Leseecke

Hans-Wolfgang Henn
Springer Spektrum, 2. Auflage 2012, 29,95 €
ISBN-10: 3834819042
ISBN-13: 978-3834819048

Die Wechselwirkungen von Geometrie und Algebra haben die Mathematik seit Jahrhunderten beeinflusst, von Descartes’ analytischer Geometrie zur algebraischen Geometrie des 21. Jahrhunderts, die zu den abstraktesten Gebieten der reinen Mathematik gehört. Jedoch ist insbesondere die klassische Geometrie ein Kernbereich der Schulmathematik von der 1. Klasse an, und es ist ein Anliegen dieses Buches, geometrische Problemstellungen algebraisch zu unterfüttern. Generell ist es das Leitmotiv des Autors, einige Aspekte der schulischen Mathematik vom Standpunkt der universitären Mathematik aufzugreifen und zu vertiefen; dies wird bereits im Untertitel „Mathematische Theorie für schulische Fragestellungen“ deutlich. Der Text richtet sich in erster Linie an fortgeschrittene Studierende der Mathematik, insbesondere Lehramtskandidaten, und natürlich auch an Mathematiklehrer.

Der Aufbau ist nicht streng deduktiv, vielmehr enthält das Buch fünf großenteils voneinander unabhängige Kapitel zu ausgewählten Themenkreisen. Es geht zuerst um axiomatische Geometrie. Nach einem historischen Überblick von Euklid bis Hilbert folgt eine detaillierte Diskussion affiner Ebenen und ihrer Koordinatenkörper. Das nächste Kapitel beschäftigt sich mit möglichen und unmöglichen geometrischen Konstruktionen (Winkeldreiteilung, Quadratur des Kreises, das regelmäßige n-Eck). Dass sich zum Beispiel ein Winkel von 60 Grad nicht mit Zirkel und Lineal dreiteilen lässt, wird mit Hilfe der Theorie der Körpererweiterungen bewiesen, aber die Transzendenz von π wird nur konstatiert (ein Beweis würde auch zu weit führen) und daraus die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises hergeleitet. In diesem Kapitel findet man auch Lösungen von Konstruktionsaufgaben wie der Winkeldreiteilung mit anderen Hilfsmitteln, etwa Origami.

Es folgt ein Kapitel über Symmetrien und Symmetriegruppen, in dem der Autor das „Erlanger Programm“ von F. Klein erläutert. Die 17 kristallographischen Gruppen werden eingehend vorgestellt, und das Kapitel endet mit einer Diskussion der Penroseschen aperiodischen Pflasterungen. Die letzten beiden Kapitel sind eher algebraisch denn geometrisch und befassen sich mit algebraischen Gleichungen bzw. dem Aufbau des Zahlensystems. Hier findet man eine Einführung in die Galoistheorie, deren wesentliche Ideen ausgeführt werden, wenngleich der Hauptsatz der Galoistheorie nicht bewiesen wird. Damit wird dann die Unmöglichkeit, Gleichungen 5. Grades durch Radikale (also durch eine Formel, in der Wurzelausdrücke vorkommen) zu lösen, begründet.

Schließlich geht es im letzten Kapitel um den Aufbau des Zahlensystems von den natürlichen bis zu den komplexen Zahlen. Der schwierigste Schritt ist hier die Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen, wofür der Autor drei Wege angibt: Dedekindsche Schnitte, Intervallschachtelungen und Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen; diese Methode wird etwas detaillierter erläutert. Der letzte Abschnitt dieses Kapitels stellt die Cantormenge vor.

Jedes Kapitel enthält ein einführendes Unterkapitel „Vernetzung mit dem mathematischen Schulstoff“, das die Mathematik der Schule von einem „höheren Standpunkt“ (F. Klein) erläutert, was in den folgenden Unterkapiteln ausgeführt wird. Diese vom Autor „vertikale Vernetzung“ genannte Verknüpfung zieht sich wie ein roter Faden durch den gesamten Text, und deswegen ist dieses Buch für angehende und praktizierende Lehrkräfte eine hervorragende Ergänzung zur mathematischen Standardliteratur. Es ist reichhaltig illustriert und enthält viele Übungsaufgaben, die das Verständnis des Textes stützen. Der Stil des Buches ist sehr flüssig und ansprechend, aber den Satz „Die einfache Differentialgleichung \((F(x)= \int_a^x f(t)\,dt)\) hat für stetige, es reichen sogar monotone, Funktionen stets eine eindeutige Lösung.“ (S. 173) würde man in keinem Seminarvortrag akzeptieren. Da kein Buch perfekt ist, muss man auch hier vor kleinen Ungenauigkeiten auf der Hut sein, aber der Autor unterhält eine Internetseite, wo man eine Errataliste und weitere Materialien findet.

