Leseecke

Jost-Hinrich Eschenburg

Springer 2017, IX + 214 Seiten
ISBN 978-3-658-17294-7, 19,99 €
E-Book: ISBN 978-3-658-17295-4, 14,99 €

Es ist eine schwierige Aufgabe, selbst interessierten Laien etwas von der Faszination zu vermitteln, die die Mathematik auf die Mathematiker ausübt. Die meisten mathematischen Einsichten erfordern schon für die Formulierung ein ausgefeiltes Vokabular und Begrifflichkeiten, mit denen der Laie nichts anfangen kann. Und selbst wenn es möglich ist die Fragestellung mit elementarer Schulmathematik zu formulieren, wie im Falle des Fermatschen Problems „Welche natürlichen Zahlen x, y, z erfüllen die Gleichung xⁿ + yⁿ = zⁿ ?“, bleibt zunächst völlig unklar, wieso diese Frage interessant sein soll. Der Hinweis darauf, dass es rund 300 Jahre gedauert hat, die Frage zu beantworten, erklärt dann vielleicht, warum die Nachricht von Lösung des Problems es im Jahr 1994 auf die Titelseite der New York Times geschafft hat, nicht aber, warum sich viele Mathematiker über die Jahrhunderte mit dem Problem befasst haben. Noch viel schwieriger zu erklären ist, wieso die Mathematiker die Lösung des Fermatschen Problems durch Andrew Wiles als fruchtbar und interessant empfinden, während sie andere Lösungen alter offener Probleme mit sehr viel weniger Enthusiasmus aufnehmen.

Vor dem Hintergrund dieser Schwierigkeiten ist es sehr zu begrüßen, dass sich immer wieder Mathematiker daran machen, Teile der Mathematik, die sie besonders gut verstehen, einem allgemeinen Publikum zu erklären. Wie viele andere wählt Jost- Hinrich Eschenburg in seinem Buch den Zugang über historische Persönlichkeiten, um bei den Lesern ein Anfangsinteresse zu erzeugen. Er verzichtet aber in den meisten Fällen auf ausführliche Lebensbeschreibungen, sondern konzentriert sich auf die Ideengeschichte.

Die Themenauswahl entspricht in weiten Teilen dem Kanon einer überblicksartigen Vorlesung über die Geschichte der Mathematik (Pythagoras, Archimedes, Cardano, Pascal, Gauß, Galois, Riemann, Gödel). Besonders betont sind aber geometrische Aspekte. In Kapitel 2 „Theodoros: Wurzeln und Selbstähnlichkeit“ erklärt der Autor die Rolle selbstähnlicher Figuren in geometrischen Irrationalitätsbeweisen für Wurzeln. Kapitel 12 „Klein: Ikosaeder und quintische Gleichung“ hat die geometrische Interpretation der Galois-Gruppe der allgemeinen quintischen Gleichung als Symmetriegruppe des Ikosaeders zum Thema. Insbesondere wird dort skizziert, wie man die Lösungen mithilfe dieser Interpretation parametrisieren kann. In Kapitel 13 „Einstein: Philosophisches Rätsel gelöst“ gibt Eschenburg eine kurze Einführung in die Geometrie der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Die Kapitel 15 und 16 über den Bottschen Periodizitätssatz und Wilhelm Klingenbergs Beiträge zur „Riemannschen Geometrie im Großen“ greifen Themen auf, die ich bisher noch nicht für ein Laienpublikum aufbereitet gesehen habe. Auch die in Kapitel 17 beschriebenen Quasikristalle sind in solchen Texten noch nicht oft thematisiert worden.

Den Abschluss des Buches bildet Kapitel 18 „Perelman: Die dreidimensionale Welt“, das die Bestätigung der Poincaré-Vermutung zum Thema hat. Es handelt sich hierbei um eine Vermutung, die rund 100 Jahre nach ihrer Formulierung durch Henri Poincaré von Grigori Perelman 2003 als Spezialfall einer viel weiter gehenden Vermutung von Bill Thurston bewiesen wurde. Perelman erregte in einer allgemeineren Öffentlichkeit Aufsehen, weil er nicht nur die Fields-Medaille, die er für diese Leistung erhalten sollte, ablehnte, sondern auch die Million Dollar, die auf die Lösung des Problems ausgesetzt war. Mathematiker faszinierte an seiner Lösung insbesondere, dass die verwendeten Methoden ganz andere waren, als sie in früheren Lösungsversuchen eingesetzt worden waren.

