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Susanne Spies

SieB – Siegener Beiträge zur Geschichte und Philosophie der Mathematik, Herausgegeben von Ralf Krömer und Gregor Nickel Jahrgang 1, Band 2, Universitätsverlag Siegen 2013, 272 Seiten, 22 €

http://dokumentix.ub.uni-siegen.de/opus/volltexte/2013/758/
ISSN 2197-5590

Die Autorin nimmt sich mit ihrer Dissertation an der Universität Siegen eines besonderen mathematischen Themas an. Denn einerseits scheinen Mathematiker die ästhetischen Reize ihres Faches viel intensiver und auch persönlicher zu empfinden als die Vertreter der meisten anderen wissenschaftlichen Disziplinen. Andererseits hat aber gerade dieser persönliche, um nicht zu sagen intime Charakter der damit verbundenen Wahrnehmungen zur Folge, dass sich noch sehr wenige herausgewagt haben, um das Thema philosophisch und systematisch zu erschließen. Das hat den Vorteil noch recht freier Gestaltungsmöglichkeiten, bürdet der Autorin umgekehrt aber auch grundsätzliche Entscheidungen betreffend Zugang und Aufarbeitung des Themas auf.

Eine erste Entscheidung dieser Art betrifft die Gliederung. Die insgesamt 10 Kapitel verteilen sich auf eine Einleitung (Kapitel 1) und drei Hauptteile. Die Hauptteile tragen die Überschriften „Schönheit und Mathematik“ (Kapitel 2–5), „Mathematik als eine besondere Kunst“ (Kapitel 6–8) und „Anwendung und Konkretisierung“ (Kapitel 9–10). Bereits die große Ähnlichkeit im Aufbau der ersten beiden Hauptteile deutet auf ihre gewichtige Rolle in der Gesamtkonzeption hin. Denn in beiden Fällen folgt auf eine Art Exposition des Themas (Kapitel 2 „Mathematische Schönheit“ bzw. Kapitel 6 „Mathematik als Kunst betrachtet“) eine aus der Philosophie Immanuel Kants (besonders aus seiner Kritik der Urteilskraft) erwachsende Gegenposition (Kapitel 4 „Mit Kant gegen die Schönheit der Mathematik“ bzw. Kapitel 7 „Mit Kant gegen den Kunstcharakter der Mathematik“). Diese Gegenposition wird aber schlussendlich überwunden (Kapitel 5 „Eine Theorie des Schönen in der Mathematik“ bzw. Kapitel 8 „Eine Theorie der Kunstform Mathematik“). Dazwischen eingestreut liegt „Ein Streifzug durch die Geschichte der Mathematikästhetik“ (Kapitel 4) als Ergänzung. Abgerundet wird die Arbeit durch „Perspektiven für das Lehren und Lernen“ (Kapitel 9) und „Klassiker der Mathematikästhetik“ (Kapitel 10).

Eines der Verdienste der vorliegenden Arbeit besteht in der sehr ansprechenden Aufbereitung vorhandenen Materials, das sich seit der klassischen Antike im Laufe von Jahrtausenden angehäuft hat. Mindestens ebenso bedeutend erscheint aber die Eigenleistung, die vor allem im Aufspüren geeigneter begrifflicher Kategorien und Unterscheidungen liegt, mit Hilfe derer es gelingt, dem Material Struktur zu verleihen, auch wenn begriffliche Grenzen in einem Bereich, wo alles mit allem zusammenhängt, naturgemäß nicht immer scharf gezogen werden können. Dies sei an einigen Beispielen erläutert.

Schon das Eingangszitat der Einleitung von G.H.Hardy beginnt mit „The mathematician’s patterns“ (also Muster des Mathematikers) als Trägern mathematischer Schönheit. Ihnen folgt in Abschnitt 1.1 („Kunst, Muster und Mathematik“) eine sehr überzeugende Unterscheidung zwischen Mustern „über“ Mathematik (künstlerische Darstellung von Mathematikern o.ä.), Mustern „durch“ Mathematik (wenn Mathematik z. B. bei der Herstellung von Kunstwerken eingeflossen ist), Mustern „aus der“ Mathematik (z.B. kunstvolle Visualisierungen von Fraktalen) und schließlich Mustern „der“ Mathematiker (auch abstrakte Strukturen, Theoreme, Beweise etc) im Sinne Hardys. Angesichts der Frage, was davon der interessierende Gegenstand ausführlicher mathematikästhetischer Untersuchungen sein soll, entscheidet sich die Autorin mit Hardy für die Muster „der“ Mathematiker.

