Leseecke

Alfred Schreiber

Edition am Gutenbergplatz Leipzig; Auflage: 1 (11. September 2013); Taschenbuch, 211 Seiten; 19,50 €

ISBN-10: 3937219684
ISBN-13: 978-393721968

Dieser Band versammelt Beiträge, die Alfred Schreiber über Jahre für seine Kolumne „Denkzettel“ in den Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung verfasst hat. Auf scharfsinnige Weise setzt er sich mit Themen auseinander, die das Wechselspiel von Mathematik und ihrer Didaktik mit z.B. Literatur, Kunst oder Erkenntnistheorie widerspiegeln; die Namen Queneau, Kandinsky oder Wittgenstein seien stellvertretend für viele Protagonisten genannt.

A propos Wittgenstein: Von diesem stammt die Sentenz „Alles was sich aussprechen lässt, lässt sich klar aussprechen“. Wie zum Beweis dieses Diktums sind die Schreiberschen Miszellen in glasklarer Prosa gefasst, manchmal mit einem leicht ironischen Unterton. Um sie genießen zu können, ist allerdings kein Universitätsstudium erforderlich, wenngleich sie ursprünglich für professionelle Mathematiker geschrieben wurden.

Ein Wort noch zum Titel: Die namengebende Enttäuschung ist hier häufig als Ent-täuschung zu verstehen, denn, so der Autor: „Ich kenne keine Wissenschaft, die so einfallsreich und produktiv mit ihren Enttäuschungen umzugehen weiß.“

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)

Robert Resel

Logos Berlin (15. Oktober 2014), Taschenbuch: 287 Seiten, 44 €

ISBN-10: 3832538097
ISBN-13: 978-3832538095

Der vorliegende Reisebericht führt die Leser durch einige Gebiete der Mathematik, nämlich Stochastik, Analysis, Arithmetik und Algebra sowie Geometrie. Für manche Zwischenstops ist lediglich elementares Schulwissen erforderlich, andere benötigen Kenntnisse auf Universitätsniveau. Generell ist es das Anliegen des Autors, der an einem Wiener Gymnasium Mathematik unterrichtet, neue Sichtweisen auf bekannte Sachverhalte zu vermitteln, und häufig ist diese Sichtweise geometrisch und sehr erhellend; siehe z.B. die Herleitung des Gaußschen Fehlerintegrals \(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi}\).

Leider gibt es neben Licht auch Schatten, da sich doch einige Fehler eingeschlichen haben; der geometrische Beweis der Produktregel der Differentiation ist unhaltbar, und beim Fundamentalsatz der Algebra gibt es gleich zwei dicke Probleme: Weder ist es richtig, dass eine differenzierbare Funktion auf \(\mathbb R\) oder \(\mathbb{R}^2\) ohne lokale Extremalstellen unbeschränkt ist, noch ist es ein auch nur entfernt akzeptables Argument, eine Funktion sei beschränkt, wenn sie „nie \(\infty\) als Funktionswert“ annimmt.

Im Einzelnen nimmt sich der Autor zuerst einige stochastische Themen vor. Leider gibt er dabei eine Heuristik als Beweis aus; die Aussage, die schließlich formuliert und als angeblich lokaler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace vorgestellt wird, ist vom Kaliber „Die Größe A ist ungefähr gleich der Größe B“, was alles und nichts bedeuten kann und als mathematische Aussage unbrauchbar ist. (Übrigens handelt es sich im Text gar nicht um die lokale Version dieses Satzes, und für einen wirklich stichhaltigen Beweis wird eine Prise gleichmäßige Konvergenz benötigt, von der die vorliegende Darstellung um Einiges entfernt ist.)

