Leseecke

Annalyn Ng und Kenneth Soo

Springer-Verlag 2018, XXI + 179 Seiten
ISBN: 978-3-662-56775-3, 19,99 €
eBook ISBN: 978-3-662-56776-0, 14,99 €

Unter den Begriffen „Digitalisierung“, „Big Data“, „Künstliche Intelligenz“ werden aktuell verschiedene gesellschaftliche und technische Entwicklungen in sehr bunter und auch problematischer Weise diskutiert. Es wird nicht nur von durch Algorithmen gesteuerten Fabriken gesprochen, sondern auch diskutiert, wie der Mensch bei Entscheidungsprozessen durch Algorithmen ersetzt werden kann. Dies betrifft z. B. autonomes Fahren, Entscheidungen zur Gewährung von Krediten oder auch die Suche nach der optimalen Behandlung von Patienten. Die Begriffe zum Inhalt des Buches werden gleich bei dem deutschen Titel in adäquater Weise geklärt. Der sich immer mehr etablierende Begriff der Data Science ist hier zentral und zeigt den Inhalt: Die wissenschaftlich basierte Analyse von Daten. Wissenschaftlich ist diese Disziplin zwischen Informatik und Statistik einzuordnen. Die Algorithmen des maschinellen Lernens spielen dabei eine zentrale Rolle. Daher ist die freie Übersetzung des engl. Originaltitels („Numsense! Data Science for the Layman: No Math Added“) sehr treffend. Weiter schreckt der Originaltitel möglicherweise mathematisch orientierte Leser ab, was sehr bedauerlich wäre.

Das Buch beginnt mit einer allgemeinen Übersicht. Neben Grundzügen der Datenaufbereitung werden wichtige Grundbegriffe wie „unüberwachtes Lernen“ („Aufgabe: Sag mir, was für Muster in meinen Daten verborgen sind!“, „überwachtes Lernen“ („Aufgabe: Leite aus den Mustern in meinen Daten Prognosen ab!“) und „bestärkendes Lernen“ („Aufgabe: Leite aus den Mustern in meinen Daten Vorhersagen ab und verbessere diese Vorhersagen, wenn neue Daten eintreffen!“) anschaulich erklärt. Auch Strategien zur Bewertung von Vorhersagen wie die Kreuzvaliderung werden einfach und klar erläutert. Wir waren überrascht, wie es den Autoren gelingt, auf nur 18 Seiten so viele zentrale Begriffe anschaulich und hinreichend genau zu erklären. Interessant ist weiter die Beschreibung des Vorgehens bei einer Data Science Studie in 4 Schritten Datenaufbereitung, Auswahl der Algorithmen, Optimierung der Parameter, Evaluierung und Prüfung. Man beachte, dass dieses Vorgehen etwas anders als in der traditionellen Statistik und Wissenschaft ist, wo die Schritte eher aus Theoriebildung und Hypothesen, Datenerhebung, empirische Prüfung und Bewertung bestehen. Nach der Einleitung werden in 11 weiteren Kapiteln verschiedene Vorgehensweisen beim maschinellen Lernen einzeln beschrieben: Clusteranalyse, Hauptkomponentenanalyse, Assoziationsanalyse, Soziale Netzwerkanalyse, Regression, k-nächste Nachbarn, Support-Vektor-Maschine, Entscheidungsbaum, Random Forests, Neuronale Netze, A/B-Tests. Die Kapitel beginnen jeweils mit der Erklärung der Aufgabenstellung anhand von Beispielen, gefolgt von den Lösungsansätzen, die wieder Beispiele enthalten. Dies gelingt in den meisten Kapiteln sehr gut und anschaulich, was insbesondere für die Kapitel zur Assoziationsanalyse und zu den Random Forests gilt. Weniger gelungen sind die Abschnitte zur Clusteranalyse (es wäre besser die Clusteranalyse als einfaches Optimierungsproblem darzustellen) und zu den neuronalen Netzen (hier ist aus unserer Sicht die Erklärung wenig anschaulich). Vielleicht wären an manchen Stellen doch (zumindest aus Sicht der mathematisch interessierten LeserIn) Formeln hilfreich gewesen. Störend sind an wenigen Stellen Formulierungen in der deutschen Übersetzung, die nicht ganz passend sind. Besonders gut gefällt uns, dass bei jedem Verfahren in einem Abschnitt die Grenzen erläutert werden. Hier zeigt sich die praktische Erfahrung der Autoren, die sehr wohl wissen, dass mit Hilfe von „Big Data“ nicht alle Probleme gelöst werden können. Insgesamt halten wir das Buch nicht nur für Laien, sondern auch für den mathematisch gebildeten und interessierten Leser für eine empfehlenswerte Einführung in die Welt des maschinellen Lernens. Es unterscheidet sich von anderen populärwissenschaftlichen Büchern in erfrischender Weise durch Sachlichkeit. Es kann auch dazu beitragen, dass die Diskussion über das Thema in der Öffentlichkeit entmystifiziert wird. Es sind nicht die Maschinen oder Algorithmen, die unser Leben in Zukunft bestimmen, sondern es wurden von kreativen Menschen Verfahren entwickelt, wie man Daten optimal auswertet und deren Einsatz in Industrie und Gesellschaft hilfreich sein kann. Da zu der Entscheidung, maschinelle Verfahren einzusetzen Grundkenntnisse zu den Verfahren hilfreich sind, ist dieses Buch ein nützlicher Beitrag.

