Leseecke

The Best Writing on Mathematics 2016

Mircea Pitici,  Editor
Princeton University Press 2017, xxii+377 Seiten, 27,03 €

ISBN 978-0-691-17529-4
ISBN 978-1-400-88560-2

Dies ist der siebte Band mit nicht-technischen Artikeln über Mathematik und ihre Rolle in der menschlichen Zivilisation, die Mircea Pitici unter dem Titel „The Best Writing on Mathematics“ zusammengestellt hat. Es handelt sich durchweg um schon vorher publizierte Artikel jüngeren Datums.

Im ersten Band „2010“ wurden die Artikel noch unter den Überschriften Mathematics Alive, Mathematicians and the Practice of Mathematics, Mathematics and its Applications, Mathematics Education, History and Philosophy of Mathematics  Mathematics in the Media, gruppiert. Diese Aufteilung hat der Herausgeber schon im zweiten Band aufgegeben, sie vermittelt aber ein guten Eindruck von der Bandbreite der Beiträge. Der aktuelle Band enthält insgesamt 30 Artikel, die hier natürlich nicht im Einzelnen besprochen werden können. Pitici gibt einen kurzen Überblick auf drei Seiten. Außerdem listet er in einem Abschnitt „More writings on Mathematics“ fast 70 Bücher auf, die in den letzten fünf Jahren erschienen sind und vom Stil her zu den ausgewählten Artikeln passen. Am Ende des Buches findet sich ein Abschnitt „Notable Writings“ mit nochmal zwölf Seiten mit Referenzen auf lesenswerte Artikel, die es aber nicht in die Auswahl geschafft haben. Vergleichbare Elemente waren auch in den Vorgängerbänden enthalten.

Die Autorenschaft der Artikel ist so divers wie die behandelten Themen. Über die Jahre findet man Fieldsmedaillisten wie Timothy Gowers, David Mumford und Terence Tao sowie bekannte Popularisierer von Mathematik wie Keith Devlin, Burkhard Polster und Ian Stewart, aber auch ganz junge Autoren und solche, die nicht als Mathematiker oder in der Mathematiklehrerausbildung arbeiten.

Nicht-technische und trotzdem interessante Artikel über Geschichte, Anwendungen oder Philosophie der Mathematik, Zielsetzungen und Formen des Mathematikunterrichts oder Themen der „Recreational Mathematics“ zu schreiben erscheint gut machbar. Sehr viel weniger klar ist, ob so etwas auch für das Thema aktuelle mathematische Forschung denkbar ist. Bei der Durchsicht der bisher erschienenen Bände stellt man fest, dass es in der Tat eine Reihe von sehr schönen Beiträgen über aktuelle Entwicklungen der Mathematik gibt. Sie konzentrieren sich thematisch aber dort, wo zumindest die Fragestellung klare Anknüpfungspunkte in den üblichen Bereichen Kombinatorik, Zahlentheorie, fraktale und simpliziale Geometrie sowie Berechenbarkeit hat. Exemplarisch dafür sind die Beiträge über die abc-Vermutung („The Impenetrable Proof“ von Davide Castelvecchi) und die (Widerlegung der) Triangulierungsvermutung („Some Spaces Can’t Be Cut“ von Kevin Hartnett). Eine Ausnahme im 2016er Band ist der Beitrag „Mathematicians Chase Moonshine’s Shadow“ von Erica Klarreich, in dem es um Gruppentheorie, modulare Funktionen und String-Theorie geht.

Der Herausgeber stellt in der Einleitung zum 2015er Band fest, dass er seine Reihe explizit als serielle Institution sieht, die auch ein Forum für den Austausch von Ideen sein soll. Ganz in diesem Sinne bringt er auch Beiträge, die die üblich gewordenen Sichtweisen in Frage stellen. So kontrastiert „The Reasonable Ineffectiveness of Mathematics“ von Derek Abbott in interessanter Weise das vielzitierte Diktum von der „Unreasonable Effectiveness of Mathematics“ von Eugene Wigner. Bemerkenswert finde ich, wie wenig thematische Wiederholungen sich trotz des seriellen Charakters in den vorliegenden sieben Bänden finden.

Wenn ich hier nicht im Einzelnen auf die Beiträge zu Geschichte, Anwendungen oder Philosophie der Mathematik, zu Zielsetzungen und Formen des Mathematikunterrichts oder zu Themen der „Recreational Mathematics“ eingehe, dann heißt das keineswegs, dass ich sie nicht interessant gefunden habe. Im Gegenteil. Anläßlich dieser Besprechung habe ich jeden einzelnen Artikel des 2016er Bandes gelesen. Im Interesse einer zeitnahen Besprechung habe ich in den Vorgängerbänden jeweils nur eine kleine Auswahl von Beiträgen genauer angeschaut. Aber schon beim Überfliegen der anderen Beiträge wurde vielfach meine Neugier geweckt und so werden diese sieben Bände von „The Best Writing on Mathematics“ noch eine ganze Weile mein Nachtkästchen zieren. Und nächstes Jahr kommt hoffentlich ein neuer Band hinzu.

