Leseecke

Ehrhard Behrends

Verlag: Springer Spektrum; Auflage: 1 (12. Dezember 2018), XI + 285 Seiten
Taschenbuch: 24,99 €, Kindle: 19,99 €
ISBN: 978-3-658-23269-6
ISBN: 978-3-658-23270-2

Die Wahl einer quadratischen (oder auch rechteckigen) Fliese bei der Renovierung des häuslichen Badezimmers, erweist sich grundsätzlich vor allem deshalb als gute Idee, weil man sich sicher sein kann, dass die Fliesen aneinandergelegt einen zwar fugenbehafteten jedoch vom Prinzip her lückenlosen Bodenbelag bilden. Mit etwas kreativer Neigung wählt man für das Bad vielleicht auch eine dreieckige Fliese und für die Terrasse einen sechseckigen Pflasterstein. Doch ’Obacht!’, in beiden Fällen gilt es, genau über die Innenwinkel nachzudenken.

„Wäre die Terrasse nun aber allerdings hyperbolischer Natur ...“ beginnt der mathematikversierte Heimwerker nachzudenken, schlägt „Parkettierungen der Ebene“ von Ehrhard Behrends auf und wird fündig.

In drei Teilen geleitet der Autor seine Leser durch verschiedene Varianten des Problems, eine Ebene lückenlos zu pflastern. Stets werden zunächst die mathematischen Begriffe geklärt, bevor der Autor die einzelnen Parkettierungen klassifiziert und illustriert. Damit braucht es nur Spaß an Geometrie und praktisch keine besonderen mathematischen Vorkenntnisse über den Schulstoff hinaus um Ehrhard Behrends von „Escher über Möbius zu Penrose“ (so sein Untertitel) folgen zu können. Die wenigen weiterführenden Begriffe wie Bijektivität oder Gruppen lassen sich schnell in nahezu jedem Einstieg in universitäre Mathematik nachlesen.

Abschnitt I beschäftigt sich mit den Symmetriegruppen der euklidischen Ebene. Zunächst werden Bewegungen (Isometrien der Ebene) definiert und in bekannter Weise vollständig klassifiziert. Es folgt das Konzept der Symmetriegruppe samt Begleiterscheinungen, wie zum Beispiel Fundamentalbereiche. Im Sinne der Parkettierungsidee geht der Abschnitt dann zunächst mit einer Klassifikation der Fries- und dann der Kristallgruppen weiter. Bemerkenswert ist, dass es hier nicht bei einer exemplarischen Behandlung einzelner Beispiele bleibt, sondern alle sieben bzw. 17 Möglichkeiten vollständig und systematisch vorgestellt werden. Der Abschnitt schließt mit den Heesch-Konstruktionen, durch die (wieder für alle Möglichkeiten) aufgezeigt wird, wie systematisch Beispiele für die einzelnen Symmetriegruppen erstellt werden können.

Abstrakter wird es dann in Abschnitt II. Hier widmet sich der Autor der Parkettierung der komplexen Zahlenebene. Nach einem Kurzabriss über die komplexen Zahlen folgt eine ausführliche Einführung in das Thema Möbiustransformationen und deren Eigenschaften. Auch wenn im Detail ganz unterschiedlich, fallen beim Durcharbeiten schnell die Parallelen zum Vorgehen in der euklidischen Ebene auf und man wartet schon auf die dann auch folgende Klassifizierung in Gruppen. Diese sind dann wieder die Grundlage um über Fundamentalbereiche zu sprechen, aus denen heraus dann \(\mathbb C\) bzw. Teilmengen gepflastert werden können. Der an dieser Stelle naheliegende Exkurs zur nichteuklidischen Geometrie wird geliefert und der Abschnitt schließt mit fortgeschrittenen Themen wie Schottkygruppen, parabolischen Kommutatoren und Kleinschen Gruppen.

In Abschnitt III geht es dann wieder zurück in die euklidische Ebene mit der Frage nach nichtperiodischen Parkettierungen. Die mathematischen Grundlagen sind hier etwas geringer, der systematische Theorieaufbau dafür etwas komplexer. Viele Beispiele und Bilder geleiten die Leserin und den Leser sicher durch den kombinatorischen Dschungel in dem sie zeigen, wie man sich an Indexfolgen von Dreiecken wie an Lianen vom Ausgangsbeispiel zum Hauptsatz hangeln kann. Nach den sehr endlichen und übersichtlichen Klassifizierungen aus I und II mag es überraschen, dass es durch die leicht andere Fragestellung nun überabzählbar viele unterschiedliche Arten gibt seine Terrasse nichtperiodisch zu pflastern. Wohl dem, der sich entscheiden kann.

Ich kann das Buch von Ehrhard Behrends uneingeschränkt empfehlen. Der Autor führt seine Leser in aller Ausführlichkeit, vollständig erklärt und gut illustriert, durch Themen, die bekanntermaßen sehr gut dafür geeignet sind um an nichttrivialen Beispielen etwas über Mathematik und Mathematiktreiben zu lernen. Ich empfehle das Buch sowohl für mathematische Laien, interessierte Schülerinnen und Schüler sowie motivierte Studienanfänger, als auch für Mathematiklehrende an Schule und Hochschule, als Ideenpool für Facharbeiten, als Nachschlagewerk für Vorlesungen oder als Literaturgrundlage für Seminare.