Diese Entscheidung bewährt sich schon in Kapitel 2 bei der Identifikation von vier wichtigen Elementen mathematischer Schönheit: Tragweite (ein mathematisches Muster ist weitreichend wirksam), Ökonomie und relative Einfachheit (Sparsamkeit der Mittel), epistemische Transparenz (Klarheit und Überzeugungskraft) und emotionale Wirksamkeit (Überraschungseffekte mit Aha!-Erlebnis u. ä.) – durchwegs Kategorien, die sich als sehr tragfähig erweisen.

Im zu Kapitel 2 (Teil I) gewissermaßen parallelen Kapitel 6 (Teil II) wirken als Ausgangspunkte vor allem die meist sehr subjektiven, dennoch aber überzeugenden Zitate weiterer bedeutender Mathematiker neben Hardy (besonders schön z. B. jene in 6.1.2). Zu nennen sind beispielsweise Poincaré, Hadamard, Hasse, Borel, von Neumann und van der Waerden. Zusammen liefern ihre Aussagen erstaunliche Analogien zu dem, was auch vom Nichtkünstler mit Kunst assoziiert, in der Mathematik aber fast ausschließlich von solchen Personen wahrgenommen wird, die Mathematik selbst auf wissenschaftlichem Niveau betreiben. So betont – um nur ein Beispiel zu nennen – Hasse den unwiderstehlichen Drang eines „echten“ Mathematikers, schöne Entdeckungen auch anderen mitzuteilen (siehe 6.4.3) – also ein der Mathematik bzw den Mathematikern gemeinhin nicht unbedingt zugeschriebenes kommunikatives Element.

Dass die Autorin Immanuel Kant mit zwei ganzen Kapiteln (4 und 7) so großen Raum gibt, ist wohl Kants herausragender Rolle vor allem auf dem Gebiet der Erkenntnistheorie geschuldet. Seine ästhetischen Begrifflichkeiten, deretwegen er die Mathematik als der Ästhetik und Kunst geradezu wesensfremd darstellt, werden durch die Zeugenschaft zahlreicher bedeutender Mathematiker jedoch als inadäquat entlarvt. Man fühlt sich zur Einschätzung genötigt, dass dem großen Königsberger viele Facetten der Mathematik – insbesondere solche, die erst nach seiner Zeit deutlicher zutage traten – schlicht nicht bewusst waren bzw. noch nicht bewusst sein konnten.

Vor allem in den für die Theorie zentralen Kapiteln 5 und 8 gelingt der Autorin eine überzeugende Argumentation für eine Mathematikästhetik als reichhaltiges und für eine allgemeine philosophische Ästhetik inspirierendes Teilgebiet.

Die in Kapitel 10 abschließend diskutierten Beispiele (Eulersche Formel, Irrationalität der Wurzel aus 2) sind Klassiker, die bei einem weiter gefassten Rahmen sicher eine Ergänzung durch noch tiefer liegende Beispiele aus der großen, weiten Welt der Mathematik vertragen hätten. Doch erfüllt das Buch ein gewisses Anliegen vielleicht wirksamer in der vorliegenden Form: nämlich das Anliegen, seine Leser, insbesondere die Mathematiker unter ihnen, zu eigenständigem Nachdenken über das Wesen der Schönheit in der Mathematik anzuregen und sie zu motivieren, bereits vorhandene aber vielleicht noch verborgene Schönheiten deutlicher ans Licht zu heben.