Insgesamt kann man das Buch allen Lehrern (jetzigen wie zukünftigen) nur ans Herz legen.

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)

Masha Gessen
Suhrkamp Verlag; Auflage: 3 (17. Juni 2013), 22,95 €
ISBN-10: 3518423703
ISBN-13: 978-3518423707

Im Jahre 1904 stellte der französische Mathematiker Henri Poincaré eine Vermutung über dreidimensionale Mannigfaltigkeiten auf, die seither seinen Namen trägt. Was diese Vermutung genau besagt, soll hier außen vor bleiben. Eine sehr grobe Vereinfachung wäre „Was wie eine Sphäre aussieht, ist auch eine Sphäre“; eine mathematisch präzise Fassung enthielte unter anderem die Vokabeln „einfach zusammenhängend“, „geschlossene 3-Mannigfaltigkeit“ und „homöomorph“. Diese Vokabeln können Mathematikstudenten im 2. Studienjahr kennen lernen; daher ist die Formulierung der Poincaré-Vermutung vergleichsweise elementar. Ganz und gar nicht elementar ist ihr Beweis, um den sich fast 100 Jahre lang die besten Mathematiker vergebens bemüht hatten. Masha Gessen erzählt die Geschichte des Mannes, der diesen Beweis schließlich im Jahr 2002 gefunden hat.

Dieser Mann ist Grigori (Grischa bzw. Grisha) Perelman aus St. Petersburg (vormals Leningrad), einer von der Sorte Mathematiker, die man getrost als genial, aber auch exzentrisch bezeichnen kann. Was jeden biographischen Versuch im Fall Perelman schwierig macht, ist die Tatsache, dass er seit 2006 praktisch jeden Kontakt zur Außenwelt (und insbesondere zu Journalisten) eingestellt hat, so dass die Autorin einzig auf Informationen zweiter Hand angewiesen war und ihre Schlussfolgerungen oft spekulativ sind. Masha Gessen beschreibt sehr eindringlich das Umfeld, in dem Perelman mathematisch aufwuchs, und wie sein Talent gefördert wurde: im Matheklub für Höchstbegabte in Leningrad und in der mathematischen Spezialschule, wie er zum Goldmedaillengewinner bei der Internationalen Mathematik-Olympiade wurde, wie einzig und allein diese Tatsache es dem jüdischen Schüler Perelman in der stark antisemitisch geprägten Sowjetunion ermöglichte, sich in der Leningrader Universität (neben der Moskauer der besten des Landes) einzuschreiben, und wie er schließlich mit seiner Dissertation erstes Aufsehen erregte. Natürlich kommt auch die Bedeutung der Mathematik in der totalitären sowjetischen Gesellschaft zur Sprache („die Mathematik steht so ziemlich für alles, was in der Sowjetunion verpönt war“, Seite 16), das mathematische Establishment und die Freigeister, Kolmogorows Rolle für die mathematische Pädagogik und vieles mehr.

Dieses sind für mein Empfinden die stärksten Teile des Buchs, wo die Autorin auch eigene Erfahrungen einbringen kann, denn sie war selbst Schülerin einer mathematischen Spezialschule, bis sie mit ihren Eltern in die USA auswanderte. All diese Dinge mögen Anlass sein, ein Buch zu schreiben, aber sie erklären noch nicht das Interesse an der Person Perelman. Hier kommen noch verschiedene Umstände hinzu, die ihn zu einem Thema für die Presse von der Bild-Zeitung („der bärtige Russen-Professor“) bis zum New Yorker („Manifold Destiny“) gemacht haben. Da ist zunächst einmal seine Jahrhundertleistung, ein derart fundamentales und schwieriges Problem gelöst zu haben wie die Poincaré-Vermutung, aber mehr noch die Umstände: Perelman hat seine Lösung nämlich nicht in einem detaillierten Aufsatz in einer Fachzeitschrift publiziert, sondern nur drei Manuskripte auf den von vielen Mathematikern genutzten Preprint-Server arXiv.org hochgeladen, die später von anderen ausführlich ausgearbeitet wurden.