Rezension: Max Hoffmann (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2020, Band 67, S. 115-116.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

David Rowe

Verlag: Springer; Auflage: 1st ed. 2018 (20. März 2018), 480 Seiten (Hardcover)
Hardcover: 102,07 €, Taschenbuch: 144,61 €, Kindle: 71,45 €
Sprache: Englisch
ISBN-10: 3319678183
ISBN-13: 978-3319678184

Dieses Buch ist eine Sammlung von Essays zur Geschichte der Mathematik, die David Rowe (em. Professor für Geschichte der Naturwissenschaften an der Universität Mainz) für den „Mathematical Intelligencer“ zwischen 1984 (No. 31) und 2015 (No. 2 und No. 28) geschrieben hat. Der Anlass für diese von M. Senechal, der langjährigen Herausgeberin des „Intelligencer“, initiierte Publikation war Davids Rücktritt vom Lehramt – wie man früher gesagt hätte – im Jahr 2016. Im selben Jahr und zum selben Anlass organisierte sein Nachfolger Tilman Sauer in Mainz ein großes Kolloquium mit dem Titel „A richer picture of mathematics“, das dem Buch seinen Namen gab. Die Essays des Buches richten sich nach Konzeption der Zeitschrift an ein allgemeines, mathematisch interessiertes Publikum; sie vermeiden deshalb technische Entwicklungen und wurden unverändert übernommen, sowohl im Inhalt als auch im Layout. Im Buch bilden sie sechs Gruppen, von denen jede eine längere, für die Neuveröffentlichung eigens verfasste informative Einleitung aufweist. Die Themen dieser Gruppen sind: „Die rivalisierenden Zentren Berlin und Göttingen“, „Der junge Felix Klein“, „David Hilbert betritt die Szene“, „Mathematik und die Revolution der Relativitätstheorie“, „Göttingen in der Ära von Hilbert und Courant“ sowie „Leute und Erbschaften“ (das Original „People and Legacies“ klingt natürlich viel schöner). Um Missverständnissen vorzubeugen: Das Buch ist komplett in Englisch geschrieben; seinen Stil und seinen Wortwitz kann man nur bewundern. Es gelingt sogar, viele Verweise und Zitate zur deutschen Geschichte und Kultur adäquat ins Englische zu übertragen – eine keineswegs einfache Aufgabe. Ergänzt werden die 29 Essays durch einen Artikel von David Rowe aus den „Mathematischen Semesterberichten“ über materielle mathematische Modelle bei Plücker, Klein und Kummer, einen über die Klein – Poincaré Korrespondenz in Sachen automorphe Funktionen, der für die Festschrift „Amphora“ (1992) geschrieben wurde, und persönliche Erinnerungen von Joe Dauben an den Mathematikhistoriker Dirk Struik, erschienen im „Mathematical Intelligencer“. Struik taucht übrigens an vielen Stellen des Buches auf, sei es als Differentialgeometer in jungen Jahren, sei es als Mathematikhistoriker – interviewt von David Rowe (No. 32).

Bevor wir uns dem Inhalt des Buches zuwenden, könnten wir uns die Frage stellen „Was meint hier überhaupt der Komparativ reicher“? Nun, der Rezensent denkt, dass damit gemeint ist, die Essays von Rowe enthalten viele Details und leuchten viele Aspekte aus, die in den meisten anderen Darstellungen der Mathematikgeschichte kaum Beachtung finden. Oder, wie im Vorwort zu lesen: Mathematik wird betrachtet im breiten Kontext menschlichen Handelns. Dies wiederum hängt mit seinem Interesse für „Communities“ zusammen, also für die Zusammenarbeit – gelegentlich aber auch: Feindschaft – zwischen Mathematikerinnen und Mathematikern, für ihr Teamwork, für ihre Seilschaften und ihre Netzwerke. Informationen hierzu findet man selten in offiziellen Publikationen, eher schon in Briefen, Aufzeichnungen und Würdigungen, auch persönliche Gespräche insbesondere Interviews kommen in Betracht. Es ist erstaunlich, wieviel unbekanntes Material – vor allem aus Archiven, insbesondere demjenigen in Göttingen – in dem vorliegenden Band zu finden sind. Das gilt nicht nur für Aussagen im Text sondern auch für Fotografien und Abbildungen. Die reiche Bebilderung macht eine Stärke dieses Bandes aus; nicht erstaunlich ist es folglich, dass mathematische Modelle – im Sinne der zweiten Hälfte des 19. Jhs. als materielle Objekte – mehrfach ausführlich vorkommen (vgl. 8, 35). Diese visuelle Stärke deutet sich schon auf dem Umschlag an, der Fotografien zeigt mit einigen der Hauptpersonen von „Richer Picture“: gleich zweimal sehen wir David Hilbert, einmal sogar im Vordergrund Hermann Minkowski, schließlich Adolf Hurwitz und den jungen Albert Einstein, nicht als Physiker sondern als Geigenspieler – einer Tätigkeit, der er als Student durchaus mit Erfolg in Zürichs feiner Gesellschaft nachging. Auch Frauen sind vertreten – meist als Familienmitglieder wie die Frau Hilberts und die Tochter von Hurwitz. Nebenbei erfährt man im Buch übrigens auch etwas über Hilbert und seinen Sohn Franz, aber auch über Albert Einstein und dessen Sohn Eduard, genannt Tete. Das Fazit hierzu könnte lauten: Große Wissenschaftler sind nicht unbedingt gute Väter, eine Qualität, die Hurwitz und Minkowski wohl Freund David voraushatten. Eine Mathematikerin ist auf dem Umschlag zu sehen; wer das ist, mag die Leserin oder der Leser selbst herausfinden. Um es vorwegzunehmen, Mathematikerinnen kommen in Rowes Essays prominent vor, z. B. Sonja Kowalewskaja (No. 10), Emmy Noether (u. a. Einleitung zu Teil IV) und Alicia Boole-Stott (No. 35). Mit einem sanft-heroisch anmutenden Medaillon schließlich ist Alfred Clebsch auf dem Cover vertreten, Felix Kleins Mentor und wichtiger, auch kämpferischer Promotor der Berlin kritischen Bewegung.

Der Reichtum, den der Titel andeutet, bezieht sich natürlich auch auf die Einbettung in politische und gesellschaftliche Zusammenhänge sowie auf kulturelle Hintergründe. Als Belege seien die vielfältigen Ausführungen zum Thema „Antisemitismus“ genannt – etwa als Karrierehindernis im Falle von Adolf Hurwitz (No. 14) – im Kontext von Gründerzeit und Gründerkrise, massiv verstärkt dann im Nationalsozialismus, und die Ausführungen zum Hegelianismus im Zusammenhang mit Felix Kleins Ehefrau, einer Enkelin des preußischen Staatsphilosophen, aber auch mit Eduard E. Kummers Akademie-Rede (No. 6). Musik kommt immer wieder vor, am Beispiel von Dirichlets Frau Rebecka, einer Schwester von Felix Mendelssohn Bartholdy und Freundin von Clara und Robert Schumann sowie Johannes Brahms. Der Hausherr soll allerdings wenig Interesse gezeigt haben an der bei ihm aufgeführten Hausmusik – trotz hervorragender Besetzung. Diese Liste interessanter Themen ließe sich fast beliebig verlängern, sie drückt ein wesentliches Merkmal der Essays aus. Eine Besonderheit sei noch erwähnt, die (vielleicht wenig überraschende) gute Kenntnis des Autors der Geschichte der Mathematik in den USA. Immer wieder erfahren die Leserin und der Leser interessante Dinge aus diesem Kontext – angefangen von Felix Kleins USA-Reise mit dem bekannten Evanston-Kolloquium und der Modellausstellung über die rasche Aufnahme und den intensiven Ausbau von Hilberts Axiomatik (in der sogenannten „postulational analysis“ [No. 34]) bis hin zu den Europareisen der jungen US-Mathematiker G.D. Birkhoff und O. Veblen und Berichten darüber. Eine interessante, von R. Siegmund- Schultze entdeckte Fundsache ist G. D. Birkhoffs Karte der mathematischen Zentren in Europa (p. 398). Ausführlich gewürdigt wird ein Kolloquium in Princeton (1946), einer der Versuche, die Zukunft der mathematischen Forschung zu erkunden (No. 37) – natürlich zu verstehen vor dem Hintergrund von Hilberts Pariser Problemen, die an mehreren Stellen des Buches diskutiert werden (z. B. No. 15), auch wieder im Kontext, diesmal dem Briefwechsel mit Minkowski.

Die wichtigste Rolle in Rowes Essays kommt der Göttinger Community in den Jahren 1885 (Berufung Kleins nach Göttingen) bis 1933 (Zerschlagung der mathematischen Tradition durch die Nationalsozialisten, Weggang Weyls) mit unterschiedlicher personeller Besetzung zu: Von Klein, der sich in gewolltem Kontrast zur Berliner Schule in die von ihm forcierte Tradition von Gauß, Dirichlet, Riemann und Clebsch stellte, und seinen Bemühungen, Göttingens Mathematik durch geschickte Berufungen (etwa von Hurwitz [gescheitert]) aufzuwerten, über das viel zitierte Dioskurenpaar Hilbert – Klein, das für kurze Zeit (1902–1908) von Minkowski ergänzt wurde, hin zu Hilbert und Courant, umgeben von einer stetig wachsenden Zahl von Schülern aus In- und Ausland. Unter letzteren spielt in „Richer picture“ Hermann Weyl, der zögerliche aber fotogene Revolutionär (vgl. Foto p. 340), eine herausragende Rolle, nicht zuletzt wegen seiner zeitweisen Sympathie für Brouwers Intuitionismus (vgl. No. 27), aber auch wegen seines Interesses und seiner Beiträge zur Relativitätstheorie, Thema des umfangreichen Kapitels IV und Ausdruck einer Göttinger Spezialität, der damals ungewöhnlichen engen Verschränkung von reiner und angewandter Mathematik. Damit sind wir bei einer weiteren zentralen Person der „Richer picture“ angelangt, Albert Einstein nämlich. Mit Brouwers Intuitionismus wurde ein Thema angesprochen, das in „Richer picture“ an vielen Stellen zur Sprache kommt. Das gilt insbesondere für Brouwers Verhältnis zu Göttingen, vor allem zu Hilbert, das sich von großer Wertschätzung seitens des letzteren (u. a. wurde Brouwer die Nachfolge Landaus in Göttingen angeboten) bis hin zu persönlicher Feindschaft (Ausschluss Brouwers aus der Redaktion der „Mathematischen Annalen“) entwickelte. Auch hier spielten Hintergründe, diesmal vor allem politische, eine Rolle: Der Gegensatz von Hilberts Internationalismus und Brouwers strammem (deutschen!) Nationalismus, zum Ausbruch gekommen in der Auseinandersetzung um die deutsche Teilnahme am Internationalen Mathematikerkongress in Bologna 1928. Eine andere Schiene, die im Buch mehrfach aufgegriffen wird, ist die Geschichtsschreibung der Mathematik selbst, beispielhaft sind hier die Namen O. Neugebauer (No. 29) und Dirk Struik (No. 32, 38) zu nennen.

Es kann und soll hier nicht der Versuch gemacht werden, alle in diesem überreichen Buch angesprochenen Themen zu referieren. Die Leserinnen und Leser mögen sich selbst davon ein Bild machen. Dabei ist es keineswegs nötig, das Buch von vorn nach hinten durchzulesen, man kann vielmehr beliebig springen, was vielleicht sogar den Unterhaltungswert erhöht. Denn „Richer picture“ bietet etwas, was selten ist: Belehrung, die zugleich unterhaltsam ist, und das in meisterhafter Form dargeboten. Neben klassisch geschriebenen Essays findet man auch Rätsel (No. 2, 23), Interviews (No. 32) und Artikel, die auf persönlichen Gesprächen und Erinnerungen beruhen (No. 31, 36). Der Kenntnisreichtum des Autors ist bewundernswert und sein Stil eindrücklich. Um dies zu unterstreichen möchte ich zum Schluss noch zwei Beispiele ergänzen: Zum einen die spannende Geschichte der Familien Boole und Everest (p. 416), insbesondere ihrer Frauen, zum andern die Geschichte um die Herkunft des legendären Schachweltmeisters Bobby Fischers (pp. 430–431). Beide verknüpfen geschickt Mathematik- mit Zeitgeschichte und liefern so ein wahrhaft reicheres Bild derselben.

Dieses Lesevergnügen kann ich allen Interessierten bestens empfehlen.

Rezension: Klaus Volkert (Uni Wuppertal)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2020, Band 67, S. 99-102.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Eli Maor

Verlag: Princeton Univers. Press (30. Mai 2018), 155 Seiten (Hardcover)
Hardcover: 20,39 €, Taschenbuch: 16,08 €, Kindle: 13,65 €
Sprache: Englisch
ISBN-10: 0691176906
ISBN-13: 978-0691176901

In „Music by the Numbers“ beschreibt der Mathematikhistoriker Eli Maor an verschiedenen Beispielen, was Mathematik und Musik verbindet, aber auch, wo die Grenzen dieser Verbindung liegen. Gleichzeitig zeigt er Parallelen zwischen Musikgeschichte und Mathematik bzw. Physikgeschichte auf.

Den meisten Raum nimmt das Beispiel der schwingenden Saite ein, die Mathematiker und Physiker durch die Jahrhunderte immer wieder neu fasziniert hat, angefangen von Pythagoras bis hin zu Fourier. Auf kurzweilige Weise stellt Eli Maor dar, wie dies die Entwicklung von mathematischen Methoden maßgeblich beeinflusst hat, wobei biographische Details und weitere wissenschaftliche Ergebnisse der Protagonisten geschickt eingeflochten werden. Umgekehrt allerdings hatten die wissenschaftlichen Erkenntnisse zur schwingenden Saite nach Meinung des Autors vergleichsweise wenig Einfluss auf die Musik.

Als ein Geschenk der Mathematik an die Musik bezeichnet Maor die gleichstufige Tonleiter, bei der die Oktave in zwölf gleiche Halbtonschritte eingeteilt wird, indem das Frequenzverhältnis des Halbtonschritts mathematisch berechnet wird. Ob das allerdings jeder Musiker als ein Geschenk ansieht, sei dahingestellt. Interessant hingegen ist sicherlich der Zusammenhang zwischen gleichstufiger Tonleiter und logarithmischer Spirale, der in einer Randnotiz dargestellt wird, eindrücklich illustriert durch ein spiralförmiges Musikinstrument mit dem Namen „Bernoulli“, das von Michael Sterling erfunden und gebaut wurde.

Der hintere Teil des Buches ist hauptsächlich der Musik des beginnenden 20. Jahrhunderts gewidmet. Davor gab es für lange Zeit ein eindeutiges tonales Zentrum und ein meist gleichbleibendes Metrum. Diese festen „Bezugssysteme“ werden zu Beginn des 20. Jahrhunderts bewusst verlassen. Beispielsweise gibt es in Igor Strawinskis „Le Sacre du Printemps“ keine feste Taktart mehr, was mit einer lokal definierten Riemannschen Metrik verglichen wird. Und in seiner Zwölftonmusik verzichtet Arnold Schoenberg auf ein tonales Zentrum, indem er alle zwölf Halbtöne der chromatischen Tonleiter als absolut gleichwertig betrachtet. Maor bezeichnet dies als Versuch, die Musik zu mathematisieren, und zieht Parallelen zu Albert Einsteins Relativitätstheorie, die ungefähr zur gleichen Zeit entstand.

Man braucht nur wenig mathematisches oder musikalisches Vorwissen, um das Buch verstehen zu können. Tiefergehende mathematische Ergebnisse sucht man vergeblich. Darum geht es in dem Buch aber auch nicht. Der Autor nimmt seine Leserinnen und Leser vielmehr mit auf eine Reise in die Vergangenheit und zeigt dabei aus der Perspektive eines Mathematikhistorikers, welche Verbindungen es zwischen seinem Fach und der Musik gibt. Dabei lässt er Autobiographisches einfließen und hält auch mit seiner persönlichen Meinung nicht hinter dem Berg. Die gebundene Ausgabe hat einen Schutzumschlag in edler Schwarz-Weiß-Optik, weshalb sich das Buch gut als Geschenk für mathematisch interessierte Musikliebhaber eignet.

Rezension: Cornelia Kaiser (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2020, Band 67, S. 113-114.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Titu Andreescu und Branislav Kisačanin

XYZ Press, LLC;

Buch 1: 2014, xv + 220 Seiten, 59.95 US-$
ISBN 978-0-9885622-6-4

Buch 2: 2018, xii + 230 Seiten, 54.95 US-$
ISBN 978-0-9968745-5-7

Das qualitative Niveau des gymnasialen Mathematikunterrichts wurde und wird schon lange auf dem Altar der Abiturientenquote geopfert. Um ganz sicherzugehen, wird der Unterricht auch noch quantitativ reduziert. Die schulische Förderung mathematisch besonders begabter Schüler verkommt damit endgültig zu einer Farce – von wenigen institutionellen Ausnahmen wie Spezialschulen einmal abgesehen. Alternativen bieten am ehesten noch Schülerzirkel und Spezialistenlager, die verschiedentlich von Universitäten oder Vereinen organisiert werden. Ansonsten muß man hoffen, einen unglaublich engagierten Lehrer oder den passenden Bekanntenkreis zu haben. Gerade diese individuelle Förderung kann aber nur funktionieren, wenn die nötigen Ressourcen vor allem in puncto Literatur zur Verfügung stehen. Diese sollte sich einerseits an die Lehrer und Mentoren wenden, andererseits aber auch Schülern das Selbststudium ermöglichen. Eine Buchserie, die beide Zielgruppen zugleich adressiert, wurde von den Autoren Titu Andreescu und Branislav Kisačanin unter dem Titel Math Leads for Mathletes gestartet. Bislang sind zwei Bände erschienen. Der erste wendet sich schülerseitig vor allem an advanced fourth- and fifth-graders, der zweite an advanced sixth-graders; dies entspricht in etwa Kindern im Alter von 9 bis 11 bzw. 11 bis 12 Jahren.

Beide Bücher haben den gleichen Aufbau: Kapitel 1 ist mit Concepts, Exercises, and Problems überschrieben, und Kapitel 2 enthält die Lösungen der Aufgaben des ersten Kapitels. Grundbestandteile des ersten Kapitels wiederum sind 33 bzw. 24 kurze Abschnitte, die sich jeweils einem konkreten Thema widmen, wie z.B. Letters and Digits oder Combinatorial Geometry. Schluß und Kernstück eines jeden Abschnitts bildet eine Reihe von etwa 8 Aufgaben, die meist in aufsteigender Schwierigkeit aufgelistet sind. Davor befindet sich oft eine mal hilfreiche, mal eher verwirrende Einführung in das Thema. Diese enthält manchmal die relevanten Definitionen und Aussagen sowie bisweilen einige Beispielaufgaben. Je etwa vier Abschnitte bilden einen Block. Diesen schließt jeweils ein Abschnitt nur mit Aufgaben ab. Zwischen den Blöcken gibt es sogenannte Spotlights. Diese eine Seite langen Abschnitte thematisieren jeweils einen Mathematiker (vor allem Buch 1) oder ein mathematisches Problem (vor allem Buch 2), stehen aber inhaltlich wenig bis gar nicht in Verbindung zu den angrenzenden Blöcken.

Die Stärke der Bücher besteht zweifelsohne in der Aufgabensammlung. Der Rest (vor allem in Band 1) wirkt oft wie ein Fremdkörper. Teilweise werden Trivialitäten erklärt, dann aber an wichtigen Punkten Sprünge gemacht. Liest man das Inhaltsverzeichnis, ahnt man als mathematisch Vorbelasteter eigentlich sofort, was einen erwartet. Man fragt sich nun, für wen das Buch wirklich gut sein soll. Für Schüler der jeweiligen Altersklasse? Das darf schon bezweifelt werden. Die Spotlights beispielsweise sind historisch ganz nett, gehen aber inhaltlich teils komplett an den Vorkenntnissen vorbei. Was soll ein Zehnjähriger mit der unkommentierten Formel \(e^{ix}=\cos x+i\,\sin x\) anfangen (Seite I/55)¹? Oder mit der wenige Zeilen später angegebenen Eulerreihe für \(\pi^2/6\)? Komplexe Zahlen, Exponentialfunktion, unendliche Reihen? Direkt danach geht es mit Digits of Numbers weiter. Im übernächsten Spotlight, diesmal zur Eulerschen Konstanten e, erscheinen erneut die Eulerformel und ein Limes.

Apropos Limes: Im Grunde taucht dieses Konzept sogar bereits früher auf, nämlich unvermittelt bei Aufgabe 3 auf Seite I/40. Dort ist der unendliche Kettenbruch
\[
2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots}}
\]

auszurechnen, freilich ohne daß „...“ erklärt wird. Die Musterlösung setzt einfach x für diesen Ausdruck, sagt, er erfülle \(x=2-\frac{1}{x}\), und schließt daraus, daß x = 1 ist. Diese Vorgehensweise ist höchst problematisch. Warum existiert x denn überhaupt? Kein Hinweis im Buch! Oder ist dies Fünftkläßlern bekannt? Sicher, ein Beweis dieser Aussage im Buch ist weder notwendig noch möglich, aber eine Bemerkung, daß dies zur vollständigen Lösung eigentlich noch fehlt, ist meines Erachtens essentiell. Leider ist dies nicht die einzige logische Lücke in diesem Buch. Da wird mal kommentarlos der Induktionsanfang weggelassen (Lösung zu 4. auf Seite II/101; nur verklausuliert bei 3. auf Seite II/100), Division durch 0 nicht ausgeschlossen (Lösung zu 10. auf Seite II/167) oder der Beweis in der falschen Richtung geführt (Umformungen auf Seite I/38 oder ähnlich bei Lösung zu 10. auf Seite I/181). Zwar sind die Lücken an den genannten und anderen Stellen schnell zu schließen, dafür ist jedoch eine Sensibilität für diese Gefahren erforderlich, die wohl kaum als angeboren vermutet werden kann, sondern auch und gerade Begabten vermittelt werden muß. Wir haben schon jetzt an der Universität riesige Mühe, diese auch im normalen Schulunterricht entwickelten typischen Fehlvorstellungen in mathematisch-logischer Grundbildung zu bekämpfen. Diese Probleme gehören nicht unter den Teppich gekehrt!

Logische Probleme sind das eine – didaktische das andere. Stellt man sich wieder einen Schüler vor, der sich durch die Bücher arbeitet, so wird dieser an vielen Stellen stutzen, weil immer wieder ohne weiteren Kommentar Begriffe oder Strategien eingeführt werden, die wohl kaum bekannt sein dürften. Das ist besonders befremdlich, weil einige später plötzlich tatsächlich vorgestellt werden. Die Musterlösungen in Band 1 verwenden teilweise sogar Konzepte, die erst in Band 2 eingeführt werden. Dies betrifft zum Beispiel das Schubfachprinzip und das Prinzip der vollständigen Induktion. Und um nur eine Bezeichnung zu nennen: Die Aufgaben auf Seite I/11 enthalten lauter Terme wie z.B. \(4^{92}\div 4^{90}\), die berechnet werden sollen. Warum wird die Potenz dann erst auf Seite I/21 eingeführt? Oder warum überhaupt? Bisweilen mag man auch einen viel früher eingeführten Begriff bereits wieder vergessen haben. Dann rächt sich ein weiterer großer Mangel dieser Bücher: Der Index fehlt. Und auch sonst gibt es fast keine Verweise. Nicht mal ein Literaturverzeichnis findet sich (von Verlagswerbung abgesehen). Dies schränkt den Nutzen des Buches enorm ein, gerade für Schüler. Oder geht man davon aus, daß die sowieso alles ergoogeln?

Zusätzlich zu diesen Schwächen im Aufbau des Buches gibt es vor allem in den einführenden Teilen eine Reihe von zunächst verwirrenden Aussagen. Exemplarisch möchte ich den Einstieg in Abschnitt Fractions zitieren (I/36):

How many shaded hexagons are there in the following figure?

[Bild: 3 reguläre Sechsecke, die jeweils aus 6 regulären Dreiecken bestehen]

We can easily count three shaded hexagons. How would we count the following part of the hexagon?

[Bild: Figur, die aus den 4 linkesten Dreiecken des mittleren Sechsecks besteht]

Fractions. The answer is fractions. [...]

Aber auch die Lösungen der Aufgaben sind teilweise verbesserungsfähig.² Wieder nur als Beispiel die Lösung von Aufgabe 11 in Abschnitt Digits of Numbers (I/156f.).

Die Aufgabe selbst ist ein sehr schönes Problem:

What is the greatest possible common divisor [d] of three-digit numbers abc, bca, and cab, when a, b, and c are all distinct?

Die Musterlösung leitet zunächst ab, daß die Summe der drei Zahlen gleich \(3\cdot37\cdot(a+b+c)\) ist, dies also ebenfalls von d geteilt wird. Dann wird gemeint, man könne wegen \(111\!\not |\;d\) nun die Fälle \(d=37k\) probieren (warum nicht \(d=(a+b+c)k\)?). Die Argumentation wird hier aber abgebrochen, und es wird unter Verweis auf die aufwendige Rechenarbeit plötzlich ein MATLAB-Programm angegeben, welches per brute force die Aufgabe in a fraction of a second  löse. Es mag dahingestellt sein, ob dies ein gutes Bild für die Anwendung des Computers in Mathematik oder Mathematikunterricht darstellt, denn die Aufgabe ist problemlos mit elementaren Mitteln lösbar.³ Der Leser bleibt dagegen ratlos mit der Frage zurück, ob man eigentlich voraussetzen darf, daß Zehnjährige MATLAB können.

Wenn diese Bücher für Schüler suboptimal sind, bringen sie denn wenigstens mehr für Eltern, Lehrer und Mentoren, wie der Untertitel verheißt? Jein. Auch hier sind die Aufgaben an sich die wertvollste Ressource. Guten Lehrern sollte es bei der Betreuung der Schüler gelingen, die Schwächen im Aufbau, vor allem in den Einleitungen, auszubügeln – sei es durch eine geschickter gewählte Reihenfolge von Themen und Aufgaben, sei es durch Bereitstellung geeigneter Zusatzliteratur. Zudem könnten einige leicht schließbare Lücken in den Büchern auf diese Weise beseitigt werden. Die vielleicht einfachste betrifft die Modulorechnung, die gerade für begabte Schüler keine große Hürde darstellt. Hier fehlt sie als Konzept komplett, obwohl sich die Abschnitte 8 The Last Digits of an Integer in Buch 1 sowie 26 Around the Division Algorithm in Buch 2 im Grunde genau um dieses Thema drehen und dabei kommentarlos dessen Regeln verwenden. Bei anderen Themen fragt man sich, ob dort nicht sogar ein gutes Schulbuch in Mathematik die bessere Alternative gewesen wäre.

Den Rezensenten beschleicht das Gefühl, daß Startpunkt des Buches ein großer Aufgabenfundus der Verfasser war. Man hätte diese Sammlung nun geeignet sortiert veröffentlichen können; dies hätte allerdings die Bücher deutlich dünner gemacht, wodurch der Wert freilich nicht sonderlich geschmälert worden wäre. Statt dessen wurden vermutlich nach der Zuordnung der Aufgaben zu den verschiedenen Themen relativ isoliert Einführungen geschrieben. Anders läßt sich die Sprunghaftigkeit im Aufbau, vor allem das häufige Verwenden von Konzepten vor deren Einführung aus Sicht des Rezensenten nicht erklären.

Die Bücher werden im Vorwort von den Autoren als unique beschrieben, denn beide seien a collection of topics and problems used in high quality programs for young gifted children. Zudem sei die Serie the first book series containing such diverse ideas, examples, and challenges at this level. Der Rezensent kann diese Einschätzungen, vor allem die Begründung der ersten nicht nachvollziehen. Selbst wenn den Autoren – was angesichts des Werdegangs zumindest des einen⁴ extrem unwahrscheinlich erscheint – die durchaus umfangreiche originale russische Literatur auf diesem Gebiet unbekannt sein sollte, so gibt es hier durchaus auch Bücher in englischer Sprache. Beispielsweise erschien bereits vor über 20 Jahren in der AMS-Reihe Mathematical World die Übersetzung Mathematical Circles des Buches von Genkin⁵, Itenberg und Fomin. Dieses Buch basiert nach eigener Angabe zwar auf einem Curriculum für etwas fortgeschrittenere Schüler, hat aber dennoch einen deutlichen inhaltlichen Überlapp mit der hier rezensierten Reihe, vor allem deren Band 2. So thematisiert dort Kapitel 4 das Schubfachprinzip, Kapitel 9 die vollständige Induktion. Ebenfalls in englischer Sprache erscheint die 2008 (also deutlich vor der hier rezensierten Buchreihe) gestartete und mittlerweile über 20 Bände umfassende Mathematics Circles Library – eine Ko-Produktion von MSRI und AMS, die Lehrer und Schüler verschiedenster Klassenstufen anspricht. Darüber hinaus gibt es englischsprachige Bücher mit dem Schwerpunkt Problemlösung. Der Klassiker Problem-Solving Strategies von Arthur Engel sei hier nur als Beispiel genannt, auch wenn dieser eher an etwas ältere Schüler gerichtet ist.

Letztlich handelt es sich bei der Buchserie Math Leads for Mathletes um eine thematisch vorsortierte Ansammlung durchaus hübscher mathematischer Aufgaben, deren Lösung jedem Schüler Gewinn bringt. Die Rahmenhandlung birgt dagegen enormes Verbesserungspotential: Verweise fehlen fast völlig, ein Index ganz, die Abfolge der Themen ist teilweise recht erratisch, die jeweiligen Einführungen sind trotz guter Beispiele nicht immer zweckmäßig. Wenn mich ein Schüler fragte, ob diese Bücherreihe zum unbetreuten Selbststudium geeignet ist, würde ich dies unabhängig von seinen Englischkenntnissen verneinen. Für Lehrer kann sie als Ergänzung und vor allem als guter Aufgabenfundus dienen.

Danksagung: Der Rezensent dankt der Eberhard-Zeidler-Bibliothek des Leipziger Max-Planck-Instituts für Mathematik in den Naturwissenschaften sehr herzlich für den Zugang zu den im Text genannten Büchern. Die beiden Mathletes-Bücher wurden dem Rezensenten zudem kostenfrei von der AMS zur Verfügung gestellt.

¹ Die Angaben „I“ und „II“ beziehen sich jeweils auf Band 1 bzw. 2.
² Einzelne sind sogar falsch, wie z.B. die zu 10. auf Seite II/208.
³ Man erhält sofort auch \(d|10\cdot\overline{abc}-\overline{bca}=33\cdot 37\cdot a\); analog für b und c. Hieraus ergibt sich, daß 4, 5 und 7 keine Teiler von d sind und für 2 | d auch alle Ziffern gerade sind. Für 3 | d erhält man \(37\!\not |\;d\) , mithin \(d|3(a+b+c)\leq 72\) und \(d|3^3\cdot\mbox{ggT}(a,b,c)\), also wegen \(\mbox{ggT}(a,b,c)\leq 3\) bereits \(d|54\), wobei aus \(37| d > 54\) sofort \(a+b+c=18\) mit geraden Variablen, also \({a,b,c}={4,6,8}\) folgt; in der Tat ist \(\mbox{ggT}(a,b,c)=54\). Den Fall \(37|d>54\) kann man schnell ausschließen, \(d|a+b+c\) wegen \(a+b+c\leq 24<54\) aus Gründen der Maximalität in den Restfällen sowieso. Damit ist das maximale d gleich 54.
⁴ Wenn man Wikipedia Glauben schenken darf, ist Titu Andreescu in Rumänien aufgewachsen und bereits dort über Jahre auf dem Gebiet der Schülerförderung tätig gewesen.
⁵

