Leseecke

Gritzmann, Peter

C.H.Beck; 1. Edition (15. Februar 2024); 217 Seiten; 22 €

ISBN-10: 3406814255
ISBN-13: 978-3406814259

„Manipulation überall. … Davon handelt dieses Buch jedoch nur am Rande. Vielmehr befasst es sich mit den Überforderungen durch scheinbar logische und richtige Schlüsse, die bei genauerer Betrachtung aber keineswegs logisch und richtig sind.“ So formuliert der Verfasser, seit 2020 pensionierter Mathematik-Professor in München, zu Beginn seines Vorwortes. Kann man mit solchen doch sicher wenigen Ausnahmen – so denke ich – ein Buch füllen? Man kann, wie Gritzmann in über 20 Kapiteln aufzeigt.

Bei einem regelmäßigen Gesundheitscheck lassen Sie auch einen Früherkennungstest auf eine seltene Krankheit durchführen. Der Test hat eine 99-prozentige Sicherheit, liefert also nur in einem Prozent aller Fälle ein falsch positives Ergebnis. Sie erhalten ein positives Ergebnis. Müssen Sie jetzt das Schlimmste befürchten? Wie der Verfasser Ihnen zeigt, können Sie ganz beruhigt sein: weil die Krankheit sehr selten ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie wirklich erkrankt sind, sehr gering – trotz der hohen Treffsicherheit des Testes.

Wahlen gibt es in verschiedenen Varianten, als Verhältnis- oder Mehrheitswahl, wie sie beide in Deutschland vorkommen. Eine absolute Mehrheitswahl mit Stichwahl gibt es bei der Präsidentenwahl in Frankreich. Eine Punktewahl gibt es beispielsweise beim European Song Contest. Wie die Auswahl des Wahlsystems den sogenannten „Wählerwillen“ beeinflusst, zeigt der Verfasser zum einen an konstruierten Konstellationen, an denen die Unterschiede besonders deutlich werden, aber auch an der realen deutschen und amerikanischen Situation. Die Problematik einer Abstimmung in einem Bürgerentscheid etwa über den Bau eines Flughafens oder Windparks wird klar, wenn zu entscheiden ist, wer daran teilnehmen darf: je nach Entfernung des umstrittenen Objekts wird die Ablehnung oder Zustimmung unterschiedlich sein. So kann also die Auswahl der möglichen Wahlberechtigten das Ergebnis des Entscheids beeinflussen.

Nicht fehlen dürfen natürlich Paradoxien, also scheinbar sich widersprechende Aussagen, die aber tatsächlich wahr sind. Das Braess-Paradoxon ist ein beliebtes Beispiel. Worum handelt es sich dabei? Ist es möglich, dass der Bau einer zusätzlichen Straße, die den Verkehrsfluss verbessern soll, diesen dann sogar verschlechtert? Dass das tatsächlich der Fall sein kann, beschreibt der Verfasser ausführlich an erfundenen und realen Beispielen.

Dass mit der unterschiedlichen Bildung von Durchschnittswerten, die rechnerisch völlig korrekt sind, aber doch manipulativ Interpretationen hervorgerufen werden können, ist ein weit verbreitetes Phänomen: zum Beispiel kann eine Firma wahrheitsgemäß behaupten, dass der Durchschnittspreis ihrer Ware in allen Kategorien gesunken ist. Dabei haben sich die einzelnen Preise gar nicht verändert, allein durch Wechsel einer Ware von einer zur anderen Kategorie ist der Effekt erreicht worden. Auch hier steckt ein Paradoxon dahinter, das Will-Rogers-Phänomen. Dieses „kann aber auch zu potentiell lebensbedrohlichen Fehlentscheidungen führen“, wie medizinische Studien zeigen. „Statistisch verbessern sich somit die Lebenserwartungen beider Gruppen einfach nur, weil die Krankheit früher erkannt wird.“ Daher müssen solche Effekte beachtet und vermieden werden.

Schindluder kann man auch treiben mit Veränderungsraten, gezeigt hier an Inflationsraten in Deutschland. Eine Aussage wie „… verlangsamte sich die Abnahme des Wachstums der Staatsverschuldung“ ist selbst für den kritischen Bürger schwer verständlich und wird hier (ohne mathematische Fachsprache: der Begriff der „Ableitung“ wird nicht benutzt) analysiert.