Rezension: Joachim Hilgert (TU Wien)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2017, Band 64, S. 241–243
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Finding Fibonacci.
The Quest to Rediscover the Forgotten Mathematical Genius Who Changed the World

Keith Devlin
Princeton University Press 2017, 256 Seiten, 24,99 €

ISBN 9780691174860
ISBN 9781400885534

Die dokumentierten Anfänge der Mathematik liegen in Ägypten und Mesopotamien und sind etwa 5.000 Jahre alt. Es spricht vieles dafür, dass in dieser Zeit auch in der Harappa-Hochkultur am Indus schon substantielle mathematische Kenntnisse verbreitet waren. Der Beginn der Entwicklung der klassischen griechischen Mathematik geht eindeutig auf Einflüsse aus Ägypten und Mesopotamien zurück. In der hellenistischen Zeit beeinflusste ihrerseits die griechische Mathematik die Entwicklung der klassischen indischen Mathematik, die ihre Wurzeln vermutlich in der Mathematik der Induskultur und der nachfolgenden vedischen Kultur hatte. Der wichtigste Einzelbetrag dieser indischen Mathematik war die Entwicklung eines Stellensystems für die ganzen Zahlen, das auch die Null als Rechengröße enthielt. Sowohl die griechische als auch die indische Mathematik wurden im Zuge der Islamisierung des mittleren Ostens und Nordafrikas von meist arabisch schreibenden Wissenschaftlern rezipiert und weiterentwickelt. Moderne mathematische Begriffe wie „Algebra“ oder „Algorithmus“ lassen sich ethymologisch auf diese Phase, genauer auf das Buch „al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa’l-muqabala“ des persischen Autors al-Khwarizmi, zurückführen.

Von dieser ganzen Entwicklung hatte der westliche Teil Europas nur sehr wenig mitbekommen. Die in ihrem Wissenschaftsverständnis ausschließlich auf Nützlichkeit fixierte römische Kultur hatte komplett darauf verzichtet grundlegende mathematische Literatur wie zum Beispiel Euklids „Elemente“ ins Lateinische zu übersetzen, sondern nur anwendungsorientierte Handbücher. Bei komplizierteren mathematischen Aufgabenstellungen wie zum Beispiel der Kalenderreform durch Julius Caesar griff sie auf griechische Spezialisten zurück. Nach dem Untergang des weströmischen Reiches verfügte man in diesem Gebiet nur noch über marginale von der Kirche genutzte mathematische Kompetenzen. Der Aufstieg der modernen Mathematik westlicher Prägung begann erst im 13. Jahrhundert mit der Verbreitung der griechisch-indisch-arabischen Mathematik in Form von lateinischen und landessprachlichen Texten in Europa.

Keith Devlin beschäftigt sich in seinen beiden Büchern mit eben diesem Neuanfang zu Beginn der italienischen Renaissance, speziell der Rolle von Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, in diesem Prozess. Fibonaccis Hauptwerk „Liber abbaci“ von 1202 war nicht der erste lateinische Text, der auf al-Khwarizmis Algebra-Buch beruhte. Schon 1145 wurde das Buch von Robert von Chester ins Lateinische übersetzt. Es stellt sich die Frage wieso Fibonaccis Wirken die revolutionären Folgen hatte, auf die Devlins Buchtitel anspielen: den Neuanfang mathematischer Forschung in Europa und den Aufstieg der italienischen Stadtstaaten zur Finanz- und Handelsmacht.

Die Quellenlage zur Person Fibonaccis ist ausgesprochen dünn, aber es gibt von der zweiten Auflage des „Liber abbaci“ aus dem Jahr 1228 mehrere mehr oder weniger vollständige Manuskripte. Devlin trägt in „The Man of Numbers“ die verfügbaren biographischen Fakten zusammen und geht auch der Frage nach, wieso einerseits Fibonacci insbesondere von Luca Pacioli in seiner „Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità“ von 1494 eine Schlüsselrolle zugewiesen wird, sich aber in den vielen Rechenbüchern der „Abakisten“ der italienischen Renaissance so wenige direkte Textbezüge finden lassen. Man ging davon aus, dass diese Texte eher an die von Fibonacci selbst erwähnte und als „Liber minoris guise“ bezeichnete vereinfachte Version für Kaufleute des „Liber abbaci“ anschließen. Obwohl der Text nicht überliefert ist, gibt es gute Gründe für diese These. Die Mathematikhistorikerin Rafaella Franci hat in einer Arbeit von 2003 ein anonymes landessprachliches Manuskript von 1290 als wahrscheinliche Kopie dieses Textes identifiziert – und in der Tat orientieren sich die meisten Abakistenbücher inhaltlich an diesem Text. Es entbehrt nicht einer gewissen Ironie, dass die erfolgreiche Wiedereinführung der Mathematik im nachrömischen Italien von einem in der Landessprache abgefassten Handbuch für Finanzmathematik angestoßen wurde, während die mathematisch substantiellere lateinische Urfassung vergleichsweise wenig rezipiert wurde.