Der zweite Teil von Gessens Buch berichtet von dieser Phase, darüber, wie Perelman die Fields-Medaille (die höchste Auszeichnung, die ein Mathematiker erhalten kann) zugesprochen bekam und ablehnte, wie sich viele Mathematiker an die Verifikation des Perelman-Programms machten (auch solche, die sich wohlprotegiert mit diesen fremden Federn selbst schmücken wollten), wie er sich mehr und mehr aus der Mathematikerwelt zurückzog und schließlich seine Stelle im Steklow-Institut in St. Petersburg kündigte (und seither offenbar als bescheidener Privatier lebt), wie er den mit 1 Million Dollar dotierten Millenniums-Preis der Clay-Stiftung zuerkannt bekam (und ablehnte, aber das geschah erst nach Veröffentlichung der englischen Originalausgabe dieses Buchs).

Über Perelmans Motive kann man nur spekulieren, wobei die Autorin am Ende wohl deutlich übers Ziel hinausschießt; im 10. Kapitel breitet sie den Lesern nämlich alle Evidenz dafür aus, dass Perelman am Asperger-Syndrom, einer Form von Autismus, leidet. Dass sie sich formal von dieser einzigen Konsequenz ihrer Ausführungen distanziert, wirkt auf mich wenig überzeugend (Seite 255). Nun wird im Buch hinlänglich belegt, dass Perelman wirklich ein schwieriger, aber auch sensibler Charakter ist; diese Kombination führt zu Reaktionen, die als grob und verletzend empfunden werden. Viele Kommentatoren betonen jedoch seine Ehrlichkeit, zum Beispiel der berühmte Geometer Gromow: „Er hat moralische Grundsätze, an die er sich hält. Und das überrascht viele.“

Allerdings ist Perelmans Verhalten für Außenstehende kaum nachzuvollziehen: Wer sonst würde sich beleidigt fühlen, wenn ihr oder ihm die Princeton University eine Professur zunächst auf Zeit anbieten würde (wie es in der amerikanischen Universitätslaufbahn üblich ist)? Seine Welt scheint von derselben Rigorosität beherrscht zu sein, die in mathematischen Beweisen verlangt wird, im Alltagsleben aber manchmal hinderlich ist. Dem trägt der Titel der Originalausgabe „Perfect Rigor“ Rechnung, während der deutsche Titel „Der Beweis des Jahrhunderts“ eher eine mathematischtechnische Abhandlung erwarten lässt. Diese gibt es aber eigentlich nur am Rande, und das Poincarésche Problem (geschweige denn seine Lösung) ist auch wirklich schwer zu beschreiben; interessierte Leser mögen zu George Szpiros „Das Poincaré-Abenteuer“ oder Donal O’Sheas „Poincarés Vermutung“ greifen wollen. Hinzu kommt, dass die Poincaré-Vermutung nur ein Spezialfall der Perelmanschen Theorie ist, die sogar die viel allgemeinere „Geometrisierungsvermutung“ von Thurston beweist.

Die Versuche der Autorin, auf die Mathematik einzugehen, fand ich im Detail nicht durchgehend gelungen. Die angebliche Umschreibung des Begriffs einer glatten Mannigfaltigkeit weist wohl eher auf eine orientierbare hin, und die umgangssprachliche Erklärung eines angeblichen Diffeomorphismus trifft in Wirklichkeit auf einen Homöomorphismus zu (Seite 204); diese Details sind für viele Leser jedoch unerheblich. Der Übersetzer hat recht gute Arbeit geleistet; ich habe nur wenige Schnitzer vom Kaliber „fixierte Punkte“ statt „Fixpunkte“ gefunden. Was die Autorin mit „a sort of uniform boundary“ meint, habe ich zwar auch nicht verstanden, „eine Art einförmige Grenze“ (Seite 212) ist es aber gewiss nicht.

Masha Gessens Buch über Grigori Perelman liefert eine faszinierende Sicht auf die mathematischen Kultur und Subkultur in der Sowjetunion und in Russland und ist der Versuch einer Annäherung an eine unnahbare Persönlichkeit.