„Denn so, wie es typische optische Täuschungen gibt, gibt es auch logische, auf die wir nur zu leicht hereinfallen. Diesen wollen wir auf den Grund gehen.“ Das macht der Verfasser an weiteren Themen in lockerer, teils amüsanter und stets überzeugender Weise verständlich. Vielleicht hilft uns das, manche Denkfehler künftig zu vermeiden – aber wir sollten nicht zu sicher sein, denn „Der gesunde Menschenverstand ist weit beschränkter und weit anfälliger für Täuschungen, als uns bewusst und sicherlich als uns lieb ist.“ Wer daher noch gründlicher vorgehen will, findet in den Anmerkungen weitere Literatur und Internetadressen.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Ian Stewart

Rowohlt Taschenbuch; 1. Edition (13. Februar 2024); Taschenbuch, 432 Seiten; 18 €

ISBN-10: ‎3499009307
ISBN-13: ‎978-3499009303

Ian Stewart „ist der beliebteste Mathematik-Professor Groß-Britanniens“, so heißt es im Buch – und das liegt an seinen vielen populärwissenschaftlichen Veröffentlichungen.

In diesem Taschenbuch befasst er sich mit einer Reihe technischer Errungenschaften, die uns im Alltag umgeben, die aber die meisten Menschen nicht an Mathematik denken lassen. Denn es wird – wie er schreibt – „die Bedeutung der Mathematik in unserer heutigen Zeit leicht unterschätzt, weil fast alles, was sie leistet, im Verborgenen geschieht.“

Einen Teil dieser verborgenen Schätze will der Verfasser in seinem Buch ans Licht bringen. Auch wenn man nicht sehr viel von Mathematik versteht, lohnt es sich, darauf einen Blick zu werfen. Stewart gelingt es meistens, die mathematischen Ideen so zu präsentieren, dass sich auch ein Laie die Funktionsweise vorstellen kann. In seinen Ausführungen zeigt er die Vielfalt der Mathematik. Dass Mathematik so verblüffend nützlich sein kann, ist für ihn in ihrer Schönheit, Allgemeingültigkeit und Übertragbarkeit begründet. Dabei hatte bei der Entwicklung mancher abstrakter Konzepte etwa aus der Topologie, der algebraischen Geometrie oder der Zahlentheorie niemand eine praktische Anwendung vor Augen. „Motivation für diese Entdeckungen bzw. Erfindungen war menschliche Neugier“. Um so überraschender, dass solche Theorien dann Jahre, Jahrzehnte oder gar Jahrhunderte später praktische Anwendung fanden.

In jedem Abschnitt des Buches stellt der Verfasser eine solche praktische Anwendung vor und offenbart die ihr zugrundeliegende Mathematik. Eine kennt wohl jeder aus eigener Erfahrung: ein Navigationsgerät, allgemein liebevoll als Navi bekannt, das heute wohl in jedem Auto installiert ist. Hinter diesem Gerät steckt Mathematik aus verschiedenen Bereichen der Geometrie und der mathematischen Physik. Zunächst einmal muss man die Bahnen berechnen können, auf denen die Trägerraketen die Satelliten in den Erd-Orbit bringen, ebenso die Umlaufbahnen der Satelliten selbst, die das Global Positioning System (GPS) beherbergen. Diese müssen so platziert sein, dass an jedem Punkt der Erde zu jedem Zeitpunkt mindestens 6 Satelliten zu sehen sind und deren Signale vom Navi im Auto empfangen werden können. Geometrie und Trigonometrie sind notwendig, um den Standort des Autos zu berechnen. Schließlich verwendet die Software die Gleichungen der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie, die wegen der hohen Geschwindigkeit der Satelliten und des Einflusses der Erdgravitation für die genaue Ortsbestimmung nötig sind. (Albert Einstein würde staunen, wie seine Entdeckungen heute in jedem Auto den Menschen den Weg weisen.) Die optimale Route findet das GPS schließlich mit kombinatorischen Verfahren, die denen des „travelling salesman problem“ („Problem des Handlungsreisenden“) ähneln. Und all das passiert im Navi in einem kleinen Chip.