Rezension: Joachim Hilgert (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2017, Band 64, S. 253–254
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Spiel, Zufall und Kommerz
Theorie und Praxis des Spiels um Geld zwischen Mathematik, Recht und Realität

Thomas Bronder
Springer Spektrum Verlag (25. Februar 2016), Taschenbuch, 320 Seiten, 29,99 €

ISBN-10: 3662488280
ISBN-13: 978-3662488287

Der Autor war jahrelang Leiter des Spielgerätelabors der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt und beriet den „Spielausschuss“ beim Bundeskriminalamt. Aus diesen praktischen Erfahrungen und intensiven Recherchen ist dieses Buch entstanden.

Nach einer sehr kurzen Einführung in die Geschichte des Spiels (6 Seiten) folgen die drei großen Kapitel mit den Überschriften „Das Spiel“, „Der Zufall“ und „Der Kommerz“.

Im ersten Kapitel werden die unterschiedlichsten Spiele beschrieben und nach verschiedenen Kriterien klassifiziert und tabellarisch dargestellt:

nach Spielgegenständen (u. a. Würfel, Brett- und Kartenspiele, Lotterien, Wetten)
Zufall oder Geschicklichkeit oder Mischformen beider
Ein-, Zwei- oder Mehrpersonenspiele
Turnierspiele (häufig beim Sport).

Rechtliche Aspekte von Glücksspielen (Spieltempo, Einsatz, Gewinn und Zufallsanteil) werden erläutert. Das Messen des Zufallsanteils wird an den beiden Spielen Skat und Poker diskutiert mit dem Ergebnis, dass das (üblicherweise vielfach wiederholte) Skat als Geschicklichkeitsspiel anzusehen ist, Poker hingegen – auch als Spielserie – ein Glücksspiel bleibt. Weiterhin geht der Autor auf die Spieldefinition John von Neumanns ein und stellt die von diesem verwendeten mathematischen Begriffe „Baum“, „Strategie“, „Gewinnfunktion“ und „Nullsummenspiel“ vor sowie die Klassifizierung nach Spielen mit perfekter, imperfekte oder fehlender Information.

Im Kapitel „Der Zufall“ wird dieser Begriff ausführlich analysiert und mit den Kategorien „Wahrscheinlichkeit“ und „Unabhängigkeit“ in Beziehung gesetzt; Zufallsgeräte und (Pseudo-)Zufallszahlengeneratoren werden systematisch vorgestellt. Der Autor entwickelt die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung bis hin zum Gesetz der großen Zahlen und der Gauss‘schen Normalverteilung. Interessant und ausführlich dargestellt ist die Methode der Irrfahrten, die zur Darstellung der Spielabfolge (hier insbesondere beim Roulette) dient. Mit diesem Hilfsmittel können die Begriffe Verlust- und Gewinnquote, Nettogewinnzone gut veranschaulicht werden. Die Diagramme zeigen auch sehr überzeugend, dass es bei einer Spielserie im Roulette oder bei Geldspielautomaten einen Grenzpunkt (den Punkt ohne Rückkehr - point of no return) gibt, „ab dem es trotz weiterer zufälliger Gewinne keine Rückkehr mehr zu einem Nettogewinn gibt“ (mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,7 %, 3σ-Vertrauensintervall). Erstaunt hat mich Bronders Feststellung, dass die modernen Spielautomaten aufgrund der eingebauten Mikroprozessoren und der komplexen Programmierung eine Überprüfung der vom Hersteller angegebenen Auszahlungsquote nur angenähert experimentell durch sehr lange Testserien erlauben.

Das Kapitel „Der Kommerz“ handelt von der Konstruktion von Glücksspielen (Gewinnplanerstellung bei verschiedenen Spielen, Bestimmung von Auszahlungsquoten), weiter von Wetten und Buchmachern, Schneeballsystemen, vermeintlich sicheren Spielsystemen (Martingale) beim Roulette sowie von Spielmanipulationen und Falschspielern. Weiter werden Aspekte der Wirtschaftlichkeit von Spieleanbietern (z.B. Automatenaufstellern und Spielbanken) diskutiert.

Das Buch enthält eine lange Liste der verwendeten Quellen sowie ein Stichwortverzeichnis, bei dem leider das letzte Kapitel nicht berücksichtigt worden ist.

Eine Fülle von mathematischen, technischen, juristischen und ökonomischen Aspekten wird geboten. Laut hinterem Buchdeckel „liegt hiermit nun eine kleine ‚Bibel‘ des Spiels um Geld vor, die für Spieler, Veranstalter und Automatenaufsteller ebenso interessant ist wir für Erfinder und Sachverständige, Gesetzgeber und Richter“. Für Leser, die nicht zu diesem Adressatenkreises gehören, dürfte die Lektüre weniger geeignet sein – dafür ist es in vielen Teilen doch zu speziell und zu ausführlich.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Von Eins bis Neun
Große Wunder hinter kleinen Zahlen - Über 100 mathematische Exkursionen für Neugierige und Genießer

Marc Chamberland
Springer Spektrum Verlag (10. Oktoberr 2016), Taschenbuch, 248 Seiten, 19,99 €

ISBN-10: 366250250X
ISBN-13: 978-3662502501

Ein etwas ungewöhnliches Verfahren verwendet der US-amerikanischen Autor, um Lust auf Mathematik zu machen. Über 100 mathematische Miniaturen werden wie durch ein Raster gesiebt und den Zahlen von Eins bis Neun zugeordnet. Nicht der innermathematische Zusammenhang der Themen war das Kriterium, nach dem er diese zusammengestellt hat, sondern ein äußeres Merkmal: Hat der beschriebene Inhalt (ein Satz, eine Eigenschaft) etwas mit den Zahlen von Eins bis Neun zu tun, so wird es dem entsprechenden Kapitel zugeordnet.

Bei der Auswahl seiner Themen hat der Autor nicht auf manche der berühmten klassischen Aussagen verzichtet. So fehlen z. B. auch nicht Goldbach-Vermutung und Primzahlzwillinge (Kapitel 2), Winkeldreiteilung und großer Fermat‘scher Satz (Kapitel 3), Vierfarbensatz (Kapitel 4) und platonische Körper und Galois-Theorie (Kapitel 5).

Nicht immer ist die Zuordnung so einleuchtend wie in den vorgenannten Beispielen. Die Collatz-Vermutung, auch als (3n+1)-Problem bekannt, gehört für Chamberland deshalb in Kapitel 3, Conways Game of Life wird in Kapitel 8 aufgeführt, weil die Nachbarschaft jeder Zelle aus 8 Zellen besteht und deren Eigenschaften die nächste Generation bestimmen. Bei der Ungleichung von arithmetischen und geometrischen Mittel meint der Autor, „die Zahl 2 ist hier nicht zu übersehen“ und demnach ist diese Eigenschaft im Kapitel 2 zu finden. Ebenso wie das Newton‘sche Näherungsverfahren zur Nullstellenbestimmung, hier mit der Begründung, dass sich bei der Iteration schrittweise die Anzahl der exakten Nachkommastellen verdoppelt.

So ungewöhnlich und teilweise reizvoll dieser Ansatz ist, so erscheinen mir aber manche Zuordnungen doch recht willkürlich, so etwa die der 1 zugeordneten Abschnitte, die auf Grund einer 1-deutigen Eigenschaft hier aufgeführt sind. Andere Beispiele halte ich für ziemlich uninteressant – sie verdanken ihre Aufnahme in dieses Buch offensichtlich allein der Tatsache, dass sie zu einer der Zahlen von eins bis neun passen.

Der mathematische Schwierigkeitsgrad wechselt, am Anfang eines Kapitels ist er meist geringer. Selten werden Beweise ausgeführt, wenn, dann natürlich nur bei einfachen Problemen. Meistens werden diese nur beschrieben. Kurze biografische Notizen werden manchmal eingefügt, so etwa zu Abel, Galois, Ramanujan und Erdös – der Autor hat sich also, wie andere vor ihm, besonders prägnante Lebensläufe ausgewählt.

Man kann die Abschnitte – selbst die längeren umfassen nur wenige Seiten – völlig unabhängig voneinander lesen, auch selten nur werden Bezüge zu anderen Teilen des Buches hergestellt. Das ist einerseits ein Vorteil, wenn man tatsächlich die Mathematik nur häppchenweise konsumieren will, andererseits aber ist es so fast gar nicht möglich, größere Zusammenhänge darzustellen. Solche und vor allem auch ausführlichere Vertiefungen kann man in den Büchern finden, die der Autor im Literaturverzeichnis angibt (von den 46 Titeln sind 70% in Englisch).