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)

Turing
Graphic Novel

Rober Deutsch
Avant; 29,95 €

ISBN-13: 978-3-945034-55-2

1951. Alan Turing erhält in seinem Büro am Londoner National Physical Laboratory Besuch von der Presse. Während er der Reporterin der Times die frühe Computerentwicklung näher bringt, begrüßt der Forscher einen Zwerg, der artig zurückgrüßt. Noch ehe die Reporterin weiß wie ihr geschieht ist die Szene auch schon vorbei und Turing setzt seine Erläuterungen zum Arbeitsalltag im Labor fort. Noch in vielen weiteren Situationen ist er umgeben von den Zwergen und Waldtieren aus dem berühmten Schneewittchen-Film von 1937. Nicht zuletzt ist es Schneewittchen selbst, die die Geschichte rund um die letzten Lebensjahre des Mathematikers rahmt.

Turings Arbeit und sein Privatleben, so zeigt es Robert Deutsch in seiner mehrfach preisgekrönten Graphic Novel, ist geprägt vom Anderssein, vom Andersdenken, von der Arbeit und vom Leben im Verborgenen: Turing, der Eigenbrötler, der in einer Zeit, als „Rechner“ noch ganze Räume füllten, davon überzeugt ist, dass „Damen ihre Computer zum Spazierengehen in den Park mitnehmen und einander erzählen: ‚Mein kleiner Computer sagte mir heute Morgen etwas so Lustiges!‘“ (S. 55) Turing, der hochdekorierte Kriegsheld, der über seine Tätigkeit während des Zweiten Weltkriegs, die Mitwirkung an der Entschlüsselung der deutschen Enigma, nicht sprechen darf, ohne dass dies Konsequenzen für ihn und sein Umfeld hat. Turing, der Privatmann, der sich nach Liebe und Zuneigung sehnt und der aufgrund seiner Homosexualität ein hartes Schicksal erfahren muss.

Anders als viele Graphic Novels, die eine berühmte Persönlichkeit thematisieren, kommt das Werk von Deutsch mit erfreulich wenig Text aus. Er vertraut auf seine zum Teil surrealen Inhalte der Panels, auf deren durchdachte Komposition und auf die Kraft von Farben. Der Autor setzt den Schwerpunkt bewusst – anders als die meisten Biografien – auf die letzten Lebensjahre Turings und es gelingt ihm, die Lebensleistung des Wissenschaftlers in einen verdichteten Handlungsbogen zu setzen. Neben der bekannten Forschung in Mathematik und Informatik deutet Deutsch auch die weniger bekannten Ergebnisse Turings auf den Gebieten der Biologie und Chemie an. Statt jedoch die Leserschaft an die Hand zu nehmen und die Geschichte auszubuchstabieren schaffen die Panels einen Imaginationsraum; scheinbar ganz nah nehmen die Lesenden am Innenleben von Turing teil. Einzig die Geschichte der Entschlüsselung der Enigma schildert Deutsch in langen Textpassagen – ein Verhör auf der Polizeistation bietet dafür den dramaturgischen Rahmen.

Leichtfüßig führt die Graphic Novel ihre Figuren durch den sogenannten Turing-Test, beklemmend hingegen zeigt sie schließlich die Folgen der Hormonbehandlung, die Turing aufgezwungen wurde, um dem Gefängnis zu entgehen. Nichts ist von der Schlagfertigkeit und dem Frohsinn Turings geblieben. Ein von Depression, Impotenz und Adipositas gezeichneter Turing vegetiert in einem käfigartigen Raum, die dort stattfindenden Sitzungen mit einem Psychologen manifestieren das Elend. Die Erlösung bringt letztlich Schneewittchen. Nach dem Biss in den vergifteten Apfel geleitet sie zusammen mit ihren Zwergen und den Tieren des Waldes den nunmehr toten Ausnahmemathematiker zu seiner ebenfalls verstorbenen Jugendliebe. Einer der zukunftsweisendsten Denker seiner Zeit scheitert ausgerechnet an der Rückschrittlichkeit der Gesellschaft, in der er lebt. Robert Deutsch liefert mit seiner Graphic Novel eine Hommage, deren Bilderwelt immer wieder zum erneuten Lesen einlädt.

Rezension: Elisabeth Schaber und Martin Skrodzki

Dunkle Zahlen
Roman

Matthias Senkel
Matthes & Seitz Berlin; 24,00 €

ISBN-13: 978-3-95757-539-5

Im Jahr 1985 findet die „Internationale Spartakiade junger Programmierer“ in Moskau statt. Zu diesem Wettkampf sind Teams aus allen sozialistischen Staaten nach Russland gekommen. Zur Unterstützung der kubanischen Auswahl reist Mireya Fuentes in die russische Hauptstadt, um dort zu übersetzen. Doch das mittelamerikanische Team ist nicht vor Ort und Mireya begibt sich auf eine Spurensuche durch Moskau.
So beginnt einer der zahlreichen Handlungsstränge in Matthias Senkels Roman „Dunkle Zahlen“, der für sich den Begriff „Poem“reklamiert. Lyrik ist jedoch nur eine von vielen Textformen, mit denen der Autor spielt, denn er vermischt seine prosaischen Passagen mit allerlei anderen Formaten: Ein Eintrag aus einer Enzyklopädie klärt über die unterschiedlichen Bedeutungen des Begriffs der „dunklen Zahl“ auf. Ein wissenschaftlicher Artikel und ein Screenshot einer Seite aus der Wikipedia stellen den russischen Dichter Gawriil Jefimowitsch Teterevkin vor, während die Kapitel zum Agenten mit Decknamen „Dupont“ eher die Mitschrift eines Computerspiels darstellen – inklusive „Game Over“ am Ende.

Ähnlich zahlreich wie die verwendeten Textgattungen sind auch die unterschiedlichen Erzählstränge. Neben der Geschichte rund um die kubanische Auswahl werden die Lebenswege der Hauptverantwortlichen bei der Spartakiade beschrieben. Die Leserinnen und Leser verfolgen wie sich die Werdegänge des Nationaltrainers der sowjetischen Auswahl, Leonid Michailowitsch Ptuschkow, einer Mitarbeiterin des KGB, Jewhenija Arsenjewna Swetljatschenko, und des Leiters des Programmierwettbewerbs, Dmitri Frolowitsch Sowakow, schon vor der Spartakiade 1985 wiederholt kreuzen und trennen.

Für einen Überblick über die vielen eingeführten Figuren und deren für deutsche Leserinnen und Leser ungewohnten russischen Namen ist spätestens nach dem zweiten Kapitel das Personenregister hilfreich. Dieses ist mit einem dunklen Lochkartenmotiv am Seitenrand versehen, sodass es sich jederzeit leicht finden lässt. Ähnlich nützlich ist das Verzeichnis von Abkürzungen, die im gesamten „Poem“ allgegenwärtig sind. Während sich ES als „einheitliches System“ noch gut merken lässt, ist GRU GSch WS CCCP¹ schon einen Blick in das Register wert. Wie gut die Abkürzungen von der Leserschaft erlernt wurden und wie aufmerksam gelesen wurde lässt sich in einem Kreuzworträtsel prüfen, das Begriffe aus dem Text aufgreift. Diese entstammen teils wunderbar skurrilen Unterhaltungen, wie der Begriff für Waagerecht 2: Plutonische Gesteinsformation.²

Durch diese Sammlung an Erzählsträngen, Figuren und Textgattungen zieht sich ein roter Faden, der beim Dichter Teterevkin beginnt. Er nimmt die Idee der universalen Rechenmaschine von Charles Babbage und Ada Lovelace auf und wendet das Konzept auf Literatur an. Teterevkins Ziel: Die Entwicklung einer Golemartigen Literaturmaschine (GLM), die eine textuelle Beschreibung der gesamten Gegenwart liefert. Hier klingt Leibniz' Postulat an, die Zukunft aus einem aktuellen Zustand des Universums berechnen zu können. Ausgehend von der Idee der GLM beschäftigen sich alle Protagonistinnen und Protagonisten mehr oder weniger stark mit der beginnenden Digitalisierung unterschiedlichster Lebensbereiche.