Rezension: Helmut Küchenhoff, Maike Guderlei (Uni München)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2019, Band 66, S. 265–266
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Brian W. Kernighan

Princeton University Press 2018, 160 Seiten
ISBN: 978-0-691-18277-3, 18,84 €

Auf http://www.news.de konnte man am 16.2.2019 diese Schlagzeile lesen: „Täglich sterben 150.000 Menschen – mehr Geburten als Todesfälle“. Kurz darunter fand sich folgende Meldung: „Alkohol und Nikotin – Jeden Tag sterben beinahe 7.000 Menschen an den Folgen übermäßigen Alkoholkonsums. Damit gehen drei Prozent der weltweiten Tode auf das Rauschmittel zurück. ...“

Nach der Lektüre von Kernighans Buch „Millions Billions Zillions“ werden sich einem Leser sofort Fragen nach der Seriosität der Meldungen stellen. 7.000 von 150.000 – das sind doch nicht 3%. Welche Angabe in welcher Meldung ist hier korrekt? Und wie zuverlässig sind die übrigen Informationen? Solche und viele andere Beispiele hat der Autor über viele Jahre aus unterschiedlichen Medien, vor allem amerikanischen Presseerzeugnissen gesammelt. Leserfreundlich und unterhaltsam führt er in dem kleinen Band (160 Seiten), den er schon im Untertitel ausdrücklich als Hilfe zur Selbstverteidigung ausgibt, den Beweis, dass den vermeintlich objektive Zahlen, die uns im Kontext journalistischer Berichte, aber auch in Werbung und Politik begegnen, oft nicht zu trauen ist. Die Gründe dafür sind vielfältig und reichen von einfachen Verwechslungen bei großen Zahlen („Billions“ oder „Millions“ scheinen für manche Journalisten nur Metaphern für „sehr viele“ zu sein) über Fehlern beim Umrechnen von Messgrößen (wie viele Kubik- Inch hat ein Kubik-Fuß?) und Rundungsfehlern bis zu absichtlich irreführenden Repräsentationen von Größenverhältnissen oder Entwicklungen durch kontraintuitiv gewählte Ausschnitte in Graphen. In 10 Kapiteln geht der Autor auf unterschiedliche Problemarten ein und gibt Empfehlungen, wie die Plausibilität der Zahlenangaben mit einfachen Überlegungen und Mathematikkenntnissen, die nicht über den Stoff des 6. Schuljahrs (im amerikanischen Schulsystem) hinausgehen, überprüft werden kann. Jedes Kapitel schließt mit einer Zusammenfassung, in der die Überprüfungsstrategien noch einmal wiederholt werden. Die letzten vier Kapitel „Bias“, „Arithmetic“, „Estimation“ und „Self Defense“ weiten den Blick etwas allgemeiner auf die Grundprinzipien, an denen man sich im Umgang mit der Zahlenflut in den modernen Medien orientieren kann. Kurz gesagt mahnt das Buch dazu, den eigenen gesunden Menschenverstand zu gebrauchen, einige oft verwendete Kerngrößen (z.B. grob gerundete Einwohnerzahlen, Weltbevölkerung, Flächengrößen, physikalische Konstanten) im Kopf zu haben, sich im überschlagsmäßigen Rechnen zu üben und veröffentlichtem Zahlenmaterial mit größerer Skepsis zu begegnen.