Das Buch ist keine systematische Darstellung zeitlich klar einzuordnender Höhepunkte der Mathematikgeschichte, sondern eine von persönlichem Geschmack und Detailwissen des Autors geprägte Zusammenstellung, wie er auch in der Einleitung betont. So kommen Descartes, Fermat, Leibniz und Newton in diesem Buch nur am Rande vor, Weierstraß und Kolmogorov gar nicht. Es sind auch nicht alle Kapitel für den Laien gleich gut zugänglich, speziell das Kapitel über den Periodizitätssatz fällt hier etwas aus dem Rahmen. Das Buch enthält aber für Laien und Experten Interessantes und scheint mir ein gelungener Beitrag zur Popularisierung von Mathematik.

Rezension: Joachim Hilgert (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2019, Band 66, S. 263–264
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Paul Curzon, Peter W. McOwan

Springer 2018, XIII + 230 Seiten
ISBN 978-3-662-56773-9, 19,99 €
E-Book: ISBN 978-3-662-56774-6, 14,99 €

Computational Thinking wurde durch die Beiträge von Jeannette Wing populär. In „Wing, Jeannette (2014). Computational Thinking Benefits Society. 40th Anniversary Blog of Social Issues in Computing“ beschreibt sie diesen Begriff wie folgt: „Informally, computational thinking describes the mental activity in formulating a problem to admit a computational solution. The solution can be carried out by a human or machine. This latter point is important. First, humans compute. Second, people can learn computational thinking without a machine. Also, computational thinking is not just about problem solving, but also about problem formulation.“ Seitdem wird Computational Thinking weit über die Informatik hinaus diskutiert; es findet zurzeit Einlass in Curricula von Grund- und weiterführenden Schulen. Um genauere Definitionen dieses Begriffs wird nach wie vor in vielen Abhandlungen gerungen

Peter Curzon und Peter W. McOwan wählen in ihrem Buch einen anderen Zugang zur Erklärung dieses Begriffes. Sie sehen wie die meisten anderen auch das algorithmische Denken als zentralen Baustein (und verwenden diesen Begriff sogar im Untertitel), bringen dem Leser das Computational Thinking aber dadurch näher, dass sie in sehr unterhaltsamer Weise eine Reihe von Beispielen für diese Art zu Denken vorstellen. Dabei geht es u. a. um Themen wie Logikrätsel oder Rundreisen, die sehr stark algorithmisch geprägt sind. Weitere Themen wie Sprechen aus der Taucherglocke oder Magie und Algorithmen haben einen stärkeren Fokus auf der Interaktion zwischen menschlichem Verhalten und algorithmischen Lösungen. Darüber hinaus werden Anwendungen der Künstlichen Intelligenz in verschiedenen Szenarien thematisiert. Zur Illustration gehe ich hier kurz auf das Kapitel 2 „Sprechen aus der Taucherglocke“ ein, da es bei mir beim Lesen den nachhaltigsten Eindruck hinterlassen hat und überzeugend herausarbeitet, dass Computational Thinking weit mehr als algorithmisches Denken beinhaltet. Es geht um den realen Fall eines am Locked-in-Syndrom erkrankten Mannes, dessen einzige Kommunikationsmöglichkeit im Augenzwinkern besteht. Hier beschreiben die Autoren sehr anschaulich den Prozess, wie durch Interaktion zwischen Patient und Helfer ein iterierter Prozess entstanden ist, der es dem Patienten schließlich sogar ermöglicht hat eine Autobiografie zu verfassen. Dieser Prozess besteht u. a. aus Problemerkennung, Abstraktion, Modellierung, Algorithmenentwicklung und Evaluation. Nebenbei werden viele interessante algorithmische Methoden wie z. B. Suchverfahren oder Wortergänzungssysteme vorgestellt. Im letzten Kapitel kommen die Autoren auf die Ausgangsfrage zurück: Was also ist Computational Thinking? Auch hier verfolgen sie nicht das Ziel einer Begriffsdefinition, sondern beschreiben es als einen „Sammelbegriff für lose zusammenhängende Problemlösungsstrategien“. Auf Basis der zuvor vorgestellten Beispiele beschreiben sie eine Reihe von weiteren je nach Anwendungsgebiet notwendigen Disziplinen, deren Zusammenspiel mit algorithmischem Denken erst die verschiedenen Ausprägungen von Computational Thinking ausmachen. Das Buch richtet sich in erster Linie an Nicht-Informatiker, die Interesse und Spaß an Rätseln und Problemlösungsstrategien haben, und liefert durch die vielen Beispiele sehr gute Argumente für auf Computational Thinking basierende Problemlösungsstrategien.

