgenossenschaft streitig zu machen. Dies umso mehr, da (das im 17ten Jahrhundert finanziell nicht allzu glückliche) Österreich das Land Ob der Enns gleich zweimal an die Bayern verpfänden musste.

Die zweite, weitaus interessantere, Merkwürdigkeit betrifft die vorgymnasiale mathematische Ausbildung des jungen Euler, die er seinem Vater Paul zu verdanken hatte. Nicht der erwartbare Einstieg mittels der Euklidischen Geometrie war das Lehrinstrument der Wahl, sondern ein schwieriger algebraischer Text, die „Cosa“ des Schlesiers Christoph Rudolff, in der vom Cossisten Michael Stifel verfassten erweiterten zweiten Ausgabe von 1553. Es klingt paradox, dass Eulers mathematische Initiation einem fatalen Rechenfehler Stiefels zu verdanken ist. Das von ihm für den 19ten Oktober 1533, 8 Uhr früh, berechnete Datum der Apokalypse hat sich, keineswegs bedauerlicherweise, als nicht korrekt erwiesen.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2017, Band 64, S. 221–222
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Alexander Mehlmann (TU Wien)

Georg Glaeser, Hellmuth Stachel, Boris Odehnal

Springer Spektrum, 2016, viii+488 Seiten, 63,99 €
eBook: 44,79 €
ISBN 978-3-662-45449-7
ISBN 978-3-662-45450-3

Dieses in Englisch abgefasste Buch vermittelt auf 488 Seiten die klassische Theorie der Kegelschnitte in zeitgemäßer Form. Die Autoren verbinden dabei synthetische und analytische Methoden. Die mehr als 360 farbigen Illustrationen tragen wesentlich dazu bei, dass der anschaulich-geometrische Aspekt des Themas gebührend zur Geltung kommt.

Kapitel 1 beginnt mit einem Blick ins Weltall: “Our Universe is full of conics, even though we cannot always see them – like the orbits of the planets.” In informeller Weise wird daran anschließend die Route der nachfolgenden Reise durch das Universum der Kegelschnitte abgesteckt und schmackhaft gemacht. Am Anfang stehen Kegelschnitte im Rahmen der Euklidischen Geometrie. Daran anschließend wird die Beschreibung der Kegelschnitte als algebraische Kurven vom Grad 2 skizziert; es folgen Bemerkungen zur dualen Beziehung zwischen Punkten und Tangenten eines Kegelschnitts, also ein Ausblick auf die Theorie der Kegelschnitte im Rahmen der projektiven Geometrie. Ferner gibt es Anmerkungen zur Präsenz von Kegelschnitten in Natur und Kunst. Als Abrundung finden sich kurze historische Notizen zum Thema Kegelschnitte, beginnend bei Apollonius von Perga bis hin zu Felix Klein.

In Kapitel 2 wird die Euklidische Theorie der Kegelschnitte von Grund auf behandelt: die drei Brennpunktsdefinitionen (getrennt nach Ellipse, Hyperbel und Parabel), die Apollonische Definition, verschiedene Formen der Kegelschnittsgleichungen, Tangentenkonstruktionen, konfokale Kegelschnitte (Satz von Ivory) und anderes mehr. Auf Konstruktionen mit Zirkel und Lineal wird sehr ausführlich eingegangen. Ein Abstecher in die kinematische Geometrie präsentiert interessante Mechanismen, mit deren Hilfe Kegelschnitte gezeichnet werden können.

Das Thema des dritten Kapitels ist die Differentialgeometrie der Kegelschnitte. An Hand der Keplerschen Gesetze werden die Planetenbahnen als Kegelschnitte identifiziert. Weitere Themen sind die Evoluten der Kegelschnitte und eine ausgesprochen umfangreiche Diskussion der Krümmung der Kegelschnitte. Als Anwendungen folgen die punktale Approximation allgemeiner ebener Kurven durch Krümmungskreis, Schmiegparabel und Schmiegkegelschnitt sowie – nach Wechsel in den dreidimensionalen Euklidischen Raum – die Veranschaulichung der Normalkrümmung von Flächenkurven mit Hilfe der Dupinschen Indikatrix. Zur Abrundung wird auch kurz auf das oskulierende Scheitelparaboloid sowie die Meusniersche Kugel eingegangen.

Einmal in der dritten Dimension angekommen, vermittelt Kapitel 4 einiges von dem, was dort noch sehenswert ist: Kegelschnitte als ebene Schnitte von Drehkegeln (Beweis nach Dandelin), Fokalkegelschnitte, Dupinsche Zykliden, perspektive Bilder von Kegelschnitten sowie die Lösung von planimetrischen Aufgaben über Kegelschnitte mit Hilfe „räumlicher Deutung“, also unter Einsatz von Methoden der Darstellenden Geometrie.

Für ein tieferes Verständnis der Theorie der Kegelschnitte führt an der projektiven Geometrie kein Weg vorbei. Die Autoren präsentieren dieses Teilgebiet der Mathematik in Kapitel 5, wobei einiges im Detail hergeleitet und anderes ohne Beweis vorgestellt wird: Axiome der projektiven Ebene, Dualität, Perspektivitäten und Projektivitäten, homogene Koordinaten und schließlich harmonische Quadrupel. Nach dieser „Aufwärmrunde in der Ebene“ geht es nun bergan. Stationen sind die Kegelschnittsdefinition von Steiner, die Sätze von Pascal und Brianchon sowie Parametrisierungen von Kegelschnitten. Der Weg zum Gipfel lohnt allemal, denn von dort ist der Blick frei auf das Hauptergebnis von Kapitel 6: Es gibt nur einen Kegelschnitt in der projektiven Ebene!

Der projektiv-geometrische Zugang zu den Kegelschnitten nach Karl von Staudt, also mittels Polaritäten, steht im Mittelpunkt von Kapitel 7. Büschel von Kegelschnitten werden einerseits über Linearkombinationen symmetrischer 3x3 Matrizen und andererseits durch explizite Beschreibungen der auftretenden Typen vorgestellt. Natürlich dürfen hier der Involutionssatz von Desargues und die Abbildung doppelt konjugierter Punkte nicht fehlen. Letztere wird im allgemeineren Kontext der quadratischen Cremona-Transformationen untersucht, was einen Anknüpfungspunkt zur algebraischen Geometrie ergibt. Weiter geht die Reise! Ganz im Sinne des Kleinschen „Erlanger Programms“ behandelt Kapitel 8 affine Eigenschaften von Kegelschnitten, wie etwa konjugierte Durchmesser; gelegentlich werden dabei auch Euklidische Eigenschaften eingeflochten. Beziehungen zur Theorie der Bézierkurven und zur Zahlentheorie werden ausführlich besprochen. Auf die Darstellung von Querverbindungen zur Konvexgeometrie musste hingegen aus Platzgründen verzichtet werden.

In Kapitel 9 werden zahlreiche Einzelthemen auf hohem Niveau diskutiert. Im Rahmen der Euklidischen Ebene kommen Kegelschnitte in der Dreiecksgeometrie, isoptische Kurven und Fußpunktskurven von Kegelschnitten zur Sprache. Danach werden im Kontext der projektiven Geometrie poristische Probleme untersucht; das sind bekanntlich Probleme, die entweder keine Lösung oder aber unendlich viele Lösungen besitzen. Hierher gehört etwa die Aufgabe, ein Dreieck zu finden, das einen gegebenen Kreis als Inkreis und einen weiteren gegebenen Kreis als Umkreis besitzt.

Im letzten Abschnitt der Reise, also in Kapitel 10, werden Ergebnisse über Kegelschnitte in der sphärischen Geometrie präsentiert. Selbst ein sphärischer Wankelmotor kommt zur Sprache. Dass das Universum der Kegelschnitte noch viele verborgene Schätze birgt, zeigt der Schluss des Buches mit kurzen Ausblicken auf die pseudo-Euklidische und hyperbolische Geometrie.

Dieses wirklich gelungene und mit viel Bedacht abgefasste Werk richtet sich nicht ausschließlich an Lehrende und Studierende der Mathematik sondern an alle, die Liebe zur Geometrie verspüren. Sicherlich ist es auch dazu geeignet, junge Menschen für das Fach Mathematik zu begeistern. Es ist aber kein populärwissenschaftliches Buch. Vielmehr wird in klarer Gliederung und angemessener Strenge eine Fülle von Ergebnissen vermittelt, wobei die Stoffauswahl wohl die Interessen der Autoren widerspiegelt. Zugleich werden Anregungen für den Unterricht in der Schule und an der Universität geliefert. Dabei helfen neben den hervorragenden Illustrationen auch die vielen Hinweise auf Querverbindungen, die eingestreuten Aufgaben und zahlreiche Literaturzitate.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2017, Band 64, S. 223–225
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Hans Havlicek (TU Wien)

Thomas Sonar

Springer Spektrum, 2016, xxvii+596 Seiten, 49,99 €
eBook: 39,99 €

ISBN 978-3-662-48861-4
ISBN 978-3-662-48862-1

In vielen Büchern über Geschichte der Mathematik kann man – mehr oder weniger – über den Prioritätsstreit lesen. Aber erst wenn man eine ausführliche, gründlich recherchierte Darstellung wie die vorliegende in Händen hält, lassen sich die Komplexität dieses Konflikts und dessen internationale Auswirkungen abschätzen. Wegen dieser Tragweite versucht der Autor, nicht nur MathematikerInnen anzusprechen und stellt im ersten Kapitel einen Crashkurs in Differenzial- und Integralrechnung zur Verfügung, damit auch Personen, die diesen Teil der Mathematik nicht gelernt haben, besser einschätzen können, worum es bei diesem Streit aus mathematischer Sicht geht. Aber selbst wenn man diesen Teil sowie die verhältnismäßig wenigen mathematischen Überlegungen überspringt, erhält man dennoch einen interessanten Einblick in diesen Konflikt. Denn die wesentlichen Elemente des Buches sind historische Entwicklungen und persönliche Beziehungen.

Das zweite Kapitel beschäftigt sich mit den „Riesen, auf deren Schultern“ die beiden Hauptakteure standen. Der Autor beschränkt sich dabei im Wesentlichen auf Isaac Barrow und John Wallis in England bzw. auf dem Kontinent auf Blaise Pascal und Christiaan Huygens. Jeweils zuvor gibt es einen detaillierten Überblick über die Geschichte Englands bzw. über die Frankreichs und der Niederlande im 17. Jahrhundert. Dabei wiederholen sich einige Fakten: Ereignisse, die England und Frankreich betrafen, findet man sowohl in der englischen Geschichte als auch dann später in der französischen Geschichte, und analog für die niederländische.

Kapitel 3 bringt Newtons und Leibniz’ traumatische Kindheit, Schul- und Studienzeit bis zu deren raschen beruflichen Aufstieg: bei Leibniz als Jurist und Diplomat, bei Newton als Professor. Bezeichnenderweise wurde Newton bereits in dieser Zeit in Zwistigkeiten hineingezogen, und zwar mit seinem lebenslangen Feind Robert Hooke. Ein Konflikt mit Leibniz ist noch lange kein Thema, dazu gab es noch keine Berührungspunkte. Zu diesen kam es erst nach und nach, beginnend mit Leibniz’ erster Londonreise. Bei seinen Begegnungen mit englischen Wissenschaftlern agierte Leibniz eher ungeschickt und zeigte sich nicht auf dem letzten Stand wissenschaftlicher Diskussion. Auch Huygens’ Prioritätsstreitigkeiten mit englischen Mathematikern über Rektifizierungsprobleme wie auch über physikalische und technische Fragen (Uhren) begannen das Verhältnis zu belasten. In diese Zeit fielen auch Leibniz’ erste wichtige Erkenntnisse, durch die die Analysis zum Kalkül wurde.

Kapitel 5 behandelt den Briefwechsel zwischen Leibniz und Newton, anfangs ausschließlich über dazwischen geschaltete Personen. In diesen Briefen sprechen die beiden über den jeweils anderen mit ausgesuchter Höflichkeit und Hochachtung. Trotzdem lag in diesem Schriftverkehr der erste Keim zu Unstimmigkeiten, teils wegen Übersetzungsfehlern, teils wegen Auslassungen. Dies wird anhand von Zitaten aus der (meist englischsprachigen) Sekundärliteratur (ins Deutsche übersetzt vom Autor) minutiös belegt.

Das folgende Kapitel beschreibt die Karrieren der beiden Akteure in der folgenden Dekade. Insbesondere wird die Entstehungsgeschichte der „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“ genau beleuchtet. Noch immer zollten Newton und Leibniz einander den gebührenden Respekt. Aber der Konflikt wurde heiß, als vor allem englische Mitstreiter auf den Plan traten, die aus egoistischen oder nationalen Motiven Öl ins Feuer gossen. Davon handelt das 7. Kapitel. Vor allem Fatio De Duillier ist hier zu nennen, den Zeitgenossen bezeichnenderweise „Newtons Affe“ nannten. Hat er auf eigene Faust intrigiert oder mit Newtons Zustimmung? Oder gar in Newtons Auftrag? Jedenfalls schien Newton unter starkem psychischen Druck zu stehen, da er auch mit seinen englischen Kollegen Wallis und Flamsteed in Streit lag. Aber auch auf dem Kontinent wurde durch Sticheleien, vor allem durch Johann Bernoulli, der Konflikt mit der Insel am Brodeln gehalten. Gleichzeitig begann Leibniz’ Kalkül seinen Siegeszug, vor allem durch die Bernoullis, durch l’Hospital (und später dann vor allem durch Euler).

Kapitel 8 – mit dem bezeichnenden Titel „Vernichtungskrieg“ – schildert die letzten Lebensjahre unserer beiden Protagonisten und deren Konflikt, der nun endgültig zu einem Konflikt zwischen England und Kontinentaleuropa geworden war. Jede Seite ließ offenbar keine Gelegenheit ungenützt um der jeweils anderen eines auszuwischen. Und es ging dabai nicht nur um Mathematik, sondern häufig auch um Physik, Astronomie, (Al)Chemie, Philosophie, ja sogar Theologie. Während sich in England immer mehr Personen – vor allem John Keill – an dem Krieg beteiligten, schien Leibniz für sich selbst zu kämpfen. In dieser Situation wandte er sich in einem persönlichen Brief an die Royal Society mit der Bitte Keill mit seinen Anschuldigungen zurückzupfeifen. Doch nach Keills Anhörung wurde just er beauftragt, eine Beschreibung der Vorwürfe und des Disputes zu liefern. Als sich Leibniz in einem weiteren Brief an die Royal Society darüber beklagte, wurde Newton selbst aktiv. Leibniz sprach in diesen Briefen über Newton stets mit dem größten Respekt, allerdings muss festgehalten werden, dass er nicht immer ehrlich war, wenn es um den Zeitpunkt ging, zu dem er erstmals über die eine oder andere Erkenntnis Newtons las.

Mit der Zeit bis zum Tod der beiden beschäftigt sich das 9. Kapitel. Bei Newton, der Leibniz elf Jahre überlebte, war diese Zeit vor allem geprägt durch Überarbeitungen und Neuauflagen seiner Werke. In Kapitel 10 widmet sich der Autor den ersten Anfechtungen der Infinitesimalrechnung, und zwar nicht nur Bishop Berkeley und seinem Werk “The Analyst”, sondern auch Bernard Nieuswentijt, der in ähnlicher Weise Leibniz kritisierte. Durch das gesamte 18. Jahrhundert galt Newton in Großbritannien als der unbefleckte Sieger des Prioritätsstreits, während Leibniz als verschlagener Plagiator betrachtet wurde. Einer der ersten Autoren, die dieses Bild zurecht rückten, war Augustus De Morgan. Davon und vom langen Weg Englands zur Analysis handelt das 11. Kapitel. In einem abschließenden Epilog beschreibt der Autor höchst interessant, wie sich im Zuge der Arbeit an diesem Buch seine Bilder von Leibniz bzw. Newton verändert haben.