Der Roman beantwortet nicht alle Fragen, die er stellt. Es ist streckenweise nicht einmal klar, welche Frage überhaupt gestellt wird. Aber genau das macht den Reiz aus. Auf atmosphärisch dichte Weise zeichnet Matthias Senkel ein fantasievolles und unterhaltsames Bild von der Entwicklung der Informatik in der Sowjetunion. Diese selten erzählte Geschichte hat vornehmlich – wie im Westen auch – Mathematikerinnen und Mathematiker als Heldinnen und Helden, die Pionierarbeit in der angewandten Mathematik und Numerik leisteten. Den großen Umfang dieser beginnenden digitalen Revolution und die hohe Anzahl von betroffenen Lebensbereichen arbeitet Senkel sehr anschaulich heraus. Das „Poem“ endet – seiner kreativen Verwendung von literarischen Gattungen treu bleibend – mit einem Comic ohne Bilder. Nach der Lektüre bleibt viel Stoff zum Spekulieren, Nachlesen und Diskutieren, aber auch ein spannender Einblick in den Beginn der Informatik auf der östlichen Seite des Eisernen Vorhangs.

Rezension: Elisabeth Schaber und Martin Skrodzki

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¹Hauptverwaltung für Aufklärung beim Generalstab der Streitkräfte der UdSSR.
²Antwort: Lakkolith.

Matthias Müller

Springer; Auflage: 1. Aufl. 2017 (18. Januar 2017), 164 Seiten, 19,99 €
ISBN-10: 3658138947
ISBN-13: 978-3658138943

Die Mathematik-Zeitschrift Die Wurzel richtet sich seit über 50 Jahren nach eigener Aussage „an Schüler und Lehrer der gymnasialen Oberstufe, an Studenten, Professoren und alle mathematisch Interessierten.“ Hier werden Artikel zu verschiedensten Teilgebieten der Mathematik, zu Olympiaden und mathematischen Wettbewerben veröffentlicht. Seit einigen Jahren enthält sie eine Rubrik, den sogenannten „Ableger“, der Artikel für jüngere Schüler anbietet.

Zwanzig dieser Arbeiten sind in diesem Band veröffentlicht. Auf in der Regel drei bis acht Seiten wird über Themen geschrieben, die Jüngere – möglichst schon von der Überschrift her – ansprechen sollen und entsprechendes Anspruchsniveau haben.

Es finden sich in diesem Band klassische Themen wie „Achilles und die Schildkröte“, Hilberts Hotel und nicht-euklidische Geometrien.

Eine Reihe von Artikeln widmet sich mathematischen Fragen rund um den Sport. Mehrfach geht es dabei um Fußball, womit man sicher viele Jugendliche anspricht. Untersucht wird z. B., welche Turnierformen es gibt (Runden-Spiele, KO-System, Playoff-Systeme), ob Fußball „reine Glückssache“ ist oder wie gerecht die „Auswärtstor-Regel“ ist. Die vorgestellte Mathematik reicht hier von Summenformeln bis hin zur Poisson-Verteilung. Unter dem Titel „Punkt, Satz, Sieg“ werden andere Sportspiele diskutiert und dabei werden Summenformeln und quadratische Gleichungen benötigt. „Der optimale Winkel beim Kugelstoßen“ muss natürlich Trigonometrie behandeln.

Andere Spiele sind in weiteren Artikeln Thema. Das Computerspiel „Minesweeper“, Würfelpoker, das Nim-Spiel oder Roulette fordern die Beschäftigung mit kombinatorischen Fragen.

In fast allen Kapiteln werden die Leser in einer „Knobelei“ aufgefordert, weiter zu denken. Ideen oder komplette Lösungen dazu werden nicht im Buch gegeben – man kann sie aber auf der Produktseite des Buches beim Verlag (unter springer.com) abrufen. Auch wird jeweils noch Literatur angegeben. Und weiter, unsere digitale Medienwelt nutzend, kann man am Kapitelende mit Hilfe eines QR-Codes zusätzliches Material, u. a. auch Videos, herunterladen.

Das Buch ist für mathematisch interessierte Jugendliche sicher eine Fundgrube, für Lehrerinnen und Lehrer eine Sammlung, auf der sie für Referate und Präsentationen zurückgreifen und weitere Anregungen bekommen können. Bei vielen Artikeln wird auf die Mathematik der Sekundarstufe I zurückgegriffen, bei einigen allerdings wird das Niveau der Oberstufe erreicht.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)