Ähnlich bekannt ist heutzutage vielen die Buchstabenkombination JPG, die ein bestimmtes Format von Foto-Dateien kennzeichnet. Digitalkameras oder Smartphones speichern Fotos in der Regel in diesem Format ab. Da die Aufnahmegeräte heute eine sehr hohe Auflösung haben, also aus sehr vielen Bildpunkten (Pixeln) bestehen, würde ein Foto einen sehr großen Speicherplatz beanspruchen, wenn die digitalen Foto-Daten nicht zuvor reduziert werden. Man spricht von Datenkompression. Eine weit verbreitete Methode erfolgt nach dem JPEG-Standard. In fünf Schritten wird das Bild komprimiert, dafür braucht man diskrete Fourier-Analyse (im 19. Jahrhundert entwickelt), Algebra und Codierungstheorie (aus dem 20. Jahrhundert). Und auch hier ist die gesamte Mathematik in die Software der Kamera integriert, die die Daten in Sekundenbruchteilen komprimiert, bevor sie auf die Speicherkarte geschrieben werden.

Andere der behandelten technischen Leistungen sind weit weniger bekannt. So erfahren wir etwa, wie mit topologischen und graphentheoretischen Hilfsmitteln eine effiziente Organisation von Nierentransplantationen erreicht werden kann. Um einen Einblick in dieses Verfahren zu bekommen, entwickelt der Autor für uns die Methode, mit der Leonhard Euler im 18. Jahrhundert das Königsberger Brückenproblem löste. Damit habe Euler quasi „zwei wichtige Gebiete der Mathematik aus der Taufe gehoben“, nämlich „die Graphentheorie, in der es um Punkte geht, die durch Linien verbunden sind“ und „die Topologie, die manchmal auch als Gummilaken-Geometrie bezeichnet wird“. In den knapp 300 Jahren danach haben sich daraus große mathematische Disziplinen entwickelt, mit denen auch das oben genannte Organisationsproblem gelöst werden konnte.

Warum Stewart die historische Entwicklung unseres Zahlensystems von den natürlichen bis hin zu den komplexen Zahlen, vom Zahlenstrahl hin zur Zahlenebene, sehr ausführlich und anschaulich darstellt, wird bei zwei weiteren Anwendungsbereichen aufgeklärt. Die komplexen Zahlen erweisen sich in der Elektrotechnik als in hohem Grade nützlich. Allerdings sind die Erklärungen dazu für technische Laien nicht ganz einfach zu verstehen. Weniger noch wird man die Einzelheiten nachvollziehen können, wenn es um den vorteilhaften Gebrauch der komplexen Zahlen bei der Schrödingergleichung und der Quantenmechanik geht. Die Erweiterung der Menge der komplexen Zahlen gelang dem irischen Mathematiker William Hamilton in der Mitte des 19. Jahrhunderts: diese Quaternionen genannten, quasi vierdimensionalen Zahlen werden heute bei der Herstellung computer-animierter Filme verwendet. Die Beschreibung der dabei verwendeten Methoden verlangt beim Lesen allerdings ein gutes Vorstellungsvermögen. Noch abstrakter wird es bei dem Abschnitt zu neueren Entwicklungen der Topologie. Zwar spricht der Autor von „einem rasant wachsenden Themenfeld, das als angewandte Topologie bekannt ist“, er dürfte aber mit dem dargestellten Konzept der Homologiegruppe wohl viele überfordern.

Ein weiteres der zahlreichen Themen dreht sich um die theoretische Modellierung des Magnetismus. Hier gelingt dem Autor eine wunderbar anschauliche Erklärung der physikalischen Grundlagen des sogenannten Ising-Modells. Und man kann wieder nur staunen, als wie hilfreich sich diese Theorie in Verbindung mit Methoden der fraktalen Geometrie in jüngster Zeit beim Verständnis des Schmelzens des arktischen Eises und damit des Klimawandels erweist.

In dieser Besprechung können nur Schlaglichter auf die von Ian Stewart aus dem Verborgenen geholte Mathematik geworfen werden. Es lohnt sich auf jeden Fall, selbst nach den Schätzen mit den hier versammelten Beispielen zu graben.

Eine Fassung dieser Rezension erschien am 22.4.2024 auf spektrum.de.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Heinz Klaus Strick

Springer; 1. Aufl. 2023 Edition (7. November 2023); Taschenbuch, 424 S.; 29,99 €

ISBN-10: 3662669056
ISBN-13: ‎978-3662669051

Mathematik aus Indien oder China? Dazu fällt mir spontan doch gar nichts ein. Dabei halte ich etwas auf meine mathematik-historischen Kenntnisse. Doch schon beim Überfliegen des Inhaltsverzeichnisses muss ich feststellen, dass ich nicht einmal die Namen der meisten hier beschriebenen Mathematiker (es sind wirklich nur Männer) gekannt – geschweige denn, etwas von ihren Leistungen gehört oder gelesen habe. Aber da bin ich nicht der einzige, wie ich in der Einleitung des Verfassers lesen kann: „Unser heutiges Bild von Mathematik ist geprägt von der Entwicklung des Fachs auf unserem europäischen Kontinent. Andere Kulturen spielten und spielen in unserem Bewusstsein kaum eine Rolle.“

Schon der Titel des Buches „Geschichten aus der Mathematik“ zeigt, dass es dem Verfasser nicht um eine systematische Darstellung der Geschichte des Fachs geht. Vielmehr wählt er wichtige Wissenschaftler eines Landes oder einer Epoche aus und beschreibt ihre Herkunft und ihren Werdegang, bevor er ihre Leistungen recht ausführlich vorstellt. Diese sind durch ihre Schriften überliefert und enthalten in der Regel umfangreiche Aufgabensammlungen aus den Bereichen Arithmetik, Algebra und Geometrie. Strick erläutert den Aufbau der Sammlungen, gibt den Inhalt der Kapitel wieder und wählt typische Aufgaben aus, die er mit Lösungen und Grafiken ergänzt. Der Titel darf erwartungsvolle Leserinnen oder Leser nicht in die Irre führen – sehr viele „Geschichten“ im herkömmlichen Sinn werden nicht präsentiert – obwohl die hier skizzierten Lebensläufe (insbesondere der europäischen Mathematiker) auch dafür sicher Anlass böten. Der größte Teil des Buches besteht aus den historischen Aufgaben mit den Lösungen des Verfassers.

Die Zeit zwischen 500 und 1200 n. Chr. – Mittelalter in Europa – hat in eben diesem Teil der Welt keine bemerkenswerten Vertreter der Mathematik hervorgebracht – ganz anders offensichtlich in Asien: in China, Indien und im Vorderen Orient. Über die wissenschaftliche Entwicklung in der muslimischen Welt (vor allem in Persien) hat der Autor in seinem Buch „Mathematik – einfach genial“ bereits berichtet. Hier widmet er sich China und Indien, jeweils sechs Wissenschaftler aus der Zeit vom 3. bis 13. Jahrhundert bringt er uns näher. Man staunt, dass schon im 5. Jahrhundert ein Chinese die Zahl π auf sieben Dezimalen genau berechnet hat. Er nutzte die Methode der einbeschriebenen Vielecke, begann vermutlich mit einem Sechseck und muss demnach „die Seitenlänge eines regelmäßigen 12.288-Ecks berechnet haben – eine aus heutiger Sicht unglaubliche Rechenleistung!“. Und der indische Mathematiker Madhava schaffte es im 14. Jahrhundert sogar auf elf Dezimalen. Und dann kommt doch noch ein mir bekannter Inder vor, der berühmte, geniale Srinivasa Ramanujan, der allerdings erst Anfang des 20. Jahrhunderts wirkte. Vielleicht hat er von seinen Vorvätern die rätselhafte Gabe geerbt, komplexe Formeln auf intuitive und offenbar nicht rationale Weise zu finden.

Strick formuliert mehrfach sein Erstaunen darüber, welche mathematischen Ideen und Methoden dort entwickelt worden sind, die teils Jahrhunderte später in Europa wieder entdeckt wurden. Beispielsweise wurden im Zusammenhang mit Kalenderrechnungen lineare Gleichungssysteme gelöst und die Modulo-Rechnung entwickelt. Diese Methode wurde von Euler 500 Jahre später wieder entdeckt und die allgemeine Theorie dazu, heute mit dem Begriff „chinesischer Restsatz“ verbunden, schließlich von Gauß abgeschlossen.

Ob ein Austausch von Wissen zwischen China und Indien und dann weiter auch mit den vorderasiatischen Mathematikern stattgefunden hat, lässt sich nicht im Detail nachweisen – wie der Verfasser schreibt. So bleibt es auch offen, ob und wie umfangreich solche Kenntnisse schließlich nach Europa gelangt sind. Unser Erdteil tritt in die Geschichte der Mathematik erst wieder ein, nachdem durch den Kontakt zu den arabischen Gelehrten die antike griechische Mathematik und die Abhandlungen der islamischen Wissenschaftler in Europa bekannt werden.

Der erste Mathematiker von Rang ist Leonardo von Pisa, heute vor allem durch seine „Kaninchen-Aufgabe“ als Fibonacci und durch die nach ihm benannte Zahlenfolge bekannt. Erstaunlicherweise gerät sein Werk nach seinem Tode in Vergessenheit, erst im 18. Jahrhundert wird es wieder entdeckt. Strick nennt zwei Gründe dafür. Erstens sei Fibonacci seiner Zeit zu weit voraus gewesen, als dass er von Zeitgenossen verstanden wurde. Zweitens konnte sein Buch, „Liber Abacci“, das „heute als eines der wichtigsten Bücher der Mathematikgeschichte Europas gilt“, vor der Erfindung des Buchdrucks mit beweglichen Lettern nur manuell kopiert werden und war daher wenig verbreitet. Es ist dem Verfasser ein Anliegen, Fibonaccis umfangreiches Werk ausführlich darzustellen: auf rund 100 Seiten erfahren wir, nach den Originalkapiteln gegliedert, vom Rechnen im Dezimalsystem mit den arabischen Ziffern, von Brüchen und vom Lösen von Dreisatzaufgaben. Viele der ausgewählten Aufgaben variieren dieselben mathematischen Ansätze in verschiedenen kaufmännischen Anwendungsfeldern. Wurzelrechnung, quadratische Gleichungen und lineare Gleichungssysteme zeigen, dass Fibonacci auch über höhere mathematische Kenntnisse verfügt.

Erstaunlich aber ist auf jeden Fall, dass dieses Wissen ohne unsere heutige formale Fachsprache entwickelt wurde. Aufgabenstellung und Lösung werden immer rein verbal formuliert. Selbst eine einfache quadratische Gleichung „x² + 10x = 39“ lautet bei Fibonacci „census et decem radices equantur 39“ und entsprechend wird der Lösungsweg in Worten formuliert.

Ein „europäisches Erwachen“ stellt der Autor im 15. Jahrhundert fest. Zwei Franzosen, Oresme und Chuquet, zwei Deutsche, Regiomontanus (Johann Müller) und Albrecht Dürer, sowie zwei Italiener Luca Pacioli und Leonardo da Vinci werden beschrieben. Wichtige Grundlage für die weitere Verbreitung mathematischen Wissens waren Übersetzungen antiker und arabischer Schriften ins Lateinische oder noch besser in die Landessprachen. Da Vinci, bekannt als Maler und Ingenieur, und Dürer haben sich durch ihre geometrischen Arbeiten hervorgetan. In Dürers Kupferstich „Melencolia“ weist das magische 4x4-Quadrat auf sein Interesse an Mathematik und seine weitreichenden Kenntnisse hin.

Im 16. Jahrhundert ist Europas Mathematik endlich auf dem neuen Stand der Forschung. Wir erfahren hier von sieben Männern, zwei der Namen dürften in Deutschland bekannt sein, nämlich Adam Ries(e) und Michael Stifel. Ries ist weniger als Wissenschaftler bedeutend, sondern hat als pädagogisch begabter Verfasser von Rechenbüchern in deutscher Sprache einen großen Einfluss auf die Verbreitung des Rechnens mit den arabischen Ziffern. Seine Bücher werden in insgesamt über 100 Auflagen nachgedruckt. „Waren bis dahin die einfachen Leute auf Rechenmeister angewiesen, […] wurden jetzt viele in die Lage versetzt, solche Rechnung selbst durchzuführen“. Stifel hingegen arbeitete eher wissenschaftlich, fasste die damals bekannten Kenntnisse aus Arithmetik und Algebra in einem großen Lehrbuch in lateinischer Sprache zusammen: auch dieses wird „zu den wichtigsten Werken der Mathematikgeschichte gezählt“.

Es fällt mir schwer, einen Adressatenkreis näher zu identifizieren. Es handelt sich doch weniger um ein populärwissenschaftliches Buch für ein breites Publikum, eher um ein wissenschaftliches Werk. Viele Originalquellen hat der Autor recherchiert und die originalen historischen Aufgaben daraus wieder gegeben. Jedes Kapitel enthält ausführliche Quellenangaben, die eine noch weitergehende Beschäftigung mit der Geschichte leicht machen. Strick erhofft sich, dass „dieses Buch das Interesse erweckt, die etwas ausführlicher behandelten Bücher – insbesondere von Leonardo von Pisa, Adam Ries, Christoff Rudolf und Michael Stifel – selbst zu lesen“. Denn, so im Vorwort weiter, bei diesen „wunderbaren, leider oft in Vergessenheit geratenen Einsichten […] kommt man oft aus dem Staunen nicht heraus“.

Diese Rezension ist auch, in gekürzter Form, auf Spektrum.de erschienen.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Nicolas Bacaër, Christina Binder, Hefeng Wang

2021, PDF, kostenfrei

ISBN: 979-10-343-7393-2

In dem vorliegenden Buch werden die bekannten Modelle der Populationsdynamik vorgestellt, z.B. die Fibonacci-Folge, geometrisches und logistisches Wachstum, das Räuber-Beute-Modell von Lotka-Volterra und viele weitere Modelle zu Krankheitsentwicklung und Epidemien, zu Impfungen, zum Aussterben von Populationen, und last but not least zur Einkindpolitik Chinas. Das Inhaltsverzeichnis enthält die folgenden chronologisch sortierten Kapitel.

1. Die Fibonacci-Folge (1202)
2. Die Sterbetafel von Halley (1693)
3. Euler und das geometrischeWachstum von Populationen (1748–1761)
4. Daniel Bernoulli, d’Alembert und die Pockenimpfung (1760)
5. Malthus und die Hindernisse für geometrisches Wachstum (1798)
6. Verhulst und die logistische Gleichung (1838)
7. Bienaymé, Cournot und das Aussterben von Familiennamen (1845–1847)
8. Mendel und die Vererbung (1865)
9. Galton,Watson und die Aussterbewahrscheinlichkeit (1873–1875)
10. Lotka und die Theorie der stabilen Bevölkerung (1907)
11. Das Hardy-Weinberg-Gesetz (1908)
12. Ross und Malaria (1911)
13. Lotka, Volterra und das Räuber-Beute-System (1920–1926)
14. Fisher und natürliche Selektion (1922)
15. Yule und die Evolution (1924)
16. McKendrick und Kermack über die Modellierung von Epidemien (1926–1927)
17. Haldane und Mutationen (1927)
18. Erlang und Steffensen über die Aussterbewahrscheinlichkeit (1929–1933)
19. Wright und zufällige genetische Drift (1931)
20. Die Diffusion von Genen (1937)
21. Die Leslie-Matrix (1945)
22. Perkolation und Epidemien (1957)
23. Spieltheorie und Evolution (1973)
24. Chaotische Populationen (1974)
25. Chinas Ein-Kind-Politik (1980)
26. Einige aktuelle Probleme

Die Autoren stellen jedes Kapitel im historischen Zusammenhang dar und scheuen sich nicht davor, die relevanten Formeln aufzuschreiben und die wichtigsten Eigenschaften der Modelle mathematisch zu beschreiben oder sogar herzuleiten. Die Biographien der entscheidenden Protagonisten (Leonardo da Pisa für die Fibonacci-Folge, Leonhard Euler für das geometrische Wachstum usw.) werden ebenfalls sehr lebendig dargestellt. Auf diese Weise kann man dieses Buch mit viel Freude lesen, wenn man das mathematische Rüstzeug mitbringt, die verwendeten Formeln zu verstehen und nachzuvollziehen. Achtung: Manche Kapitel enthalten Querbezüge zu anderen, so dass sich nicht jedes Kapitel als Einzellektüre eignet.

Das Buch kann kostenlos als pdf-Datei im Internet heruntergeladen werden, z.B. von https://hal.science/hal-03328869. Das ist natürlich ein großes Plus!

Das vorliegende Buch ist meines Erachtens besonders gut für folgende Leserschaft geeignet: Lehrer*innen, die sich weiterbilden wollen und ihren Unterricht durch das ein oder andere historische Beispiel anreichern möchten. Mathematik-Studierende, denen die Vorlesungen zu theoretisch sind und die sich auch für historische Bezüge interessieren. Und natürlich jene mathematische Laien, die sich für die besprochenen Themen interessieren und von den vielen Formeln nicht abschrecken lassen. Ich habe das Buch jedenfalls mit Genuss gelesen!

Rezension: Wolfram Koepf (Kassel)

Heinz Klaus Strick

Springer; 1. Aufl. 2023 Edition (18. Oktober 2023); Taschenbuch, 268 Seiten, 24,99 €

ISBN-10: 3662673126
ISBN-13: ‎978-3662673126

Ein Bilderbuch voller Mathematik! Beim Blättern durch das Buch sieht man auf fast jeder Seite farbige Grafiken, Figuren und Muster. Der Verfasser knüpft an seine drei Bücher über „schöne“ Mathematik an und stellt hier Themen zusammen, die sich auch als Lektüre für Jüngere eignen. Er adressiert es ausdrücklich an „Kinder ab etwa 8 Jahren und Jugendliche“.

Konsequent wählt der Verfasser daher einen spielerischen Zugang, alle mathematischen Zusammenhänge werden an Beispielen erkundet, die Überlegungen bleiben stets an konkreten Objekten und werden sehr ausführlich hergeleitet, nur an ganz wenigen Stellen taucht eine Formel auf. In allen Abschnitten folgt nach einer kurzen Vorstellung des Sachverhalts fast auf jeder Seite ein Abschnitt „Anregungen zum Nachdenken und für eigene Untersuchungen“. Hier wird dazu aufgefordert, Figuren zu zeichnen, auseinander zu schneiden und auszumalen, Gesetzmäßigkeiten zu entdecken, Begründungen zu finden und zu formulieren, Verallgemeinerungen zu suchen und zu prüfen, Spiele mit den geometrischen Objekten auszuprobieren.

Für diese Herangehensweise eignet sich am besten die Geometrie: neun der zwölf Kapitel befassen sich mit Inhalten aus diesem Gebiet. Es geht allerdings nicht um einen Lehrgang durch den geometrischen Schulstoff – der wird nebenbei, wenn nötig, aufgegriffen aber im wesentlichen hat der Verfasser Fragestellungen ausgesucht, die leider im Schulunterricht keinen Platz haben.

Er beginnt mit dem Parkettieren, dem Auslegen einer Fläche mit einfachen Bausteinen, nämlich Quadraten, Rechtecken und den aus fünf Quadraten zusammengesetzten Pentominos. Hier können sogar schon Vorschulkinder, die häufig gerne Puzzles legen, mit diesen Teilen spielerisch erste Erfahrungen mit geometrischen Formen gewinnen, die später zu systematischem Probieren und zur Entdeckung von Strukturen führen. Da vermisse ich einen Hinweis auf das Brettspiel „Blokus“, mit dem meine Enkel sich schon als kleine Kinder gerne beschäftigt haben. Auch die dreidimensionalen Pentominos, bei denen die Quadrate durch Würfel ersetzt sind, motivieren Kinder (und Erwachsene) beim Zusammenbau der „Bauklötzchen“ sehr.

In weiteren Kapiteln werden Parkettierungen mit Fliesen und gemusterten Kacheln ausführlich und in vielen Varianten vorgestellt – auch diese Abschnitte können schon jüngere Kinder gut bearbeiten. Schwieriger dürften die Anregungen zu den Flechtbändern mit kreisförmigen Bögen sein, die man ebenfalls auf Fliesen finden kann. Für das selbständige Arbeiten damit helfen die Vorlagen, die man aus dem Internet herunterladen kann. Wie man sich – nebenbei bemerkt – auch zu allen Abschnitten des Buches Zusatzmaterial über die jeweils angegebenen Links beschaffen kann.

An den Schulstoff angelehnte Mathematik findet sich im Kapitel über Flächenteilungen: vom geometrischen Halbieren und Dritteln einfacher Figuren führt der Verfasser sogar hin zu einem propädeutischen Grenzwertbegriff bei unendlichen Reihen. Auch hier werden keinerlei Formeln entwickelt, die kleinen Rechnungen sind stets beispielgebunden. Die Abbildungen zeigen intuitiv den dahinter liegenden rechnerischen Zusammenhang.

Das Kapitel „Muster aus Steinen“ stellt etwas höhere Anforderungen an Leserinnen und Leser. Die Methode, Zahlen durch Figuren darzustellen, war auch schon bei den Pythagoräern beliebt: Quadrat-, Rechtecks- und Dreieckszahlen werden farbig und wunderbar anschaulich abgebildet, so dass auch hier der zugehörige Text kurz gefasst bleiben kann.

Wer sich wundert, was eine „Wortschlange“ in einem Mathematik-Buch zu suchen hat, muss sich die Beispiele ansehen, bei denen zuerst Buchstaben in die richtige Reihenfolge zu einem sinnvollen Wort zu bringen sind, dann aber die Mathematik dahinter auftaucht: Da geht es um Wege in Rechteckrastern (z. B. auf kariertem Papier) und zu Labyrinthen und Rösselsprüngen bis hin zu Fragen der Kombinatorik.

Ein bekanntes, in der mathematischen Unterhaltungsliteratur oft beschriebenes Rätsel handelt von einem kleinen Quadrat, das beim Umlegen der Teile einer ersten Figur zu einer zweiten angeblich verschwindet. Dieses Problem wird vom Verfasser nicht nur in aller Ausführlichkeit analysiert, sondern verallgemeinert und führt so zur Entdeckung der Fibonacci-Zahlen und des goldenen Schnitts. Letzterer wird im folgenden aufgegriffen, ausgehend vom Pentagon und Pentagramm lernen wir noch einmal Parkette mit goldenen Dreiecken in vielen Varianten kennen.

Die letzten drei Kapitel gehen über die Geometrie hinaus und dürften eher ältere Kinder und Jugendliche ansprechen. Ausführlich wird gezeigt, wie man magische Quadrate konstruieren kann. Würfel und  Würfelnetze erfordern noch einmal geometrische Überlegungen, dann aber führen Würfelspiele zu ersten Fragen und Antworten der Stochastik. Abschließend erläutert der Verfasser an Hand von Quadratzahlen und Potenzen einfache Probleme aus dem Bereich der Zahlentheorie. 

Wie die jüngste PISA-Studie gezeigt hat, haben in Deutschland Schülerinnen und Schüler große Lücken in ihren Rechen-Kenntnissen. Viele Unterrichtsinhalte bedürfen der Einübung von Routinen (kleines Einmaleins, die schriftlichen Rechenverfahren, Bruch- und Prozentrechnung) – da kommen geometrische Inhalte oft zu kurz. Aber wer schneller lernt, für mathematische Inhalte zu motivieren ist und Freude an ungewohnten Aufgaben hat, den können solche Unterrichtsphasen nicht für Mathematik begeistern. Eine wichtige Zielgruppe neben den Kindern und Jugendlichen sind daher Lehrerinnen und Lehrer. Wer Mathematik unterrichtet, sollte dieses Buch besitzen und verwenden. Er findet in Hülle und Fülle Material für die, die im Unterricht nicht ausgelastet sind und sich langweilen und hier kreative Veranschaulichungen und herausfordernde kleine Probleme finden und lösen lernen. In einem guten binnen-differenzierten Unterricht kann es Lehrerinnen und Lehrern eine große Hilfe sein.

Diese Rezension erschien am 5. Februar 2024 auch bei Spektrum.de: https://www.spektrum.de/rezension/buchkritik-zu-kunterbunte-mathematik/2206109

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)