Keith Devlin beschreibt Inhalt und Rezeptionsgeschichte von Fibonaccis Texten detailreich und unterhaltsam. Insbesondere erklärt er, wieso die Einführung der indoarabischen Zahlen und der zugehörigen Rechenalgorithmen einen solchen Fortschritt gegenüber dem Rechnen mit römischen Zahlen bedeuteten. In „Finding Fibonacci“ wiederholt er viele der schon in seinem Vorgängerbuch „The Man of Numbers“¹ präsentierten Informationen, reichert sie aber mit persönlichen Erlebnissen bei seinen Recherchen zum Thema an. So lässt sich „Finding Fibonacci“ sicher mit Gewinn lesen, ohne dass man auf „The Man of Numbers“ zurückgreifen müsste, aber schon wegen der vielen Verweise auf das Vorgängerbuch (allein im Index sind acht aufgeführt) hatte ich das Bedürfnis auch dieses zu lesen und in die Besprechung einzubeziehen.

Inhaltlich neu in „Finding Fibonacci“ ist das Kapitel „Leonardo and the Birth of Modern Finance“, das sich an einem Artikel des Finanzwissenschaftlers William N. Goetzmann orientiert. Speziell in diesem sehr interessanten Kapitel hätte ich mir gewünscht Keith Devlin hätte das Thema selbst nochmal aufgearbeitet und in seiner bekannt luziden Art beschrieben, anstatt unter der Überschrift „Goetzmann’s Thesis“ einfach zehn Seiten aus dessen Artikel zu übernehmen, der sich offensichtlich an Leser mit finanzwissenschaftlichem Hintergrund richtet.

Keith Devlin hat ein kulturhistorisch spannendes Thema aufgegriffen, das es verdient ins Bewusstsein nicht nur der Fachmathematiker gerückt zu werden. Beide Bücher sind lesenswert, man hätte sich aber Doppelungen ersparen können, wenn man eine zweite, erweiterte Auflage von „Man of Numbers“ realisiert hätte.

Rezension: Joachim Hilgert (Uni Paderborn)

¹ Keith Devlin: The Man of Numbers. Fibonacci’s Arithmetic Revolution (Walker & Company 2012, 183
Seiten, ISBN 978-0802779083, C 24,32).

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2017, Band 64, S. 245–247
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

The Best Writing on Mathematics 2016

Mircea Pitici,  Editor
Princeton University Press 2017, xxii+377 Seiten, 27,03 €

ISBN 978-0-691-17529-4
ISBN 978-1-400-88560-2

Dies ist der siebte Band mit nicht-technischen Artikeln über Mathematik und ihre Rolle in der menschlichen Zivilisation, die Mircea Pitici unter dem Titel „The Best Writing on Mathematics“ zusammengestellt hat. Es handelt sich durchweg um schon vorher publizierte Artikel jüngeren Datums.

Im ersten Band „2010“ wurden die Artikel noch unter den Überschriften Mathematics Alive, Mathematicians and the Practice of Mathematics, Mathematics and its Applications, Mathematics Education, History and Philosophy of Mathematics  Mathematics in the Media, gruppiert. Diese Aufteilung hat der Herausgeber schon im zweiten Band aufgegeben, sie vermittelt aber ein guten Eindruck von der Bandbreite der Beiträge. Der aktuelle Band enthält insgesamt 30 Artikel, die hier natürlich nicht im Einzelnen besprochen werden können. Pitici gibt einen kurzen Überblick auf drei Seiten. Außerdem listet er in einem Abschnitt „More writings on Mathematics“ fast 70 Bücher auf, die in den letzten fünf Jahren erschienen sind und vom Stil her zu den ausgewählten Artikeln passen. Am Ende des Buches findet sich ein Abschnitt „Notable Writings“ mit nochmal zwölf Seiten mit Referenzen auf lesenswerte Artikel, die es aber nicht in die Auswahl geschafft haben. Vergleichbare Elemente waren auch in den Vorgängerbänden enthalten.

Die Autorenschaft der Artikel ist so divers wie die behandelten Themen. Über die Jahre findet man Fieldsmedaillisten wie Timothy Gowers, David Mumford und Terence Tao sowie bekannte Popularisierer von Mathematik wie Keith Devlin, Burkhard Polster und Ian Stewart, aber auch ganz junge Autoren und solche, die nicht als Mathematiker oder in der Mathematiklehrerausbildung arbeiten.

Nicht-technische und trotzdem interessante Artikel über Geschichte, Anwendungen oder Philosophie der Mathematik, Zielsetzungen und Formen des Mathematikunterrichts oder Themen der „Recreational Mathematics“ zu schreiben erscheint gut machbar. Sehr viel weniger klar ist, ob so etwas auch für das Thema aktuelle mathematische Forschung denkbar ist. Bei der Durchsicht der bisher erschienenen Bände stellt man fest, dass es in der Tat eine Reihe von sehr schönen Beiträgen über aktuelle Entwicklungen der Mathematik gibt. Sie konzentrieren sich thematisch aber dort, wo zumindest die Fragestellung klare Anknüpfungspunkte in den üblichen Bereichen Kombinatorik, Zahlentheorie, fraktale und simpliziale Geometrie sowie Berechenbarkeit hat. Exemplarisch dafür sind die Beiträge über die abc-Vermutung („The Impenetrable Proof“ von Davide Castelvecchi) und die (Widerlegung der) Triangulierungsvermutung („Some Spaces Can’t Be Cut“ von Kevin Hartnett). Eine Ausnahme im 2016er Band ist der Beitrag „Mathematicians Chase Moonshine’s Shadow“ von Erica Klarreich, in dem es um Gruppentheorie, modulare Funktionen und String-Theorie geht.

Der Herausgeber stellt in der Einleitung zum 2015er Band fest, dass er seine Reihe explizit als serielle Institution sieht, die auch ein Forum für den Austausch von Ideen sein soll. Ganz in diesem Sinne bringt er auch Beiträge, die die üblich gewordenen Sichtweisen in Frage stellen. So kontrastiert „The Reasonable Ineffectiveness of Mathematics“ von Derek Abbott in interessanter Weise das vielzitierte Diktum von der „Unreasonable Effectiveness of Mathematics“ von Eugene Wigner. Bemerkenswert finde ich, wie wenig thematische Wiederholungen sich trotz des seriellen Charakters in den vorliegenden sieben Bänden finden.

Wenn ich hier nicht im Einzelnen auf die Beiträge zu Geschichte, Anwendungen oder Philosophie der Mathematik, zu Zielsetzungen und Formen des Mathematikunterrichts oder zu Themen der „Recreational Mathematics“ eingehe, dann heißt das keineswegs, dass ich sie nicht interessant gefunden habe. Im Gegenteil. Anläßlich dieser Besprechung habe ich jeden einzelnen Artikel des 2016er Bandes gelesen. Im Interesse einer zeitnahen Besprechung habe ich in den Vorgängerbänden jeweils nur eine kleine Auswahl von Beiträgen genauer angeschaut. Aber schon beim Überfliegen der anderen Beiträge wurde vielfach meine Neugier geweckt und so werden diese sieben Bände von „The Best Writing on Mathematics“ noch eine ganze Weile mein Nachtkästchen zieren. Und nächstes Jahr kommt hoffentlich ein neuer Band hinzu.

Rezension: Joachim Hilgert (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2017, Band 64, S. 253–254
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Spiel, Zufall und Kommerz
Theorie und Praxis des Spiels um Geld zwischen Mathematik, Recht und Realität

Thomas Bronder
Springer Spektrum Verlag (25. Februar 2016), Taschenbuch, 320 Seiten, 29,99 €

ISBN-10: 3662488280
ISBN-13: 978-3662488287

Der Autor war jahrelang Leiter des Spielgerätelabors der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt und beriet den „Spielausschuss“ beim Bundeskriminalamt. Aus diesen praktischen Erfahrungen und intensiven Recherchen ist dieses Buch entstanden.

Nach einer sehr kurzen Einführung in die Geschichte des Spiels (6 Seiten) folgen die drei großen Kapitel mit den Überschriften „Das Spiel“, „Der Zufall“ und „Der Kommerz“.

Im ersten Kapitel werden die unterschiedlichsten Spiele beschrieben und nach verschiedenen Kriterien klassifiziert und tabellarisch dargestellt:

nach Spielgegenständen (u. a. Würfel, Brett- und Kartenspiele, Lotterien, Wetten)
Zufall oder Geschicklichkeit oder Mischformen beider
Ein-, Zwei- oder Mehrpersonenspiele
Turnierspiele (häufig beim Sport).

Rechtliche Aspekte von Glücksspielen (Spieltempo, Einsatz, Gewinn und Zufallsanteil) werden erläutert. Das Messen des Zufallsanteils wird an den beiden Spielen Skat und Poker diskutiert mit dem Ergebnis, dass das (üblicherweise vielfach wiederholte) Skat als Geschicklichkeitsspiel anzusehen ist, Poker hingegen – auch als Spielserie – ein Glücksspiel bleibt. Weiterhin geht der Autor auf die Spieldefinition John von Neumanns ein und stellt die von diesem verwendeten mathematischen Begriffe „Baum“, „Strategie“, „Gewinnfunktion“ und „Nullsummenspiel“ vor sowie die Klassifizierung nach Spielen mit perfekter, imperfekte oder fehlender Information.

Im Kapitel „Der Zufall“ wird dieser Begriff ausführlich analysiert und mit den Kategorien „Wahrscheinlichkeit“ und „Unabhängigkeit“ in Beziehung gesetzt; Zufallsgeräte und (Pseudo-)Zufallszahlengeneratoren werden systematisch vorgestellt. Der Autor entwickelt die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung bis hin zum Gesetz der großen Zahlen und der Gauss‘schen Normalverteilung. Interessant und ausführlich dargestellt ist die Methode der Irrfahrten, die zur Darstellung der Spielabfolge (hier insbesondere beim Roulette) dient. Mit diesem Hilfsmittel können die Begriffe Verlust- und Gewinnquote, Nettogewinnzone gut veranschaulicht werden. Die Diagramme zeigen auch sehr überzeugend, dass es bei einer Spielserie im Roulette oder bei Geldspielautomaten einen Grenzpunkt (den Punkt ohne Rückkehr - point of no return) gibt, „ab dem es trotz weiterer zufälliger Gewinne keine Rückkehr mehr zu einem Nettogewinn gibt“ (mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,7 %, 3σ-Vertrauensintervall). Erstaunt hat mich Bronders Feststellung, dass die modernen Spielautomaten aufgrund der eingebauten Mikroprozessoren und der komplexen Programmierung eine Überprüfung der vom Hersteller angegebenen Auszahlungsquote nur angenähert experimentell durch sehr lange Testserien erlauben.

Das Kapitel „Der Kommerz“ handelt von der Konstruktion von Glücksspielen (Gewinnplanerstellung bei verschiedenen Spielen, Bestimmung von Auszahlungsquoten), weiter von Wetten und Buchmachern, Schneeballsystemen, vermeintlich sicheren Spielsystemen (Martingale) beim Roulette sowie von Spielmanipulationen und Falschspielern. Weiter werden Aspekte der Wirtschaftlichkeit von Spieleanbietern (z.B. Automatenaufstellern und Spielbanken) diskutiert.

Das Buch enthält eine lange Liste der verwendeten Quellen sowie ein Stichwortverzeichnis, bei dem leider das letzte Kapitel nicht berücksichtigt worden ist.

Eine Fülle von mathematischen, technischen, juristischen und ökonomischen Aspekten wird geboten. Laut hinterem Buchdeckel „liegt hiermit nun eine kleine ‚Bibel‘ des Spiels um Geld vor, die für Spieler, Veranstalter und Automatenaufsteller ebenso interessant ist wir für Erfinder und Sachverständige, Gesetzgeber und Richter“. Für Leser, die nicht zu diesem Adressatenkreises gehören, dürfte die Lektüre weniger geeignet sein – dafür ist es in vielen Teilen doch zu speziell und zu ausführlich.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Von Eins bis Neun
Große Wunder hinter kleinen Zahlen - Über 100 mathematische Exkursionen für Neugierige und Genießer

Marc Chamberland
Springer Spektrum Verlag (10. Oktoberr 2016), Taschenbuch, 248 Seiten, 19,99 €

ISBN-10: 366250250X
ISBN-13: 978-3662502501

Ein etwas ungewöhnliches Verfahren verwendet der US-amerikanischen Autor, um Lust auf Mathematik zu machen. Über 100 mathematische Miniaturen werden wie durch ein Raster gesiebt und den Zahlen von Eins bis Neun zugeordnet. Nicht der innermathematische Zusammenhang der Themen war das Kriterium, nach dem er diese zusammengestellt hat, sondern ein äußeres Merkmal: Hat der beschriebene Inhalt (ein Satz, eine Eigenschaft) etwas mit den Zahlen von Eins bis Neun zu tun, so wird es dem entsprechenden Kapitel zugeordnet.

Bei der Auswahl seiner Themen hat der Autor nicht auf manche der berühmten klassischen Aussagen verzichtet. So fehlen z. B. auch nicht Goldbach-Vermutung und Primzahlzwillinge (Kapitel 2), Winkeldreiteilung und großer Fermat‘scher Satz (Kapitel 3), Vierfarbensatz (Kapitel 4) und platonische Körper und Galois-Theorie (Kapitel 5).

Nicht immer ist die Zuordnung so einleuchtend wie in den vorgenannten Beispielen. Die Collatz-Vermutung, auch als (3n+1)-Problem bekannt, gehört für Chamberland deshalb in Kapitel 3, Conways Game of Life wird in Kapitel 8 aufgeführt, weil die Nachbarschaft jeder Zelle aus 8 Zellen besteht und deren Eigenschaften die nächste Generation bestimmen. Bei der Ungleichung von arithmetischen und geometrischen Mittel meint der Autor, „die Zahl 2 ist hier nicht zu übersehen“ und demnach ist diese Eigenschaft im Kapitel 2 zu finden. Ebenso wie das Newton‘sche Näherungsverfahren zur Nullstellenbestimmung, hier mit der Begründung, dass sich bei der Iteration schrittweise die Anzahl der exakten Nachkommastellen verdoppelt.

So ungewöhnlich und teilweise reizvoll dieser Ansatz ist, so erscheinen mir aber manche Zuordnungen doch recht willkürlich, so etwa die der 1 zugeordneten Abschnitte, die auf Grund einer 1-deutigen Eigenschaft hier aufgeführt sind. Andere Beispiele halte ich für ziemlich uninteressant – sie verdanken ihre Aufnahme in dieses Buch offensichtlich allein der Tatsache, dass sie zu einer der Zahlen von eins bis neun passen.

Der mathematische Schwierigkeitsgrad wechselt, am Anfang eines Kapitels ist er meist geringer. Selten werden Beweise ausgeführt, wenn, dann natürlich nur bei einfachen Problemen. Meistens werden diese nur beschrieben. Kurze biografische Notizen werden manchmal eingefügt, so etwa zu Abel, Galois, Ramanujan und Erdös – der Autor hat sich also, wie andere vor ihm, besonders prägnante Lebensläufe ausgewählt.

Man kann die Abschnitte – selbst die längeren umfassen nur wenige Seiten – völlig unabhängig voneinander lesen, auch selten nur werden Bezüge zu anderen Teilen des Buches hergestellt. Das ist einerseits ein Vorteil, wenn man tatsächlich die Mathematik nur häppchenweise konsumieren will, andererseits aber ist es so fast gar nicht möglich, größere Zusammenhänge darzustellen. Solche und vor allem auch ausführlichere Vertiefungen kann man in den Büchern finden, die der Autor im Literaturverzeichnis angibt (von den 46 Titeln sind 70% in Englisch).

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)