Leseecke

Spiel, Zufall und Kommerz
Theorie und Praxis des Spiels um Geld zwischen Mathematik, Recht und Realität

Thomas Bronder
Springer Spektrum Verlag (25. Februar 2016), Taschenbuch, 320 Seiten, 29,99 €

ISBN-10: 3662488280
ISBN-13: 978-3662488287

Der Autor war jahrelang Leiter des Spielgerätelabors der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt und beriet den „Spielausschuss“ beim Bundeskriminalamt. Aus diesen praktischen Erfahrungen und intensiven Recherchen ist dieses Buch entstanden.

Nach einer sehr kurzen Einführung in die Geschichte des Spiels (6 Seiten) folgen die drei großen Kapitel mit den Überschriften „Das Spiel“, „Der Zufall“ und „Der Kommerz“.

Im ersten Kapitel werden die unterschiedlichsten Spiele beschrieben und nach verschiedenen Kriterien klassifiziert und tabellarisch dargestellt:

nach Spielgegenständen (u. a. Würfel, Brett- und Kartenspiele, Lotterien, Wetten)
Zufall oder Geschicklichkeit oder Mischformen beider
Ein-, Zwei- oder Mehrpersonenspiele
Turnierspiele (häufig beim Sport).

Rechtliche Aspekte von Glücksspielen (Spieltempo, Einsatz, Gewinn und Zufallsanteil) werden erläutert. Das Messen des Zufallsanteils wird an den beiden Spielen Skat und Poker diskutiert mit dem Ergebnis, dass das (üblicherweise vielfach wiederholte) Skat als Geschicklichkeitsspiel anzusehen ist, Poker hingegen – auch als Spielserie – ein Glücksspiel bleibt. Weiterhin geht der Autor auf die Spieldefinition John von Neumanns ein und stellt die von diesem verwendeten mathematischen Begriffe „Baum“, „Strategie“, „Gewinnfunktion“ und „Nullsummenspiel“ vor sowie die Klassifizierung nach Spielen mit perfekter, imperfekte oder fehlender Information.

Im Kapitel „Der Zufall“ wird dieser Begriff ausführlich analysiert und mit den Kategorien „Wahrscheinlichkeit“ und „Unabhängigkeit“ in Beziehung gesetzt; Zufallsgeräte und (Pseudo-)Zufallszahlengeneratoren werden systematisch vorgestellt. Der Autor entwickelt die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung bis hin zum Gesetz der großen Zahlen und der Gauss‘schen Normalverteilung. Interessant und ausführlich dargestellt ist die Methode der Irrfahrten, die zur Darstellung der Spielabfolge (hier insbesondere beim Roulette) dient. Mit diesem Hilfsmittel können die Begriffe Verlust- und Gewinnquote, Nettogewinnzone gut veranschaulicht werden. Die Diagramme zeigen auch sehr überzeugend, dass es bei einer Spielserie im Roulette oder bei Geldspielautomaten einen Grenzpunkt (den Punkt ohne Rückkehr - point of no return) gibt, „ab dem es trotz weiterer zufälliger Gewinne keine Rückkehr mehr zu einem Nettogewinn gibt“ (mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,7 %, 3σ-Vertrauensintervall). Erstaunt hat mich Bronders Feststellung, dass die modernen Spielautomaten aufgrund der eingebauten Mikroprozessoren und der komplexen Programmierung eine Überprüfung der vom Hersteller angegebenen Auszahlungsquote nur angenähert experimentell durch sehr lange Testserien erlauben.

Das Kapitel „Der Kommerz“ handelt von der Konstruktion von Glücksspielen (Gewinnplanerstellung bei verschiedenen Spielen, Bestimmung von Auszahlungsquoten), weiter von Wetten und Buchmachern, Schneeballsystemen, vermeintlich sicheren Spielsystemen (Martingale) beim Roulette sowie von Spielmanipulationen und Falschspielern. Weiter werden Aspekte der Wirtschaftlichkeit von Spieleanbietern (z.B. Automatenaufstellern und Spielbanken) diskutiert.

Das Buch enthält eine lange Liste der verwendeten Quellen sowie ein Stichwortverzeichnis, bei dem leider das letzte Kapitel nicht berücksichtigt worden ist.

Eine Fülle von mathematischen, technischen, juristischen und ökonomischen Aspekten wird geboten. Laut hinterem Buchdeckel „liegt hiermit nun eine kleine ‚Bibel‘ des Spiels um Geld vor, die für Spieler, Veranstalter und Automatenaufsteller ebenso interessant ist wir für Erfinder und Sachverständige, Gesetzgeber und Richter“. Für Leser, die nicht zu diesem Adressatenkreises gehören, dürfte die Lektüre weniger geeignet sein – dafür ist es in vielen Teilen doch zu speziell und zu ausführlich.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Von Eins bis Neun
Große Wunder hinter kleinen Zahlen - Über 100 mathematische Exkursionen für Neugierige und Genießer

Marc Chamberland
Springer Spektrum Verlag (10. Oktoberr 2016), Taschenbuch, 248 Seiten, 19,99 €

ISBN-10: 366250250X
ISBN-13: 978-3662502501

Ein etwas ungewöhnliches Verfahren verwendet der US-amerikanischen Autor, um Lust auf Mathematik zu machen. Über 100 mathematische Miniaturen werden wie durch ein Raster gesiebt und den Zahlen von Eins bis Neun zugeordnet. Nicht der innermathematische Zusammenhang der Themen war das Kriterium, nach dem er diese zusammengestellt hat, sondern ein äußeres Merkmal: Hat der beschriebene Inhalt (ein Satz, eine Eigenschaft) etwas mit den Zahlen von Eins bis Neun zu tun, so wird es dem entsprechenden Kapitel zugeordnet.

Bei der Auswahl seiner Themen hat der Autor nicht auf manche der berühmten klassischen Aussagen verzichtet. So fehlen z. B. auch nicht Goldbach-Vermutung und Primzahlzwillinge (Kapitel 2), Winkeldreiteilung und großer Fermat‘scher Satz (Kapitel 3), Vierfarbensatz (Kapitel 4) und platonische Körper und Galois-Theorie (Kapitel 5).

Nicht immer ist die Zuordnung so einleuchtend wie in den vorgenannten Beispielen. Die Collatz-Vermutung, auch als (3n+1)-Problem bekannt, gehört für Chamberland deshalb in Kapitel 3, Conways Game of Life wird in Kapitel 8 aufgeführt, weil die Nachbarschaft jeder Zelle aus 8 Zellen besteht und deren Eigenschaften die nächste Generation bestimmen. Bei der Ungleichung von arithmetischen und geometrischen Mittel meint der Autor, „die Zahl 2 ist hier nicht zu übersehen“ und demnach ist diese Eigenschaft im Kapitel 2 zu finden. Ebenso wie das Newton‘sche Näherungsverfahren zur Nullstellenbestimmung, hier mit der Begründung, dass sich bei der Iteration schrittweise die Anzahl der exakten Nachkommastellen verdoppelt.

So ungewöhnlich und teilweise reizvoll dieser Ansatz ist, so erscheinen mir aber manche Zuordnungen doch recht willkürlich, so etwa die der 1 zugeordneten Abschnitte, die auf Grund einer 1-deutigen Eigenschaft hier aufgeführt sind. Andere Beispiele halte ich für ziemlich uninteressant – sie verdanken ihre Aufnahme in dieses Buch offensichtlich allein der Tatsache, dass sie zu einer der Zahlen von eins bis neun passen.

Der mathematische Schwierigkeitsgrad wechselt, am Anfang eines Kapitels ist er meist geringer. Selten werden Beweise ausgeführt, wenn, dann natürlich nur bei einfachen Problemen. Meistens werden diese nur beschrieben. Kurze biografische Notizen werden manchmal eingefügt, so etwa zu Abel, Galois, Ramanujan und Erdös – der Autor hat sich also, wie andere vor ihm, besonders prägnante Lebensläufe ausgewählt.

Man kann die Abschnitte – selbst die längeren umfassen nur wenige Seiten – völlig unabhängig voneinander lesen, auch selten nur werden Bezüge zu anderen Teilen des Buches hergestellt. Das ist einerseits ein Vorteil, wenn man tatsächlich die Mathematik nur häppchenweise konsumieren will, andererseits aber ist es so fast gar nicht möglich, größere Zusammenhänge darzustellen. Solche und vor allem auch ausführlichere Vertiefungen kann man in den Büchern finden, die der Autor im Literaturverzeichnis angibt (von den 46 Titeln sind 70% in Englisch).

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Zahlentheorie für Einsteiger
eine Einführung für Schüler, Lehrer, Studierende und andere Interessierte

A. Bartholome, J. Rung, H. Kern
Vieweg+Teubner Verlag, 7. Auflage 2010, 220 Seiten, 22,90 €

ISBN: 3-834-81213-7

Um es gleich vorwegzunehmen, Computeralgebra im engeren Sinne – etwa gar in einem heute weit verbreiteten Verständnis von ”Computeralgebra in der Schule“ als Unterweisung in der Nutzung eines der Systeme – kommt in diesem schönen Büchlein und auch auf der Webseite http://www. andreasbartholome.de mit Online-Materialien zum Buch nicht vor. Lassen wir zunächst die Autoren sprechen: ”Das Buch wurde für die Schulbank geschrieben, für Pluskurse oder freiwillige Arbeitsgemeinschaften in Mathematik und Informatik, als Anregung für Jugend-forscht-Arbeiten ...und möchte etwas von dem spielerischen und experimentellen Charakter der Zahlentheorie vermitteln. Es wird zeigen, wie man den Computer sinnvoll einsetzen kann – und es soll verdeutlichen, welche Grenzen diesem Rechenknecht gesetzt sind. ...Es ist ein Unterschied, ob man um des Rechnens willen rechnet, oder ob man rechnet, weil man einer aufregenden Entdeckung auf der Spur ist. ...Inhaltlich haben wir uns das Ziel gesteckt, einen wichtigen Primzahltest zu verstehen, wie er von fertigen Computerprogrammen zur Zahlentheorie verwendet wird. Dabei gehen wir nicht immer geradlinig auf unser Ziel zu, sondern verweilen gern am Wegrand, ja nehmen auch Umwege auf uns, wenn wir dort eine bunte Blume zu entdecken meinen.“

Damit ist der Bogen, welcher auf den 180 Seiten dieses Büchleins gespannt wird, auch schon gut umrissen – der Test, um dessen Verständnis es letztlich geht, ist der starke Pseudoprimzahltest von Rabin und Miller. Auch der Weg, den ein mathematisch interessierter Oberschüler bis zu diesem ersten Gipfel der Mathematik zu gehen hat, und an welchen Orten er dabei vorbeikommen muss, ist hinreichend bekannt. Für Hochschul- Mathematiker sind dies ausgetretene Wege, die hinein in die Hochgebirgslandschaft der modernen Mathematik führen mit ihren um Vieles attraktiveren Sechstausendern, so dass kaum einer von ihnen in der Lage sein wird, die Feinheiten dieses Wegabschnitts mit den Augen eines Oberschülers zu betrachten.

Die Autoren sind engagierte Lehrer an bayrischen Gymnasien und haben sich diesen Blick nicht nur bewahrt, sondern wissen aus eigener jahrzehntelanger Arbeit mit interessierten Schülern auch, wie die schwierige Balance zwischen Führen und freiem Suchen beim Erarbeiten einer solchen Thematik zu wahren ist. Und dass es nicht darum geht, den schnellsten und kürzesten Weg auf den Gipfel zu finden, sondern das Gespür für die Schönheit der (mathematischen) Landschaft zu vermitteln, für die Befriedigung und den auch ästhetischen Reiz, den eine selbst erdachte schlüssige mathematische Argumentation auszuströmen vermag, und für die Kraft wohl aufeinander gesetzter mathematischer Argumente, an deren Ende nicht ein Rechenrezept steht, sondern Einsicht und Verständnis für Zusammenhänge.

Das vorliegende, bereits in der 5. Auflage erschienene und immer wieder überarbeitete Buch ist deshalb kein Büchlein über Zahlentheorie, sondern über Mathematik am Beispiel eines zahlentheoretischen Themas. Der Weg ist mit über 300 Aufgaben ”gepflastert“, die selten nur den Charakter von Übungen zum besseren Verständnis des Texts haben, sondern weiterführende algorithmische Ideen, mathematische Konzepte oder einfach nur interessante Problemstellungen anstoßen und dem Leser Raum lassen, diesen Anregungen nachzugehen oder auch nicht.

Das Buch ist deshalb eine Fundgrube für alle Leser, die selbst noch Oberschüler sind, die mit mathematisch interessierten Oberschülern arbeiten, oder die sich – ob nun mathematischer Laie oder Profi – einfach die Freude und Neugier erhalten haben am Lösen mathematischer Probleme, die sich einfach aufschreiben lassen. Die Zahlentheorie hält solche bekanntlich zuhauf parat.

Kommen wir zur Computeralgebra zurück, deren Möglichkeiten für ihre eigenen Zwecke die Autoren – so mein Eindruck – doch unterschätzen. Computerunterstützung bei der Untersuchung von Problemstellungen, die komplizierte, aber klar strukturierbare Rechnungen erfordern, wird an vielen Stellen thematisiert; die Nähe der natürlichen Zahlen zu den Computerzahlen verleitet jedoch dazu, alles Algorithmische selbst und von der Pike auf zu programmieren. So sinnvoll eine lauffähige Implementierung, die wirklich das tut, was sie soll, für das grundlegende Verständnis wichtiger Algorithmen ist, so wenig ist dabei die Beschränkung auf selbst gebaute Bausteine nachzuvollziehen. Hier eröffnet der durchgehende propädeutische Einsatz eines Computeralgebrasystems Möglichkeiten des Experimentierens auch mit komplexeren mathematischen Konzepten, die sich nicht ohne größeren Aufwand selbst implementieren lassen, wie es Friedrich Schwarz in seinem Buch Einführung in die elementare Zahlentheorie (Verlag B. G. Teubner, Stuttgart, Leipzig 1998) für dieselbe Thematik beispielhaft vorgeführt hat.

Dieses ”Stehen auf den Schultern von Riesen“ als didaktisches Prinzip auch an dieser Stelle kommt mir (noch) zu kurz. Aber da dem Buch weitere Auflagen zu wünschen sind und sich sowohl die Verfügbarkeit entsprechender Systeme als auch die Präsenz von Computeralgebrasystemen in der Schule als Thema im Aufwind befinden, können wir gespannt auf Zukünftiges sein.

Rezension: Hans-Gert Gräbe (Leipzig) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 40 - März 2007

Mathematik
Leistungskurs, Lehrbuch - Analysis, Analytische Geometrie und lineare Algebra, Stochastik, m. CD-ROM
Leistungskurs, Lösungsbuch - Analysis, Analytische Geometrie und lineare Algebra, Stochastik

Weber, Zillmer:
Paetec Verlag, Reihe: TCP 2001 Theorie Cum Praxi, 480 Seiten, 34 €
Paetec Verlag, Reihe: TCP 2001Theorie Cum Praxi, 400 Seiten, 8,56 €

ISBN:3-898-18100-6
ISBN:3-898-18102-2

Inhalt

Analysis
1. Funktionen
   (Begriff, Darstellungsmöglichkeit, Eigenschaften, Verknüpfen, Verketten und Umkehren von Funktionen, Weitere Funktionen, Übersicht über Funktionsarten und Verfahren zur Nullstellenbestimmung)
2. Zahlenfolgen
   (Begriff, Monotone Zahlenfolgen, Beschränkte Zahlenfolgen, Konvergente Zahlenfolgen, Partialsummen und Reihen)
3. Grenzwerte und Stetigkeit
   (Grenzwerte, Stetigkeit, Sätze über stetige Funktionen)
4. Differentialrechnung
   (Grundbegriffe, Regeln zur Ableitung, Ableitungen elementarer Funktionen, Sätze über differenzierbare Funktionen, Anwendungen der Differentialrechnung)
5. Integralrechnung
   (Das unbestimmte Integral, Das bestimmte Integral, Beziehung zwischen unbestimmtem und bestimmtem Integral, Anwendung der Integralrechnung, Weitere Integrationsmethoden, Integration weiterer Funktionen und uneigentliche Integrale, Numerische Integration, Weitere Anwendungen der Integralrechnung)
Analytische Geometrie und Lineare Algebra
6. Koordinatengeometrie
   (Koordinatengeometrie in der Ebene und des Raumes, Lineare Gleichungssysteme I)
7. Vektorrechnung
   (Vektoren im Anschauungsraum, Vektorräume, Gleichungen von Geraden und Ebenen im Raum in Vektorform, Lineare Gleichungssysteme II, Skalarprodukt von Vektoren, Vektorprodukt für Vektoren im Raum)
Stochastik
8. Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
   (Zufallsexperimente, Gleichverteilung, Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswert, Binomialverteilung, Simulation zufälliger Vorgänge, Zufallszahlen, Testen von Hypothesen, Schätzen von Wahrscheinlichkeiten)