Rezension: Friedhelm Meyer auf der Heide (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2019, Band 66, S. 259–260
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Lizhen Ji und Athanase Papadopoulos (Hrsg.):

European Mathematical Society 2015, XVIII + 330 Seiten, 48 €
ISBN: 978-3-03719-148-4

Felix Klein (1849–1925) ist den meisten Mathematiklehrern als Autor mathematikdidaktischer Schriften bekannt. Fachmathematiker und Physiker kennen ihn vor allem als die treibende Kraft hinter dem Aufstieg Göttingens zu einem weltweit führenden Zentrum der Mathematik und Physik sowie als Autor des Erlanger Programms. Dagegen ist der Name des norwegischen Mathematikers Sophus Lie (1842–1899) nur Spezialisten geläufig und von seiner Rolle in Genese und Etablierung des Erlanger Programms wissen die wenigsten.

Das Erlanger Programm ist eine Schrift, die Felix Klein 1872 anläßlich seiner Berufung zum Professor an die Universität Erlangen unter dem Titel Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen vorgelegt hat. Klein propagiert darin einen Paradigmenwechsel in der Geometrie, deren primäre Objekte nun nicht länger Punktkonfigurationen sondern deren Symmetrie-Eigenschaften sein sollten. In moderner Sprache könnte man es grob folgendermaßen formulieren: Eine geometrische Theorie ist eine Gruppenwirkung auf einer Punktmenge, zusammen mit allen aus der Punktmenge abgeleiteten Größen, auf die sich die Gruppenwirkung in natürlicher Weise fortsetzen lässt. Geometrische Objekte sind dann die Fixpunkte unter diesen fortgesetzten Wirkungen. In der klassischen euklidischen Geometrie betrachtet man zum Beispiel die Bewegungsgruppe der euklidischen Ebene mit ihrer Wirkung auf dieser Ebene. Geometrische Objekte sind dann zum Beispiel die Metrik oder Kongruenzklassen von Dreiecken. In der sphärischen Geometrie betrachtet man die Wirkung der Gruppe der orthogonalen Transformationen auf der Einheitssphäre in \({\mathbb{R}^3}\)und als geometrische Größen findet man zum Beispiel den geodätischen Abstand zweier Punkte.

Felix Klein hat sein Programm formuliert kurz nachdem er gezeigt hatte, wie man sphärische, euklidische und nichteuklidische Geometrie in einheitlicher Art und Weise mithilfe der projektischen Geometrie beschreiben kann. In diesen Beschreibungen spielten die Symmetriegruppen eine wichtige Rolle. Es handelt sich dabei um Gruppen, die durch „kontinuierliche“ Parameter (zum Beispiel Rotationsachsen und Drehwinkel) beschrieben werden. Genau solche Gruppen hat Sophus Lie studiert (und sie tragen heute seinen Namen: Lie-Gruppen oder Liesche Gruppen). Klein hatte Lie 1869 in Berlin kennengelernt und es folgte eine Phase intensiven wissenschaftlichen Austausches und gemeinsamer Aktivitäten.

Das Erlanger Programm stieß anfangs auf wenig Interesse und man kann spekulieren, dass auch die zweite Veröffentlichung im Jahr 1893 ohne die zwischenzeitlichen Fortschritte Lies in seiner Theorie der kontinuierlichen Transformationsgruppen weitgehend wirkungslos geblieben wäre. Klein weist in einer Fußnote zu dieser Veröffentlichung auf Lies Arbeiten hin. In den Augen Lies war damit sein Beitrag auch zur Genese der ersten Fassung des Programms nicht ausreichend gewürdigt, und er kündigte Klein die Freundschaft auf.