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Zahlentheorie für Einsteiger
eine Einführung für Schüler, Lehrer, Studierende und andere Interessierte

A. Bartholome, J. Rung, H. Kern
Vieweg+Teubner Verlag, 7. Auflage 2010, 220 Seiten, 22,90 €

ISBN: 3-834-81213-7

Um es gleich vorwegzunehmen, Computeralgebra im engeren Sinne – etwa gar in einem heute weit verbreiteten Verständnis von ”Computeralgebra in der Schule“ als Unterweisung in der Nutzung eines der Systeme – kommt in diesem schönen Büchlein und auch auf der Webseite http://www. andreasbartholome.de mit Online-Materialien zum Buch nicht vor. Lassen wir zunächst die Autoren sprechen: ”Das Buch wurde für die Schulbank geschrieben, für Pluskurse oder freiwillige Arbeitsgemeinschaften in Mathematik und Informatik, als Anregung für Jugend-forscht-Arbeiten ...und möchte etwas von dem spielerischen und experimentellen Charakter der Zahlentheorie vermitteln. Es wird zeigen, wie man den Computer sinnvoll einsetzen kann – und es soll verdeutlichen, welche Grenzen diesem Rechenknecht gesetzt sind. ...Es ist ein Unterschied, ob man um des Rechnens willen rechnet, oder ob man rechnet, weil man einer aufregenden Entdeckung auf der Spur ist. ...Inhaltlich haben wir uns das Ziel gesteckt, einen wichtigen Primzahltest zu verstehen, wie er von fertigen Computerprogrammen zur Zahlentheorie verwendet wird. Dabei gehen wir nicht immer geradlinig auf unser Ziel zu, sondern verweilen gern am Wegrand, ja nehmen auch Umwege auf uns, wenn wir dort eine bunte Blume zu entdecken meinen.“

Damit ist der Bogen, welcher auf den 180 Seiten dieses Büchleins gespannt wird, auch schon gut umrissen – der Test, um dessen Verständnis es letztlich geht, ist der starke Pseudoprimzahltest von Rabin und Miller. Auch der Weg, den ein mathematisch interessierter Oberschüler bis zu diesem ersten Gipfel der Mathematik zu gehen hat, und an welchen Orten er dabei vorbeikommen muss, ist hinreichend bekannt. Für Hochschul- Mathematiker sind dies ausgetretene Wege, die hinein in die Hochgebirgslandschaft der modernen Mathematik führen mit ihren um Vieles attraktiveren Sechstausendern, so dass kaum einer von ihnen in der Lage sein wird, die Feinheiten dieses Wegabschnitts mit den Augen eines Oberschülers zu betrachten.

Die Autoren sind engagierte Lehrer an bayrischen Gymnasien und haben sich diesen Blick nicht nur bewahrt, sondern wissen aus eigener jahrzehntelanger Arbeit mit interessierten Schülern auch, wie die schwierige Balance zwischen Führen und freiem Suchen beim Erarbeiten einer solchen Thematik zu wahren ist. Und dass es nicht darum geht, den schnellsten und kürzesten Weg auf den Gipfel zu finden, sondern das Gespür für die Schönheit der (mathematischen) Landschaft zu vermitteln, für die Befriedigung und den auch ästhetischen Reiz, den eine selbst erdachte schlüssige mathematische Argumentation auszuströmen vermag, und für die Kraft wohl aufeinander gesetzter mathematischer Argumente, an deren Ende nicht ein Rechenrezept steht, sondern Einsicht und Verständnis für Zusammenhänge.

Das vorliegende, bereits in der 5. Auflage erschienene und immer wieder überarbeitete Buch ist deshalb kein Büchlein über Zahlentheorie, sondern über Mathematik am Beispiel eines zahlentheoretischen Themas. Der Weg ist mit über 300 Aufgaben ”gepflastert“, die selten nur den Charakter von Übungen zum besseren Verständnis des Texts haben, sondern weiterführende algorithmische Ideen, mathematische Konzepte oder einfach nur interessante Problemstellungen anstoßen und dem Leser Raum lassen, diesen Anregungen nachzugehen oder auch nicht.

Das Buch ist deshalb eine Fundgrube für alle Leser, die selbst noch Oberschüler sind, die mit mathematisch interessierten Oberschülern arbeiten, oder die sich – ob nun mathematischer Laie oder Profi – einfach die Freude und Neugier erhalten haben am Lösen mathematischer Probleme, die sich einfach aufschreiben lassen. Die Zahlentheorie hält solche bekanntlich zuhauf parat.

