Leseecke

Jürgen Brater

Yes Publishing (20. September 2022); Taschenbuch, 160 Seiten, 9,99 €

ISBN-10: 3969051789
ISBN-13: 978-3969051788

Der Verfasser ist Mediziner und hat zahlreiche populäre Bücher aus diesem Bereich veröffentlicht. Offensichtlich aber ist die Mathematik sein Hobby, nein, nicht Mathematik, sondern – wie der Untertitel richtig beschreibt – die Beschäftigung mit Zahlen, genauer nur den natürlichen Zahlen, also von 1, 2, 3 und so weiter.

Es handelt sich also nicht um ein Fachbuch. Jürgen Brater geht auch in keiner Weise systematisch vor, sondern stellt in weitgehend willkürlicher Reihenfolge Eigenschaften dieser Zahlen vor. So tauchen Prim- und Mirp-, Quadrat- und Kubik- sowie Dreieckszahlen auf und es kommen vollkommene, abundante und defiziente, befreundete und fröhliche Zahlen vor.

Beliebte Themen, die häufig in der populärwissenschaftlichen Literatur dieses Genres zu finden sind, fehlen auch in diesem Buch nicht.  So werden unter anderem das Geburtstagsparadoxon, das Benford-Gesetz und die Collatz-Folge (auch 3n+1-Folge genannt) vorgestellt. Dazu gehört selbstverständlich auch die Legende mit den Reiskörnern auf dem Schachbrett, die sich der Erfinder des Schachspieles als Belohnung wünscht. Oder die Anekdote vom jungen Schüler Carl Friedrich Gauss, der die Summe der Zahlen von eins  bis hundert ganz schnell im Kopf  berechnet hat, während der Lehrer glaubte, seine Klasse mit dieser Aufgabe für längere Zeit beschäftigt zu haben.

Der mittelalterliche Mathematiker Fibonacci wird mit seiner nach ihm benannten Zahlenfolge erwähnt und gezeigt, wie man diese aus der Anzahl der sich von Generation zu Generation vermehrenden Kaninchen erhält. Verblüffend auch die Geschichte mit dem Seil, das erst straff um den Äquator herum gespannt und danach um einen Meter verlängert wird. Wie hoch, fragt der Autor, würde es dann rund um den Äquator gleichmäßig vom Boden abstehen.

Das alles wird pro Beispiel auf ein oder höchstens zwei Seiten dargeboten. Da ist es nicht verwunderlich, dass oft Erklärungen fehlen – der Text sich auf die bloße Beschreibung des Phänomens beschränkt. Dafür erzählt der Autor mehr oder weniger interessante Anekdoten über Mathematik und die Menschen, die sie gemacht haben.  Auch auf die Geschichte der Zahlzeichen und des Rechnens geht der Verfasser ein. Wir erfahren so in aller Kürze, wie Babylonier, Ägypter und Römer gerechnet haben.

Fast auf jeder Seite schiebt er eine witzige Denksportaufgabe oder ein kniffliges Rechenrätsel ein – alle Lösungen findet man auf ca. 20 Seiten im Anhang. Es ist zu hoffen, dass nicht zu schnell auf diese zurückgegriffen wird.

Kurz zusammengefasst: es liegt hier ein wahres Sammelsurium an von einander unabhängigen kleinen Themen vor. Wegen der Kürze der einzelnen Abschnitte ist das vielleicht gut geeignet für alle, die zwar grundsätzlich ein Interesse an Mathematik haben, sich aber nicht mit einem längeren Text beschäftigen wollen. Vielleicht wird die eine oder der andere auch dazu angeregt, nach einer Erklärung für das Ergebnis zu suchen.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Norbert Lossau

Westkreuz-Verlag GmbH; 1. Edition (1. Oktober 2021), 330 Seiten, 19,90 €

ISBN-10: 3944836537
ISBN-13: 978-3944836539

Einen Thriller haben wir in der Tat hier vor uns. Typische Elemente dieser Literatur-Gattung kommen vor: Mehrere gewaltsam zu Tode Gekommene, Entführungen, ein Terroranschlag, ein weltweiter Geheimbund, dessen Führer zugleich der Chef des amerikanischen Geheimdienstes CIA  ist, ein Teilchenbeschleuniger und die Suche nach einer „Weltformel“. Dies ist der erzählerische Rahmen, in dem die beiden Hauptfiguren des Romans agieren. Die Feuermondnacht, eine spektakuläre Veranstaltung auf Hawaii, die dem Roman den Titel einbrachte, spielt eigentlich nur eine Nebenrolle.

Im Zentrum stehen zwei Wissenschaftler, Naomi und Walter. Naomi ist Physikerin am größten Teilchenbeschleuniger der Welt in Potsdam. Ihr Chef, der Leiter des Forschungszentrums, hat eine größenwahnsinnige Idee, er will mit einem Experiment die letzten offenen Fragen der Entstehung der Welt beantworten. Damit aber riskiert er nach Meinung anderer Fachleute den Untergang des Universums. Das will Naomi verhindern.

Der andere Protagonist des Romans, Walter aus New York, ist Computerspezialist. Er ist zufällig an eine alte Schrift des Ludolph van Ceulen (der im 16. Jahrhundert die Kreiszahl \(\pi\) auf 35 Stellen genau berechnete) geraten, die beschreibt, dass in der Reihenfolge der Nachkommastellen dieser Zahl eine Anleitung für eine Weltformel enthalten sein soll. Mit Hilfe großer Supercomputer und neuronaler Netze macht sich Walter daran, dieses Rätsel zu lösen. Das allerdings wissen die „Kreistempler“, so heißen die Mitglieder des weltweiten geheimen Ordens, zu verhindern: in allen wissenschaftlichen Instituten der Welt verstecken sich ihre Mitglieder als Pförtner und helfen das Geheimnis zu hüten, von dem sie überzeugt sind, das dessen Entschlüsselung zum Weltuntergang führt.

Auf ziemlich abenteuerlichen Wegen treffen Naomi und Walter aufeinander und versuchen gemeinsam ihre Ziele zu erreichen. Ob sie mit ihrem waghalsigen Unternehmen Erfolg haben und welches Ende der Roman nimmt, bleibt bist fast zum Schluss des Buches offen.

Die Geschichte ist spannend erzählt, durch die naturwissenschaftlich knappe Sprache meint man fast, einen Tatsachenbericht vor sich zu haben. Das verwundert nicht, denn der Autor ist promovierter Physiker und Wissenschaftsjournalist, der mehrfach mit Preisen für seine Veröffentlichungen ausgezeichnet wurde. So verlieh ihm 2019 die Deutsche Mathematiker-Vereinigung, auf deren Website in der „Leseecke“ diese Rezension erscheint, den Journalistenpreis für seinen Artikel über Gravitationswellen. Das ist wohl der Grund, warum die DMV um eine Besprechung dieses Buches gebeten wurde. Mathematik kommt leider in diesem Buch nicht vor, auch wenn im Nachwort als letzter Satz die dpa-Meldung zitiert wird: „Schweizer Forscher haben mit 62,9 Billionen Stellen genaueste Berechnung der Kreiszahl \(\pi\) vorgelegt.“

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Paul J. Nahin

Princeton Univers. Press (19. Oktober 2021), 320 Seiten

ISBN-10: ‎0691206074
ISBN-13: ‎978-0691206073 

In den ersten Wochen des Mathematikstudiums lernt man, dass die unendliche Reihe \(1+ \frac14 + \frac19 +\frac1{16} +\cdots\) über die reziproken Quadratzahlen einen endlichen Wert hat (sie „konvergiert“). Der hierbei benutzte Teleskopsummentrick zeigt auch, dass der Wert der Reihe zwischen 1 und 2 liegt. Mit dem Problem, ihn genau zu bestimmen, hatten sich im 17. Jahrhundert bereits die Bernoullis in Basel beschäftigt, weshalb es als das Basler Problem in die Mathematikgeschichte eingegangen ist. Es war Leonhard Euler, der es 1734 gelöst hat:
\[
1+ \frac14 + \frac19 +\frac1{16} +\cdots = \frac{\pi^2}6 .
\]

Wenn Sie solch einen Zusammenhang faszinierend finden (worauf Mathematikstudenten fast zwei Semester warten müssen) und fit in Integralrechnung sind, ist Paul Nahins In Pursuit of Zeta-3 das richtige Buch für Sie.

Die oben beschriebene Reihe ist ein Spezialfall einer ganzen Schar von Reihen, die von einem reellen Parameter \(s>1\) abhängen, nämlich
\[
\zeta(s) = 1+ \frac1{2^s} + \frac1{3^s} +\cdots.
\]
Dies ist die Eulersche Zetafunktion (\(\zeta\) ist der griechische Buchstabe zeta), und die Bedingung \(s>1\) sichert die Konvergenz der Reihe. Euler gelang es nicht nur, \(\zeta(2)\) zu berechnen, sondern auch \(\zeta(4)\), \(\zeta(6)\) etc.; das Ergebnis ist, dass \(\zeta(2n)\) ein rationales Vielfaches von \(\pi^{2n}\) ist.

Was ihm nicht gelang (und auch niemandem sonst in den vergangenen knapp 300 Jahren), ist, einen geschlossenen Ausdruck für \(\zeta(3)\) zu finden; eine numerische Approximation für diese Zahl ist \(1.2020569\dots\). Das ist es, was im Untertitel The World's Most Mysterious Unsolved Math Problem genannt wird (im Text zu most puzzling herabgestuft). Ich würde diese Einordnung nicht unbedingt teilen und es eher mit Professor Pietsch aus Jena halten, der über eine andere Konstante sinngemäß geschrieben hat, keiner brauche ihren Wert, aber jeder möchte ihn wissen.

Nun ist es so, dass \(\zeta(3)\) im Buch nicht ganz die Hauptrolle spielt, denn viel eher steht im Fokus des Autors, grundsätzliche Dinge über die Zetafunktion, die Gammafunktion, Fourier-Reihen und andere Preziosen der klassischen Mathematik des 18. und 19. Jahrhunderts vorzustellen, was in der Riemannschen Funktionalgleichung der Zetafunktion kulminiert.

Dabei werden viele höchst erstaunliche Formeln hergeleitet, darunter einige, in denen \(\zeta(3)\) vorkommt; z.B.
\[
h(1) + \frac{h(2)}{2^2} + \frac{h(3)}{3^2} + \frac{h(4)}{4^2} + \cdots = 2\zeta(3),
\]
wobei \(h(n)= 1+1/2+ \cdots+ 1/n\) die \(n\)-te harmonische Zahl bezeichnet. In den Text eingestreut sind eine Reihe von historischen Bemerkungen, die das Buch über den rechnerischen Aspekt hinaus interessant gestalten.
Was \(\zeta(3)\) angeht, hätte ich mir aber gewünscht, dass wenigstens etwas zum Beweis des Satzes von Apéry (1979) ausgeführt würde, wonach \(\zeta(3)\) garantiert keine rationale Zahl ist.

Das technische Hilfsmittel bei all diesen Untersuchungen ist die Integralrechnung. Um den Darlegungen zu folgen, sollten Sie mit den üblichen Integrationstechniken wie Substitutionsregel, partielle Integration, Partialbruchzerlegung bestens vertraut sein. Allerdings ist der Clou bei fast jeder Rechnung, eine Vertauschung von Grenzprozessen vorzunehmen; zum Beispiel wird oft benutzt, dass das Integral über eine unendliche Summe von Funktionen \(f_1+f_2+f_3+\cdots\) (angeblich) die Summe der Einzelintegrale ist. Der Autor, emeritierter Professor für Elektrotechnik, wird zwar nicht müde, auf dieses Problem hinzuweisen, wendet solche „Regeln“ aber stets ohne viel Federlesens und ohne Begründung an, wie es Physiker und Ingenieurinnen tagtäglich tun (für Mathematiker beginnt hier die Arbeit). Natürlich weiß er sich hier im Einklang mit Euler, Fourier und anderen, die das ebenfalls getan haben, und nachfolgende Generationen haben ihre Schritte rechtfertigen können. Euler, und leider auch Nahin, wenden aber auch ausgemachten Unsinn wie \(1+(-1)+1+(-1)+\cdots = 1/2\) an.

Wer über das notwendige Handwerkszeug aus den Analysis-Vorlesungen der ersten beiden Semester verfügt und tiefer in diese Materie eindringen möchte, kann rigorose Darstellungen der Thematik dieses Buches z.B. bei Peter Duren, Introduction to Classical Analysis, Amer. Math. Soc. 2012, oder Max Koecher, Klassische elementare Analysis, Birkhäuser 1987, nachlesen.

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)

Thomas de Padova

Carl Hanser Verlag, München 2021, 384 Seiten

ISBN: 978-3-446-26932-3, 25 €
ISBN ebook:978-3-446-27009-1, 18,99 €

„Es lohnt sich, sich mit der überall versteckten Mathematik zu beschäftigen. Und zwar nicht nur, weil sie nützlich ist, sondern weil sie den Geist anregt. Weil sie die Wirklichkeit in komprimierter Form abzubilden imstande ist. Weil sich ungeahnte Chancen daraus ergeben, die Mathematik zu einer Inspirationsquelle des eigenen Denkens zu machen“. Diese Worte stammen aus dem Vorwort des Buches „Alles wird Zahl“, welches Thomas de Padova seinem Werk vorausgestellt hat. Man erahnt daraus, dass hier jemand spricht, der genuin und schon sehr lange „Mathematik-affin“ ist, und gleichzeitig ein gutes Gespür für Sprache besitzt. Betrachtet man die Bücher, die Thomas de Padova bisher geschrieben hat, so ist ihnen eines gemein: sie betten wissenschaftliche Entwicklungen in ihren jeweiligen kulturellen und historischen Kontext ein. So war der Sprung von seinen bisherigen Werken, der Physik, von Einstein, Leibniz und Newton hin zu den Renaissance-Mathematikern Regiomontanus, Stifel, Fibonacci und Cardano gar nicht weit. Herr de Padova schildert kenntnisreich, kurzweilig und doch instruktiv, wie die Gelehrten des 15. Jahrhunderts in einer Zeit des Umbruchs binnen weniger Generationen in der Mathematik einen Fortschritt erzielten, der seinesgleichen in der Fachgeschichte sucht. Die Begeisterung für die Antike, der sich sprunghaft entwickelnde Fernhandel, die Erfindung des Buchdrucks und nicht zuletzt auch die Dynamik, die auf die Eroberung Konstantinopels durch die Osmanen 1453 folgte, sie alle bereiteten den Boden, auf dem die Mathematik vortrefflich gedeihen konnte. Nicht immer linear, wie man aus dem langen Nebeneinander von römischen und arabisch-indischen Ziffern lernt; aber doch wirkgewaltig. Die Erfindung der Variablen x, der Zeichen + und –, die erste mathematische Formelsprache – dies sind Dinge, die uns von klein auf vertraut sind, deren Ursprung sich aber im Nebel der Zeiten verliert und über den wir nur wenig wissen – ein klares Versäumnis.

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Ethan D. Bolker, Maura B. Mast

AMS/MAA Press 2021, XX + 342 Seiten

ISBN: 978-1-4704-6134-8, 73,11 €
e-Book ISBN: 978-1-4704-6289-5

Bei vielen der gegenwärtig in unserer Gesellschaft diskutierten Themen ist man ohne ein Mindestmaß an mathematischem Verständnis bei der Meinungsbildung vollständig darauf angewiesen, Einschätzungen von vertrauenswürdigen Quellen zu übernehmen. Diese zu identifizieren ist nicht leicht, und auch vertrauenswürdige Quellen unterscheiden sich in ihren Einschätzungen. Das hier zu besprechende Buch soll und kann einen kleinen Beitrag zur Stärkung der intellektuellen Autonomie von Nicht-Experten leisten. Thema ist der Umgang mit Zahlen, die zur Beschreibung und Beurteilung realer Vorgänge eingesetzt werden.

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