• Register

Beurteilung

Das Buch deckt den kompletten Stoff des Leistungskurses Mathematik ab. Es ist sehr geeignet als Begleit-, Nachschlage- und Lehrbuch für Schüler.
Die Darstellung ist sehr übersichtlich und verständlich. Es gibt zwar keine Übungsaufgaben, aber viele vorgerechnete Beispiele und ein extra Aufgabenbuch.
Auch zum Selbststudium ist das Buch durchaus geeignet, z.B. um den Schulstoff aufzufrischen.

Geometrie und Algebra im Wechselspiel
Mathematische Theorie für schulische Fragestellungen

H.-W. Henn
Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden, 2012, 2. Aufl., 273 Seiten, 29,95 €

ISBN 3-834-81904-2

Das vorliegende Buch ist im eigentlichen Sinn kein Buch über Computeralgebra. Es ist vielmehr eine animierende Einführung in Geometrie und Algebra für Lehramtskandidaten, Lehrer und interessierte Schüler.

Der Autor hat sich zum Ziel gesetzt, einige grundlegende und attraktive Themen aus diesem Bereich in historischem Zusammenhang und gegenseitig vernetzt darzustellen. Dabei wird der Bogen jeweils vom historischen Ursprung über die Grundlagenfrage hin zu aktuellen Themen gespannt. So beginnt die Geometrie bei Euklid, geht über die Frage der Axiomatik und der Koordinatenbereiche zu den klassischen Fragen der Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal (und Verallgemeinerungen wie z. B. durch die Quadratrix). Aus der Charakterisierung von Geometrien durch Automorphismen ergibt sich ein natürlicher Zugang zur Untersuchung von allgemeineren Symmetriegruppen wie die der platonischen Körper und von Pflasterungen. (Dabei werden auch die neuen nichtperiodischen Pflasterungen von Penrose vorgestellt.)

Der algebraische Teil beginnt in Kapitel 4 mit den klassischen Nullstellenformeln für Polynome vom Grad ≤ 4 und führt über die Frage der Auflösbarkeit durch Radikale zur Galoistheorie und den Galoisgruppen; es endet mit Beweisen zum Fundamentalsatz der Algebra. Das letzte Kapitel schließlich ist dem Aufbau des Zahlsystems gewidmet und führt von den Peano-Axiomen über die rationalen und reellen zu den komplexen Zahlen und hamiltonschen Quaternionen. Es endet mit Mächtigkeitsfragen und einem Ausblick auf die fraktale Dimension. Unterwegs werden jeweils weiter führende Themen gestreift wie zum Beispiel das Klassenzahlproblem, die Existenz riemannscher Flächen und der g-adischen Zahlen.

Der Autor legt großen Wert darauf den Leser zu animieren und aktivieren. Hier kommt die Computeralgebra ins Spiel. Sie dient außer zur Formelmanipulation (wie z. B. bei den expliziten Nullstellenformeln von Polynomen) und grafischen Darstellungen zum Nachvollziehen und Veranschaulichen von Beweisen (z. B. beim topologischen Beweis zum Fundamentalsatz der Algebra), zur Manipulation von Internetmaterial (wie z. B. Flächenornamenten in der Alhambra) und natürlich zum Lösen diverser Übungsaufgaben (wofür Lösungshinweise online bezogen werden können). Als Systeme werden vor allem Maple und das Graphikpaket DYNAGEO eingesetzt.

Das Buch hat mir sehr gefallen. Ich wünsche ihm eine weite Verbreitung, insbesondere in der Schulwelt.

Rezension: B. Heinrich Matzat (Heidelberg) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 35 - Oktober 2004