Leseecke

Holger Dambeck

KiWi-Taschenbuch; 1. Edition (15. April 2021), ‎256 Seiten, 11 €
ISBN-10: ‎3462001248
ISBN-13: ‎978-3462001242

Vielleicht gehören Sie zu denen, die sich schon einmal ein Mathematik-Rätsel auf der Internet-Seite „spiegel.de“ angesehen und daran geknobelt oder es auch gelöst haben. So ganz unwahrscheinlich ist das nicht, denn das machen – laut Aussage des Autors im Vorwort – wöchentlich immerhin zwischen 50 und 100 Tausend Menschen.

Holger Dambeck gibt dort seit 2015 Mathe-Rätsel auf, einhundert davon sind in diesem Buch zusammengestellt. Er hat sie nach Themen sortiert und so kann man sich auch die Gebiete wählen, die einem besonders liegen. Neben Zahlenknobeleien findet man typische Logikrätsel (so wie früher von „Zweistein“ in der Zeitschrift „Die Zeit“), aus der Geometrie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Probleme vorgestellt und für den Abschnitt „Kopfnüsse aus der Physik“ braucht man nur ein wenig Kenntnisse über den Zusammenhang von Weg, Zeit und Geschwindigkeit.

Für den Einstieg beginnt der Autor mit 12 leichten Rätseln – damit sollten Anfänger auf jeden Fall beginnen, damit sie womöglich nicht gleich an einem schwierigeren Problem scheitern und vorschnell zur Lösung blättern. Bei den teilweise durchaus kniffligen Rätseln braucht es ein wenig Geduld und Nachdenken und häufig auch einen Gedankenblitz – um so größer wird dann die Befriedigung über die gelungene Lösung sein. Und wenn man wirklich nicht die richtige Idee gefunden hat – eventuell bei den 11 „echten Herausforderungen“, die im letzten Abschnitt des Buches versammelt sind – dann wird einem bei der gut erklärten Lösung sicher ein Licht aufgehen.

Wer ein wenig mehr Erfahrung mit solchen Rätselaufgaben hat, dem wird die eine oder andere wahrscheinlich bekannt vorkommen – auch Dambeck hat sich in der großen Sammlung der Rätsel-Literatur natürlich Anregungen geholt. Aber die kurzen Geschichten, die jedes Problem einleiten, sind amüsant und verleiten wirklich zum Knobeln oder gar zur systematischen Analyse und Lösung. Für die reichhaltige Mathematik-Rätsel-Literatur ist dieses Buch eine schöne Ergänzung.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Wolfgang Tschirk

Springer; 1. Aufl. 2020 Edition (29. September 2020), 218 Seiten, 29,99 €

ISBN-10: 3662616467
ISBN-13: 978-3662616468

Als pensionierter Gymnasiallehrer habe ich mich nach dem Studium nur selten mit Differentialgleichungen beschäftigt. Daher war ich unsicher, ob ich mir eine Rezension zutrauen (zumuten) sollte. Diese Zweifel waren schon nach wenigen Seiten verflogen: Dieses Buch gefällt mir so außerordentlich, dass ich mich trotz fehlender Kenntnisse manch behandelter physikalischer Sachverhalte entschlossen habe, diese Buchbesprechung zu verfassen.

Im ersten Teil werden die für Anwendungen wichtigen Typen von Differentialgleichungen mit den passenden Lösungsverfahren zusammengestellt – aber nicht theoretisch abgehandelt, sondern in jedem Fall an Beispielen aus der Physik hergeleitet. Das geht los mit den einfachen Gesetzmäßigkeiten des radioaktiven Zerfalls, der Fallbeschleunigung und Newtons Gesetz zum Wärmeausgleich. Freie und erzwungene, gedämpfte und ungedämpfte Schwingungen, der elektrische Schwingkreis und die schwingende Saite, die zur Wellengleichung führt, runden diesen Überblick ab. Stets werden die Gleichungen gelöst, und zwar Schritt für Schritt ohne Auslassung von Zwischenergebnissen, Anfangsbedingungen eingearbeitet und die verschiedenen Fälle inhaltlich diskutiert. So war es mir ohne große Schwierigkeiten möglich, alle Überlegungen und Rechnungen nachzuvollziehen. Da brauchte ich auch nur selten im Anhang nachzulesen, wo der Autor auf 16 Seiten die für seine Beispiele notwendigen Lösungsverfahren noch einmal systematisch zusammengestellt hat.

In weiteren vier Kapiteln – entsprechen den im Untertitel genannten Themen – zeigt Wolfgang Tschirk, wie Differentialgleichungen die gesamte Naturwissenschaft durchziehen. Um einen Eindruck von dieser Rundumschau zu vermitteln, will ich einen – längst nicht kompletten – Blick über seine Themen geben.

„Die Welt im Großen“ beginnt mit den Keplerschen Gesetzen und führt über Newton zu Einsteins Feldgleichungen, einschließlich des Tensor-Kalküls. Weiter werden die Begriffe Fluchtgeschwindigkeit, Schwarze Löcher und das Alter des Universums thematisiert. Aber der Autor kann nicht nur Gleichungen einleuchtend herleiten und lösen, sondern er beschreibt z. B. auch höchst anschaulich, welche Gedankenexperimente Einstein zur speziellen Relativitätstheorie geführt haben. Solch knappe, aber sehr klare Darlegungen auch zur historischen Entwicklung mancher Begriffe sind sehr lesenswert.

Im Abschnitt „Bilder der Natur“ werden u. a. die Fourier-Reihen für Wärmeleitung und die Maxwell-Gleichungen thematisiert. Aber auch biologische Prozesse wie Räuber-Beute-Systeme und Fragen der Fitness und Selektion werden auf Differentialgleichungen zurückgeführt.

Im Kapitel „Mensch“ geht es quasi querbeet durch verschiedene Disziplinen. Mit dem Lernen und Vergessen geht es los, über die Verbreitung von Infektionskrankheiten (SIR-Modell) und Fragen des Verkehrsflusses führt der Verfasser hin zu den Grenzen des Wachstums, wie sie der Club of Rome 1972 erstmals veröffentlicht hat.

Schließlich bringt der Autor in der „Welt im Kleinen“ Beispiele aus der Quantenphysik, die Radiokarbon-Datierung, die Schrödinger-Gleichung bis hin zu Schrödingers Abhandlung „Was ist Leben?“.

Tschirk schließt das Buch mit folgenden Sätzen: „… ist auch Entschuldigung für das vorliegende Buch angebracht, enthält es doch Gedanken zu vielen Themen, die sein Autor nicht beherrscht. Ich bitte um Nachsicht von Seiten derer, die sie beherrschen, und möchte einen mildernden Umstand anführen: Das alles Verbindende, die Differentialgleichungen – die sind entstanden, weil sich ein Naturphilosoph und ein Diplomat in Dinge eingemischt haben, die sie nichts angingen.“ (Und damit sind Newton und Leibniz gemeint.)

Und auch der Rezensent muss bekennen, dass er von manchen physikalischen Grundlagen, die zu den Differentialgleichungen führen, keine Kenntnisse hat, aber von der Darstellung überzeugt und begeistert ist. „Die Macht und Schönheit der Differentialgleichungen“ kann man in diesem Buch in der Tat erleben.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Oliver Roeder

Springer Verlag; 1. Aufl. 2020 Edition (31. Oktober 2020), Taschenbuch : 224 Seiten, 19,99 €

ISBN-10: 3662617277
ISBN-13: 978-3662617274

Fünfzig Rätsel aus den im Titel genannten Bereichen werden hier vorgestellt – und zwar solche, die nicht bereits in vielen anderen Rätselbüchern zu finden sind.

Das Buch enthält eine Sammlung von Problemen, die in einer Rätselecke auf der US-amerikanischen Website „FiveThirtyEight“ seit dem Jahr 2015 veröffentlicht worden sind. Die Aufgaben sind von Lesern eingesandt, die Lösungen vom Autor erstellt worden. Jedes Problem hat eine hübsche Einkleidung, eine Story – und auch bei den wenigen Fragestellungen, die mir aus anderen Quellen bekannt sind, ist das hier besonders originell gelungen.

Der Verlag schreibt: „Die einfachsten Rätsel erfordern bloß einen Geistesblitz, während Sie für die schwierigsten schon ein gewisses Geschick in Analysis und Wahrscheinlichkeitstheorie benötigen.“ Und wirklich: Das Niveau ist recht hoch, bei etwa einem Viertel der Probleme benötigt man mehr als elementare Mathematik. In Aufgaben aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung beispielsweise sind einige Kenntnisse über bedingte Wahrscheinlichkeiten hilfreich zu verwenden, beim letzten Problem werden Mehrfach-Integrale benötigt. Aber bitte nicht abschrecken lassen: Bei der Mehrzahl der Rätsel reichen doch elementare Kenntnisse der Mathematik aus, eher gefordert ist die Fähigkeit kreativen und logischen Denkens. Und man kann aus den Lösungen auch noch manches lernen, diese sind nämlich ausführlich und verständlich formuliert – und auch wieder amüsant auf den Zusammenhang mit der Story bezogen.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Jürgen Bokowski

Springer Spektrum Verlag; 1. Aufl. 2020 Edition (6. November 2020), Taschenbuch, 249 Seiten, 32,99 €

ISBN-10: 3662618249
ISBN-13: 978-3662618240

Der Autor, emeritierter Professor an der TU Darmstadt, wünscht sich in seinem Vorwort, „dass viele Leser große Teile des Textes verstehen, wobei sie sich so wohl fühlen sollten, wie sich Zoobesucher an Tieren erfreuen, die sie erstmalig sehen“. Und er fährt fort: „Mein Wunsch, Teile der Geometrie verständlich erklärt zu haben, mag nicht immer in Erfüllung gehen, aber ich habe jedenfalls versucht, das Niveau niedrig zu halten durch Verzicht auf Beweise und durch Unterstützung durch viele Zeichnungen, Modelle und Filme.“

Ich dachte bisher, dass ich einen guten Überblick über viele Gebiete der Geometrie habe. Dieses Buch hat mich eines anderen belehrt. In manchen Teilen des Buches stellt der Autor geometrische Objekte vor, die für mich neu waren – und das, obwohl diese auch schon gegen Ende des 19. Jahrhunderts z. B. von dem großen Geometer Felix Klein untersucht wurden.

Seit Studienzeiten (in den 60iger Jahren) sind mir zwar die Sätze von Pappus und Desargues aus der projektiven Geometrie bekannt, dass aber Verallgemeinerungen davon (sog. Punkt-Geraden-Konfigurationen mit n Punkten und n Geraden, auf denen jeweils k Punkte liegen) auch zu aktuellsten Forschungen und interessanten praktischen Anwendungen geführt haben, ist für mich eine überraschende Erkenntnis.

Im Weiteren werden kurz die platonischen und archimedischen Körper vorgestellt, bevor deren Analoga in höheren Dimensionen diskutiert werden. Insbesondere sind ausführliches Thema der vierdimensionale Würfel (Hyperkubus) und dessen verschiedene grafische Veranschaulichungen. Da ich mich mit diesen Fragen intensiv beschäftigt habe, haben mir die vielen Abbildungen zu den vierdimensionalen Verallgemeinerungen der anderen Körper auch zu einer gewissen Vorstellung verholfen.

Das kurze Kapitel über „Symmetrien und Permutationsgruppen“ setzt doch einige Kenntnisse voraus. Nach einer extrem kurzen Einführung des Begriffs „Gruppe“ werden vom Autor als Beispiele dafür die Symmetriegruppen des regulären Fünfecks, regulären Tetraeders, Würfels, Oktaeders und schließlich von Ikosaeder und Dodekaeder hergeleitet. Die Mathematik hierzu dürfte nur zu verstehen sein, wenn man mit dem Gruppenbegriff ein wenig vertraut ist . So notiert denn auch Bokowski selbst am Ende dieses Abschnitts: „Weitere Begriffe der Gruppentheorie wären wünschenswert  … Stop! Ich stelle erneut fest: Viele Teile der Mathematik sind nicht leicht zu vermitteln.“

Unbekannt sind mir die Inhalte aus den Abschnitten über „Zellzerlegte geschlossene Flächen“ und „Reguläre Karten“. So führe ich mir diese denn als unbedarfter Zoobesucher vor Augen. Trotz der vielen Abbildungen, teils Fotos von Modellen oder Screenshots von Computersimulationen, teils Zeichnungen, ist es schwer eine Anschauung davon zu bekommen. Und auch die Videos, die man leicht mit Hilfe von QR-Codes auf youtube ansehen kann, vermitteln teilweise eine ästhetischen Eindruck der komplexen Strukturen – das ist wohl auch die Absicht dahinter –, führen mich aber nicht zu einer tieferen Einsicht. Wer da noch weiter einsteigen will, dem empfiehlt Bokowski die kostenlosen Programme Cinderella und Blender.

Nach dem Studium seines Buches – zugegeben: in manchen Teilen nicht mit dem Ehrgeiz, alles genau zu durchdringen – meine ich, dass der Wunsch des Autors doch sehr hochgesteckt ist. Wer sich bereits mit dem jeweiligen Thema ein wenig befasst hat, der wird von den Ausführungen wahrscheinlich einen Gewinn haben. Wenn das nicht der Fall ist, dann setzt das beim Leser eine intensive Beschäftigung voraus, die nicht zu vergleichen ist mit einem Besuch im Zoo.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Philip Ording

Princeton Univers. Press; Illustrated Edition (5. Februar 2019), Englisch, 168 Seiten, 22,99 €

ISBN-10: 0691158835
ISBN-13: 978-0691158839

Der Held dieses feuilletonistischen Mathematikbuches ist die kubische Gleichung

\(x^{3}-6x^{2}+11x-6=2x-2\).

Die 99 Beweisvariationen liefern alle Aussagen über diese Gleichung und ihre Lösungsmenge. Versteht man die Gleichung als Polynomgleichung für ganze, reelle oder komplexe Zahlen und errät, dass 1 eine Lösung ist, so liefert die Polynomdivision durch \(x-1\), dass \(x=4\) die einzige weitere Lösung ist. Die erste Beweisvariation besteht denn auch in der Umformung zu \(x^{3}-6x^{2}+9x-4=0\) und der Feststellung \(x^{3}-6x^{2}+9x-4=(x-1)^{2}(x-4)\)

Es kann dem Autor also nicht darum gehen, durch Variationen des Beweises mehr Licht in die Struktur der Gleichung und ihrer Lösungsmenge zu bringen. Er nimmt die einzelnen Variationen vielmehr zum Anlass für diverse Anmerkungen zu Natur und Kultur der Mathematik.

Zu Beginn geht es mehr um die Präzision in der Beschreibung von zu beweisender Aussage und einzelnen Beweisschritten. Die unterschiedlichen Beweise betonen unterschiedliche Aspekte der Argumentation, verwenden unterschiedliche Darstellungsformen, gehen unterschiedlich detailliert auf verwendete Rechengesetze ein. Im Laufe des Buches thematisiert der Autor immer wieder die Frage des Stils beim Schreiben mathematischer Texte – laut Vorwort die zentrale Motivation für das ganze Buch¹.

Etliche Variationen illustrieren unterschiedliche Beweistechniken, wie zum Beispiel Variation 13 (Reductio ad absurdum), Variation 14 (Contrapositive), Variation 23 (Symmetry) und Variation 58 (Inventor’s Paradox). Letzteres besagt, dass es manchmal leichter ist, eine schärfere Aussage zu zeigen als das ursprüngliche Problem zu lösen.

Viele der Variationen sind eigentlich keine Variationen des Beweises, sondern Variationen der zu beweisenden Aussage. Hier ein Beispiel – Variation 5 (Puzzle):

Suppose that among four consecutive numbers, the product of the first three equals the third. What’s the fourth number?

Variation 7 (Found) ist der Scan einer Seite aus cardanos Ars Magna, in der 1545 zum ersten Mal die Lösungsformel für allgemeine kubische Gleichungen publiziert wurde.

Andere Variationen folgen dem Schema „im Stile von …“, wie zum Beispiel Variation 11 (Exam), Variation 34 (Medieval), Variation 43 (Screenplay) und Variation 81 (Doggerel).

Wieder eine andere Klasse von Variationen ist geometrischer Natur. Sei es, dass die algebraischen Terme als Volumina interpretiert werden wie in Variation 10 (Wordless), sei es, dass die Lösungen als Längen mit Zirkel und Lineal konstruiert werden wie in Variation 12 (Ruler and Compass), sei es, dass die Lösungen als Steigungen von Falzgeraden in Papierfaltungen produziert werden wie in Variation 39 (Origami).

Es gibt auch zwei Variationen, die mit Wahrscheinlichkeiten arbeiten: Variation 69 (Statistical) und Variation 78 (Probabilistic). Bezeichnenderweise liefern diese Beweisvarianten nur Abschätzungen für die Lösungen.

Wollte man die Variationen als Mathematiker nach ihrem mathematischen Gehalt und der Angemessenheit der Darstellung beurteilen, fiele das Urteil bisweilen harsch aus. Da werden für das eigentliche Problem unnötige Annahmen aus dem Hut gezaubert, um die Methode der Wahl überhaupt anwenden zu können und damit grobe Ergebnisse erzielt – besonders deutlich in Variation 69 (Statistics). Oder es wird mit Kanonen auf Spatzen geschossen, wie in den Variationen 61 (Modern) und 64 (Research Seminar). Aber eine solche Kritik wäre verfehlt. Der Autor gibt zu jeder Variation eine kurze Erläuterung, in der ein Phänomen beschrieben wird, das man anhand der gegebenen Variation illustrieren kann. Dieses Phänomen ist oft die eigentliche Motivation der entsprechenden Variation. Das Phänomen kann mathematischer Natur sein (zum Beispiel eine Beweistechnik). Es kann aber auch eine in der Mathematik übliche Lehrform (Variation 64) sein oder eine in der Community übliche Unart wie in Variation 94 (Authority), in der der proof by intimidation beschrieben wird. Es gibt auch Variationen, die ganz offensichtlich in erster Linie dazu da sind, einen geschichtlichen Exkurs unterzubringen, wie Variation 71 (Blog) mit seinen Erläuterungen zur persisch-arabischen Mathematik. Nicht zuletzt findet man Variationen, die den Humor des Autors widerspiegeln wie Variation 66 (Hand Waving). Hier sehen wir den Autor, wie er mit dem Finger eine kubische Kurve in die Luft malt. Die Erläuterung zu dieser Variation geht vom proof by hand waving aus, der einem in manchen Vorträgen begegnet, und spannt den Bogen zur Kognitionswissenschaft.

Insgesamt ist es Philip Ording gelungen, mit der kubischen Gleichung \(x^{3}-6x^{2}+11x-6=2x-2\) einen roten Faden in sein mathematisches Kaleidoskop einzuweben, der die 100 Kalendergeschichten – Variation 0 (Omitted) wird auch erläutert – zu einer Einheit macht. Das Buch ist unterhaltsam, informativ und spricht Profis wie Laien an. Ich kann es nur empfehlen.

 ¹ Ording nennt das Buch Exercises in Style des französischen Schriftstellers und Mathematikliebhabers Raymond queneau (1903–1976) als Vorbild. Da es erstaunlicherweise in der Literaturliste von 99 Variations on a Proof fehlt, hier die Erscheinungsdaten: Französisches Original: Exercises de Style, Gallimard 1947. Englische Übersetzung: Exercises in Style, Alma Classics, 2013. Deutsche Übersetzung: Stilübungen. Suhrkamp, 1961.

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Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Januar 2021, Band 68, S. 171-173.
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Joachim Hilgert (Paderborn)