Rezension: Joachim Higert (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2019, Band 66, S. 261-262
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Jost-Hinrich Eschenburg

Springer 2017, IX + 214 Seiten
ISBN 978-3-658-17294-7, 19,99 €
E-Book: ISBN 978-3-658-17295-4, 14,99 €

Es ist eine schwierige Aufgabe, selbst interessierten Laien etwas von der Faszination zu vermitteln, die die Mathematik auf die Mathematiker ausübt. Die meisten mathematischen Einsichten erfordern schon für die Formulierung ein ausgefeiltes Vokabular und Begrifflichkeiten, mit denen der Laie nichts anfangen kann. Und selbst wenn es möglich ist die Fragestellung mit elementarer Schulmathematik zu formulieren, wie im Falle des Fermatschen Problems „Welche natürlichen Zahlen x, y, z erfüllen die Gleichung xⁿ + yⁿ = zⁿ ?“, bleibt zunächst völlig unklar, wieso diese Frage interessant sein soll. Der Hinweis darauf, dass es rund 300 Jahre gedauert hat, die Frage zu beantworten, erklärt dann vielleicht, warum die Nachricht von Lösung des Problems es im Jahr 1994 auf die Titelseite der New York Times geschafft hat, nicht aber, warum sich viele Mathematiker über die Jahrhunderte mit dem Problem befasst haben. Noch viel schwieriger zu erklären ist, wieso die Mathematiker die Lösung des Fermatschen Problems durch Andrew Wiles als fruchtbar und interessant empfinden, während sie andere Lösungen alter offener Probleme mit sehr viel weniger Enthusiasmus aufnehmen.

Vor dem Hintergrund dieser Schwierigkeiten ist es sehr zu begrüßen, dass sich immer wieder Mathematiker daran machen, Teile der Mathematik, die sie besonders gut verstehen, einem allgemeinen Publikum zu erklären. Wie viele andere wählt Jost- Hinrich Eschenburg in seinem Buch den Zugang über historische Persönlichkeiten, um bei den Lesern ein Anfangsinteresse zu erzeugen. Er verzichtet aber in den meisten Fällen auf ausführliche Lebensbeschreibungen, sondern konzentriert sich auf die Ideengeschichte.

Die Themenauswahl entspricht in weiten Teilen dem Kanon einer überblicksartigen Vorlesung über die Geschichte der Mathematik (Pythagoras, Archimedes, Cardano, Pascal, Gauß, Galois, Riemann, Gödel). Besonders betont sind aber geometrische Aspekte. In Kapitel 2 „Theodoros: Wurzeln und Selbstähnlichkeit“ erklärt der Autor die Rolle selbstähnlicher Figuren in geometrischen Irrationalitätsbeweisen für Wurzeln. Kapitel 12 „Klein: Ikosaeder und quintische Gleichung“ hat die geometrische Interpretation der Galois-Gruppe der allgemeinen quintischen Gleichung als Symmetriegruppe des Ikosaeders zum Thema. Insbesondere wird dort skizziert, wie man die Lösungen mithilfe dieser Interpretation parametrisieren kann. In Kapitel 13 „Einstein: Philosophisches Rätsel gelöst“ gibt Eschenburg eine kurze Einführung in die Geometrie der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Die Kapitel 15 und 16 über den Bottschen Periodizitätssatz und Wilhelm Klingenbergs Beiträge zur „Riemannschen Geometrie im Großen“ greifen Themen auf, die ich bisher noch nicht für ein Laienpublikum aufbereitet gesehen habe. Auch die in Kapitel 17 beschriebenen Quasikristalle sind in solchen Texten noch nicht oft thematisiert worden.

