Leseecke

Lara Alcock

Springer Spektrum 2017, XVIII + 272 Seiten, 24,99€

ISBN 978-3-662-50384-3
ISBN 978-3-662-50385-0

„... Mit dem Anfang Ihres Studiums begeben Sie sich auf eine Reise ins Ungewisse. Zu Beginn kommen Sie in einen großen Nebel. Je weiter Sie voranschreiten, je mehr Schwaden werden sich lichten und je erfüllender wird Ihr Gang. Ich wünsche Ihnen abenteuerliche Wege, auf denen Sie viele Nebel in Erhellung verwandeln und die Schönheit der Mathematik erleben werden.“ Mit diesen Worten beendete ein Dozent die Abschlussrede seines damaligen Propädeutikums. Die Nebel der Studieneingangsphase sind keinesfalls ein neuzeitliches Phänomen. Etliche Erfahrungsberichte und empirische Studien beleuchten diese Situation auf verschiedene Art und Weise. Dabei herrscht über die Ausgangslage eines Studienanfängers größtenteils Einigkeit. Einem angehenden Studierenden ist nicht unbedingt bewusst, welche Veränderungen zu Beginn des Studiums auf ihn zukommen. Neben meist neuer sozialer Umstände begegnet er an der Hochschule sowohl einer neuen Form der Inhaltsvermittlung als auch einer höheren Stoffdichte. Des Weiteren nimmt die vertraute, kalkülorientierte Schulmathematik nun einen neuen, eher konzeptorientierten Charakter an.

Lara Alcock ist Leiterin des Mathematics Education Centre der Loughborough University. Neben Ihrer Forschungstätigkeit auf dem Gebiet der Didaktik der Mathematik blickt sie auf mehrjährige Erfahrung als Dozentin von Anfängerveranstaltungen zurück. Mit diesem Buch (Originaltitel: „How to study for a mathematics degree“) möchte sie dem „nebulösen Zustand“ begegnen.

Die Autorin führt den Leser in einem einladend plaudernden Stil durch die beiden Teile des Buches. Im ersten soll das Wesen der Mathematik aufgezeigt und dabei ein gewisses Problembewusstsein für hochschulmathematische Inhalte wachgerufen werden. Der Schwerpunkt liegt an dieser Stelle ausdrücklich nicht auf dem tatsächlichen Verstehen des mathematischen Stoffes, sondern auf dem Umgang mit ihm. Ganz bewusst wählt die Autorin eine zweckdienliche Herangehensweise und verweist auf „technische Dinge, wie die genaue Spezifikation der Elemente einer Menge oder der Definitionsmenge einer Funktion usw.“ in Fußnoten oder bespricht sie „gesondert in späteren Kapiteln“. Ausgehend von verschiedenen mathematischen Textbausteinen aus unterschiedlichen mathematischen Gebieten thematisiert sie neben typischen ersten Reaktionen von Studierenden auf die neuartigen Texte („... es sah aus wie eine Hyroglyphensprache ...“) häufig auftretende Fehler („...dass Sie verstehen können, was bei meinen Studenten schiefgelaufen ist.“). Außerdem verdeutlicht sie die Wichtigkeit einer objektorientierten Herangehensweise an hochschulmathematische Inhalte und führt diese an vielen unterschiedlichen Beispielen vor. Des Weiteren geht sie auf die typischen mathematischen Bausteine (Axiome, Definitionen, Sätze, Beweise) ein und zeigt Arbeitsweisen mit ihnen auf. Am Ende eines jeden Kapitels findet der Leser eine Zusammenfassung und Hinweise für weiterführende Literatur. Gewünscht hätte ich mir noch Literaturhinweise bezüglich der angesprochenen, mathematischen Inhalte. Ein mancher Leser möchte diese vielleicht näher betrachten.

