Leseecke

Adriane Gründers

Springer Spektrum Verlag; 1. Aufl. 2021 Edition (27. April 2021), 224 Seiten; 27,99 €

ISBN-10: ‎366263161X
ISBN-13: ‎978-3662631614

Ein Lehrbuch von Springer, so steht es auf dem Einband. Und dann wundere ich mich ein wenig beim ersten Blättern: Seite für Seite ein Rezept zum Lösen von Aufgaben. Soll das ein neuer Stil für ein Mathematik-Lehrbuch sein? Ich komme in Versuchung, es ungelesen beiseite zu legen.

Doch ich will es ja rezensieren und werde mich also genauer damit befassen. Das Inhaltsverzeichnis gibt schon Auskunft über die Themen (Seite für Seite!). Es geht tatsächlich (Basics) los mit den Rechenverfahren für natürliche Zahlen und ihren Rechengesetzen, weiter über negative Zahlen, Brüche und Dezimalzahlen hin zu Potenzen, Wurzeln und Logarithmen. Auf jeder Seite wird links in einer Spalte in einfachen, kurzen Sätzen die durchzuführende Operation beschrieben, während in der Spalte rechts daneben ein Zahlenbeispiel vorgerechnet wird. So ist etwa eine Seite dem Erweitern und Kürzen und daneben eine zur Addition und Subtraktion von Brüchen gewidmet.

Weitere Abschnitte zeigen das Lösen von Gleichungen (lineare, quadratische, exponentielle, Betragsgleichungen, Ungleichungen, lineare Gleichungssysteme) und deren Anwendung bei Sachaufgaben. Beim Kapitel über Funktionen kommen alle Typen vor, die im Gymnasialunterricht auf dem Lehrplan stehen. Ein weiteres Drittel des Buches stellt in der gleichen Weise die Grundlagen und Verfahren der Analysis dar (Folgen und Grenzwerte, Differential- und Integralrechnung).

Eingeschoben auf zehn Seiten werden Begriffe der Aussagenlogik, auf 20 Seiten die geometrischen Lehrplaninhalte und abschließend wird ein Ausblick gegeben auf die komplexen Zahlen und auf Taylor-Reihen. Ein ausführliches Stichwortverzeichnis hilft neben dem detaillierten Inhaltsverzeichnis, dass man schnell die richtige Seite findet.

Meine anfängliche Skepsis hat sich gelegt. Die Autorin (A. Gründers ist übrigens ein Pseudonym, sie hat laut Verlagsangabe „in mathematischer Physik promoviert und ist in einem wissenschaftsnahen Unternehmen tätig. Die Vermittlung von Mathematik ist ihr ein Herzensanliegen.“) legt Wert darauf, nicht nur formale Rechenverfahren nahe zu bringen. So beschreibt sie auf mehreren Seiten – und auch hier mit einfachen Formulierungen ohne komplizierte Nebensätze –, wie man ein Sachproblem in mathematische Formelsprache übersetzt und wie man diese Lösung in die Realität zurück überträgt. Warum Einheiten eine gute Hilfe zur Überprüfung von Formeln sein können, wird gut demonstriert. Und für die Darstellung des Zusammenhangs von Differential- und Integralrechnung im Hauptsatz gilt ebenfalls: kurz, aber prägnant.

Wem das Buch zu empfehlen ist? Ich zitiere die Autorin aus dem Vorwort – dem habe ich nichts hinzuzufügen:

„Für alle, die nicht gern viel lesen, aber Mathe verstehen wollen oder müssen.
Für alle, die es gern übersichtlich haben.
Für alle, die auf einen Blick das Wesentliche finden wollen. Für alle, die visuell denken und die gern Videos schauen, für die aber Videos zum Mathelernen nicht immer optimal sind, weil man nicht schnell etwas nachschauen kann.“

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Holger Dambeck

KiWi-Taschenbuch; 1. Edition (15. April 2021), ‎256 Seiten, 11 €
ISBN-10: ‎3462001248
ISBN-13: ‎978-3462001242

Vielleicht gehören Sie zu denen, die sich schon einmal ein Mathematik-Rätsel auf der Internet-Seite „spiegel.de“ angesehen und daran geknobelt oder es auch gelöst haben. So ganz unwahrscheinlich ist das nicht, denn das machen – laut Aussage des Autors im Vorwort – wöchentlich immerhin zwischen 50 und 100 Tausend Menschen.

Holger Dambeck gibt dort seit 2015 Mathe-Rätsel auf, einhundert davon sind in diesem Buch zusammengestellt. Er hat sie nach Themen sortiert und so kann man sich auch die Gebiete wählen, die einem besonders liegen. Neben Zahlenknobeleien findet man typische Logikrätsel (so wie früher von „Zweistein“ in der Zeitschrift „Die Zeit“), aus der Geometrie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Probleme vorgestellt und für den Abschnitt „Kopfnüsse aus der Physik“ braucht man nur ein wenig Kenntnisse über den Zusammenhang von Weg, Zeit und Geschwindigkeit.

Für den Einstieg beginnt der Autor mit 12 leichten Rätseln – damit sollten Anfänger auf jeden Fall beginnen, damit sie womöglich nicht gleich an einem schwierigeren Problem scheitern und vorschnell zur Lösung blättern. Bei den teilweise durchaus kniffligen Rätseln braucht es ein wenig Geduld und Nachdenken und häufig auch einen Gedankenblitz – um so größer wird dann die Befriedigung über die gelungene Lösung sein. Und wenn man wirklich nicht die richtige Idee gefunden hat – eventuell bei den 11 „echten Herausforderungen“, die im letzten Abschnitt des Buches versammelt sind – dann wird einem bei der gut erklärten Lösung sicher ein Licht aufgehen.

Wer ein wenig mehr Erfahrung mit solchen Rätselaufgaben hat, dem wird die eine oder andere wahrscheinlich bekannt vorkommen – auch Dambeck hat sich in der großen Sammlung der Rätsel-Literatur natürlich Anregungen geholt. Aber die kurzen Geschichten, die jedes Problem einleiten, sind amüsant und verleiten wirklich zum Knobeln oder gar zur systematischen Analyse und Lösung. Für die reichhaltige Mathematik-Rätsel-Literatur ist dieses Buch eine schöne Ergänzung.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Wolfgang Tschirk

Springer; 1. Aufl. 2020 Edition (29. September 2020), 218 Seiten, 29,99 €

ISBN-10: 3662616467
ISBN-13: 978-3662616468

Als pensionierter Gymnasiallehrer habe ich mich nach dem Studium nur selten mit Differentialgleichungen beschäftigt. Daher war ich unsicher, ob ich mir eine Rezension zutrauen (zumuten) sollte. Diese Zweifel waren schon nach wenigen Seiten verflogen: Dieses Buch gefällt mir so außerordentlich, dass ich mich trotz fehlender Kenntnisse manch behandelter physikalischer Sachverhalte entschlossen habe, diese Buchbesprechung zu verfassen.

Im ersten Teil werden die für Anwendungen wichtigen Typen von Differentialgleichungen mit den passenden Lösungsverfahren zusammengestellt – aber nicht theoretisch abgehandelt, sondern in jedem Fall an Beispielen aus der Physik hergeleitet. Das geht los mit den einfachen Gesetzmäßigkeiten des radioaktiven Zerfalls, der Fallbeschleunigung und Newtons Gesetz zum Wärmeausgleich. Freie und erzwungene, gedämpfte und ungedämpfte Schwingungen, der elektrische Schwingkreis und die schwingende Saite, die zur Wellengleichung führt, runden diesen Überblick ab. Stets werden die Gleichungen gelöst, und zwar Schritt für Schritt ohne Auslassung von Zwischenergebnissen, Anfangsbedingungen eingearbeitet und die verschiedenen Fälle inhaltlich diskutiert. So war es mir ohne große Schwierigkeiten möglich, alle Überlegungen und Rechnungen nachzuvollziehen. Da brauchte ich auch nur selten im Anhang nachzulesen, wo der Autor auf 16 Seiten die für seine Beispiele notwendigen Lösungsverfahren noch einmal systematisch zusammengestellt hat.

In weiteren vier Kapiteln – entsprechen den im Untertitel genannten Themen – zeigt Wolfgang Tschirk, wie Differentialgleichungen die gesamte Naturwissenschaft durchziehen. Um einen Eindruck von dieser Rundumschau zu vermitteln, will ich einen – längst nicht kompletten – Blick über seine Themen geben.

„Die Welt im Großen“ beginnt mit den Keplerschen Gesetzen und führt über Newton zu Einsteins Feldgleichungen, einschließlich des Tensor-Kalküls. Weiter werden die Begriffe Fluchtgeschwindigkeit, Schwarze Löcher und das Alter des Universums thematisiert. Aber der Autor kann nicht nur Gleichungen einleuchtend herleiten und lösen, sondern er beschreibt z. B. auch höchst anschaulich, welche Gedankenexperimente Einstein zur speziellen Relativitätstheorie geführt haben. Solch knappe, aber sehr klare Darlegungen auch zur historischen Entwicklung mancher Begriffe sind sehr lesenswert.

Im Abschnitt „Bilder der Natur“ werden u. a. die Fourier-Reihen für Wärmeleitung und die Maxwell-Gleichungen thematisiert. Aber auch biologische Prozesse wie Räuber-Beute-Systeme und Fragen der Fitness und Selektion werden auf Differentialgleichungen zurückgeführt.

Im Kapitel „Mensch“ geht es quasi querbeet durch verschiedene Disziplinen. Mit dem Lernen und Vergessen geht es los, über die Verbreitung von Infektionskrankheiten (SIR-Modell) und Fragen des Verkehrsflusses führt der Verfasser hin zu den Grenzen des Wachstums, wie sie der Club of Rome 1972 erstmals veröffentlicht hat.

Schließlich bringt der Autor in der „Welt im Kleinen“ Beispiele aus der Quantenphysik, die Radiokarbon-Datierung, die Schrödinger-Gleichung bis hin zu Schrödingers Abhandlung „Was ist Leben?“.

Tschirk schließt das Buch mit folgenden Sätzen: „… ist auch Entschuldigung für das vorliegende Buch angebracht, enthält es doch Gedanken zu vielen Themen, die sein Autor nicht beherrscht. Ich bitte um Nachsicht von Seiten derer, die sie beherrschen, und möchte einen mildernden Umstand anführen: Das alles Verbindende, die Differentialgleichungen – die sind entstanden, weil sich ein Naturphilosoph und ein Diplomat in Dinge eingemischt haben, die sie nichts angingen.“ (Und damit sind Newton und Leibniz gemeint.)

Und auch der Rezensent muss bekennen, dass er von manchen physikalischen Grundlagen, die zu den Differentialgleichungen führen, keine Kenntnisse hat, aber von der Darstellung überzeugt und begeistert ist. „Die Macht und Schönheit der Differentialgleichungen“ kann man in diesem Buch in der Tat erleben.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Oliver Roeder

Springer Verlag; 1. Aufl. 2020 Edition (31. Oktober 2020), Taschenbuch : 224 Seiten, 19,99 €

ISBN-10: 3662617277
ISBN-13: 978-3662617274

Fünfzig Rätsel aus den im Titel genannten Bereichen werden hier vorgestellt – und zwar solche, die nicht bereits in vielen anderen Rätselbüchern zu finden sind.

Das Buch enthält eine Sammlung von Problemen, die in einer Rätselecke auf der US-amerikanischen Website „FiveThirtyEight“ seit dem Jahr 2015 veröffentlicht worden sind. Die Aufgaben sind von Lesern eingesandt, die Lösungen vom Autor erstellt worden. Jedes Problem hat eine hübsche Einkleidung, eine Story – und auch bei den wenigen Fragestellungen, die mir aus anderen Quellen bekannt sind, ist das hier besonders originell gelungen.

Der Verlag schreibt: „Die einfachsten Rätsel erfordern bloß einen Geistesblitz, während Sie für die schwierigsten schon ein gewisses Geschick in Analysis und Wahrscheinlichkeitstheorie benötigen.“ Und wirklich: Das Niveau ist recht hoch, bei etwa einem Viertel der Probleme benötigt man mehr als elementare Mathematik. In Aufgaben aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung beispielsweise sind einige Kenntnisse über bedingte Wahrscheinlichkeiten hilfreich zu verwenden, beim letzten Problem werden Mehrfach-Integrale benötigt. Aber bitte nicht abschrecken lassen: Bei der Mehrzahl der Rätsel reichen doch elementare Kenntnisse der Mathematik aus, eher gefordert ist die Fähigkeit kreativen und logischen Denkens. Und man kann aus den Lösungen auch noch manches lernen, diese sind nämlich ausführlich und verständlich formuliert – und auch wieder amüsant auf den Zusammenhang mit der Story bezogen.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Jürgen Bokowski

Springer Spektrum Verlag; 1. Aufl. 2020 Edition (6. November 2020), Taschenbuch, 249 Seiten, 32,99 €

ISBN-10: 3662618249
ISBN-13: 978-3662618240

Der Autor, emeritierter Professor an der TU Darmstadt, wünscht sich in seinem Vorwort, „dass viele Leser große Teile des Textes verstehen, wobei sie sich so wohl fühlen sollten, wie sich Zoobesucher an Tieren erfreuen, die sie erstmalig sehen“. Und er fährt fort: „Mein Wunsch, Teile der Geometrie verständlich erklärt zu haben, mag nicht immer in Erfüllung gehen, aber ich habe jedenfalls versucht, das Niveau niedrig zu halten durch Verzicht auf Beweise und durch Unterstützung durch viele Zeichnungen, Modelle und Filme.“

Ich dachte bisher, dass ich einen guten Überblick über viele Gebiete der Geometrie habe. Dieses Buch hat mich eines anderen belehrt. In manchen Teilen des Buches stellt der Autor geometrische Objekte vor, die für mich neu waren – und das, obwohl diese auch schon gegen Ende des 19. Jahrhunderts z. B. von dem großen Geometer Felix Klein untersucht wurden.

Seit Studienzeiten (in den 60iger Jahren) sind mir zwar die Sätze von Pappus und Desargues aus der projektiven Geometrie bekannt, dass aber Verallgemeinerungen davon (sog. Punkt-Geraden-Konfigurationen mit n Punkten und n Geraden, auf denen jeweils k Punkte liegen) auch zu aktuellsten Forschungen und interessanten praktischen Anwendungen geführt haben, ist für mich eine überraschende Erkenntnis.

Im Weiteren werden kurz die platonischen und archimedischen Körper vorgestellt, bevor deren Analoga in höheren Dimensionen diskutiert werden. Insbesondere sind ausführliches Thema der vierdimensionale Würfel (Hyperkubus) und dessen verschiedene grafische Veranschaulichungen. Da ich mich mit diesen Fragen intensiv beschäftigt habe, haben mir die vielen Abbildungen zu den vierdimensionalen Verallgemeinerungen der anderen Körper auch zu einer gewissen Vorstellung verholfen.

Das kurze Kapitel über „Symmetrien und Permutationsgruppen“ setzt doch einige Kenntnisse voraus. Nach einer extrem kurzen Einführung des Begriffs „Gruppe“ werden vom Autor als Beispiele dafür die Symmetriegruppen des regulären Fünfecks, regulären Tetraeders, Würfels, Oktaeders und schließlich von Ikosaeder und Dodekaeder hergeleitet. Die Mathematik hierzu dürfte nur zu verstehen sein, wenn man mit dem Gruppenbegriff ein wenig vertraut ist . So notiert denn auch Bokowski selbst am Ende dieses Abschnitts: „Weitere Begriffe der Gruppentheorie wären wünschenswert  … Stop! Ich stelle erneut fest: Viele Teile der Mathematik sind nicht leicht zu vermitteln.“

Unbekannt sind mir die Inhalte aus den Abschnitten über „Zellzerlegte geschlossene Flächen“ und „Reguläre Karten“. So führe ich mir diese denn als unbedarfter Zoobesucher vor Augen. Trotz der vielen Abbildungen, teils Fotos von Modellen oder Screenshots von Computersimulationen, teils Zeichnungen, ist es schwer eine Anschauung davon zu bekommen. Und auch die Videos, die man leicht mit Hilfe von QR-Codes auf youtube ansehen kann, vermitteln teilweise eine ästhetischen Eindruck der komplexen Strukturen – das ist wohl auch die Absicht dahinter –, führen mich aber nicht zu einer tieferen Einsicht. Wer da noch weiter einsteigen will, dem empfiehlt Bokowski die kostenlosen Programme Cinderella und Blender.

Nach dem Studium seines Buches – zugegeben: in manchen Teilen nicht mit dem Ehrgeiz, alles genau zu durchdringen – meine ich, dass der Wunsch des Autors doch sehr hochgesteckt ist. Wer sich bereits mit dem jeweiligen Thema ein wenig befasst hat, der wird von den Ausführungen wahrscheinlich einen Gewinn haben. Wenn das nicht der Fall ist, dann setzt das beim Leser eine intensive Beschäftigung voraus, die nicht zu vergleichen ist mit einem Besuch im Zoo.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)