Das vorliegende Buch beleuchtet nicht nur diese mathematikhistorisch interessanten Vorgänge und ihre Hintergründe. Es enthält auch einige Beiträge, die belegen, dass Varianten der dem Erlanger Programm zugrundeliegenden Ideen noch heute Wirkung in der mathematischen und physikalischen Forschung entfalten.

Allerdings sind die Anforderungen an das mathematische Wissen der Leser bei einem Teil der Beträge doch sehr hoch. An ein allgemeines Publikum richten sich vor allem die Biographien Sophus Lie, a giant in mathematics (L. Ji) und Felix Klein: his life and mathematics (L. Ji) sowie die historisch angelegten Kapitel Klein and the Erlangen Programme (J. Gray) und On Klein’s “So-called Non-Euclidean geometry” (N. A’Campo, A. Papadopoulos).

Vergleichsweise elementar gehalten sind noch der Beitrag Transitional geometry (N. A’Campo, A. Papadopoulos), in dem die Autoren die euklidische Geometrie als einen natürlichen Übergang in einer durch die Krümmung parametrisierten kontinuierlichen Familie von sphärischen und nicht-euklidischen Geometrien beschreiben, sowie der kurze Artikel On the projective geometry of constant curvature spaces (A. Papadopoulos, S. Yamada).

Dagegen erfordern die (sehr interessanten) Übersichtsbeiträge What are symmetries of PDE’s and what are PDEs themselves (A. Vinogradov) zur Rolle von Symmetrien in der Theorie partieller Differentialgleichungen, Transformation groups in non-Riemannian geometry (Ch. Frances) und The Erlangen program and discrete differential geometry (Y. Suris) substantielle Kenntnisse in Differentialgeometrie um die beschriebenen Fakten einordnen zu können. Zumindest die Einleitungen dieser drei Kapitel sind aber an ein allgemeines Publikum gerichtet.

Von den drei der Physik gewidmeten Kapiteln sind Klein’s „Erlanger Programm“: do traces of it exist in physical theories? (H. Goenner) und Invariances in physics and group theory (J.-B. Zuber) recht abstrakt gehalten und damit auch für Nichtspezialisten aufschlussreich. Der Beitrag Three dimensional gravity – an application of Felix Klein’s ideas in physics (C. Meusburger) richtet sich dagegen jenseits der Einleitung an Spezialisten. Alle drei Artikel liefern Argumente dafür, dass man die Ideen von Klein und Lie auch in der modernen theoretischen Physik wieder finden kann, wenn auch in zum Teil stark modifizierter Form.

Den Herausgebern, die zum Teil ja auch selbst als Autoren fungieren, ist eine Zusammenstellung von Artikeln gelungen, die sowohl einem allgemeinen Publikum als auch aktiven Forschern Interessantes zu einem klassischen, aber heute noch aktuellem Thema bietet.

Rezension: Joachim Hilgert (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2019, Band 66, S. 247–249
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Mariana Bockarova, Marcel Danesi, Dragana Martinovic und Rafael Núñez (Hrsg.):

LINCOM München 2015, 216 Seiten, 124 €
ISBN: 978-3-862-88535-0

Die Motivation von Mariana Bockarova, Marcel Danesi, Dragana Martinovic und Rafael Núñez für diesen Band bestand darin, das Gebiet der mathematischen Kognition auf unterschiedliche Art und Weise zu beleuchten. Dementsprechend brachten sie Mathematiker, Kognitionswissenschaftler, Neurowissenschaftler, Semiotiker und Didaktiker zusammen.

In der Einleitung dieses Bandes untermauern die Herausgeber ihre Idee mit Literatur, beispielsweise von Lakoff und Núñez. In dieser wird argumentiert, dass Mathematik im Grunde nicht anders ist als Sprache, da beide eine grundlegende Modalität gemeinsam haben – sie kontaminieren Informationen von verschiedenen Bereichen des Gehirns, um neue Informationen zu produzieren. Eine simple Begründung dafür ist, dass wir Sprache verwenden, um Mathematik zu lernen und dass Mathematik viele strukturelle Eigenschaften besitzt, welche linguistischer Art sind. Somit profitiert die wissenschaftliche Untersuchung mathematischer Denkprozesse von der Zusammenarbeit von Humanwissenschaftlern, Mathematikern und empirischen Forschern.

Weiterhin zitieren sie den amerikanischen Philosophen Max Black, der argumentiert, dass die Genese theoretischer Begriffe und Konzepte in den Wissenschaften und in der Mathematik nicht einzig und allein Ergebnis dessen ist, dass Wissenschaftler sie von empirischen Beobachtungen oder experimentellen Ergebnissen ableiteten, sie folgt vielmehr daraus, dass Wissenschaftler Folgerungen und Zusammenhänge zwischen Fakten und anderen Theorien vornahmen oder sogar Ergebnis alltäglicher Erfahrung sind. Außerdem finden wir einen kurzen geschichtlichen Abriss zur Veränderung der Rolle der Mathematik in verschiedenen Epochen.

In den fünfzehn Kapiteln dieses Buches wollen die Autoren einen interdisziplinären sprich empirischen, pädagogischen und interpretierenden Rahmen betrachten, wo Aspekte mathematischer Methoden, wie Beweisen, untersucht und Erkenntnisse darüber gewonnen werden, was uns das über den Charakter von mathematischer Kognition sagt. Die Zielsetzung ist an dieser Stelle zweierlei: Einerseits soll gezeigt werden, inwiefern dieses Forschungsgebiet durch Erweiterung um Disziplinen gewinnbringend vergrößert werden kann, und andererseits geht es darum, die mathematische Kognition selbst in einem anderen Licht zu betrachten.

Nachfolgend ist ein kurzer Überblick zu den Kapiteln des Bandes aufgelistet.

• Brent Davis beschreibt in seinem Beitrag, wie mathematische Curricula entstehen und beleuchtet in drei historischen Abrissen Einflussfaktoren aus Politik, Sozialwissenschaften und Gesellschaft. Des Weiteren widmet er sich der Frage, von Argumenten welcher Art die aktuellen Lehrpläne gestützt werden.
• Louis H. Kauffman beschreibt in seinem Artikel, wie unter Verwendung von Topologie beziehungsweise Geometrie Verständnis von mathematischen Problemen hervorgerufen werden kann. An Beispielen aus der höheren Mathematik illustriert er anschaulich, wie das menschliche Gehirn logisch denkt und schließt. Außerdem schlägt er Brücken sowohl zwischen Biologie und Mathematik als auch zwischen Physik und Mathematik.
• Donna Kotsopoulos, Joanna Zambrzycka und Samantha Makosz geben uns einen Überblick über relevante Literatur aus dem Gebiet der Entwicklungspsychologie. Dabei diskutieren sie die Rolle der Mutter beim Entstehen mathematischer Kognition in der frühen Kindheit.
• Luis Radford charakterisiert in seinem Beitrag Bewegung als auffälliges Merkmal mathematischen Denkens. Er beleuchtet die Beziehung zwischen Gedanken und Denken und argumentiert, dass Denken die Aktualisierung oder Materialisierung von Gedanken ist. Bewegung wohnt Rhythmus inne. Der Autor erläutert, inwiefern Rhythmus ein Faktor mathematischen Denkens ist.
• Marcel Danesi liefert einen literarischen Überblick zum Begriff „Mathematische Kognition“. Dabei liegt sein Schwerpunkt auf dem Gebiet der Neurowissenschaften.
• Yair Neumann betrachtet, wie Konzepte in Mathematik abstrahiert werden. Ausgehend von dem Unvermögen zweier Katzen zu abstrahieren, erläutert der Autor den Prozess des Abstrahierens. Nicht zuletzt ist dieser davon geprägt, Informationen wegzulassen, um zu neuen Erkenntnissen zu erlangen.
• John Mighton beginnt seinen Aufsatz mit den Worten „Wide differences in mathematical achievement among students appear to be natural. In every school in every country, only a minority of students are ever expected to excel at or love learning mathematics.“ Entdeckendes Lernen soll diese Situation verbessern. Diesen Ansatz beleuchtet der Autor kritisch. Er präsentiert einen Verbesserungsvorschlag – angeleitetes entdeckendes Lernen – und erläutert diesen anhand eines Beispiels näher.
• Dragana Martinovic gibt uns einen literarischen Überblick zum Einsatz digitaler Medien. Sie informiert darüber, inwiefern Technologie verwendet wird, und wie man mit Fehlvorstellungen von Lernenden umgehen kann. Außerdem widmet sie sich der Frage, wie digitale Medien das Denken erweitern können.
• Robert K. Logan betrachtet in seinem Artikel verschiedene Konzepte des Begriffs „Information“. Dabei diskutiert er Shannon’s mathematische Informationstheorie, kritische Reaktionen darauf und ihre Grenzen. Er stellt Mathematik und Naturwissenschaften gegenüber und zeigt Stärken und Schwächen beider in Hinblick auf die komplette Beschreibung und Verifizierung natürlicher Phänomene auf.
• In einem Seminar für Studierende im ersten Studienjahr veranlasste Gizem Karaali ihre Teilnehmer, über die wahre Natur von Mathematik zu reflektieren. Dabei schwangen Fragen, was es bedeutet, menschlich zu sein oder wie menschlich Mathematik sei, mit. Das Seminar mündete in der im Titel aufgeworfenen Frage „Können Zombies Mathematik betreiben?“.
• Die Methode des abduktiven Schließens wird in verschiedenen Wissenschaften, beispielsweise in Semiotik oder Kulturwissenschaften, diskutiert. Inna Semetsky widmet sich zunächst dem von Peirce in der Erkenntnistheorie geprägten Begriff der „Abduktion“. Sie fokussiert diesen dann durch eine mathematische Brille unter Verwendung der Darstellung einer Zahl in der komplexen Ebene.
• Stéphanie Walsh Matthews und Jamin Pelkey stellen eine Exkursion in die Semiose des Sehens und seiner Beziehung zur Mathematik vor. Sie argumentieren, dass wir Mathematik eher fühlen und sehen als dass wir sie in entkörperlichten Formen denkend betreiben.
• Mariana Bockarova widmet sich in ihrem Beitrag dem Thema „Angst vor Mathematik“. In einer Fallstudie berichtet sie von einer Lehrerin, die selbst mit dieser Angst konfrontiert ist, und beschreibt, wie sich diese Angst auf den Unterricht der Lehrerin auswirkt. Weiter legt sie dar wie der gemeinsam entwickelte Ansatz zum Unterrichten von Mathematik den Unterricht verbesserte.
• Der Beitrag von Stacy Costa beinhaltet die Anwendung der Methode „math talk“. Die Autorin erläutert, wie Lernende durch Gespräche über Mathematik bessere mathematische Fertigkeiten, mehr Verständnis und mehr Selbstvertrauen entwickeln können.
• Mariana Bockarova, Stacy Costa und Marcel Danesi beschäftigen sich in ihrem Artikel mit dem Thema „Mathematische Beweise“. Ausgehend von der Frage „Was ist ein Beweis?“ führen sie solche exemplarisch vor, widmen sich dem Vier- Farben-Problem und benennen unterschiedliche Arten von Beweisen. Abschließend diskutieren sie die Frage, was ein Beweis beweist.

Meines Erachtens ist die Idee, den oben benannten Personenkreis zu diesem Thema zusammenzubringen, sehr interessant. Dabei hätte ich mir eine kleine Übersicht über die einzelnen Autoren und ihre Forschungsgebiete gewünscht.

Meiner Meinung nach ist dies ein interessanter Band mit spannenden Ansätzen zur Beforschung mathematischer Denkprozesse. Ich erhielt viele anregende Denkanstöße und neue Impulse für meine Lehre.

Rezension: Anja Panse (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2019, Band 66, S. 243-245
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Hans-Wolfgang Henn
Springer Spektrum, 2. Auflage 2012, 29,95 €
ISBN-10: 3834819042
ISBN-13: 978-3834819048

Die Wechselwirkungen von Geometrie und Algebra haben die Mathematik seit Jahrhunderten beeinflusst, von Descartes’ analytischer Geometrie zur algebraischen Geometrie des 21. Jahrhunderts, die zu den abstraktesten Gebieten der reinen Mathematik gehört. Jedoch ist insbesondere die klassische Geometrie ein Kernbereich der Schulmathematik von der 1. Klasse an, und es ist ein Anliegen dieses Buches, geometrische Problemstellungen algebraisch zu unterfüttern. Generell ist es das Leitmotiv des Autors, einige Aspekte der schulischen Mathematik vom Standpunkt der universitären Mathematik aufzugreifen und zu vertiefen; dies wird bereits im Untertitel „Mathematische Theorie für schulische Fragestellungen“ deutlich. Der Text richtet sich in erster Linie an fortgeschrittene Studierende der Mathematik, insbesondere Lehramtskandidaten, und natürlich auch an Mathematiklehrer.

Der Aufbau ist nicht streng deduktiv, vielmehr enthält das Buch fünf großenteils voneinander unabhängige Kapitel zu ausgewählten Themenkreisen. Es geht zuerst um axiomatische Geometrie. Nach einem historischen Überblick von Euklid bis Hilbert folgt eine detaillierte Diskussion affiner Ebenen und ihrer Koordinatenkörper. Das nächste Kapitel beschäftigt sich mit möglichen und unmöglichen geometrischen Konstruktionen (Winkeldreiteilung, Quadratur des Kreises, das regelmäßige n-Eck). Dass sich zum Beispiel ein Winkel von 60 Grad nicht mit Zirkel und Lineal dreiteilen lässt, wird mit Hilfe der Theorie der Körpererweiterungen bewiesen, aber die Transzendenz von π wird nur konstatiert (ein Beweis würde auch zu weit führen) und daraus die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises hergeleitet. In diesem Kapitel findet man auch Lösungen von Konstruktionsaufgaben wie der Winkeldreiteilung mit anderen Hilfsmitteln, etwa Origami.

Es folgt ein Kapitel über Symmetrien und Symmetriegruppen, in dem der Autor das „Erlanger Programm“ von F. Klein erläutert. Die 17 kristallographischen Gruppen werden eingehend vorgestellt, und das Kapitel endet mit einer Diskussion der Penroseschen aperiodischen Pflasterungen. Die letzten beiden Kapitel sind eher algebraisch denn geometrisch und befassen sich mit algebraischen Gleichungen bzw. dem Aufbau des Zahlensystems. Hier findet man eine Einführung in die Galoistheorie, deren wesentliche Ideen ausgeführt werden, wenngleich der Hauptsatz der Galoistheorie nicht bewiesen wird. Damit wird dann die Unmöglichkeit, Gleichungen 5. Grades durch Radikale (also durch eine Formel, in der Wurzelausdrücke vorkommen) zu lösen, begründet.

Schließlich geht es im letzten Kapitel um den Aufbau des Zahlensystems von den natürlichen bis zu den komplexen Zahlen. Der schwierigste Schritt ist hier die Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen, wofür der Autor drei Wege angibt: Dedekindsche Schnitte, Intervallschachtelungen und Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen; diese Methode wird etwas detaillierter erläutert. Der letzte Abschnitt dieses Kapitels stellt die Cantormenge vor.

Jedes Kapitel enthält ein einführendes Unterkapitel „Vernetzung mit dem mathematischen Schulstoff“, das die Mathematik der Schule von einem „höheren Standpunkt“ (F. Klein) erläutert, was in den folgenden Unterkapiteln ausgeführt wird. Diese vom Autor „vertikale Vernetzung“ genannte Verknüpfung zieht sich wie ein roter Faden durch den gesamten Text, und deswegen ist dieses Buch für angehende und praktizierende Lehrkräfte eine hervorragende Ergänzung zur mathematischen Standardliteratur. Es ist reichhaltig illustriert und enthält viele Übungsaufgaben, die das Verständnis des Textes stützen. Der Stil des Buches ist sehr flüssig und ansprechend, aber den Satz „Die einfache Differentialgleichung \((F(x)= \int_a^x f(t)\,dt)\) hat für stetige, es reichen sogar monotone, Funktionen stets eine eindeutige Lösung.“ (S. 173) würde man in keinem Seminarvortrag akzeptieren. Da kein Buch perfekt ist, muss man auch hier vor kleinen Ungenauigkeiten auf der Hut sein, aber der Autor unterhält eine Internetseite, wo man eine Errataliste und weitere Materialien findet.

Insgesamt kann man das Buch allen Lehrern (jetzigen wie zukünftigen) nur ans Herz legen.

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)