Im zweiten Teil werfen wir quasi einen Blick hinter die Kulissen eines Mathematikstudiums und erfahren, wie Studierende dieses Studium bestmöglich angehen können. Verschiedene Einrichtungen der Stoffvermittlung, wie Vorlesungen und Tutorien, werden beschrieben und Tipps zum Verhalten in diesen Veranstaltungen gegeben. Außerdem wird die Rolle von Dozenten beziehungsweise Forschern beleuchtet. Hinweise zum Zeitmanagement und dem Umgang mit Panik oder eigenen (eventuell nicht erfüllten) Ansprüchen runden diesen Teil ab. Ich würde dieses Buch einerseits, mit besonderem Hinweis auf den zweiten Teil, angehenden Studierenden empfehlen, die neugierig auf das Studium sind. Auch für Studierende, die sich gerade etwas orientierungslos fühlen oder demotiviert sind, ist es ein guter Tipp. Vielleicht hilft ihnen ein Blick in diese Lektüre ihre Arbeitsweisen zu reflektieren und mit neuer Motivation weiterzumachen. Andererseits würde ich dieses Buch studentischen Hilfskräften, die (vielleicht zum ersten Mal) Übungen halten, ans Herz legen. Es regt an, über Inhalte und deren Schwierigkeiten, rückblickend auf die eigenen Anfängerveranstaltungen, zu reflektieren. Damit wäre eine eher unerfahrene Lehrperson vielleicht besser in der Lage, die Probleme von Studienanfängern bewusster in Augenschein zu nehmen.

Eine paar kleine Anmerkungen möchte ich dem zukünftigen Leser mitgeben: Dieses Buch ist eine Übersetzung, dessen Original vor dem Hintergrund des englischen Hochschulsystems geschrieben wurde. Nicht alle Punkte des deutschen Systems stimmen mit denen des englischen überein. Beispielsweise haben Tutorien in England nicht unbedingt den gleichen Charakter wie in Deutschland. Oft erfüllt ein Tutor in England die Rolle eines Mentors und es herrscht eher eine Beratungssituation zwischen den Beteiligten vor. Übungen in Deutschland werden vielerorts von älteren Studierenden gehalten, was in England kaum der Fall ist. Dort übernehmen Doktoranden beziehungsweise Dozenten deren Leitung.

Außerdem hat die Übersetzung eines solchen Textes ihre Tücken. Beispielsweise nennen wir eine „linear transformation“ auf deutsch „lineare Abbildung“ und nicht „lineare Transformation“. Auch bei der Erläuterung der Symbole für Zahlbereiche muss man in unterschiedlichen Sprachen aufpassen.

Alles in allem ist das Buch von Lara Alcock ein gelungenesWerk. Und vielleicht würde unser Dozent seiner Abschlussrede heute hinzufügen: „... Und für Ihre Reise gebe ich Ihnen dieses Buch mit. Sollten Sie einmal das Gefühl haben, vom rechten Wege abgekommen zu sein, so lehnen Sie sich kurz zurück und schmökern in dieser Lektüre. Dann kehren Sie mit neuem Elan zur Mathematik zurück. ...“

Rezension: Anja Panse (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2018, Band 65, S. 133-135. Mit freundlicher Genehmigung des Verlags,

Heyne Verlag; Deutsche Erstausgabe (12. September 2016), 400 Seiten, 9,99 €
ISBN-10: 3453603931
ISBN-13: 978-3453603936

Die typisch us-amerikanische Leichtigkeit von Wissenschaftsautoren ist auch diesem Mathematik-Professor einer renommierten Universität in Kalifornien zu eigen: anschaulich und locker werden viele elementare Teilbereiche des Faches vorgestellt. Allerdings ist es doch stark übertrieben, wenn immer wieder der Begriff „Magie“ wiederholt wird und auch jedes der zwölf Kapitel mit „Die Magie der … „ überschrieben ist.

Insbesondere die Kapitel zur Geometrie und zur Infinitesimalrechnung bieten wenig „magische“ Aspekte. Vielmehr wird auf rund 100 Seiten im wesentlichen die Schulmathematik der Klassen 6 – 11 (Elementargeometrie, ebene Trigonometrie und Differentialrechnung)  vorgestellt. Das geht los mit Scheitelwinkeln, der Winkelsumme im Dreieck und den Kongruenzsätzen, weiter mit dem Satz des Pythagoras, Umfang und Flächeninhalt des Kreises und der näherungsweisen Berechnung der Kreiszahl π (und acht Seiten mit Merkversen für deren Nachkommastellen). Die Winkelfunktionen werden am Dreieck eingeführt, dann auf beliebige Winkel verallgemeinert, Sinus- und Kosinussatz sowie eine Reihe von trigonometrischen Identitäten zusammengestellt. Die Einführung der Differentialrechnung führt von der Definition der Ableitung bis zu den Taylorpolynomen.

Auch die Kapitel über Zahlen, Algebra und Kombinatorik enthalten im wesentlichen den Schulstoff. Eine Besonderheit allerdings stellen die 20 Seiten dar, in denen Tricks für das Kopfrechnen gezeigt werden – damit könnte man sich als Rechenkünstler präsentieren und Eindruck machen. In die gleiche Kategorie gehören einige weitere Abschnitte wie Kalenderberechnungen. Hier trifft die Kennzeichnung aus dem Untertitel des Buches zu: Diese Mathe-Tricks sind wirklich verblüffend – als „reale Anwendungsmöglichkeiten“ im Zeitalter von Handys mit Taschenrechner-App aber wohl obsolet.

Im Kapitel „Die Magie der Fibonacci-Zahlen“ geht es allerdings wirklich „magisch“ zu, wenn man diesen Ausdruck für die vielen überraschenden Zusammenhänge zwischen diesen Zahlen so bezeichnen will. Ähnliches gilt für das Kapitel „Die Magie von i und e“, in dem die Eigenschaften dieser beiden Zahlen und deren Auftreten in den unterschiedlichsten mathematischen Disziplinen dargestellt werden. Auch werden häufig geometrische Veranschaulichungen gegeben.

Beweise werden aber bestenfalls in den sogenannten Nebenbemerkungen angedeutet: Nebenbemerkungen, vor denen der Leser in der Einleitung „gewarnt“ wird: Der Autor schreibt, „beim ersten Durchlesen … überspringen  Sie diese Kästen vielleicht besser (und beim zweiten und dritten Lesen vielleicht auch)“.

Leider sind eine Reihe von Druckfehlern enthalten, die für den ungeübten Leser eine schwer überwindbare Hürde darstellen. Auch manch unübliche Übersetzung erschwert das Wiedererkennen in der mathematischen Literatur. Der Begriff „Mutiplikationsprinzip“ statt Produktregel bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung hätte doch vermieden werden können, wenn die Übersetzung fachlich versierter wäre, und auch die „Digitalwurzel“  konnte ich nur aus dem Zusammenhang als die iterierte (einstellige) Quersumme identifizieren.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Hanns-Heinrich Langmann, Erhard Quaisser, Eckard Specht (Hrsg.)

Springer Spektrum (10. Mai 2016); 304 Seiten; 29,99 €
ISBN-10: 3662495392
ISBN-13: 978-3662495391

Der Bundeswettbewerb Mathematik hat mich als Mathematiklehrer 30 Jahre lang Jahr für Jahr begleitet. Jedes Mal verbuchte ich es als Erfolg, wenn ich es wieder geschafft hatte, einen Schüler oder eine Schülerin bis zur Einreichung der Lösungen zu bringen. Selten gelang es einigen, auch die zweite Runde zu erreichen – einen Bundessieger oder eine -siegerin allerdings konnte ich nicht vorweisen. Aus Spaß am Tüfteln und Testen des eigenen Vermögens sowie auch um doch gewisse Hinweise weiter geben zu können, versuchte ich mich häufig selbst einmal an den Problemen, nicht immer mit Erfolg.

So habe ich mir jetzt gespannt dieses Buch zur Rezension vorgenommen. In ihm sind 45 Jahre des Wettbewerbs dokumentiert: Es enthält alle Aufgaben der ersten und zweiten Runde aus den Jahren 1970 - 2015, jeweils vier Aufgaben pro Termin. 32 der insgesamt 360 Aufgaben werden hier als „schönste“ Aufgaben mit ihren Lösungen präsentiert. Zehn Autoren, darunter drei ehemalige Bundessieger und eine Bundessiegerin dieses Wettbewerbs, haben sich dafür große Mühe gegeben.

Sicher lässt sich trefflich streiten über die Schönheit mathematischer Probleme (auch die als „allerschönste“ Aufgabe – nach Mehrheit der Autoren des Buches – bezeichnete findet nicht meine Zustimmung; da halte ich es mit Prof. Ziegler, der die für ihn schönste, die er schon 1981 als Schüler gelöst hat, jetzt hier vorstellt). Die Autoren nennen stets Gründe, warum die Aufgabe zu den schönsten gehört. Aber nicht streiten lässt sich wohl darüber, dass die Darstellung der Aufgabenlösungen ganz hervorragend gelungen ist. Die Aufgaben selbst sind in nur wenigen Zeilen formuliert, teils reichen zwei; mehr als 10 Zeilen benötigt keine. Mit der einfachsten oder kürzesten Lösung aber haben sich die Autoren nicht zufriedengegeben, vielmehr werden häufig verschiedene Möglichkeiten dargestellt. Für besonders lehrreich halte ich es, dass teilweise auch erfolglose Ansätze diskutiert werden. Die grafischen Darstellungen wie überhaupt das ganze Layout sind hervorragend gelungen.

