Leseecke

Common Sense Mathematics ist ein Lehrbuch, das an amerikanischen Colleges verwendet wird und sich nicht an zukünftige MINT-Profis richtet, sondern an alle, die irgendeine Form von Hochschulabschluss anstreben. Es setzt auch ganz profan bei Alltagsfragen an, wie dem Verständnis der eigenen Stromrechnung, der Rückzahlung von Immobiliendarlehen, der Steuerprogression oder der Bestimmung der Inflationsrate. Die Mathematik, die in solchen Kontexten erklärt wird, geht eigentlich nicht über den Stoff der Sekundarstufe an deutschen allgemeinbildenden Schulen hinaus: Bruchrechnen, Rechnen mit Einheiten, Prozentrechnen, Zins und Zinseszins. Dazu kommen einfachste funktionale Zusammenhänge, ein wenig kombinatorische Wahrscheinlichkeitsrechnung, graphische Darstellungen und der Einsatz von Spreadsheets wie Microsoft Excel. Damit gelingt es den Autoren dennoch, auch etwas über Klimamodelle, exponentielles Wachstum, die Qualitätsbeurteilung von Tests oder das Framing von Einkommensverteilungen zu sagen, Themen also, die deutlich über elementare Finanzmathematik hinaus reichen.

Die Autoren gehen bei allen ihren Erklärungen von konkreten Beispielen aus und streben keinerlei Theoriebildung an. Sie nennen aber zu Beginn jeden Kapitels etliche Lernziele. Großen Wert legen sie insbesondere auf aktives Einüben des Stoffs. Zu jedem der 13 Kapitel gibt es eine umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben, auf der Verlags-Homepage findet man unter http://www.ams.org/publications/authors/books/postpub/text-63-extra-exercises.pdf weitere 100 Seiten mit Übungsaufgaben. Viele der Aufgaben enthalten einen expliziten Hinweis darauf, welche Lernziele mit der jeweiligen Aufgabe angesprochen werden sollen. Nicht selten geht es bei den Aufgaben darum, einen kurzen Abschnitt aus einem Zeitungsartikel zu analysieren, die Fakten zu checken und die den angegebenen Zahlen zugrundeliegenden Rechnungen durchzuführen. Wer die Aufgaben dieses Buches durchgearbeitet hat, wird sich von Inzidenzzahlen, Impfquoten, Nominal- und effektiven Zinssätzen nicht mehr so schnell einschüchtern lassen und auch von großen Zahlen nicht übermässig beeindruckt sein.

Es geht in diesem Buch um konkretes Rechnen, wobei nicht einfach auswendig gelernte Algorithmen abgespult werden, sondern der Weg von den verfügbaren Informationen zu einem vernünftigen Ergebnis am Beispiel vorgeführt und in den Übung eigenständig erforscht wird. Zunächst geht es um grobe Überschlagsrechnungen, die dazu da sind, die Sinnhaftigkeit von behaupteten numerischen Fakten zu hinterfragen. Auch die Frage nach den Einheiten, die zusammenpassen müssen, wenn die Rechnung sinnvoll sein soll, spielt eine Rolle. Die so geübten Prinzipien bleiben den ganzen Text über in Gebrauch, auch wenn es später um das Auf- und Abzinsen oder um unterschiedliche Durchschnittsbildungen geht. Digitale Hilfsmittel werden propagiert, wo sie einen nachvollziehbaren Mehrwert liefern (der dann auch thematisiert wird), und ihr Einsatz anhand von Aufgaben geübt. Begrifflich sind elementare Konzepte der kombinatorischen Wahrscheinlichkeitsrechnung der Höhepunkt des Buches.

Zugegebenermaßen fühlte ich mich beim Lesen immer wieder an meine Schulzeit, speziell den Mathematik- und Physikunterricht in der Mittelstufe, erinnert. Dort sind mir die meisten Methoden, Tipps und Tricks, die Bolker und Mast erläutern, auch schon begegnet. Noch vor zwanzig Jahren hätte ich in einer Besprechung wahrscheinlich gefragt, ob man das Thema in Deutschland nicht eher für Schulen anstatt für Hochschulen aufbereiten sollte. Aber die gerade im Kontext der Covid-19 Pandemie offenbar gewordenen Verständnisschwierigkeiten für Zahlenzusammenhänge auch in gebildeten Schichten zeigt, dass ein solches Buch auch bei uns, trotz (oder vielleicht auch wegen) der Vielzahl „progressiver“ Reformen der letzten Dekaden im Unterrichtswesen, nicht überflüssig ist. Als wirklich erfrischend empfand ich den Mut der Autoren, sich mit allereinfachster Mathematik zu begnügen, dafür aber fast ausschließlich mit Originaldaten zu arbeiten und komplett auf artifizielle Beispiele „anwendungsnaher“ Mathematik zu verzichten. Welch ein Kontrast zu den omnipräsenten kubischen Polynomen, die in deutschen Abituraufgaben die krudesten Dinge modellieren und dann doch nur Anlass für eine immer gleiche Kurvendiskussion ohne jeden Erkenntniswert sind!

