Leseecke

 Dirk Langemann

Springer Spektrum; 1. Aufl. 2022 Edition (15. Mai 2022); 223 Seiten; 27,99 €

ISBN-10: ‎366264830X
ISBN-13: ‎978-3662648308

Mit diesem Buch setzt Dirk Langemann die Reihe So einfach ist Mathematik erfolgreich fort, zu der mittlerweile die Bände Basiswissen für Studienanfänger aller Disziplinen¹, Zwölf Herausforderungen im ersten Semester² sowie Partielle Differenzialgleichungen für Anwender³ gehören. Das Buch richtet sich vor allem an Studierende von Ingenieurwissenschaften, wobei der Autor von seinen entsprechenden, langjährigen Lehrerfahrungen an der TU Braunschweig profitieren kann.

Der Inhalt des Buchs ist klar im üblichen Kanon eines grundlegenden Studiums der Ingenieurwissenschaften angesiedelt, etwa Maschinenbau oder Bauingenieurwesen, und lässt keine Themen vermissen. Grundlagen aus den ersten Semestern wie etwa Analysis und Lineare Algebra werden vorausgesetzt, an einigen Stellen im Buch jedoch auch wiederholt und in Erinnerung gerufen, sodass der Fluss erhalten bleibt ohne auf ein anderes Nachschlagewerk zurückgreifen zu müssen.

Die Tour durch die gewöhnlichen Differentialgleichungen beginnt mit einer Einführung, in der motivierende Beispiele vorgestellt und diskutiert werden. Dazu gehört heutzutage natürlich auch die Epidemie-Modellierung anhand des grundlegenden SIR-Modells, aus dem Begriffe wie die Basisreproduktionszahl abgeleitet werden. Darüber hinaus werden vor allem natur- und ingenieurwissenschaftliche Beispiele diskutiert, allen voran natürlich der klassische Federschwinger.

Anschließend werden eine Handvoll Klassen von Differentialgleichungen vorgestellt, die man mit einfachen Rezepten lösen kann, etwa durch Trennung der Veränderlichen. Hier und im Folgenden legt der Autor aber sehr viel Wert darauf, dass es um das Verständnis geht, nicht um das bloße Auswendiglernen von ein paar Rezepten. Dies gelingt ihm aus meiner Sicht gut, auch wenn ich natürlich nicht so unvoreingenommen wie Studierende im Bachelor sein kann. Es folgt eine Diskussion klassischer Existenz- und Eindeutigkeitsresultate, die im Rahmen des Buches nicht bewiesen sondern vor allem erklärt, veranschaulicht und diskutiert werden. Nicht nur an dieser Stelle kann das Buch auch für Studierende der Mathematik gewinnbringend sein und eine angenehme Ergänzung zu vergleichsweise trockenen und technischen Vorgehensweisen bieten.

Lineare Differentialgleichungen werden im folgenden Viertel des Buchs diskutiert. Wie vorher auch werden wiederkehrende Beispiele erneut aufgegriffen, um wichtige Grundlagen aus unterschiedlichen Perspektiven zu beleuchten und neue Techniken in bekannten Zusammenhängen zu erproben. Der klassische Federschwinger wird ausführlich diskutiert und dient als eines der Leitbeispiele, das Verknüpfungen mit üblichen Vorlesungen der Physik und Ingenieurwissenschaften herstellt.

Schließlich folgt die Kür durch eine Reihe von Einblicken in fortgeschrittenere Techniken wie die Laplace-Transformation, die Stabilitätstheorie dynamischer Systeme sowie einfache Randwertprobleme und deren Green-Funktionen. Hierbei werden wie bisher auch viele Beispiele verwendet und Ausblicke auf folgende Veranstaltungen im Ingenieursstudium gegeben.

Aus meiner Sicht gelingt dem Autor eine sehr eingängige Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen, vor allem für Studierende der Ingenieurwissenschaften. Dazu trägt auch der ganz eigene Charme und Witz bei, den der Autor immer wieder durchblicken lässt. Während der Lektüre werden die Leserinnen und Leser gezielt direkt angesprochen und angeregt, über Sachverhalte nachzudenken und sie selbst zu veranschaulichen oder zu rechnen. Dazu gehören auch viele Vorschläge, wie man sich (idealerweise in kleinen Gruppen) eigene Übungsaufgaben erstellen kann, um notwendige Rechentechniken zu üben. Dafür enthält das Buch keine gesonderten Übungsaufgaben.

Zusammenfassend kann ich nur eine klare Empfehlung für das Buch geben. Durch den Aufbau und den schriftstellerischen Stil liest es sich sehr flüssig und angenehm. Am Anfang werden auch kleine Code-Beispiele aus Matlab und Mathematica eingestreut, um die ersten Schritte in der numerisch-symbolischen Lösung von Differentialgleichungen zu erleichtern, die heutzutage zum Handwerkzeug gehören. Für anwendungsorientierte Studiengänge kann das Buch sicherlich gut genutzt werden und auch in theoretischer arbeitenden Studiengängen kann man davon profitieren, solange man sich nicht von anwendungsnahen Schreibweisen (oder einem „Missbrauch“?) wie \(\bf{q}\)\(=\)\(\bf{q}\)\((t)\) abschrecken lässt, sondern die Veranschaulichungen und Anwendungen als Motivation und Bereicherung empfindet.

Literatur
¹ Langemann, D., Sommer, V.: So einfach ist Mathematik. Basiswissen für Studienanfänger aller Disziplinen.
Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg (2018) https://doi.org/10.1007/978-3-662-55823-2
² Langemann, D.: So einfach ist Mathematik. Zwölf Herausforderungen im ersten Semester. Springer
Spektrum, Berlin, Heidelberg (2021) https://doi.org/10.1007/978-3-662-63720-3
³ Langemann, D., Reisch, C.: So einfach ist Mathematik. Partielle Differenzialgleichungen für Anwender.
Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg (2018) https://doi.org/10.1007/978-3-662-57502-4

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Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, 2023, Band 70, S. 77-79
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Hendrik Ranocha (Uni Hamburg)

Lars Jaeger

Südverlag; 1. Edition (26. September 2022;); 256 Seiten; 22 €

ISBN-10: ‎3878001614
ISBN-13: ‎978-3878001614

Emmy Noether wurde am 23. März 1882 in Erlangen geboren, sie starb am 14. April 1935 in Bryn Mawr in den USA, wo sie auch begraben wurde. Das Werk und die Biographie Emmy Noethers blieben zwar stets ein lohnendes Thema zahlreicher Autoren, vor allem von Mathematikern, aber die Jahre 2021 und 2022 sind, was Biographien anbelangt, auffallend, da in diesen Jahren gleich 3 größere Biographien veröffentlicht wurden. Cordula Tollmien (*1951) wurde nach einem Mathematik- und Physikstudium Wissenschaftshistorikerin, Historikerin und Kinderbuchautorin. Seit 30 Jahren war Emmy Noether eines Ihrer Schwerpunktthemen, sie plant eine 30 Bände umfassende Biographie Emmy Noethers unter dem Generaltitel „Die Lebens- und Familiengeschichte der Mathematikerin Emmy Noether in Einzelaspekten“, von der 2021 die ersten zwei Bände erschienen. In demselben Jahr veröffentlichte auch David E. Rowe (*1950) seine Biographie „Emmy Noether – Mathematician Extraordinaire.“¹ Der Autor ist Wissenschaftshistoriker mit den Schwerpunkten Mathematik- und Physikgeschichte im 20. Jahrhundert. Und nun, nur ein Jahr später, kann auch Lars Jaeger seine Noether-Biographie der Öffentlichkeit vorstellen.

Es lohnt sich, zunächst einen Blick auf den 1969 in Heidelberg geborenen Autor Lars Jaeger zu werfen. Er studierte Physik und Philosophie in Bonn und in Paris, promovierte 1997 in Dresden, wo er noch weitere acht Jahre als Postdoc am „Max Planck-Institut für Physik komplexer Systeme“ wirkte. Danach wanderte er in die Finanzwelt ab, wurde Unternehmer und ist in der Hedgefond-Industrie ein bekannter Autor. Seit 2014 veröffentlicht er auch Werke aus dem Bereich Wissenschaftsgeschichte; er selbst bezeichnet sich auf seiner Homepage als „Sachbuchautor, Wissenschaftsblogger, Unternehmer“.² 2022 erschien neben seiner Noether-Biographie auch sein Werk „Die Neuentdeckung der Welt – Wie Genies die Wissenschaften aus ihren tiefsten Krisen in die Moderne führten“. Er veröffentlicht, wie man so schön sagt, am laufenden Bande, darunter auch sehr viele Titel aus dem Bereich des Finanzwesens.

Jaegers Noether-Biographie beginnt ungewöhnlich, nämlich mit dem „Umsturz in der Mathematik“ (S. 10–35), wobei die Kapitelüberschriften hier lauten: „Cantors neue Unendlichkeit“, „Paradoxien zerstören die klassische Mathematik“, „Hilberts Hoffnung und Gödels Schneise der Verwüstung“ und „Vom Entscheidungsproblem zum Halteproblem“. Es ist damit klar, dass sich seine Biographie nicht an eine Leserschaft ohne Einblicke in die Mathematik richtet.

Erst jetzt folgt Noethers „steiniger Weg an die Weltspitze der Mathematik“ in Form von 9 weiteren Kapiteln. Dem Autor mangelt es in der Tat nicht an Sachkenntnis in Mathematik und Physik, seine Darstellung ist auf einem hohen Niveau gut und spannend geschrieben. Besonders ausführlich geht Jaeger auf „die Noether- Jungs [und Mädels]“ (S. 143–167) ein, ein besonderes Kapitel ist Grete Hermann gewidmet (S. 168–191). Im „Nachwort“ (S. 237–238) zieht der Autor die Bilanz: „Ihre tiefen, heute zentralen mathematischen Einsichten und ihr nicht weniger tiefes physikalisches Noether-Theorem machten Emmy Noether zu einem historisch raren Menschen [...]. Emmy Noether würde heute ohne Frage die beiden höchsten Auszeichnungen dieser Dispziplinen verdienen: den Physik-Nobelpreis und die Fields-Medaille.“ Einen Physik-Nobelpreis an Emmy Noether, das würde wohl viele Kenner der Physikgeschichte eher nicht überzeugen. Im Anhang folgt eine Zeittafel (S. 240), ein Kapitel „Expertenwissen“ für mathematisch besonders Interessierte (S. 241–248), Anmerkungen (S. 249–260) sowie eine Bibliographie. Hier zitierte der Autor u. a. drei Titel von Peter Roquette, die auch deutlich machen, dass Jaeger in seiner Noether-Biographie von Roquettes Ausführungen zu Emmy Noether sehr profitierte.

Die 5 Abbildungen bieten nichts Neues, hätten aber von besserer Qualität sein dürfen.

Die Noether-Biographie von Lars Jaeger wird jedem ein willkommener Lesestoff sein, der keine Berührungsängste mit der höheren Mathematik und der theoretischen Physik hat.

¹ Springer-Verlag, Cham, 339 S.
² Siehe Lars Jaeger Home/Lars Jaeger.

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Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, 2023, Band 70, S. 89-91
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Karin Reich (Uni Hamburg)

Mateusz Michałek
Bernd Sturmfels

American Mathematical Society (1. Februar 2021); Englisch; 226 Seiten; 84,55 €

ISBN-10: 1470465515
ISBN-13: 978-1470465513

Lineare Algebra ist das vielleicht am besten verstandene Gebiet der Mathematik. Sie bildet eine wichtige Grundlage für alle weiteren mathematischen Teilbereiche und besitzt unzählige Anwendungen in Wissenschaft, Technik und Wirtschaft. Nicht umsonst wird lineare Algebra deshalb gleich zu Anfang des Mathematikstudiums gelehrt. Lineare Algebra ist, grob gesagt, das Studium von linearen Gleichungssystemen. Dabei spielen Algorithmen, etwa der Algorithmus von Gauß, eine ebenso wichtige Rolle wie theoretische Konzepte, hauptsächlich aus der Vektorraumtheorie. Wer ein Mathematikstudium absolviert hat kennt diese Begriffe und Ergebnisse, und selbst in der Schule wird gewöhnlich schon ein Eindruck davon vermittelt.

Aber was ist Nichtlineare Algebra, zu der uns das vorliegende Buch von Michałek und Sturmfels einlädt? Die erste Antwort liegt auf der Hand: es ist das Studium von nichtlinearen Gleichungssystemen. „Nennt man das nicht algebraische Geometrie oder kommutative Algebra?“, könnte man mit etwas mathematischer Grundbildung einwerfen. Das stimmt, und wir müssen die erste Antwort also noch etwas verfeinern. Nichtlineare Algebra im Sinn von Michałek und Sturmfels studiert zwar Fragen der algebraischen Geometrie und kommutativen Algebra, aber bewusst mit einer Perspektive auf Anwendungen und Algorithmen. Es geht also darum, gezielt die erfolgreichen Anwendungsaspekte der linearen Algebra auf nichtlineare Situationen zu verallgemeinern. Und das ist in diesem Buch wirklich gut gelungen.

Das Buch beginnt mit einer Einführung in die Theorie von Polynomringen und Idealen. Hier werden auch Gröbnerbasen behandelt, die sich als wichtigste Methode für Algorithmen im ganzen Buch wiederfinden. Klassische algebraische Geometrie wird in Kap. 2 erklärt, und Kap. 3 führt beides unter Anwendungsperspektive schön zusammen. Wir lernen hier, ob und wie man nichtlineare Gleichungssysteme lösen und ihre Lösungsmengen angeben kann. Algebraisch ist dabei die Primärzerlegung von Idealen das wichtigste Werkzeug. In Kap. 4 wird Eliminationstheorie, also einfach gesagt folgende Frage behandelt: „Was passiert, wenn man Lösungsmengen von Gleichungssystemen polynomial abbildet?“. Neben klassischen Aussagen für Varietäten über \(\mathbb{C}\) kommt hier auch die reelle Variante, das Theorem von Tarski- Seidenberg, und der Satz von Chevalley über konstruierbare Mengen vor. Der algorithmische Aspekt wird durchgehend beibehalten und Anwendungen tauchen immer wieder in Beispielen auf. Grassmann-Varietäten sind Inhalt von Kap. 5. Sie werden als projektive Varietäten konstruiert und anhand der Plücker-Relationen beschrieben. Auch hier gibt es wieder Anwendungen, diesmal in der enumerativen Geometrie. Kap. 6 behandelt wichtige Null- und Positivstellensätze. Danach folgen in Kap. 7 tropische Algebra mit Anwendungen in der kombinatorischen Optimierung, und in Kap. 8 torische Geometrie. Im Abschnitt Die Welt ist torisch werden hier schöne Bezüge zu Chemie, Biologie und Statistik hergestellt. Die Theorie von Tensoren ist Inhalt von Kap. 9. Deren Eigenvektor- und Rangtheorie wird erklärt, und wie algebraisch- geometrische Methoden helfen können, sie besser zu verstehen. Auch die Komplexität der Matrixmultiplikation wird damit erörtert. Kap. 10 behandelt Darstellungstheorie von Gruppen, und Kap. 11 Invariantentheorie. In beiden Kapiteln sind neben den wichtigsten Ergebnissen immer algorithmische Aspekte im Fokus. In Kap. 12 wird semidefinite Optimierung mit ihrer Dualitätstheorie und geometrischen Aspekten besprochen. Die Methode von Lasserre und Parrilo für polynomiale Optimierung mittels Quadratsummen zeigt, wie man damit schwierige Probleme durch leichtere approximieren kann. Mit Kap. 13, welches Kombinatorik in Form von Matroidtheorie und dem Zählen von Gitterpunkten in Polyedern behandelt, endet das Buch.

Das Buch von Michałek und Sturmfels liefert eine sehr interessante Zusammenstellung von aktuellen Methoden und Ergebnissen der angewandten kommutativen Algebra und algebraischen Geometrie. Die Bezüge zu vielen verschiedenen Gebieten innerhalb und außerhalb der Mathematik zeigen, wie erfolgreich dieser Ansatz bereits jetzt ist. Die Darstellung bleibt dabei stets einladend und so elementar wie möglich. Viele Illustrationen und Beispiele machen es zu einer Freude, das Buch in die Hand zu nehmen, ein großes Sortiment an Aufgaben lädt zum eigenen Vertiefen der Erkenntnisse ein. Der Stoff bietet reichhaltige Inspiration auch für Vorlesungen, die gegen Ende des Bachelorstudiums und natürlich im Master inhaltlich gut in viele Curricula passen sollten. Wer sich für moderne Aspekte der angewandten Algebra und Geometrie interessiert, dem sei dieses Buch unbedingt empfohlen.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, 2023, Band 70, S. 61-62
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Tim Netzer (Innsbruck)

Vasco Alexander Schmidt

BoD – Books on Demand; 1. Edition (16. Januar 2023); Taschenbuch; 238 Seiten; 10 €

ISBN-10: 3756236544
ISBN-13: 978-3756236541

Wie kann oder soll man ein Wörterbuch oder Lexikon rezensieren? Wer, wie ich, erst einmal das Buch an zufälliger Stelle aufschlägt und quer liest, wird sich an manchen Stellen doch sehr wundern (etwa steht unter dem Stichwort „kleines Einmaleins“ der Text „sinnliche Angelegenheit, die zwei verschiedene Systeme im Gehirn beschäftigt“). Ein Wörterbuch der Mathematik – wie es im Untertitel heißt? Aber genauer steht dort ja „Wörterbuch der populären Mathematik“. Und so sollte man auf jeden Fall die Einleitung vorweg lesen, die eine Beschreibung und Erklärung liefert, wie das Buch entstanden ist und welche Inhalte es präsentiert.

Der Verfasser, studierter Mathematiker und promoviert in Linguistik über das Thema „Grade der Fachlichkeit in Textsorten zum Themenbereich Mathematik“, hat über 30 Jahre lang Zeitungstexte über die Welt der Mathematik gesammelt – nicht systematisch, „sondern abhängig von der verfügbaren Zeit und sich wandelnden Interessen“. Im Buch  exzerpiert er aus diesen Texten kurze Aussagen und sortiert diese unter Stichworten ein. So beschreibt er dieses Wörterbuch schließlich als „kein Nachschlagewerk, sondern eine persönliche Sammlung mathematischer Popularisierungsversuche“.

Und da man ein Lexikon nicht von vorn bis hinten liest, schlagen wir einfach auf und lesen dort weiter. Zum Stichwort „Algebra“ notiert er folgende drei Erläuterungen

• „Rechnen mit Unbekannten“,
• „Rechnen mit Ergänzungen und Ausgleich“,
• „Fachgebiet, das - wie es heute in der Mathematik betrieben wird – mit dem, was wir in der Schule darüber gelernt haben, fast nichts mehr zu tun hat“,

und dann folgt ein längeres Zitat von Thomas von Randow in der ZEIT aus dem Jahre 1995. Dem schließen sich die Stichworte „Boolesche Algebra“, „Computer-Algebra“ , „normierte Divisionsalgebra“, „lineare Algebra“, „moderne Algebra“, „Oktonienalgebra“ und „Quaterionenalgebra“ mit jeweils ein oder mehreren Aussagen an.

Zum Begriff „Null“ werden 15 kurze Beschreibungen und zwei Zitate aus den Jahren 2000 und 2020 notiert. Dann treten u. a. noch als weitere Schlagworte auf: „grüne Null“ mit „Symbol für einen soliden Haushalt für folgende Generationen“, „rote Null“ mit ausgeglichener Haushalt mit der Tendenz zu Mehrausgaben“ und „schwarze Null“ mit „Haushalt ohne neue Schulden“ und „Fetisch einer sparsamen, konservativen Finanzpolitik in Zeiten hoher Steuereinnahmen“.

Ich habe nicht alles gelesen, aber viel – die Sammlung verlockt häufig zum Weiterlesen, manche überraschende Definitionen tauchen auf, gelegentlich regen sie zum Schmunzeln an. So wird der „Mathematiklehrer“ (der ich war) als „bedauernswerter Mensch“ beschrieben, „der nicht nur mit den Vorgaben der Didaktiker und ihrer Moden geschlagen ist, sondern auch am Gängelband der Ministerialbürokratie operieren muss, die ihm Lehrpläne und Lernziele vorschreibt“.

Schluss der Details. Wie kann man ein Wörterbuch noch kennzeichnen? Notizen und Bewertungen zu sehr vielen Mathematikern kommen vor, von den Großen des Fachs von Pythagoras über Gauß bis Hilbert und Bourbaki, von zeitgenössischen wie Hirzebruch, Zagier, Beutelspacher oder Faltings und vielen anderen, deren Namen (mir teilweise) unbekannt sind – da haben die persönlichen Interessen des Herausgebers den Ausschlag gegeben. Themen, die in den letzten Jahrzehnten fast als Mode in der Presse auftauchten, fehlen nicht: Chaos und Fraktale, Fuzzy-Logik, der Beweis des großen Fermat-Satzes durch Wiles, Primzahlrekorde, die sieben Milleniumsprobleme und manches mehr.

Leider sind nur die wörtlichen Zitate mit Quellenangabe und Datum versehen. Gern hätte ich auch an anderen Stellen, z. B. bei den Nennungen der Mathematiker, das Erscheinungsdatum und die Quelle gefunden. Alle großen Tages- und Wochenzeitungen, wie der Spiegel, Die Zeit, Frankfurter Rundschau, Frankfurter Allgemeine und Süddeutsche und Berliner Zeitung lieferten neben anderen die Notizen – der Verfasser liebt offensichtlich eine ausgiebige Zeitungslektüre.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Simon Syga, Dieter Wolf-Gladrow, Andreas Deutsch

Springer; 1. Aufl. 2022 Edition (12. August 2022); 132 Seiten; 17,99 €

ISBN-10: ‎3662648121
ISBN-13: 978-3662648124

Seit dem Beginn der Pandemie vor fast drei Jahren kamen in vielen Medien regelmäßig Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler zu Wort, deren Tätigkeit viele Menschen zuvor vermutlich nicht gekannt haben: die mathematische Modellierung. Dieser Profession gehen die drei Autoren nach, Gladrow arbeitet am Alfred-Wegener-Zentrum in Bremen, die beiden anderen an der TU Dresden. Sie wollen mit diesem Buch „die Dynamik der COVID-19-Pandemie aus einer mathematischen Perspektive“ analysieren und „grundlegende Begriffe, Modelle, Herausforderungen und auch Missverständnisse auf verständliche Weise“ beschreiben.

Im ersten Kapitel (22 Seiten) fassen sie die zugrunde liegenden Fakten dieser Krankheit und des Verlaufs der Epidemie (bis zum Oktober 2021) zusammen, die aufmerksamen Zeitgenossen sicher bekannt sein dürften: Infektion, Übertragung, typische Krankheitsverläufe, Testverfahren und Kennzahlen des Infektionsgeschehens. Von letzteren werden insbesondere die Basisreproduktionszahl R₀ und die effektiven Reproduktionszahlen (der sogenannte R-Wert) besprochen.

Danach führen die Autoren in die Mathematik der Pandemie ein. Sie verzichten im laufenden Text weitgehend auf mathematische Formeln, diese sind in „separate Infoboxen ausgelagert“. Hier werden für den mathematisch Interessierten die notwendigen Informationen geliefert, falls er die einfachen Modelle selbst in ein Programm umsetzen will. Im Buch sind nur die Ergebnisse der Simulationen in Form von Grafiken abgebildet.

Die nächsten Abschnitte (30 Seiten) sind der Mathematik des Modellierens gewidmet. Das exponentielle Wachstum, Exponential- und Logarithmus-Funktion werden beschrieben, die Differentialgleichung dafür hergeleitet und gelöst. Dem schließt sich das „Basismodell“ für das Wachstum der Infektionen in einer Epidemie an, das schon vor ca. 100 Jahren entwickelt worden ist. Es handelt sich um das SIR-Modell, dessen drei Buchstaben für die englischen Bezeichnungen der drei Gruppen stehen, in die bei diesem Modell die Bevölkerung eingeteilt wird: die für die Krankheit Anfälligen (susceptible), die Ansteckenden (infectious) und die Entfernten (removed). Ein System von einfachen Differentialgleichungen beschreibt die zeitliche Veränderung der Gruppengrößen. An Hand der Lösungen wird auch der Begriff der Herdenimmunität definiert und dessen Abhängigkeit von der Basisreproduktionszahl R₀ diskutiert.

Nachdem zunächst also die theoretische Entwicklung der Covid-Pandemie in diesem Modell beschrieben wurde, wie sie ohne reguliende Eingriffe von außen ablaufen würde, wird anschließend das Modell variiert (17 Seiten). Die möglichen Maßnahmen des Staates werden der Reihe nach untersucht. Für die Nachverfolgung der Kontakte, die zur Unterbrechung von Infektionsketten führen sollen, für die Kontaktbeschränkungen oder einen kompletten Lockdown, die den R-Wert unter 1 drücken sollen, passen die Autoren die Gleichungen an und stellen deren Lösungen grafisch dar. Schließlich untersuchen sie den Einfluss von Impfungen und zeigen die Abhängigkeit der Größe der Herdenimmunität von der Impfquote.

Während die bisherigen Modellbildungen sogenannte „Kompartmente“ untersucht haben, d. h. Gruppen der Bevölkerung (s, i, r), die in sich als homogen bezüglich der Infektiosität betrachtet werden, steht im nächsten Abschnitt ein „agenten-basiertes Modell“ im Mittelpunkt (9 Seiten). Das Phänomen des „superspreading“, das von einer hochansteckenden Person ausgehen kann, kann mit Hilfe von Netzwerken analysiert werden. Ergebnisse dieser Methode werden allerdings nur kurz vorgeführt.

Im abschließenden Kapitel (14 Seiten) diskutieren die Verfasser die Unsicherheit von Prognosen. Im Vergleich der Modellbildungen für Wetter, Klima oder eine Pandemie betonen sie die unterschiedlichen Voraussetzungen, die solchen Forschungen zu Grunde liegen. Während Wettermodelle ausschließlich von der Physik und Mathematik bestimmt sind, müssen beim Klima und bei Pandemien beispielsweise auch politische Entscheidungen oder menschliche Verhaltensänderungen einfließen, die eine Prognose beeinflussen. Man kann daher nach ihrer Meinung „Vorhersagen“ beim Wetter geben, aber sollte bei Klima und Pandemien von möglichen „Szenarien“ sprechen, die gerade wegen ihrer Existenz zu dem bekannten Phänomen des Prognose-Paradoxons führen können oder besser sollen. (Christian Drosten sprach vom Präventionsparadox und formulierte „There is no glory in prevention.“)

Der Stil des Buches ist nüchtern, knapp, aber gut verständlich, wenn man Vorkenntnisse der Differentialrechnung hat. Einige mathematische und modelltheoretische Ergänzungen im Anhang, ein Literatur- und ein Stichwortverzeichnis runden das kleine Buch ab, das ich allen sehr empfehlen kann, die Einblick in die Methoden der Modellierer erhalten wollen.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)