Gerade bei den Aufgaben zur Geometrie gibt es stets Lösungsvarianten, es kommen alle Themen des Schulstoffs vor (u. a. Kongruenz- und Strahlensätze, Pythagoras, Sinus- und Kosinussatz, Kongruenzabbildungen, Vektorrechnung). Da kann man richtig Elementar-Geometrie lernen! (Diese wird im Schulunterricht nach meiner Erfahrung leider stiefmütterlich behandelt – das mechanische algebraische Rechnen aber sehr ausgedehnt.) In den Lösungen wird häufig die Fragestellung erweitert, es werden Verallgemeinerungen formuliert und bewiesen bzw. auch auf daraus sich ergebende bis heute offene ungelöste Probleme verwiesen.

Das Aufgabenspektrum überdeckt weite Bereiche (Algebra, Geometrie, Parkettierungen, Polyeder, Kombinatorik, Zahlenfolgen, Zahlentheorie, Spiele) – bei allen wird zwar keine Mathematik benötigt, die erst in der Universität vermittelt wird, aber die aus der Schule vorhandenen Kenntnisse müssen virtuos gehandhabt und natürlich weit über Schulniveau gehoben werden – und der Wille und die Ausdauer zum Problemlösen müssen vorhanden sein.

Grundlegende Beweisverfahren wie die vollständige Induktion oder der indirekte Beweis und Strategien wie Fallunterscheidung und Invarianzprinzip können bzw. müssen in vielen Aufgaben angewandt werden. So kann, wer sich mit den Aufgaben ernsthaft befasst, wichtige mathematische Verfahren kennen lernen, die im Schulunterricht oft nicht mehr Thema sind. Dieses Buch soll daher auch „etwas Rüstzeug für eine erfolgreiche Teilnahme an mathematischen Wettbewerben vermitteln“.

„Wenn wir wirklich Mathematiker vorbereiten wollen, ist der Bundeswettbewerb der erste Test. Schüler, die darüber nicht nachdenken wollen, die sich der Herausforderung nicht stellen wollen oder können, sollten sehr vorsichtig auf ein Mathestudium schauen.“

„Aus den Splittern der Erkenntnis, gewonnen durch Versuche, Ahnungen, Systematisierungen, ergibt sich ein von hinten aufgeschriebenes Ergebnis. Ein Beweis kondensiert einen Denkprozess, der ganz anders abgelaufen ist. Das zu begreifen und zu akzeptieren ist ein Sinn des Bundeswettbewerbs. Das zu üben ein zweiter. Der dritte, Herausforderungen anzunehmen.“

Für all jene Schülerinnen und Schüler, die sich auf eine solche Herausforderung einlassen wollen, und alle Lehrerinnen und Lehrer, die dafür motivieren wollen, ist dieses Buch Pflichtlektüre und wärmstens zu empfehlen.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Alfred Schreiber

Edition am Gutenbergplatz Leipzig; Auflage: 1 (11. September 2013); Taschenbuch, 211 Seiten; 19,50 €

ISBN-10: 3937219684
ISBN-13: 978-393721968

Dieser Band versammelt Beiträge, die Alfred Schreiber über Jahre für seine Kolumne „Denkzettel“ in den Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung verfasst hat. Auf scharfsinnige Weise setzt er sich mit Themen auseinander, die das Wechselspiel von Mathematik und ihrer Didaktik mit z.B. Literatur, Kunst oder Erkenntnistheorie widerspiegeln; die Namen Queneau, Kandinsky oder Wittgenstein seien stellvertretend für viele Protagonisten genannt.

A propos Wittgenstein: Von diesem stammt die Sentenz „Alles was sich aussprechen lässt, lässt sich klar aussprechen“. Wie zum Beweis dieses Diktums sind die Schreiberschen Miszellen in glasklarer Prosa gefasst, manchmal mit einem leicht ironischen Unterton. Um sie genießen zu können, ist allerdings kein Universitätsstudium erforderlich, wenngleich sie ursprünglich für professionelle Mathematiker geschrieben wurden.

Ein Wort noch zum Titel: Die namengebende Enttäuschung ist hier häufig als Ent-täuschung zu verstehen, denn, so der Autor: „Ich kenne keine Wissenschaft, die so einfallsreich und produktiv mit ihren Enttäuschungen umzugehen weiß.“

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)

Robert Resel

Logos Berlin (15. Oktober 2014), Taschenbuch: 287 Seiten, 44 €

ISBN-10: 3832538097
ISBN-13: 978-3832538095

Der vorliegende Reisebericht führt die Leser durch einige Gebiete der Mathematik, nämlich Stochastik, Analysis, Arithmetik und Algebra sowie Geometrie. Für manche Zwischenstops ist lediglich elementares Schulwissen erforderlich, andere benötigen Kenntnisse auf Universitätsniveau. Generell ist es das Anliegen des Autors, der an einem Wiener Gymnasium Mathematik unterrichtet, neue Sichtweisen auf bekannte Sachverhalte zu vermitteln, und häufig ist diese Sichtweise geometrisch und sehr erhellend; siehe z.B. die Herleitung des Gaußschen Fehlerintegrals \(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi}\).

Leider gibt es neben Licht auch Schatten, da sich doch einige Fehler eingeschlichen haben; der geometrische Beweis der Produktregel der Differentiation ist unhaltbar, und beim Fundamentalsatz der Algebra gibt es gleich zwei dicke Probleme: Weder ist es richtig, dass eine differenzierbare Funktion auf \(\mathbb R\) oder \(\mathbb{R}^2\) ohne lokale Extremalstellen unbeschränkt ist, noch ist es ein auch nur entfernt akzeptables Argument, eine Funktion sei beschränkt, wenn sie „nie \(\infty\) als Funktionswert“ annimmt.

Im Einzelnen nimmt sich der Autor zuerst einige stochastische Themen vor. Leider gibt er dabei eine Heuristik als Beweis aus; die Aussage, die schließlich formuliert und als angeblich lokaler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace vorgestellt wird, ist vom Kaliber „Die Größe A ist ungefähr gleich der Größe B“, was alles und nichts bedeuten kann und als mathematische Aussage unbrauchbar ist. (Übrigens handelt es sich im Text gar nicht um die lokale Version dieses Satzes, und für einen wirklich stichhaltigen Beweis wird eine Prise gleichmäßige Konvergenz benötigt, von der die vorliegende Darstellung um Einiges entfernt ist.)

Das nächste Kapitel über Analysis zeigt einen interessanten Blick auf das Standardthema der Oberstufenmathematik, nämlich Extremwertaufgaben. Mit Freude habe ich eine Aufgabe wiedergefunden, die zu einer meiner Abituraufgaben äquivalent ist und hier sehr elegant mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren gelöst wird. Das folgende algebraische Kapitel ist in weiten Teilen erheblich elementarer; es geht um Brüche, binomische Formeln, quadratische Gleichungen und schließlich um komplexe Zahlen. Auch der Begriff der Gruppe kommt vor; das vorgestellte Beispiel ist allerdings keine, da \(1\oplus1\) überhaupt nicht definiert ist. (In der geometrischen Verkleidung taucht das Problem nicht auf!)

Das letzte und umfangreichste Kapitel widmet sich der Geometrie in vielen Facetten: analytische Geometrie (und lineare Algebra), Trigonometrie, die Geometrie des 4-dimensionalen Raums, etwas algebraische Geometrie, hyperbolische Flächen und klassische Dreiecksgeometrie.

Ich könnte mir vorstellen, dass engagierte Lehrerinnen und Lehrer in diesem Buch viele interessante und nicht sehr bekannte Zugänge zu schulrelevanten Themen finden; wie gesagt spielt hier die geometrische Sichtweise eine große Rolle, die im Schul- und universitären Unterricht bisweilen vernachlässigt wird. Insofern ist der Text für diese Leserschaft gewiss eine Bereicherung. Ich hätte mir allerdings gewünscht, dass der Autor Heuristiken nicht zu Beweisen erhebt (er weist ja selbst auf Seite 21 auf den Unterschied hin), und die Mitwirkung eines TEX-kundigen Layouters hätte sicher auch nicht geschadet.

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)