Die Beispiele und Übungsaufgaben speisen sich aus der Erfahrungswelt amerikanischer Collegestudenten. Für den Gebrauch an deutschen Schulen oder Hochschulen (auch Volkshochschulen) muss man die Auswahl der Beispiele und die dabei verwendeten Originalzitate und Datensätze anpassen. Das erfordert erhebliches Engagement. Wenn man aber gleichzeitig den Mut hat, aktives Üben in wirklich nennenswertem Umfang einzufordern, bietet der Ansatz und die Themenauswahl von Common Sense Mathematics die Chance, Leuten die Angst vor Zahlen zu nehmen und ihnen zu helfen, präsentierte Zahlen kritisch zu hinterfragen.

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Weitere Details zur Lizenz entnehmen Sie bitte der Lizenzinformation auf http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.de.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, 2022, Band 69, Seiten 151-153
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Joachim Hilgert (Uni Paderborn)

Das vorliegende Buch ist eine Sammlung von Aufgaben für Mathematik-interessierte Schüler der 4.–6. Klasse. Hierbei liegt das Ziel weniger auf einer frühen Förderung von mathematischen Begabungen, sondern vielmehr in der Bereitstellung von Aufgaben, die einerseits als (Rätsel-)zeitvertreib dienen können, andererseits aber auch sehr gezielt Methoden und Denkweisen einüben, die schrittweise an die Schulmathematik heranführen. Frau Samrowski möchte hiermit einen Kontrapunkt zu den zum Teil reizlosen mechanischen Rechenaufgaben setzen, die das Interesse an der Mathematik eher erlahmen lassen, als es zu beflügeln. Ich denke, das ist ihr sehr gut gelungen.

Entstanden ist das Buch aus einer Sammlung von Aufgaben, die für den Unterricht der Junior Euler Society für Mathematik der Universität Zürich der Klassenstufen 3/4 und 5/6 in den Jahren 2012–2020 verwendet wurden. Sie richten sich an eine Zielgruppe, die zwar an Mathematik interessiert ist, aber heterogen was Begabung und Wissensstand angeht. Die Aufgaben dienten insbesondere zur Vorbereitung der Teilnahme an mathematischen Wettbewerben. Das Buch richtet sich daher in erster Linie an interessierte Kinder und deren Eltern zur Vorbereitung auf Wettbewerbe und Aufnahmeprüfungen für höhere Schulen. Natürlich bietet der reiche Aufgabenfundus auch Lehrern Material zur Vorbereitung von Wettbewerben und Ergänzungen zu den üblichen Lehrbuchaufgaben.

Strukturiert ist das Buch in zwölf Kapitel, die sich verschiedenen Themen widmen, wie z. B. Ziffern, Wiegen und Gewichte, Rückwärtslösen, Zeit, Abzählen von Möglichkeiten etc. Die einzelnen Kapitel haben alle die gleiche Struktur: Sie beginnen mit einführenden Aufgaben, deren vollständige Lösung vorgestellt wird. Danach gibt es Aufgaben zum selbstständigen Lösen und Wettbewerbsaufgaben sowie einige Aufgaben zur Wiederholung vorher behandelter Themen.

Die Aufgaben variieren in ihrem Schwierigkeitsgrad, was aber nicht heißt, dass die Wettbewerbsaufgaben durchweg die schwierigeren sind. Da die einzelnen Aufgaben eher kurz gehalten sind, haben sie nicht den abschreckenden Effekt vieler überlanger Textaufgaben, wie man sie oft in Schulbüchern findet. Sie haben durchweg einen klaren Fokus und sind mit den eingeübten Methoden, und manchmal etwas zusätzlichem Knobeln und Nachdenken, gut lösbar.

Eltern und Lehrern, die Kinder mit etwas weniger mechanischen Aufgaben an die Mathematik heranführen wollen, bietet diese Aufgabensammlung einen reichen Fundus, in dem für jeden Geschmack etwas zu finden sein sollte.

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Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, 2022, Band 69, Seiten 149-150
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Karl-Hermann Neeb (Uni Erlangen)

„In any case, geometry and mathematics complement each other quite nicely“. Über diesen Satz aus dem Vorwort zu Georg Glaesers Buch bin ich gestolpert. Er steht zwischen der Anmerkung, dass die Geometrie üblicherweise als Teil der Mathematik betrachtet wird und der Behauptung, dass zum Verständnis des vorliegenden Buches kein spezielles mathematisches Vorwissen erforderlich ist. Dazu später mehr.

Die Geometrie, wie sie in diesem Buch verstanden wird, ist eine Mischung von darstellender Geometrie und Visualisierungstechniken. Es besteht aus kurzen Essays, die immer wieder um die folgenden thematischen Schwerpunkte kreisen: Die Objekte der euklidischen Geometrie von Punkten und Geraden zu Polyedern, verschiedene Klassen von gekrümmten Flächen im Raum, Licht und Schatten, Perspektive, geometrische Formen in Architektur, Flora und Fauna sowie geometrische Formen in mechanischen Apparaten.

Die Präsentation des Materials ist mehr deskriptiv als deduktiv. Zwar gibt es immer wieder „Sätze“, das heißt Aussagen, die optisch durch eine Box hervorgehoben sind, und dazu auch Beweise. Aber in den meisten Fällen sind die präzisen Voraussetzungen nicht im Einzelnen ausgeführt und die Argumente eher nur skizziert. Besonders auffällig und für den Leser, der versucht die beschriebenen Sachverhalte genau zu verstehen, auch störend ist das fast vollständige Fehlen klarer Definitionen. Als Beispiel seien hier die abwickelbaren Flächen (developable surfaces) genannt. Sie kommen im Text über zweihundert mal vor, aber eine als solche gekennzeichnete Definition fehlt. Zwar werden immer wieder Eigenschaften genannt wie „If this contour only consists of straight lines for every projection, the surface is developable. It is only such surfaces that can be unfolded (developed) into the plane without distortion.“ Sucht man nach der Definition über den Index, so stellt man fest, dass es dort nur drei Einträge zu „developable surfaces“ gibt, die im Übrigen alle drei um eine Seite daneben liegen. Es handelt sich also eher nicht um eine „Example-driven introduction to the broad field of geometry“, wie die Internetseite des Verlags zu diesem Buch suggeriert. Es geht dem Autor ganz offensichtlich nicht darum, den Leser in die Lage zu versetzen, selbst abgesichert geometrische Einsichten zu entwickeln.

Was also hat der Autor im Sinn? Seine Darstellung ist mehr impressionistisch, eine Vorstellung vermittelnd, wenn man aus der Distanz schaut, aber nicht mehr greifbar, wenn es ums Detail geht. So gesehen hat der Autor wohl recht, wenn er sagt, es wäre kein spezielles mathematisches Vorwissen für die Lektüre dieses Buches nötig. Die Erklärung für seine Vorgehensweise gibt der Autor mit folgender Aussage auf Seite 261: „However, the issue is very elaborate and does not yield any impressive visuals – it, thus, falls outside the scope of this book.“

Damit sind wir bei der eigentlichen Stärke des Buches. Es ist voller wirklich beeindruckender Visualisierungen und auch schöner Aufnahmen geometrischer Objekte. Diese Bilder können Lehrer an Schulen und Hochschulen für ihren Geometrie-Unterricht inspirieren und viele Leser würden sich sicher dafür interessieren, wie man sie produziert.

Insgesamt fehlt mir in diesem Buch aber der rote Faden. Es wirkt auf mich zusammengestückelt, was sich auch durch mancherlei Wiederholungen bemerkbar macht, wenn Themen erneut aufgegriffen und ergänzt werden (wie zum Beispiel die abwickelbaren Flächen oder Zentralprojektionen). Auch wirkt die Verbindung von Abbildungen zu erklärendem Text bisweilen lieblos, wenn zum Beispiel in Abschn. 9.2 die Konstruktion der perspektivischen Darstellung eines Hauses erklärt werden soll, die zugehörige Abbildung eine Menge Informationen enthält, die in der Erklärung nicht angesprochen wird, umgekehrt aber nicht alle in der Erklärung benannten Objekte in der Abbildung auftauchen.

Die Lektüre am Stück ist tatsächlich ermüdend und manchmal auch frustrierend, wenn man einen Sachverhalt gerne genau verstehen möchte, die dafür erforderlichen Informationen aber nicht bereit gestellt werden. Manche der Unklarheiten im Text sind allerdings der englischen Übersetzung geschuldet. So lautet etwa der mir unverständliche Satz „Even the line at infinity of the plane can be determined in this way: It is equal to the center ???? of the circle“ im Original „Damit lässt sich sogar die Fernebene erfassen: sie entspricht dem Mittelpunkt der Kugel“.

Interessant sind die beschriebenen Querverbindungen und Ähnlichkeiten zu geometrischen Objekten der realen Welt. Leider ist eine zielgerichtete Suche in diesem langen Buch schwierig. Der Index ist ein wenig aleatorisch und hat mir in keinem Fall geholfen, die Begriffserklärungen zu finden, von denen ich angenommen hatte sie nur vergessen zu haben. Überhaupt hat der technische Apparat Luft nach oben. Wiederholt laufen Referenzen ins Leere und erscheinen als [?].

„Geometry and its Applications“ ist eine Materialsammlung, in der ich einzelne Stücke sehr gelungener Miniaturen wiedererkannt habe. Es ist voller beeindruckender Visualisierungen. Wenn es aber mehr sein soll als ein „coffee table book“, sollte man Bilder und Text genauer aufeinander beziehen, es mit einem Glossar und einem zielgerichteten Index ausstatten. Dann hätte der interessierte Leser eine Chance, angedeutete Argumente selbst zu ergänzen.

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Die in diesem Artikel enthaltenen Bilder und sonstiges Drittmaterial unterliegen ebenfalls der genannten Creative Commons Lizenz, sofern sich aus der Abbildungslegende nichts anderes ergibt. Sofern das betreffende Material nicht unter der genannten Creative Commons Lizenz steht und die betreffende Handlung nicht nach gesetzlichen Vorschriften erlaubt ist, ist für die oben aufgeführten Weiterverwendungen des Materials die Einwilligung des jeweiligen Rechteinhabers einzuholen.

Weitere Details zur Lizenz entnehmen Sie bitte der Lizenzinformation auf http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.de.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, 2022, Band 69, Seiten 145-147
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Joachim Hilgert (Uni Paderborn)

Zu den Schätzen meines Bücherschranks zählt ein in wunderbarer Kalligraphie handgeschriebenes Vorlesungsskript des Autors aus dem Jahr 1981, das er mir damals geschenkt hat, und mit dem ich mich einmal intensiver befasst habe, wie die vielen Anmerkungen auf dem Umschlag bezeugen. Die Titelseite ist hier wiedergegeben.

Das vorliegende Buch mit dem gleichen Titel hat inhaltlich eher wenig Überschneidung mit dem damaligen Skript. Es konzentriert sich stärker auf einige grundlegende Fragestellungen, die man in wenigen Sätzen so zusammenfassen kann: Was sind eigentlich die Gegenstände der Mathematik? Existieren sie unabhängig von uns? Von welcher Art ist ihre Existenz? Und was gibt uns die Gewissheit, wahre Aussagen über sie machen zu können?

Die Antworten auf diese Fragen mögen heute vielen von uns als Selbstverständlichkeiten erscheinen: Es ist prinzipiell unmöglich zu sagen, was ein Punkt, eine Gerade, eine Zahl etc. ist. Man kann nur komplette Systeme von Punkten und Geraden oder von Zahlen definieren, und wesentlich ist nicht, was diese Objekte wirklich sind, sondern nur, was ihre gegenseitigen Beziehungen sind. Diese sind in Axiomen festgelegt, und als wahr gilt eine Aussage dann, wenn sie sich nach vereinbarten Regeln der Logik aus den Axiomen ableiten läßt. Bei dieser Antwort verliert man aber leicht aus den Augen, wie schwer erkämpft dieser heutige Standpunkt ist, und welche Fallen des Denkens zu überwinden waren, um dahin zu gelangen. Das Anliegen des Buches besteht darin, ein tieferes Verständnis der aktuellen Denkweise zu vermitteln, indem der historische Weg in allen Stationen nachgezeichnet wird, der von den Anfängen der erkenntnisorientierten Mathematik im antiken Griechenland bis zu Hilbert und Gödel führt. Dazu ist es notwendig, auch das geistige Umfeld der jeweils betrachteten Zeit zu beleuchten und vor diesem Hintergrund zu untersuchen, warum von bestimmten Grundlagenfragen der Mathematik eine solch starke Beunruhigung ausging und warum die heute so offensichtlich scheinenden Auswege es keineswegs immer waren. Dies führt uns der Autor an Hand zahlreicher Quellen plastisch vor Augen. Zugleich geht er detailliert auf mathematische Entdeckungen und Entwicklungen ein, die einen starken Einfluss auf die Diskussion der Grundlagenprobleme hatten. Hierzu zählen beispielsweise die Entdeckung der Inkommensurabilität, der Beweis der Existenz unendlich vieler Primzahlen, generell das Phänomen des Unendlichen in der Mathematik, ebenso nichtkonstruktive Existenzbeweise wie im Fall von Hilberts Basissatz. Eine große Rolle spielen auch Paradoxien wie das Zenonsche Paradox von Achilles und der Schidkröte und die Russelsche Antinomie in der Mengenlehre, die die Gefahren bei ungezügelter Verwendung des Mengenbegriffs deutlich macht.