Die Seitenzahl (fast 600!) zeigt bereits, dass es sich hier um eine sehr ausführliche Darstellung handelt. Andererseits möge man sich durch diese Zahl nicht abschrecken lassen: eine große Anzahl z.T. ganzseitiger Abbildungen, vor allem von sämtlichen namentlich genannten Perönlichkeiten bzw. von Titelblättern von Publikationen, relativieren den Umfang des Werkes wieder. Die Sprache ist alles andere als trocken – im Gegenteil. Über weite Strecken liest sich das Buch richtig spannend. Doch diese Leichtigkeit soll nicht darüber hinwegtäuschen, dass mit diesem Buch ein wertvoller wissenschaftlicher Beitrag – ein Standardwerk – über eine Zeit mit einschneidenden wissenschaftshistorischen Konsequenzen vorgelegt wird.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2017, Band 64, S. 233–235
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Manfred Kronfellner (TU Wien)

 Dierk Schleicher und Malte Lackmann (Hrsg.)

Springer Spektum 2013, xv + 228 Seiten, 24,99 €
eBook: 19,99 €

ISBN 978-3642257971
ISBN 978-3642257988

Der Untertitel der englischen Originalausgabe lautet „From Competitions to Research“. Doch geht es in der von Dierk Schleicher, Professor an der Universität Bremen, und Malte Lackmann, erfolgreicher Teilnehmer der Internationalen Mathematik- Olympiade, herausgegebenen „Einladung in die Mathematik“ nicht nur um das Verhältnis von Wettbewerb und Forschung in der Mathematik. Auf etwas über 200 Seiten sind (nach einem Vorwort von Günter M. Ziegler und einer Begrüßung durch die Herausgeber) 14 voneinander unabhängige Beiträge von Mathematikern höchsten Ranges zusammengestellt. Die meisten der Autoren haben schon mit zahlreichen Preisen auf sich aufmerksam gemacht, sogar vier Gewinner der Fields-Medaille sind darunter:

(1) Struktur und Zufälligkeit der Primzahlen (Terence Tao)
(2) Wie man Diophantische Gleichungen löst (Michael Stoll)
(3) Vom Kindergarten zu quadratischen Formen (Simon Norton)
(4) Kleine Nenner: Zahlentheorie in dynamischen Systemen (Jean-Christophe Yoccoz)
(5) Sind IMO-Aufgaben wie Forschungsprobleme? (W. Timothy Gowers)
(6) Sind Forschungsprobleme wie IMO-Aufgaben? (Stanislav Smirnov)
(7) 45 Jahre Graphentheorie (László Lovász)
(8) Die Komplexität der Kommunikation (Alexander A. Razborov)
(9) Zehnstellige Probleme (Lloyd N. Trefethen)
(10) Regulär oder singulär? Mathematische und numerische Rätsel in der Strömungsmechanik (Robert M. Kerr und Marcel Oliver)
(11) über die Hardy-Ungleichung (Nader Masmoudi)
(12) Der Löwe und der Christ, und andere Verfolgungs- und Fluchtspiele (Béla Bollobás)
(13) Drei mathematische Wettbewerbe (Günter M. Ziegler)
(14) Komplexe Dynamik, die Mandelbrot-Menge und das Newton-Verfahren – oder: Von nutzloser und nützlicher Mathematik (Dierk Schleicher)

Es würde den Rahmen sprengen, auf jeden dieser Beiträge genauer einzugehen. Ganz kurze Bemerkungen werden genügen müssen, um anzudeuten, was sich Leserin und Leser erwarten dürfen und inwiefern der Band als Antwort auf die im Vorwort von Günter M. Ziegler als Generalthema aufgeworfene Frage „Was ist Mathematik?“ zu gelten vermag. Wie Ziegler schreibt, sollten wir mit keiner kurzen, abschließenden Antwort auf diese Frage rechnen. Und – auch wenn wir von der Antwort keine Endgültigkeit fordern – wieviel Raum benötigt eine wenigstens zufriedenstellende Antwort?

Es ist einer der oben aufgelisteten Autoren, der diesbezüglich Maßstäbe vorgegeben hat: Timothy Gowers hat eine kleine (bei Reclam auch in deutscher Übersetzung vorliegende) populärwissenschaftliche Schrift mit dem Titel Mathematics – a very short introduction verfasst. Außerdem ist er sowohl Herausgeber als auch Autor beträchtlicher Teile des sehr umfassenden „Princeton Companion to Mathematics“. Wie in der hier zu besprechenden „Einladung in die Mathematik“ sind darin Beiträge zahlreicher namhafter Autoren versammelt – allerdings innerhalb eines weit gesteckten Rahmens von über 1000 Seiten und mit dem (in beeindruckender Weise eingelösten) Anspruch, sehr unterschiedlichen Aspekten von Mathematik gerecht zu werden.

Im Gegensatz zu Gowers’ „Companion“ sind die 14 Artikel der „Einladung“ nicht Teil einer groß angelegten Architektur, sondern stehen auf durchschnittlich 15 bis 20 Seiten jeweils für sich.

So gibt beispielsweise Tao in (1) auf nur 8 Seiten eine extrem konzise und klare Einführung in die zentralen Fragen der Primzahlverteilung. Auch (2) und (3) sind der Zahlentheorie zuzuordnen. Das ist deshalb kein Zufall, weil gerade in der Zahlentheorie auch viele schwierige und sogar offene Probleme ohne großen begrifflichen Aufwand formuliert und somit auch dem Studienanfänger oder interessierten Laien erklärt werden können. Ähnliches gilt für Graphen- und Komplexitätstheorie, denen die Beiträge (7) bzw. (8) gewidmet sind. Gleichfalls relativ leicht zugänglich sind Grundfragen der Numerik, die in (9) anhand kurzweiliger, an sportliche Wettbewerbe erinnernden Beispielen erklärt werden. Die Artikel (5), (6) und (13) thematisieren explizit das Verhältnis von mathematischem Wettbewerb und mathematischer Forschung. Naheliegender Ansatzpunkt, um Interesse zu wecken, sind natürlich auch die vielfältigen Anwendungen der Mathematik. Auch auf solche zielt (11) ab – selbst wenn gerade der Name Hardy so sehr wie kaum ein anderer mit reiner, anwendungsferner Mathematik assoziiert wird und die Hardy-Ungleichung zunächst auch lediglich als eine Formel neben mehreren anderen eingeführt wird. In (4) illustriert Yoccoz am Beispiel dynamischer Systeme, wieso die traditionell der „reinen Mathematik“ zugeordnete Zahlentheorie sehr wohl auch für die „reale Welt“ von Bedeutung ist. Gleichfalls Fragen aus der Dynamik sind Thema des letzten Artikels (14), der mit einer sehr lesenswerten Bemerkung schließt, die gegen eine Unterscheidung zwischen „nützlicher“ und „nutzloser“ Mathematik Stellung nimmt und die Wichtigkeit innermathematischer Querverbindungen hervorhebt. Der mit 30 Seiten längste Beitrag des Bandes ist (10), eine hervorragende Einführung in die mathematischen Grundlagen der Strömungsmechanik samt Vektoranalysis. Neben den bisher erwähnten Aspekten der Mathematik gibt es zahlreiche andere, die sich teilweise leider nicht so leicht in einer populären „Einladung in die Mathematik“ darstellen lassen, etwa die Bildung abstrakter Begriffe. In diese Richtung kann dennoch Abschnitt 4 des Beitrags (12) empfohlen werden, wo der anspruchsvolle spieltheoretische Begriff einer Strategie bei kontinuierlicher Zeit thematisiert wird.

Insgesamt besteht ein besonderer Vorzug dieses Bandes in der Vereinigung von Einzelbeiträgen, die, jeder für sich, in relativ kurzer Zeit genossen und recht leicht verdaut werden können. Für die Qualität der einzelnen Beiträge bürgen alleine die Namen der Autoren.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2017, Band 64, S. 237–239
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Reinhard Winkler (TU Wien)