Kommen wir zur Computeralgebra zurück, deren Möglichkeiten für ihre eigenen Zwecke die Autoren – so mein Eindruck – doch unterschätzen. Computerunterstützung bei der Untersuchung von Problemstellungen, die komplizierte, aber klar strukturierbare Rechnungen erfordern, wird an vielen Stellen thematisiert; die Nähe der natürlichen Zahlen zu den Computerzahlen verleitet jedoch dazu, alles Algorithmische selbst und von der Pike auf zu programmieren. So sinnvoll eine lauffähige Implementierung, die wirklich das tut, was sie soll, für das grundlegende Verständnis wichtiger Algorithmen ist, so wenig ist dabei die Beschränkung auf selbst gebaute Bausteine nachzuvollziehen. Hier eröffnet der durchgehende propädeutische Einsatz eines Computeralgebrasystems Möglichkeiten des Experimentierens auch mit komplexeren mathematischen Konzepten, die sich nicht ohne größeren Aufwand selbst implementieren lassen, wie es Friedrich Schwarz in seinem Buch Einführung in die elementare Zahlentheorie (Verlag B. G. Teubner, Stuttgart, Leipzig 1998) für dieselbe Thematik beispielhaft vorgeführt hat.

Dieses ”Stehen auf den Schultern von Riesen“ als didaktisches Prinzip auch an dieser Stelle kommt mir (noch) zu kurz. Aber da dem Buch weitere Auflagen zu wünschen sind und sich sowohl die Verfügbarkeit entsprechender Systeme als auch die Präsenz von Computeralgebrasystemen in der Schule als Thema im Aufwind befinden, können wir gespannt auf Zukünftiges sein.

Rezension: Hans-Gert Gräbe (Leipzig) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 40 - März 2007

Mathematik
Leistungskurs, Lehrbuch - Analysis, Analytische Geometrie und lineare Algebra, Stochastik, m. CD-ROM
Leistungskurs, Lösungsbuch - Analysis, Analytische Geometrie und lineare Algebra, Stochastik

Weber, Zillmer:
Paetec Verlag, Reihe: TCP 2001 Theorie Cum Praxi, 480 Seiten, 34 €
Paetec Verlag, Reihe: TCP 2001Theorie Cum Praxi, 400 Seiten, 8,56 €

ISBN:3-898-18100-6
ISBN:3-898-18102-2

Inhalt

Analysis
1. Funktionen
   (Begriff, Darstellungsmöglichkeit, Eigenschaften, Verknüpfen, Verketten und Umkehren von Funktionen, Weitere Funktionen, Übersicht über Funktionsarten und Verfahren zur Nullstellenbestimmung)
2. Zahlenfolgen
   (Begriff, Monotone Zahlenfolgen, Beschränkte Zahlenfolgen, Konvergente Zahlenfolgen, Partialsummen und Reihen)
3. Grenzwerte und Stetigkeit
   (Grenzwerte, Stetigkeit, Sätze über stetige Funktionen)
4. Differentialrechnung
   (Grundbegriffe, Regeln zur Ableitung, Ableitungen elementarer Funktionen, Sätze über differenzierbare Funktionen, Anwendungen der Differentialrechnung)
5. Integralrechnung
   (Das unbestimmte Integral, Das bestimmte Integral, Beziehung zwischen unbestimmtem und bestimmtem Integral, Anwendung der Integralrechnung, Weitere Integrationsmethoden, Integration weiterer Funktionen und uneigentliche Integrale, Numerische Integration, Weitere Anwendungen der Integralrechnung)
Analytische Geometrie und Lineare Algebra
6. Koordinatengeometrie
   (Koordinatengeometrie in der Ebene und des Raumes, Lineare Gleichungssysteme I)
7. Vektorrechnung
   (Vektoren im Anschauungsraum, Vektorräume, Gleichungen von Geraden und Ebenen im Raum in Vektorform, Lineare Gleichungssysteme II, Skalarprodukt von Vektoren, Vektorprodukt für Vektoren im Raum)
Stochastik
8. Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
   (Zufallsexperimente, Gleichverteilung, Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswert, Binomialverteilung, Simulation zufälliger Vorgänge, Zufallszahlen, Testen von Hypothesen, Schätzen von Wahrscheinlichkeiten)

• Register

Beurteilung

Das Buch deckt den kompletten Stoff des Leistungskurses Mathematik ab. Es ist sehr geeignet als Begleit-, Nachschlage- und Lehrbuch für Schüler.
Die Darstellung ist sehr übersichtlich und verständlich. Es gibt zwar keine Übungsaufgaben, aber viele vorgerechnete Beispiele und ein extra Aufgabenbuch.
Auch zum Selbststudium ist das Buch durchaus geeignet, z.B. um den Schulstoff aufzufrischen.