Rezension: Christian Fleischhack (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2020, Band 67, S. 103-107.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Daniel Grieser

Springer Spektrum 2017, 2. Auflage, XIII + 321 Seiten
ISBN: 978-3658147648, 25,00 €
e-Book ISBN: 978-3-658-14765-5, 19,99 €

Das vorliegende Buch ist eine insbesondere im Aufgabenteil erweiterte Neuauflage des gleichnamigen Textes von 2013. Es ging aus einer 2011/2012 in Oldenburg gehaltenen Vorlesung hervor, die sich an Studierende in der Studieneingangsphase richtete. Dementsprechend werden keine Kenntnisse in Hochschulmathematik vorausgesetzt. Im Gegenteil, selbst typische Inhalte der Oberstufenmathematik spielen allenfalls in Randbemerkungen eine Rolle. Dafür sollten die Leser aktiv über die Mittelstufenmathematik verfügen können. Insbesondere sind der sichere Umgang mit algebraischen Termen und das Umstellen von Gleichungen Voraussetzung für eine gewinnbringende Lektüre. Das übergeordnete Ziel, das der Autor mit dem Buch verfolgt, ist es, die Leser in grundlegende mathematische Denkweisen einzuführen. Seine Strategie zur Aktivierung des Publikums ist es die Gedankengänge durch Probleme zu motivieren und im Rahmen der Lösungen dieser Probleme zu erläutern. Dabei führt er vorsichtig dosiert auch einige für Abiturienten in der Regel neue Begriffe ein, nicht ohne explizit auf die Bedeutung von Begriffsbildung für mathematisches Problemlösen und mathematische Theorie einzugehen.

Nach einem einführenden Kapitel sind die meisten der zehn weiteren Kapitel je einem Thema gewidmet, das man in einer 90-Minuten Vorlesung behandeln kann. Im Einzelnen sind dies:

• Rekursion 
• Induktion 
• Graphen 
• Abzählen 
• Elementare Zahlentheorie 
• Schubfachprinzip 
• Extremalprinzip 
• Invarianzprinzip

Die Kapitel zum Extremalprinzip und zum Invarianzprinzip fallen dabei etwas aus dem Rahmen, da diese Prinzipien, so wie der Autor sie einführt, weniger präzise gefasst sind als die anderen Themen. Mit Extremalprinzip ist hier gemeint, dass Lösungen eines mathematischen Problems, die in Bezug auf irgendeine Eigenschaft extremal sind, oft Zusatzstrukturen tragen, die das Auffinden dieser Lösungen erleichtern. Mit Invarianzprinzip ist gemeint, dass man versucht den relevanten mathematischen Objekten (wie zum Beispiel Konstellationen eines Brettspiels) Größen zuzuordnen, die sich unter einem vorgegeben Satz von Modifikationen (Spielzüge) nicht ändern, das heißt invariant bleiben. Nimmt so eine Invariante auf zwei Objekten unterschiedliche Werte an, können die Objekte nicht gemäss den Spielregeln ineinander übergeführt werden.

In der Mitte des Buches gibt es zwei Querschnittskapitel über Problemlösestrategien sowie über Logik und Beweise. Das Buch verwendet Mengenschreibweisen, die auch in einem Anhang zusammengestellt sind. Die Darstellung der einzelnen Themen wird jeweils durch ein oder mehrere Probleme motiviert und ist eher beispiel- als theorieorientiert. Es werden Lösungsansätze für die jeweilige Ausgangsfrage vorgestellt, auch solche, die sich im Laufe der weiteren Diskussion als problematisch herausstellen. Danach folgt eine Lösung, ein Resumé und eine Reihe von Übungsaufgaben (samt einer Einschätzung des Schwierigkeitsgrades). Das Buch enthält keine Musterlösungen, aber Lösungshinweise für ausgewählte Aufgaben.

Probleme, Strategien und Lösungen sind gut verständlich geschrieben, und wer dieses Buch durchgearbeitet hat, wird kein Problem mehr mit dem Umstand haben, dass im Mathematikstudium dem Beweis eine so prominente Rolle zugewiesen wird. Ich würde es interessierten Oberstufenschülern, die darüber nachdenken, Mathematik zu studieren, oder AG-Leitern, die ihren Schützlingen die Natur der Mathematik nahebringen möchten, nachdrücklich empfehlen.

Interessant fände ich auch einen vom üblichen Muster abweichenden Vorkurs (für zukünftige Studierende der Mathematik, auch für das Lehramt, nicht für Naturwissenschaftler oder Ingenieure), der diesem Buch folgt.

Für problematisch hielte ich dagegen den Einsatz des Buches in einem Anfängerkurs, der einen der Standardkurse Lineare Algebra oder Analysis ersetzt. Dafür bietet er zu wenig Anknüpfungspunkte an den Standardstoff, der ja (auch im Lehramtsstudium) nicht dadurch verzichtbar wird, dass die Kursteilnehmer besser mit gewissen grundlegenden mathematischen Denkweisen und Methoden vertraut sind.

Der Autor bietet auf auch Hinweise zur Durchführung von Lehrveranstaltungen mit desem Buch an.

Rezension: Joachim Hilgert (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2020, Band 67, S. 97-98.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags