Leseecke

Eli Maor

Verlag: Princeton Univers. Press (30. Mai 2018), 155 Seiten (Hardcover)
Hardcover: 20,39 €, Taschenbuch: 16,08 €, Kindle: 13,65 €
Sprache: Englisch
ISBN-10: 0691176906
ISBN-13: 978-0691176901

In „Music by the Numbers“ beschreibt der Mathematikhistoriker Eli Maor an verschiedenen Beispielen, was Mathematik und Musik verbindet, aber auch, wo die Grenzen dieser Verbindung liegen. Gleichzeitig zeigt er Parallelen zwischen Musikgeschichte und Mathematik bzw. Physikgeschichte auf.

Den meisten Raum nimmt das Beispiel der schwingenden Saite ein, die Mathematiker und Physiker durch die Jahrhunderte immer wieder neu fasziniert hat, angefangen von Pythagoras bis hin zu Fourier. Auf kurzweilige Weise stellt Eli Maor dar, wie dies die Entwicklung von mathematischen Methoden maßgeblich beeinflusst hat, wobei biographische Details und weitere wissenschaftliche Ergebnisse der Protagonisten geschickt eingeflochten werden. Umgekehrt allerdings hatten die wissenschaftlichen Erkenntnisse zur schwingenden Saite nach Meinung des Autors vergleichsweise wenig Einfluss auf die Musik.

Als ein Geschenk der Mathematik an die Musik bezeichnet Maor die gleichstufige Tonleiter, bei der die Oktave in zwölf gleiche Halbtonschritte eingeteilt wird, indem das Frequenzverhältnis des Halbtonschritts mathematisch berechnet wird. Ob das allerdings jeder Musiker als ein Geschenk ansieht, sei dahingestellt. Interessant hingegen ist sicherlich der Zusammenhang zwischen gleichstufiger Tonleiter und logarithmischer Spirale, der in einer Randnotiz dargestellt wird, eindrücklich illustriert durch ein spiralförmiges Musikinstrument mit dem Namen „Bernoulli“, das von Michael Sterling erfunden und gebaut wurde.

Der hintere Teil des Buches ist hauptsächlich der Musik des beginnenden 20. Jahrhunderts gewidmet. Davor gab es für lange Zeit ein eindeutiges tonales Zentrum und ein meist gleichbleibendes Metrum. Diese festen „Bezugssysteme“ werden zu Beginn des 20. Jahrhunderts bewusst verlassen. Beispielsweise gibt es in Igor Strawinskis „Le Sacre du Printemps“ keine feste Taktart mehr, was mit einer lokal definierten Riemannschen Metrik verglichen wird. Und in seiner Zwölftonmusik verzichtet Arnold Schoenberg auf ein tonales Zentrum, indem er alle zwölf Halbtöne der chromatischen Tonleiter als absolut gleichwertig betrachtet. Maor bezeichnet dies als Versuch, die Musik zu mathematisieren, und zieht Parallelen zu Albert Einsteins Relativitätstheorie, die ungefähr zur gleichen Zeit entstand.

Man braucht nur wenig mathematisches oder musikalisches Vorwissen, um das Buch verstehen zu können. Tiefergehende mathematische Ergebnisse sucht man vergeblich. Darum geht es in dem Buch aber auch nicht. Der Autor nimmt seine Leserinnen und Leser vielmehr mit auf eine Reise in die Vergangenheit und zeigt dabei aus der Perspektive eines Mathematikhistorikers, welche Verbindungen es zwischen seinem Fach und der Musik gibt. Dabei lässt er Autobiographisches einfließen und hält auch mit seiner persönlichen Meinung nicht hinter dem Berg. Die gebundene Ausgabe hat einen Schutzumschlag in edler Schwarz-Weiß-Optik, weshalb sich das Buch gut als Geschenk für mathematisch interessierte Musikliebhaber eignet.

Rezension: Cornelia Kaiser (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2020, Band 67, S. 113-114.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Titu Andreescu und Branislav Kisačanin

XYZ Press, LLC;

Buch 1: 2014, xv + 220 Seiten, 59.95 US-$
ISBN 978-0-9885622-6-4

Buch 2: 2018, xii + 230 Seiten, 54.95 US-$
ISBN 978-0-9968745-5-7

Das qualitative Niveau des gymnasialen Mathematikunterrichts wurde und wird schon lange auf dem Altar der Abiturientenquote geopfert. Um ganz sicherzugehen, wird der Unterricht auch noch quantitativ reduziert. Die schulische Förderung mathematisch besonders begabter Schüler verkommt damit endgültig zu einer Farce – von wenigen institutionellen Ausnahmen wie Spezialschulen einmal abgesehen. Alternativen bieten am ehesten noch Schülerzirkel und Spezialistenlager, die verschiedentlich von Universitäten oder Vereinen organisiert werden. Ansonsten muß man hoffen, einen unglaublich engagierten Lehrer oder den passenden Bekanntenkreis zu haben. Gerade diese individuelle Förderung kann aber nur funktionieren, wenn die nötigen Ressourcen vor allem in puncto Literatur zur Verfügung stehen. Diese sollte sich einerseits an die Lehrer und Mentoren wenden, andererseits aber auch Schülern das Selbststudium ermöglichen. Eine Buchserie, die beide Zielgruppen zugleich adressiert, wurde von den Autoren Titu Andreescu und Branislav Kisačanin unter dem Titel Math Leads for Mathletes gestartet. Bislang sind zwei Bände erschienen. Der erste wendet sich schülerseitig vor allem an advanced fourth- and fifth-graders, der zweite an advanced sixth-graders; dies entspricht in etwa Kindern im Alter von 9 bis 11 bzw. 11 bis 12 Jahren.

Beide Bücher haben den gleichen Aufbau: Kapitel 1 ist mit Concepts, Exercises, and Problems überschrieben, und Kapitel 2 enthält die Lösungen der Aufgaben des ersten Kapitels. Grundbestandteile des ersten Kapitels wiederum sind 33 bzw. 24 kurze Abschnitte, die sich jeweils einem konkreten Thema widmen, wie z.B. Letters and Digits oder Combinatorial Geometry. Schluß und Kernstück eines jeden Abschnitts bildet eine Reihe von etwa 8 Aufgaben, die meist in aufsteigender Schwierigkeit aufgelistet sind. Davor befindet sich oft eine mal hilfreiche, mal eher verwirrende Einführung in das Thema. Diese enthält manchmal die relevanten Definitionen und Aussagen sowie bisweilen einige Beispielaufgaben. Je etwa vier Abschnitte bilden einen Block. Diesen schließt jeweils ein Abschnitt nur mit Aufgaben ab. Zwischen den Blöcken gibt es sogenannte Spotlights. Diese eine Seite langen Abschnitte thematisieren jeweils einen Mathematiker (vor allem Buch 1) oder ein mathematisches Problem (vor allem Buch 2), stehen aber inhaltlich wenig bis gar nicht in Verbindung zu den angrenzenden Blöcken.

Die Stärke der Bücher besteht zweifelsohne in der Aufgabensammlung. Der Rest (vor allem in Band 1) wirkt oft wie ein Fremdkörper. Teilweise werden Trivialitäten erklärt, dann aber an wichtigen Punkten Sprünge gemacht. Liest man das Inhaltsverzeichnis, ahnt man als mathematisch Vorbelasteter eigentlich sofort, was einen erwartet. Man fragt sich nun, für wen das Buch wirklich gut sein soll. Für Schüler der jeweiligen Altersklasse? Das darf schon bezweifelt werden. Die Spotlights beispielsweise sind historisch ganz nett, gehen aber inhaltlich teils komplett an den Vorkenntnissen vorbei. Was soll ein Zehnjähriger mit der unkommentierten Formel \(e^{ix}=\cos x+i\,\sin x\) anfangen (Seite I/55)¹? Oder mit der wenige Zeilen später angegebenen Eulerreihe für \(\pi^2/6\)? Komplexe Zahlen, Exponentialfunktion, unendliche Reihen? Direkt danach geht es mit Digits of Numbers weiter. Im übernächsten Spotlight, diesmal zur Eulerschen Konstanten e, erscheinen erneut die Eulerformel und ein Limes.

Apropos Limes: Im Grunde taucht dieses Konzept sogar bereits früher auf, nämlich unvermittelt bei Aufgabe 3 auf Seite I/40. Dort ist der unendliche Kettenbruch
\[
2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots}}
\]

auszurechnen, freilich ohne daß „...“ erklärt wird. Die Musterlösung setzt einfach x für diesen Ausdruck, sagt, er erfülle \(x=2-\frac{1}{x}\), und schließt daraus, daß x = 1 ist. Diese Vorgehensweise ist höchst problematisch. Warum existiert x denn überhaupt? Kein Hinweis im Buch! Oder ist dies Fünftkläßlern bekannt? Sicher, ein Beweis dieser Aussage im Buch ist weder notwendig noch möglich, aber eine Bemerkung, daß dies zur vollständigen Lösung eigentlich noch fehlt, ist meines Erachtens essentiell. Leider ist dies nicht die einzige logische Lücke in diesem Buch. Da wird mal kommentarlos der Induktionsanfang weggelassen (Lösung zu 4. auf Seite II/101; nur verklausuliert bei 3. auf Seite II/100), Division durch 0 nicht ausgeschlossen (Lösung zu 10. auf Seite II/167) oder der Beweis in der falschen Richtung geführt (Umformungen auf Seite I/38 oder ähnlich bei Lösung zu 10. auf Seite I/181). Zwar sind die Lücken an den genannten und anderen Stellen schnell zu schließen, dafür ist jedoch eine Sensibilität für diese Gefahren erforderlich, die wohl kaum als angeboren vermutet werden kann, sondern auch und gerade Begabten vermittelt werden muß. Wir haben schon jetzt an der Universität riesige Mühe, diese auch im normalen Schulunterricht entwickelten typischen Fehlvorstellungen in mathematisch-logischer Grundbildung zu bekämpfen. Diese Probleme gehören nicht unter den Teppich gekehrt!

Logische Probleme sind das eine – didaktische das andere. Stellt man sich wieder einen Schüler vor, der sich durch die Bücher arbeitet, so wird dieser an vielen Stellen stutzen, weil immer wieder ohne weiteren Kommentar Begriffe oder Strategien eingeführt werden, die wohl kaum bekannt sein dürften. Das ist besonders befremdlich, weil einige später plötzlich tatsächlich vorgestellt werden. Die Musterlösungen in Band 1 verwenden teilweise sogar Konzepte, die erst in Band 2 eingeführt werden. Dies betrifft zum Beispiel das Schubfachprinzip und das Prinzip der vollständigen Induktion. Und um nur eine Bezeichnung zu nennen: Die Aufgaben auf Seite I/11 enthalten lauter Terme wie z.B. \(4^{92}\div 4^{90}\), die berechnet werden sollen. Warum wird die Potenz dann erst auf Seite I/21 eingeführt? Oder warum überhaupt? Bisweilen mag man auch einen viel früher eingeführten Begriff bereits wieder vergessen haben. Dann rächt sich ein weiterer großer Mangel dieser Bücher: Der Index fehlt. Und auch sonst gibt es fast keine Verweise. Nicht mal ein Literaturverzeichnis findet sich (von Verlagswerbung abgesehen). Dies schränkt den Nutzen des Buches enorm ein, gerade für Schüler. Oder geht man davon aus, daß die sowieso alles ergoogeln?

Zusätzlich zu diesen Schwächen im Aufbau des Buches gibt es vor allem in den einführenden Teilen eine Reihe von zunächst verwirrenden Aussagen. Exemplarisch möchte ich den Einstieg in Abschnitt Fractions zitieren (I/36):

How many shaded hexagons are there in the following figure?

[Bild: 3 reguläre Sechsecke, die jeweils aus 6 regulären Dreiecken bestehen]

We can easily count three shaded hexagons. How would we count the following part of the hexagon?

[Bild: Figur, die aus den 4 linkesten Dreiecken des mittleren Sechsecks besteht]

Fractions. The answer is fractions. [...]

Aber auch die Lösungen der Aufgaben sind teilweise verbesserungsfähig.² Wieder nur als Beispiel die Lösung von Aufgabe 11 in Abschnitt Digits of Numbers (I/156f.).

Die Aufgabe selbst ist ein sehr schönes Problem:

What is the greatest possible common divisor [d] of three-digit numbers abc, bca, and cab, when a, b, and c are all distinct?

Die Musterlösung leitet zunächst ab, daß die Summe der drei Zahlen gleich \(3\cdot37\cdot(a+b+c)\) ist, dies also ebenfalls von d geteilt wird. Dann wird gemeint, man könne wegen \(111\!\not |\;d\) nun die Fälle \(d=37k\) probieren (warum nicht \(d=(a+b+c)k\)?). Die Argumentation wird hier aber abgebrochen, und es wird unter Verweis auf die aufwendige Rechenarbeit plötzlich ein MATLAB-Programm angegeben, welches per brute force die Aufgabe in a fraction of a second  löse. Es mag dahingestellt sein, ob dies ein gutes Bild für die Anwendung des Computers in Mathematik oder Mathematikunterricht darstellt, denn die Aufgabe ist problemlos mit elementaren Mitteln lösbar.³ Der Leser bleibt dagegen ratlos mit der Frage zurück, ob man eigentlich voraussetzen darf, daß Zehnjährige MATLAB können.

Wenn diese Bücher für Schüler suboptimal sind, bringen sie denn wenigstens mehr für Eltern, Lehrer und Mentoren, wie der Untertitel verheißt? Jein. Auch hier sind die Aufgaben an sich die wertvollste Ressource. Guten Lehrern sollte es bei der Betreuung der Schüler gelingen, die Schwächen im Aufbau, vor allem in den Einleitungen, auszubügeln – sei es durch eine geschickter gewählte Reihenfolge von Themen und Aufgaben, sei es durch Bereitstellung geeigneter Zusatzliteratur. Zudem könnten einige leicht schließbare Lücken in den Büchern auf diese Weise beseitigt werden. Die vielleicht einfachste betrifft die Modulorechnung, die gerade für begabte Schüler keine große Hürde darstellt. Hier fehlt sie als Konzept komplett, obwohl sich die Abschnitte 8 The Last Digits of an Integer in Buch 1 sowie 26 Around the Division Algorithm in Buch 2 im Grunde genau um dieses Thema drehen und dabei kommentarlos dessen Regeln verwenden. Bei anderen Themen fragt man sich, ob dort nicht sogar ein gutes Schulbuch in Mathematik die bessere Alternative gewesen wäre.

Den Rezensenten beschleicht das Gefühl, daß Startpunkt des Buches ein großer Aufgabenfundus der Verfasser war. Man hätte diese Sammlung nun geeignet sortiert veröffentlichen können; dies hätte allerdings die Bücher deutlich dünner gemacht, wodurch der Wert freilich nicht sonderlich geschmälert worden wäre. Statt dessen wurden vermutlich nach der Zuordnung der Aufgaben zu den verschiedenen Themen relativ isoliert Einführungen geschrieben. Anders läßt sich die Sprunghaftigkeit im Aufbau, vor allem das häufige Verwenden von Konzepten vor deren Einführung aus Sicht des Rezensenten nicht erklären.

Die Bücher werden im Vorwort von den Autoren als unique beschrieben, denn beide seien a collection of topics and problems used in high quality programs for young gifted children. Zudem sei die Serie the first book series containing such diverse ideas, examples, and challenges at this level. Der Rezensent kann diese Einschätzungen, vor allem die Begründung der ersten nicht nachvollziehen. Selbst wenn den Autoren – was angesichts des Werdegangs zumindest des einen⁴ extrem unwahrscheinlich erscheint – die durchaus umfangreiche originale russische Literatur auf diesem Gebiet unbekannt sein sollte, so gibt es hier durchaus auch Bücher in englischer Sprache. Beispielsweise erschien bereits vor über 20 Jahren in der AMS-Reihe Mathematical World die Übersetzung Mathematical Circles des Buches von Genkin⁵, Itenberg und Fomin. Dieses Buch basiert nach eigener Angabe zwar auf einem Curriculum für etwas fortgeschrittenere Schüler, hat aber dennoch einen deutlichen inhaltlichen Überlapp mit der hier rezensierten Reihe, vor allem deren Band 2. So thematisiert dort Kapitel 4 das Schubfachprinzip, Kapitel 9 die vollständige Induktion. Ebenfalls in englischer Sprache erscheint die 2008 (also deutlich vor der hier rezensierten Buchreihe) gestartete und mittlerweile über 20 Bände umfassende Mathematics Circles Library – eine Ko-Produktion von MSRI und AMS, die Lehrer und Schüler verschiedenster Klassenstufen anspricht. Darüber hinaus gibt es englischsprachige Bücher mit dem Schwerpunkt Problemlösung. Der Klassiker Problem-Solving Strategies von Arthur Engel sei hier nur als Beispiel genannt, auch wenn dieser eher an etwas ältere Schüler gerichtet ist.

Letztlich handelt es sich bei der Buchserie Math Leads for Mathletes um eine thematisch vorsortierte Ansammlung durchaus hübscher mathematischer Aufgaben, deren Lösung jedem Schüler Gewinn bringt. Die Rahmenhandlung birgt dagegen enormes Verbesserungspotential: Verweise fehlen fast völlig, ein Index ganz, die Abfolge der Themen ist teilweise recht erratisch, die jeweiligen Einführungen sind trotz guter Beispiele nicht immer zweckmäßig. Wenn mich ein Schüler fragte, ob diese Bücherreihe zum unbetreuten Selbststudium geeignet ist, würde ich dies unabhängig von seinen Englischkenntnissen verneinen. Für Lehrer kann sie als Ergänzung und vor allem als guter Aufgabenfundus dienen.

Danksagung: Der Rezensent dankt der Eberhard-Zeidler-Bibliothek des Leipziger Max-Planck-Instituts für Mathematik in den Naturwissenschaften sehr herzlich für den Zugang zu den im Text genannten Büchern. Die beiden Mathletes-Bücher wurden dem Rezensenten zudem kostenfrei von der AMS zur Verfügung gestellt.

¹ Die Angaben „I“ und „II“ beziehen sich jeweils auf Band 1 bzw. 2.
² Einzelne sind sogar falsch, wie z.B. die zu 10. auf Seite II/208.
³ Man erhält sofort auch \(d|10\cdot\overline{abc}-\overline{bca}=33\cdot 37\cdot a\); analog für b und c. Hieraus ergibt sich, daß 4, 5 und 7 keine Teiler von d sind und für 2 | d auch alle Ziffern gerade sind. Für 3 | d erhält man \(37\!\not |\;d\) , mithin \(d|3(a+b+c)\leq 72\) und \(d|3^3\cdot\mbox{ggT}(a,b,c)\), also wegen \(\mbox{ggT}(a,b,c)\leq 3\) bereits \(d|54\), wobei aus \(37| d > 54\) sofort \(a+b+c=18\) mit geraden Variablen, also \({a,b,c}={4,6,8}\) folgt; in der Tat ist \(\mbox{ggT}(a,b,c)=54\). Den Fall \(37|d>54\) kann man schnell ausschließen, \(d|a+b+c\) wegen \(a+b+c\leq 24<54\) aus Gründen der Maximalität in den Restfällen sowieso. Damit ist das maximale d gleich 54.
⁴ Wenn man Wikipedia Glauben schenken darf, ist Titu Andreescu in Rumänien aufgewachsen und bereits dort über Jahre auf dem Gebiet der Schülerförderung tätig gewesen.
⁵

Rezension: Christian Fleischhack (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2020, Band 67, S. 103-107.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Daniel Grieser

Springer Spektrum 2017, 2. Auflage, XIII + 321 Seiten
ISBN: 978-3658147648, 25,00 €
e-Book ISBN: 978-3-658-14765-5, 19,99 €

Das vorliegende Buch ist eine insbesondere im Aufgabenteil erweiterte Neuauflage des gleichnamigen Textes von 2013. Es ging aus einer 2011/2012 in Oldenburg gehaltenen Vorlesung hervor, die sich an Studierende in der Studieneingangsphase richtete. Dementsprechend werden keine Kenntnisse in Hochschulmathematik vorausgesetzt. Im Gegenteil, selbst typische Inhalte der Oberstufenmathematik spielen allenfalls in Randbemerkungen eine Rolle. Dafür sollten die Leser aktiv über die Mittelstufenmathematik verfügen können. Insbesondere sind der sichere Umgang mit algebraischen Termen und das Umstellen von Gleichungen Voraussetzung für eine gewinnbringende Lektüre. Das übergeordnete Ziel, das der Autor mit dem Buch verfolgt, ist es, die Leser in grundlegende mathematische Denkweisen einzuführen. Seine Strategie zur Aktivierung des Publikums ist es die Gedankengänge durch Probleme zu motivieren und im Rahmen der Lösungen dieser Probleme zu erläutern. Dabei führt er vorsichtig dosiert auch einige für Abiturienten in der Regel neue Begriffe ein, nicht ohne explizit auf die Bedeutung von Begriffsbildung für mathematisches Problemlösen und mathematische Theorie einzugehen.

Nach einem einführenden Kapitel sind die meisten der zehn weiteren Kapitel je einem Thema gewidmet, das man in einer 90-Minuten Vorlesung behandeln kann. Im Einzelnen sind dies:

• Rekursion 
• Induktion 
• Graphen 
• Abzählen 
• Elementare Zahlentheorie 
• Schubfachprinzip 
• Extremalprinzip 
• Invarianzprinzip

Die Kapitel zum Extremalprinzip und zum Invarianzprinzip fallen dabei etwas aus dem Rahmen, da diese Prinzipien, so wie der Autor sie einführt, weniger präzise gefasst sind als die anderen Themen. Mit Extremalprinzip ist hier gemeint, dass Lösungen eines mathematischen Problems, die in Bezug auf irgendeine Eigenschaft extremal sind, oft Zusatzstrukturen tragen, die das Auffinden dieser Lösungen erleichtern. Mit Invarianzprinzip ist gemeint, dass man versucht den relevanten mathematischen Objekten (wie zum Beispiel Konstellationen eines Brettspiels) Größen zuzuordnen, die sich unter einem vorgegeben Satz von Modifikationen (Spielzüge) nicht ändern, das heißt invariant bleiben. Nimmt so eine Invariante auf zwei Objekten unterschiedliche Werte an, können die Objekte nicht gemäss den Spielregeln ineinander übergeführt werden.

In der Mitte des Buches gibt es zwei Querschnittskapitel über Problemlösestrategien sowie über Logik und Beweise. Das Buch verwendet Mengenschreibweisen, die auch in einem Anhang zusammengestellt sind. Die Darstellung der einzelnen Themen wird jeweils durch ein oder mehrere Probleme motiviert und ist eher beispiel- als theorieorientiert. Es werden Lösungsansätze für die jeweilige Ausgangsfrage vorgestellt, auch solche, die sich im Laufe der weiteren Diskussion als problematisch herausstellen. Danach folgt eine Lösung, ein Resumé und eine Reihe von Übungsaufgaben (samt einer Einschätzung des Schwierigkeitsgrades). Das Buch enthält keine Musterlösungen, aber Lösungshinweise für ausgewählte Aufgaben.

Probleme, Strategien und Lösungen sind gut verständlich geschrieben, und wer dieses Buch durchgearbeitet hat, wird kein Problem mehr mit dem Umstand haben, dass im Mathematikstudium dem Beweis eine so prominente Rolle zugewiesen wird. Ich würde es interessierten Oberstufenschülern, die darüber nachdenken, Mathematik zu studieren, oder AG-Leitern, die ihren Schützlingen die Natur der Mathematik nahebringen möchten, nachdrücklich empfehlen.

Interessant fände ich auch einen vom üblichen Muster abweichenden Vorkurs (für zukünftige Studierende der Mathematik, auch für das Lehramt, nicht für Naturwissenschaftler oder Ingenieure), der diesem Buch folgt.

Für problematisch hielte ich dagegen den Einsatz des Buches in einem Anfängerkurs, der einen der Standardkurse Lineare Algebra oder Analysis ersetzt. Dafür bietet er zu wenig Anknüpfungspunkte an den Standardstoff, der ja (auch im Lehramtsstudium) nicht dadurch verzichtbar wird, dass die Kursteilnehmer besser mit gewissen grundlegenden mathematischen Denkweisen und Methoden vertraut sind.

Der Autor bietet auf auch Hinweise zur Durchführung von Lehrveranstaltungen mit desem Buch an.

Rezension: Joachim Hilgert (Uni Paderborn)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2020, Band 67, S. 97-98.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Heinz Klaus Strick

Springer; Auflage: 1. Aufl. 2019 (25. Februar 2019), 350 Seiten, 17,99 €
ISBN-10: 3662581000
ISBN-13: 978-3662581001

Schön, ja wunderschön ist nicht nur die Mathematik sondern auch das Buch von Heinz Klaus Strick, das er hier als drittes in seiner Serie vorlegt.

Großartig wie in den vorhergegangenen beiden Büchern ist die grafische Aufarbeitung mathematischer Inhalte. Übersichtliche farbige Abbildungen prägen das Buch: Nicht nur geometrische Sachverhalte – da liegt es zwar nahe, jedoch in dieser Fülle und Klarheit ist mir kein anderes Buch bekannt – werden so visualisiert. Auch die nicht-geometrischen Abschnitte werden auf beeindruckende Weise mit farbig unterlegten Tabellen und Diagrammen veranschaulicht. Ich kann dies in Worten nur unzulänglich beschreiben – man muss dazu einfach einmal das Buch durchblättern.

Vier der zwölf Kapitel sind geometrischen Themen gewidmet: Friesmuster und Ornamente, vielfältige Varianten über Kreisfiguren und Kreisbögen sowie Spiralen werden ausführlich dargestellt.

Vier weitere Abschnitte haben elementare arithmetische, zahlentheoretische und kombinatorische Begriffe zum Inhalt. Einer zeigt alte schriftliche Verfahren zur schriftlichen Multiplikation natürlicher Zahlen, die in anderen Kulturen entwickelt wurden – ist also eher von mathematik-historischem Interesse. Drei Kapitel haben mich besonders begeistert. Teilbarkeitsregeln und vor allem die Eigenschaften über Teiler natürlicher Zahlen und deren Anzahl, über zueinander teilerfremde Zahlen bis hin zur Euler‘schen φ-Funktion, über Teiler-Diagramme und Teilersummen führen zu vollkommenen Zahlen und zu Mersenne-Primzahlen. Und die 40 Seiten (das längste Kapitel) über das Pascal‘sche Dreieck stellen überzeugend viele der dazu gehörigen Zusammenhänge vor: binomische Formeln, Binomialkoeffizienten und Binomialverteilung, Anzahl von Wegen in Netzen, die Verteilung der geraden und ungeraden Zahlen im Dreieck  und  das Auftreten von Primzahlen und Fibonacci-Zahlen.

In weiteren Kapiteln werden sehr unterschiedliche Schwerpunkte gesetzt. Klassische Umfüllprobleme, magische Quadrate, das Rencontre-Problem (Anwendungen von fixpunktfreien Permutationen) werden einfach ganz wunderschön vorgestellt. Ein ganzes Kapitel ist der „Wurzel aus 2“ gewidmet: geometrische Veranschaulichungen, Heron-Verfahren, Intervallschachtelungen, Kettenbrüche, Pell‘sche Folgen und weitere Verfahren zur Berechnung und natürlich das DIN-A-Format bilden ein weites Umfeld – schöner kann man das alles wohl nicht zusammenbringen.

Hier gilt – wie durchgehend in diesem Buch –, dass Strick ausführlich und beispielgebunden die Eigenschaften herleitet, so dass der weniger erfahrene Leser nicht (wie oft in Mathematik-Büchern) vor der Aufgabe steht, zu viele Zwischenschritte selbst erst zu überlegen oder davor zu verzweifeln. Dass im Buch aber sehr viele Anregungen gegeben werden, selbständig weiter zu denken und eigene Untersuchungen anzuschließen, um die Ergebnisse zu vertiefen, das macht das Buch auch zu einer Sammlung von Aufgaben, die forschendes Lernen provozieren können.

Für jeden Liebhaber dieses Faches ist das Buch (wie auch schon die beiden anderen) eine Fundgrube an schöner Mathematik. Alle Themen lassen sich auch hervorragend für die Ausbildung von Lehramtsstudenten einsetzen, sie können einerseits lernen, wie man Mathematik „mundgerecht“ aufbereiten kann, andererseits aber Mathematik selber nicht nur rezeptiv nachvollziehen, sondern kreativ weiter entwickeln kann.

Antworten und Lösungen zu den vielen „Anregungen zum Nachdenken und für eigene Untersuchungen“ kann man auf der Internet-Seite des Verlags finden. Auch die sonst üblichen Literaturhinweise werden von Strick stark auf digitale Medien konzentriert: am Ende jedes Kapitels nennt er die Stichwörter, unter denen man bei Wikipedia und bei Wolfram Mathworld fachliche Informationen suchen kann.  Außerdem gibt es noch viele spezielle Internet-Verweise.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Lara Alcock

Springer Spektrum 2017, XVIII + 272 Seiten, 24,99€

ISBN 978-3-662-50384-3
ISBN 978-3-662-50385-0

Dies ist ein wichtiges Buch für alle Erstsemester im Studienfach Mathematik, das zumindest in Teilen Plichtlektüre werden sollte. Die Autorin unternimmt den Versuch, Studenten der Anfangssemester die „Besonderheiten eines nichttrivialen Studiengangs“ (so der Untertitel) zu erläutern, Handreichungen im Mathematikstudium zu geben und die Furcht vor diesem Fach zu nehmen, das sich in der universitären Lehre oft als wesentlich unerbittlicher erweist, als man vor dem Hintergrund der Schulmathematik erwarten wurde. Zu den Handreichungen gehören eine ausführliche Einführung in die Trias Definition-Satz-Beweis, Hinweise aufs präzise Formulieren eines Gedankengangs und grundsätzliche Bemerkungen etwa zur Kommunikation mit Dozenten und zu Studiertechniken wie Zeitmanagement oder „Concept Maps“. Einige ihrer Hinweise sind gewiss nicht fachspezifisch (auch in Philosophievorlesungen sollte man nicht mit dem Handy spielen), aber die meisten sind wirklich aufs Mathematikstudium zugeschnitten (was heißt das logische „wenn“, was sind und wie benutzt man Quantoren, wie schreibt man einen Beweis auf, warum wird in Vorlesungen scheinbar Offensichtliches detailliert begründet, ... ).

Lara Alcock ist Dozentin an einer englischen Universität, und sie hat ihr Buch für Studenten in Großbritannien geschrieben; aber fast alles trifft genauso auf das hiesige Universitätssystem zu (der Übersetzer gibt in einigen Fußnoten Kommentare zu den Unterschieden). Deswegen ist ihr Buch auch im deutschen Sprachraum sehr willkommen.

Leider ist der Übersetzer in der mathematischen Fachsprache nicht hundertprozentig zu Hause (und der Verlag hat es versäumt, die Übersetzung unter diesem Gesichtspunkt korrekturlesen zu lassen): Auf Seite 114 wird der Zwischenwertsatz formuliert und dann Mittelwertsatz genannt; die „Verbindung“ zweier Mengen heißt auf Deutsch Vereinigung (Seite 167); „for some u“ übersetzt man nicht mit „für manche u“ (Seite 68); etc. Hauptsächlich auf die Kappe der Autorin geht ein Gestammel wie „Wir wollen beweisen, dass, wenn \(f\) gerade ist, \(\Rightarrow\) \(df/dx\) ist ungerade.“ Und da dieses Buch ja zur Präzision im Ausdruck anleiten soll, wäre es nicht verkehrt gewesen, f als differenzierbare Funktion vorauszusetzen.

Dem Buch ist rege Verbreitung in der avisierten Zielgruppe zu wünschen, aber auch Dozenten, die ein möglicherweise ungenügendes Vorverständnis ihrer Studenten reflektieren möchten, werden davon profitieren.

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)