Das nächste Kapitel über Analysis zeigt einen interessanten Blick auf das Standardthema der Oberstufenmathematik, nämlich Extremwertaufgaben. Mit Freude habe ich eine Aufgabe wiedergefunden, die zu einer meiner Abituraufgaben äquivalent ist und hier sehr elegant mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren gelöst wird. Das folgende algebraische Kapitel ist in weiten Teilen erheblich elementarer; es geht um Brüche, binomische Formeln, quadratische Gleichungen und schließlich um komplexe Zahlen. Auch der Begriff der Gruppe kommt vor; das vorgestellte Beispiel ist allerdings keine, da \(1\oplus1\) überhaupt nicht definiert ist. (In der geometrischen Verkleidung taucht das Problem nicht auf!)

Das letzte und umfangreichste Kapitel widmet sich der Geometrie in vielen Facetten: analytische Geometrie (und lineare Algebra), Trigonometrie, die Geometrie des 4-dimensionalen Raums, etwas algebraische Geometrie, hyperbolische Flächen und klassische Dreiecksgeometrie.

Ich könnte mir vorstellen, dass engagierte Lehrerinnen und Lehrer in diesem Buch viele interessante und nicht sehr bekannte Zugänge zu schulrelevanten Themen finden; wie gesagt spielt hier die geometrische Sichtweise eine große Rolle, die im Schul- und universitären Unterricht bisweilen vernachlässigt wird. Insofern ist der Text für diese Leserschaft gewiss eine Bereicherung. Ich hätte mir allerdings gewünscht, dass der Autor Heuristiken nicht zu Beweisen erhebt (er weist ja selbst auf Seite 21 auf den Unterschied hin), und die Mitwirkung eines TEX-kundigen Layouters hätte sicher auch nicht geschadet.

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)

Bücher rund um die Mathematik sind alles andere als langweilig und neben Fach- und Lehrbüchern gibt es viele weitere Werke, in denen die Mathematik Thema ist. Hier geben wir Ihnen zu ausgewählten Werken unabhängige Rezensionen und Kritiken an die Hand. Die hier rezensierten Werke sind im freien (Buch-)handel erhältlich, nicht bei der DMV!

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Karlheinz Schüffler

Zweite, neu bearbeitete Auflage, Springer Spektrum 2017, xv + 280 Seiten, 24,99 €
eBook: 19,99 €
ISBN 978-3-658-15185-0
ISBN 978-3-658-15186-7 eBook

Ein Tasteninstrument sauber zu stimmen - im Zeitalter präziser elektronischerMessgeräte scheint das keine allzu große Kunst mehr zu sein. Dass dahinter aber (aus theoretischer und historischer Perspektive) eine Menge Mathematik verborgen ist, zeigt das Buch „Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma“ von Karlheinz Schüffler.

In der heute gebräuchlichen gleichstufigen Stimmung entsprechen sieben Oktaven genau zwölf (gleichstufige) Quinten. Das ist aber nicht richtig, wenn die Quinten völlig rein gestimmt werden, wie eine einfache Rechnung zeigt: Das Frequenzverhältnis der Oktave zum Grundton ist 2 : 1, das der reinen Quinte 3 : 2. Das Verhältnis von zwölf Quinten zu sieben Oktaven ist also

\(\varepsilon_P:=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{12}}{2^7}=\frac{3^{12}}{2^{19}}\approx 1,\!0136\)

Dies entspricht etwa 1/8 eines Ganztons. Der Unterschied ist also deutlich hörbar. Der Überlieferung nach war dieses Phänomen bereits Pythagoras bekannt; das Intervall mit Frequenzverhältnis \(\varepsilon_P\) ist das berühmte „Pythagoräische Komma“. Zwischen der 11. Quinte und der 12. Oktave entsteht dabei ein Intervall, das genau um das Pythagoräische Komma kleiner ist als eine reine Quinte, die sogenannte „Wolfsquinte“, die für das Ohr unschön klingt.

Die aus Quinten und Oktaven generierte „pythagoräische Skala“ war bis ins Mittelalter hinein das vorherrschende System in der Musik. Mit der Entwicklung der Mehrstimmigkeit erkannte man immer mehr die Nachteile der pythagoräischen Tonleiter, denn neben der Wolfsquinte klingen in ihr auch Dur- und Moll-Akkorde nicht rein und das Transponieren in andere Tonarten ist nur sehr eingeschränkt möglich.

Während Streicher und Sänger ihre Intonation der jeweiligen Tonart anpassen können, ist dies bei einem Tasteninstrument nicht möglich. Temperierung bedeutet, eine Stimmung zu wählen, bei der möglichst viele Tonarten spielbar sind und gleichzeitig die Akkorde nicht allzu unsauber klingen.

Durch die Musikgeschichte hindurch gab es unterschiedliche Ansätze, das Temperierungsproblem zu lösen. Karlheinz Schüffler systematisiert und beschreibt in seinem Buch unterschiedliche historische Tonsysteme, angefangen von der pythagoräischen Skala über die rein-harmonische Stimmung und die Mitteltönigkeit bis hin zum heute meist verwendeten gleichstufigen System. Bemerkenswert im Vergleich zu anderer Fachliteratur ist dabei vor allem der Ansatz, die Skalen als Beispiele einer allgemeinen mathematischen Theorie von quintgenerierten Tonleitern zu beschreiben, sofern dies möglich ist.

Das erste Kapitel legt die Grundlagen für die folgenden und bietet dabei einen Überblick über die behandelten Themen. So wird z.B. die für das Buch zentrale Intervallarithmetik erklärt, das Cent-Maß wird eingeführt und das Eulersche Tongitter wird vorgestellt. Leider teilt der Autor dem Leser nicht immer mit, welche Konzepte er in einem späteren Kapitel genauer erläutern wird und welche nicht. Im zweiten Kapitel wird die bereits im ersten Kapitel eingeführte Intervallarithmetik verwendet, um eine allgemeine (algebraische) Theorie von quintgenerierten Skalen herzuleiten. Der Begriff „Quinte“ kann je nach verwendeter Temperierung eine unterschiedliche Bedeutung haben. Beispielsweise umfasst die reine Quinte der pythagoräischen Skala 702 Cent, die Quinte der gleichstufigen Temperierung hat 700 Cent und diejenige von mitteltönigen Stimmungen zwischen 694 und 698 Cent. Deshalb definiert der Autor eine abstrakte Quinte und nutzt Gruppenstruktur und Äquivalenzklassen, um allgemeine Eigenschaften von quintgenerierten Tonleitern beschreiben zu können. Ein sehr interessanter Ansatz, weil er die Stärke mathematischer Abstraktion an einem einfachen Beispiel zeigt. Schade nur, dass abstrakte Theorie und konkrete Beispiele nicht immer scharf genug getrennt werden.

Die Kapitel 3 bis 7 sind dann den unterschiedlichen Stimmungen bzw. Temperierungen gewidmet. Zunächst wird die bereits im Grundlagenkapitel eingeführte pythagoräische Stimmung, die aus reinen Quinten generiert wird, nochmals ausführlich erklärt, auch unter Berücksichtigung des historischen Kontexts (Kapitel 3). Das im folgenden Kapitel behandelte natürlich-harmonische System ist nicht ausschließlich aus Quinten generiert und nutzt stattdessen das auf Leonard Euler zurückgehende Eulersche Tongitter, welches in seiner klassischen Form in der einen Richtung aus reinen Quinten und in der anderen aus reinen großen Terzen besteht. Dieses Kapitel enthält einige interessante Aspekte, z.B. zur harmonischen Teilung von Intervallen und der dazugehörigen elementaren Mathematik. Es fehlt aber etwas der rote Faden, weshalb das Kapitel nicht leicht lesbar ist.

Es folgen zwei Kapitel über mitteltönige und andere historische Temperierungen. Die mitteltönigen Skalen werden generiert aus einer Quinte, die so gewählt wird, dass entweder möglichst viele reine große Terzen oder möglichst viele reine kleine Terzen entstehen. Die anderen vorgestellten historischen Temperierungen lassen sich meist nicht allein aus Quinten erzeugen.

Allen bisher vorgestellten Temperierungen ist gemeinsam, dass dabei unterschiedlich große Halbtöne entstehen. Dadurch erhält jede Tonart ihre eigene Charakteristik. Bei der in Kapitel 7 beschriebenen gleichstufigen Temperierung ist dies anders. Sie entsteht, indem man die Oktave in zwölf genau gleich große Intervalle (Halbtöne) teilt. Mathematisch basiert die Teilung im wesentlichen auf dem geometrischen Mittel.

Das letzte Kapitel enthält eine Ansammlung von mathematischen Konzepten, die in einem Zusammenhang zur Thematik stehen, in den übrigen Kapiteln aber als zu schwierig für mathematisch weniger versierte Leser angesehen wurden. Über Jahrhunderte wurde die Musik als eng verwandt mit mathematischen Disziplinen angesehen. Das ist heute nur noch Wenigen bewusst. Karlheinz Schüffler zeigt in seinem Buch, wo man mathematische Konzepte aus der Schulmathematik und dem Grundstudium in der Musiktheorie wiederfinden kann.

Hier nur einige Beispiele:

• der Logarithmus,
• der Strahlensatz aus der elementaren Geometrie,
• arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel,
• Primzahlen,
• Äquivalenzklassen,
• Gruppenstruktur.

Bei weitem das meiste mathematische Vorwissen benötigt man für folgenden Satz, der im Buch auf mehrere Arten bewiesen wird: Für \(q\in\mathbb{C}\) mit \(|q|=1\) ist die Menge \(\{q^k\;:\;k\in\mathbb{Z}\}\) entweder endlich oder sie liegt dicht im Einheitskreis der komplexen Ebene. (Als Anwendung auf die Musiktheorie kann man hieraus folgern, dass man jedes Intervall beliebig genau durch Aufeinanderschichten von reinen Quinten und geeignete Reoktavierung approximieren kann.)

Laut Klappentext ist das Buch auch an Nichtmathematiker gerichtet. Tatsächlich werden für die meisten vorgestellten Themen nur relativ geringe mathematische Vorkenntnisse gebraucht. Allerdings wird der Laie vielerorts von der stark formalen Sprache irritiert sein, während der Mathematiker an manchen Stellen die mathematische Präzision vermisst. Trivialitäten werden teilweise sehr breit und unnötig kompliziert dargestellt, über schwierigere Punkte dagegen wird stellenweise schnell hinweg gegangen. Und nicht immer wird transparent genug dargestellt, welchen Mehrwert es mit sich bringt, aus der Musiktheorie wohlbekannte Tatsachen zu mathematisieren.

Trotzdem kann das Buch durchaus als Grundlage für ein interdisziplinäres Seminar für Lehramtsstudierende mit den Unterrichtsfächern Mathematik und Musik dienen, sofern der Dozent bereit ist, genügend Zeit und Mühe in die Betreuung zu investieren.

„Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma“ behandelt ein spannendes Thema, zu dem es sonst wenig deutschsprachige Literatur gibt. Für den mathematikinteressierten Musiker oder den musikinteressierten Mathematiker bietet das Buch eine Vielzahl von interessanten Ansätzen zum Weiterdenken, vielleicht gerade deshalb, weil in der Darstellung noch nicht alles ausgereift und glattgeschliffen ist.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2017, Band 64, S. 249–252
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Cornelia Kaiser (Uni Paderborn)

Ronald S. Calinger

Princeton University Press, 2015, 696 Seiten, 36,99 €
eBook: 35,27 €
ISBN 9780691119274
ISBN 9781400866632

Die vorliegende Biographie sprengt in mannigfaltiger Hinsicht den Rahmen des Üblichen. Obwohl das 696 Seiten umfassende Werk zweifellos als Hauptmotiv Euler und dessen aussergewöhnliche wissenschaftliche Leistungen in den Vordergrund spielt, gelingt es dem Autor überdies in unnachahmlicher Weise die wesentlichen Strömungen philosophischer, theologischer und politischer Denkungsart einzufangen, die das so kurze Jahrhundert der Aufklärung ausmachen.

Die aus chronologisch angeordneten 15 Kapiteln bestehende Monographie – den wesentlichen Stationen der bewegten und ereignisreichen wissenschaftlichen Karriere Eulers angepasst – lässt einerseits den klassischen linearen Leseansatz für eine Erkenntnis steigernde Zeitreise in die Geschichte der Mathematik zu, bietet jedoch auch andererseits, durch das Vorhandenseins eines ausführlichen Sachregisters, die praktische Möglichkeit sich spezifischen Themenkreisen, vom Königsberger Brückenproblem, über die griechisch-lateinischen Quadrate (Problem der 36 Offiziere), zum Prinzip der kleinsten Wirkung, dem großen Fermatschen Satz, oder der Lösung des Basler Problems, zuzuwenden.

Das Namenregister ermöglicht zusätzlich eine penible Beschäftigung mit den wechselseitigen Beziehungen, Querelen und Disputationen zwischen den unterschiedlichen Denkschulen der wissenschaftlichen Aufklärung. Als Beispiel dafür mag die detaillierte Beschreibung von Eulers Verwicklung in zahlentheoretische Fragestellungen dienen, die anhand der langjährigen Korrespondenz mit Goldbach die minutiöse Verfolgung der von Euler erzielten Fortschritte bewerkstelligt.

Callinger zeichnet nebenbei die unbeirrte, jedoch Störungen vom Rang russischer Staatsstreiche oder schlesischer Kriege unterworfene, Umlaufbahn eines wissenschaftlichenWandersterns im Einflussbereich zweier gigantischer politischer Machtzentren, Preussen und Russland, und beschreibt, wie eine mit vernachlässigbarer politischer Masse versehene mathematische Koryphäe zur wesentlichen Gestaltung der neugegründeten Akademien zu Berlin und Sankt Petersburg beitragen konnte.

Zusammenfassend erweist sich Calingers Euler-Biographie als eine wahre Fundgrube mathematisch-historischer Kleinodien und beeindruckt vor allem durch die erstaunliche Vielfalt und Menge an Informationen, die dem Leser zur Verfügung gestellt werden. So haben sich mir aus der Fülle genealogischer Hinweise, die das erste Kapitel bevölkern, vor allem zwei Merkwürdigkeiten unauslöschlich eingeprägt. Die erste betrifft Eulers Großmutter väterlicherseits, – die Tochter eines Zuckerbäckers, der aus dem heimatlichen Vöcklabruck an den Bodensee verschlagen wurde. Kein, wie auch immer gearteter, Grund Euler zu einem Achtel der Eidgenossenschaft streitig zu machen. Dies umso mehr, da (das im 17ten Jahrhundert finanziell nicht allzu glückliche) Österreich das Land Ob der Enns gleich zweimal an die Bayern verpfänden musste.

Die zweite, weitaus interessantere, Merkwürdigkeit betrifft die vorgymnasiale mathematische Ausbildung des jungen Euler, die er seinem Vater Paul zu verdanken hatte. Nicht der erwartbare Einstieg mittels der Euklidischen Geometrie war das Lehrinstrument der Wahl, sondern ein schwieriger algebraischer Text, die „Cosa“ des Schlesiers Christoph Rudolff, in der vom Cossisten Michael Stifel verfassten erweiterten zweiten Ausgabe von 1553. Es klingt paradox, dass Eulers mathematische Initiation einem fatalen Rechenfehler Stiefels zu verdanken ist. Das von ihm für den 19ten Oktober 1533, 8 Uhr früh, berechnete Datum der Apokalypse hat sich, keineswegs bedauerlicherweise, als nicht korrekt erwiesen.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2017, Band 64, S. 221–222
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Alexander Mehlmann (TU Wien)