Den Abschluss des Buches bildet Kapitel 18 „Perelman: Die dreidimensionale Welt“, das die Bestätigung der Poincaré-Vermutung zum Thema hat. Es handelt sich hierbei um eine Vermutung, die rund 100 Jahre nach ihrer Formulierung durch Henri Poincaré von Grigori Perelman 2003 als Spezialfall einer viel weiter gehenden Vermutung von Bill Thurston bewiesen wurde. Perelman erregte in einer allgemeineren Öffentlichkeit Aufsehen, weil er nicht nur die Fields-Medaille, die er für diese Leistung erhalten sollte, ablehnte, sondern auch die Million Dollar, die auf die Lösung des Problems ausgesetzt war. Mathematiker faszinierte an seiner Lösung insbesondere, dass die verwendeten Methoden ganz andere waren, als sie in früheren Lösungsversuchen eingesetzt worden waren.

Das Buch ist keine systematische Darstellung zeitlich klar einzuordnender Höhepunkte der Mathematikgeschichte, sondern eine von persönlichem Geschmack und Detailwissen des Autors geprägte Zusammenstellung, wie er auch in der Einleitung betont. So kommen Descartes, Fermat, Leibniz und Newton in diesem Buch nur am Rande vor, Weierstraß und Kolmogorov gar nicht. Es sind auch nicht alle Kapitel für den Laien gleich gut zugänglich, speziell das Kapitel über den Periodizitätssatz fällt hier etwas aus dem Rahmen. Das Buch enthält aber für Laien und Experten Interessantes und scheint mir ein gelungener Beitrag zur Popularisierung von Mathematik.

Rezension: Joachim Hilgert (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2019, Band 66, S. 263–264
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Paul Curzon, Peter W. McOwan

Springer 2018, XIII + 230 Seiten
ISBN 978-3-662-56773-9, 19,99 €
E-Book: ISBN 978-3-662-56774-6, 14,99 €

Computational Thinking wurde durch die Beiträge von Jeannette Wing populär. In „Wing, Jeannette (2014). Computational Thinking Benefits Society. 40th Anniversary Blog of Social Issues in Computing“ beschreibt sie diesen Begriff wie folgt: „Informally, computational thinking describes the mental activity in formulating a problem to admit a computational solution. The solution can be carried out by a human or machine. This latter point is important. First, humans compute. Second, people can learn computational thinking without a machine. Also, computational thinking is not just about problem solving, but also about problem formulation.“ Seitdem wird Computational Thinking weit über die Informatik hinaus diskutiert; es findet zurzeit Einlass in Curricula von Grund- und weiterführenden Schulen. Um genauere Definitionen dieses Begriffs wird nach wie vor in vielen Abhandlungen gerungen

Peter Curzon und Peter W. McOwan wählen in ihrem Buch einen anderen Zugang zur Erklärung dieses Begriffes. Sie sehen wie die meisten anderen auch das algorithmische Denken als zentralen Baustein (und verwenden diesen Begriff sogar im Untertitel), bringen dem Leser das Computational Thinking aber dadurch näher, dass sie in sehr unterhaltsamer Weise eine Reihe von Beispielen für diese Art zu Denken vorstellen. Dabei geht es u. a. um Themen wie Logikrätsel oder Rundreisen, die sehr stark algorithmisch geprägt sind. Weitere Themen wie Sprechen aus der Taucherglocke oder Magie und Algorithmen haben einen stärkeren Fokus auf der Interaktion zwischen menschlichem Verhalten und algorithmischen Lösungen. Darüber hinaus werden Anwendungen der Künstlichen Intelligenz in verschiedenen Szenarien thematisiert. Zur Illustration gehe ich hier kurz auf das Kapitel 2 „Sprechen aus der Taucherglocke“ ein, da es bei mir beim Lesen den nachhaltigsten Eindruck hinterlassen hat und überzeugend herausarbeitet, dass Computational Thinking weit mehr als algorithmisches Denken beinhaltet. Es geht um den realen Fall eines am Locked-in-Syndrom erkrankten Mannes, dessen einzige Kommunikationsmöglichkeit im Augenzwinkern besteht. Hier beschreiben die Autoren sehr anschaulich den Prozess, wie durch Interaktion zwischen Patient und Helfer ein iterierter Prozess entstanden ist, der es dem Patienten schließlich sogar ermöglicht hat eine Autobiografie zu verfassen. Dieser Prozess besteht u. a. aus Problemerkennung, Abstraktion, Modellierung, Algorithmenentwicklung und Evaluation. Nebenbei werden viele interessante algorithmische Methoden wie z. B. Suchverfahren oder Wortergänzungssysteme vorgestellt. Im letzten Kapitel kommen die Autoren auf die Ausgangsfrage zurück: Was also ist Computational Thinking? Auch hier verfolgen sie nicht das Ziel einer Begriffsdefinition, sondern beschreiben es als einen „Sammelbegriff für lose zusammenhängende Problemlösungsstrategien“. Auf Basis der zuvor vorgestellten Beispiele beschreiben sie eine Reihe von weiteren je nach Anwendungsgebiet notwendigen Disziplinen, deren Zusammenspiel mit algorithmischem Denken erst die verschiedenen Ausprägungen von Computational Thinking ausmachen. Das Buch richtet sich in erster Linie an Nicht-Informatiker, die Interesse und Spaß an Rätseln und Problemlösungsstrategien haben, und liefert durch die vielen Beispiele sehr gute Argumente für auf Computational Thinking basierende Problemlösungsstrategien.

Rezension: Friedhelm Meyer auf der Heide (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2019, Band 66, S. 259–260
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Lizhen Ji und Athanase Papadopoulos (Hrsg.):

European Mathematical Society 2015, XVIII + 330 Seiten, 48 €
ISBN: 978-3-03719-148-4

Felix Klein (1849–1925) ist den meisten Mathematiklehrern als Autor mathematikdidaktischer Schriften bekannt. Fachmathematiker und Physiker kennen ihn vor allem als die treibende Kraft hinter dem Aufstieg Göttingens zu einem weltweit führenden Zentrum der Mathematik und Physik sowie als Autor des Erlanger Programms. Dagegen ist der Name des norwegischen Mathematikers Sophus Lie (1842–1899) nur Spezialisten geläufig und von seiner Rolle in Genese und Etablierung des Erlanger Programms wissen die wenigsten.

Das Erlanger Programm ist eine Schrift, die Felix Klein 1872 anläßlich seiner Berufung zum Professor an die Universität Erlangen unter dem Titel Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen vorgelegt hat. Klein propagiert darin einen Paradigmenwechsel in der Geometrie, deren primäre Objekte nun nicht länger Punktkonfigurationen sondern deren Symmetrie-Eigenschaften sein sollten. In moderner Sprache könnte man es grob folgendermaßen formulieren: Eine geometrische Theorie ist eine Gruppenwirkung auf einer Punktmenge, zusammen mit allen aus der Punktmenge abgeleiteten Größen, auf die sich die Gruppenwirkung in natürlicher Weise fortsetzen lässt. Geometrische Objekte sind dann die Fixpunkte unter diesen fortgesetzten Wirkungen. In der klassischen euklidischen Geometrie betrachtet man zum Beispiel die Bewegungsgruppe der euklidischen Ebene mit ihrer Wirkung auf dieser Ebene. Geometrische Objekte sind dann zum Beispiel die Metrik oder Kongruenzklassen von Dreiecken. In der sphärischen Geometrie betrachtet man die Wirkung der Gruppe der orthogonalen Transformationen auf der Einheitssphäre in \({\mathbb{R}^3}\)und als geometrische Größen findet man zum Beispiel den geodätischen Abstand zweier Punkte.

Felix Klein hat sein Programm formuliert kurz nachdem er gezeigt hatte, wie man sphärische, euklidische und nichteuklidische Geometrie in einheitlicher Art und Weise mithilfe der projektischen Geometrie beschreiben kann. In diesen Beschreibungen spielten die Symmetriegruppen eine wichtige Rolle. Es handelt sich dabei um Gruppen, die durch „kontinuierliche“ Parameter (zum Beispiel Rotationsachsen und Drehwinkel) beschrieben werden. Genau solche Gruppen hat Sophus Lie studiert (und sie tragen heute seinen Namen: Lie-Gruppen oder Liesche Gruppen). Klein hatte Lie 1869 in Berlin kennengelernt und es folgte eine Phase intensiven wissenschaftlichen Austausches und gemeinsamer Aktivitäten.

Das Erlanger Programm stieß anfangs auf wenig Interesse und man kann spekulieren, dass auch die zweite Veröffentlichung im Jahr 1893 ohne die zwischenzeitlichen Fortschritte Lies in seiner Theorie der kontinuierlichen Transformationsgruppen weitgehend wirkungslos geblieben wäre. Klein weist in einer Fußnote zu dieser Veröffentlichung auf Lies Arbeiten hin. In den Augen Lies war damit sein Beitrag auch zur Genese der ersten Fassung des Programms nicht ausreichend gewürdigt, und er kündigte Klein die Freundschaft auf.

Das vorliegende Buch beleuchtet nicht nur diese mathematikhistorisch interessanten Vorgänge und ihre Hintergründe. Es enthält auch einige Beiträge, die belegen, dass Varianten der dem Erlanger Programm zugrundeliegenden Ideen noch heute Wirkung in der mathematischen und physikalischen Forschung entfalten.

Allerdings sind die Anforderungen an das mathematische Wissen der Leser bei einem Teil der Beträge doch sehr hoch. An ein allgemeines Publikum richten sich vor allem die Biographien Sophus Lie, a giant in mathematics (L. Ji) und Felix Klein: his life and mathematics (L. Ji) sowie die historisch angelegten Kapitel Klein and the Erlangen Programme (J. Gray) und On Klein’s “So-called Non-Euclidean geometry” (N. A’Campo, A. Papadopoulos).

Vergleichsweise elementar gehalten sind noch der Beitrag Transitional geometry (N. A’Campo, A. Papadopoulos), in dem die Autoren die euklidische Geometrie als einen natürlichen Übergang in einer durch die Krümmung parametrisierten kontinuierlichen Familie von sphärischen und nicht-euklidischen Geometrien beschreiben, sowie der kurze Artikel On the projective geometry of constant curvature spaces (A. Papadopoulos, S. Yamada).

Dagegen erfordern die (sehr interessanten) Übersichtsbeiträge What are symmetries of PDE’s and what are PDEs themselves (A. Vinogradov) zur Rolle von Symmetrien in der Theorie partieller Differentialgleichungen, Transformation groups in non-Riemannian geometry (Ch. Frances) und The Erlangen program and discrete differential geometry (Y. Suris) substantielle Kenntnisse in Differentialgeometrie um die beschriebenen Fakten einordnen zu können. Zumindest die Einleitungen dieser drei Kapitel sind aber an ein allgemeines Publikum gerichtet.

Von den drei der Physik gewidmeten Kapiteln sind Klein’s „Erlanger Programm“: do traces of it exist in physical theories? (H. Goenner) und Invariances in physics and group theory (J.-B. Zuber) recht abstrakt gehalten und damit auch für Nichtspezialisten aufschlussreich. Der Beitrag Three dimensional gravity – an application of Felix Klein’s ideas in physics (C. Meusburger) richtet sich dagegen jenseits der Einleitung an Spezialisten. Alle drei Artikel liefern Argumente dafür, dass man die Ideen von Klein und Lie auch in der modernen theoretischen Physik wieder finden kann, wenn auch in zum Teil stark modifizierter Form.

Den Herausgebern, die zum Teil ja auch selbst als Autoren fungieren, ist eine Zusammenstellung von Artikeln gelungen, die sowohl einem allgemeinen Publikum als auch aktiven Forschern Interessantes zu einem klassischen, aber heute noch aktuellem Thema bietet.

Rezension: Joachim Hilgert (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2019, Band 66, S. 247–249
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags