Leseecke

Mateusz Michałek
Bernd Sturmfels

American Mathematical Society (1. Februar 2021); Englisch; 226 Seiten; 84,55 €

ISBN-10: 1470465515
ISBN-13: 978-1470465513

Lineare Algebra ist das vielleicht am besten verstandene Gebiet der Mathematik. Sie bildet eine wichtige Grundlage für alle weiteren mathematischen Teilbereiche und besitzt unzählige Anwendungen in Wissenschaft, Technik und Wirtschaft. Nicht umsonst wird lineare Algebra deshalb gleich zu Anfang des Mathematikstudiums gelehrt. Lineare Algebra ist, grob gesagt, das Studium von linearen Gleichungssystemen. Dabei spielen Algorithmen, etwa der Algorithmus von Gauß, eine ebenso wichtige Rolle wie theoretische Konzepte, hauptsächlich aus der Vektorraumtheorie. Wer ein Mathematikstudium absolviert hat kennt diese Begriffe und Ergebnisse, und selbst in der Schule wird gewöhnlich schon ein Eindruck davon vermittelt.

Aber was ist Nichtlineare Algebra, zu der uns das vorliegende Buch von Michałek und Sturmfels einlädt? Die erste Antwort liegt auf der Hand: es ist das Studium von nichtlinearen Gleichungssystemen. „Nennt man das nicht algebraische Geometrie oder kommutative Algebra?“, könnte man mit etwas mathematischer Grundbildung einwerfen. Das stimmt, und wir müssen die erste Antwort also noch etwas verfeinern. Nichtlineare Algebra im Sinn von Michałek und Sturmfels studiert zwar Fragen der algebraischen Geometrie und kommutativen Algebra, aber bewusst mit einer Perspektive auf Anwendungen und Algorithmen. Es geht also darum, gezielt die erfolgreichen Anwendungsaspekte der linearen Algebra auf nichtlineare Situationen zu verallgemeinern. Und das ist in diesem Buch wirklich gut gelungen.

Das Buch beginnt mit einer Einführung in die Theorie von Polynomringen und Idealen. Hier werden auch Gröbnerbasen behandelt, die sich als wichtigste Methode für Algorithmen im ganzen Buch wiederfinden. Klassische algebraische Geometrie wird in Kap. 2 erklärt, und Kap. 3 führt beides unter Anwendungsperspektive schön zusammen. Wir lernen hier, ob und wie man nichtlineare Gleichungssysteme lösen und ihre Lösungsmengen angeben kann. Algebraisch ist dabei die Primärzerlegung von Idealen das wichtigste Werkzeug. In Kap. 4 wird Eliminationstheorie, also einfach gesagt folgende Frage behandelt: „Was passiert, wenn man Lösungsmengen von Gleichungssystemen polynomial abbildet?“. Neben klassischen Aussagen für Varietäten über \(\mathbb{C}\) kommt hier auch die reelle Variante, das Theorem von Tarski- Seidenberg, und der Satz von Chevalley über konstruierbare Mengen vor. Der algorithmische Aspekt wird durchgehend beibehalten und Anwendungen tauchen immer wieder in Beispielen auf. Grassmann-Varietäten sind Inhalt von Kap. 5. Sie werden als projektive Varietäten konstruiert und anhand der Plücker-Relationen beschrieben. Auch hier gibt es wieder Anwendungen, diesmal in der enumerativen Geometrie. Kap. 6 behandelt wichtige Null- und Positivstellensätze. Danach folgen in Kap. 7 tropische Algebra mit Anwendungen in der kombinatorischen Optimierung, und in Kap. 8 torische Geometrie. Im Abschnitt Die Welt ist torisch werden hier schöne Bezüge zu Chemie, Biologie und Statistik hergestellt. Die Theorie von Tensoren ist Inhalt von Kap. 9. Deren Eigenvektor- und Rangtheorie wird erklärt, und wie algebraisch- geometrische Methoden helfen können, sie besser zu verstehen. Auch die Komplexität der Matrixmultiplikation wird damit erörtert. Kap. 10 behandelt Darstellungstheorie von Gruppen, und Kap. 11 Invariantentheorie. In beiden Kapiteln sind neben den wichtigsten Ergebnissen immer algorithmische Aspekte im Fokus. In Kap. 12 wird semidefinite Optimierung mit ihrer Dualitätstheorie und geometrischen Aspekten besprochen. Die Methode von Lasserre und Parrilo für polynomiale Optimierung mittels Quadratsummen zeigt, wie man damit schwierige Probleme durch leichtere approximieren kann. Mit Kap. 13, welches Kombinatorik in Form von Matroidtheorie und dem Zählen von Gitterpunkten in Polyedern behandelt, endet das Buch.

Das Buch von Michałek und Sturmfels liefert eine sehr interessante Zusammenstellung von aktuellen Methoden und Ergebnissen der angewandten kommutativen Algebra und algebraischen Geometrie. Die Bezüge zu vielen verschiedenen Gebieten innerhalb und außerhalb der Mathematik zeigen, wie erfolgreich dieser Ansatz bereits jetzt ist. Die Darstellung bleibt dabei stets einladend und so elementar wie möglich. Viele Illustrationen und Beispiele machen es zu einer Freude, das Buch in die Hand zu nehmen, ein großes Sortiment an Aufgaben lädt zum eigenen Vertiefen der Erkenntnisse ein. Der Stoff bietet reichhaltige Inspiration auch für Vorlesungen, die gegen Ende des Bachelorstudiums und natürlich im Master inhaltlich gut in viele Curricula passen sollten. Wer sich für moderne Aspekte der angewandten Algebra und Geometrie interessiert, dem sei dieses Buch unbedingt empfohlen.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, 2023, Band 70, S. 61-62
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Tim Netzer (Innsbruck)

Vasco Alexander Schmidt

BoD – Books on Demand; 1. Edition (16. Januar 2023); Taschenbuch; 238 Seiten; 10 €

ISBN-10: 3756236544
ISBN-13: 978-3756236541

Wie kann oder soll man ein Wörterbuch oder Lexikon rezensieren? Wer, wie ich, erst einmal das Buch an zufälliger Stelle aufschlägt und quer liest, wird sich an manchen Stellen doch sehr wundern (etwa steht unter dem Stichwort „kleines Einmaleins“ der Text „sinnliche Angelegenheit, die zwei verschiedene Systeme im Gehirn beschäftigt“). Ein Wörterbuch der Mathematik – wie es im Untertitel heißt? Aber genauer steht dort ja „Wörterbuch der populären Mathematik“. Und so sollte man auf jeden Fall die Einleitung vorweg lesen, die eine Beschreibung und Erklärung liefert, wie das Buch entstanden ist und welche Inhalte es präsentiert.

Der Verfasser, studierter Mathematiker und promoviert in Linguistik über das Thema „Grade der Fachlichkeit in Textsorten zum Themenbereich Mathematik“, hat über 30 Jahre lang Zeitungstexte über die Welt der Mathematik gesammelt – nicht systematisch, „sondern abhängig von der verfügbaren Zeit und sich wandelnden Interessen“. Im Buch  exzerpiert er aus diesen Texten kurze Aussagen und sortiert diese unter Stichworten ein. So beschreibt er dieses Wörterbuch schließlich als „kein Nachschlagewerk, sondern eine persönliche Sammlung mathematischer Popularisierungsversuche“.

Und da man ein Lexikon nicht von vorn bis hinten liest, schlagen wir einfach auf und lesen dort weiter. Zum Stichwort „Algebra“ notiert er folgende drei Erläuterungen

• „Rechnen mit Unbekannten“,
• „Rechnen mit Ergänzungen und Ausgleich“,
• „Fachgebiet, das - wie es heute in der Mathematik betrieben wird – mit dem, was wir in der Schule darüber gelernt haben, fast nichts mehr zu tun hat“,

und dann folgt ein längeres Zitat von Thomas von Randow in der ZEIT aus dem Jahre 1995. Dem schließen sich die Stichworte „Boolesche Algebra“, „Computer-Algebra“ , „normierte Divisionsalgebra“, „lineare Algebra“, „moderne Algebra“, „Oktonienalgebra“ und „Quaterionenalgebra“ mit jeweils ein oder mehreren Aussagen an.

Zum Begriff „Null“ werden 15 kurze Beschreibungen und zwei Zitate aus den Jahren 2000 und 2020 notiert. Dann treten u. a. noch als weitere Schlagworte auf: „grüne Null“ mit „Symbol für einen soliden Haushalt für folgende Generationen“, „rote Null“ mit ausgeglichener Haushalt mit der Tendenz zu Mehrausgaben“ und „schwarze Null“ mit „Haushalt ohne neue Schulden“ und „Fetisch einer sparsamen, konservativen Finanzpolitik in Zeiten hoher Steuereinnahmen“.

Ich habe nicht alles gelesen, aber viel – die Sammlung verlockt häufig zum Weiterlesen, manche überraschende Definitionen tauchen auf, gelegentlich regen sie zum Schmunzeln an. So wird der „Mathematiklehrer“ (der ich war) als „bedauernswerter Mensch“ beschrieben, „der nicht nur mit den Vorgaben der Didaktiker und ihrer Moden geschlagen ist, sondern auch am Gängelband der Ministerialbürokratie operieren muss, die ihm Lehrpläne und Lernziele vorschreibt“.

Schluss der Details. Wie kann man ein Wörterbuch noch kennzeichnen? Notizen und Bewertungen zu sehr vielen Mathematikern kommen vor, von den Großen des Fachs von Pythagoras über Gauß bis Hilbert und Bourbaki, von zeitgenössischen wie Hirzebruch, Zagier, Beutelspacher oder Faltings und vielen anderen, deren Namen (mir teilweise) unbekannt sind – da haben die persönlichen Interessen des Herausgebers den Ausschlag gegeben. Themen, die in den letzten Jahrzehnten fast als Mode in der Presse auftauchten, fehlen nicht: Chaos und Fraktale, Fuzzy-Logik, der Beweis des großen Fermat-Satzes durch Wiles, Primzahlrekorde, die sieben Milleniumsprobleme und manches mehr.

Leider sind nur die wörtlichen Zitate mit Quellenangabe und Datum versehen. Gern hätte ich auch an anderen Stellen, z. B. bei den Nennungen der Mathematiker, das Erscheinungsdatum und die Quelle gefunden. Alle großen Tages- und Wochenzeitungen, wie der Spiegel, Die Zeit, Frankfurter Rundschau, Frankfurter Allgemeine und Süddeutsche und Berliner Zeitung lieferten neben anderen die Notizen – der Verfasser liebt offensichtlich eine ausgiebige Zeitungslektüre.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Simon Syga, Dieter Wolf-Gladrow, Andreas Deutsch

Springer; 1. Aufl. 2022 Edition (12. August 2022); 132 Seiten; 17,99 €

ISBN-10: ‎3662648121
ISBN-13: 978-3662648124

Seit dem Beginn der Pandemie vor fast drei Jahren kamen in vielen Medien regelmäßig Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler zu Wort, deren Tätigkeit viele Menschen zuvor vermutlich nicht gekannt haben: die mathematische Modellierung. Dieser Profession gehen die drei Autoren nach, Gladrow arbeitet am Alfred-Wegener-Zentrum in Bremen, die beiden anderen an der TU Dresden. Sie wollen mit diesem Buch „die Dynamik der COVID-19-Pandemie aus einer mathematischen Perspektive“ analysieren und „grundlegende Begriffe, Modelle, Herausforderungen und auch Missverständnisse auf verständliche Weise“ beschreiben.

Im ersten Kapitel (22 Seiten) fassen sie die zugrunde liegenden Fakten dieser Krankheit und des Verlaufs der Epidemie (bis zum Oktober 2021) zusammen, die aufmerksamen Zeitgenossen sicher bekannt sein dürften: Infektion, Übertragung, typische Krankheitsverläufe, Testverfahren und Kennzahlen des Infektionsgeschehens. Von letzteren werden insbesondere die Basisreproduktionszahl R₀ und die effektiven Reproduktionszahlen (der sogenannte R-Wert) besprochen.

Danach führen die Autoren in die Mathematik der Pandemie ein. Sie verzichten im laufenden Text weitgehend auf mathematische Formeln, diese sind in „separate Infoboxen ausgelagert“. Hier werden für den mathematisch Interessierten die notwendigen Informationen geliefert, falls er die einfachen Modelle selbst in ein Programm umsetzen will. Im Buch sind nur die Ergebnisse der Simulationen in Form von Grafiken abgebildet.

Die nächsten Abschnitte (30 Seiten) sind der Mathematik des Modellierens gewidmet. Das exponentielle Wachstum, Exponential- und Logarithmus-Funktion werden beschrieben, die Differentialgleichung dafür hergeleitet und gelöst. Dem schließt sich das „Basismodell“ für das Wachstum der Infektionen in einer Epidemie an, das schon vor ca. 100 Jahren entwickelt worden ist. Es handelt sich um das SIR-Modell, dessen drei Buchstaben für die englischen Bezeichnungen der drei Gruppen stehen, in die bei diesem Modell die Bevölkerung eingeteilt wird: die für die Krankheit Anfälligen (susceptible), die Ansteckenden (infectious) und die Entfernten (removed). Ein System von einfachen Differentialgleichungen beschreibt die zeitliche Veränderung der Gruppengrößen. An Hand der Lösungen wird auch der Begriff der Herdenimmunität definiert und dessen Abhängigkeit von der Basisreproduktionszahl R₀ diskutiert.

Nachdem zunächst also die theoretische Entwicklung der Covid-Pandemie in diesem Modell beschrieben wurde, wie sie ohne reguliende Eingriffe von außen ablaufen würde, wird anschließend das Modell variiert (17 Seiten). Die möglichen Maßnahmen des Staates werden der Reihe nach untersucht. Für die Nachverfolgung der Kontakte, die zur Unterbrechung von Infektionsketten führen sollen, für die Kontaktbeschränkungen oder einen kompletten Lockdown, die den R-Wert unter 1 drücken sollen, passen die Autoren die Gleichungen an und stellen deren Lösungen grafisch dar. Schließlich untersuchen sie den Einfluss von Impfungen und zeigen die Abhängigkeit der Größe der Herdenimmunität von der Impfquote.

Während die bisherigen Modellbildungen sogenannte „Kompartmente“ untersucht haben, d. h. Gruppen der Bevölkerung (s, i, r), die in sich als homogen bezüglich der Infektiosität betrachtet werden, steht im nächsten Abschnitt ein „agenten-basiertes Modell“ im Mittelpunkt (9 Seiten). Das Phänomen des „superspreading“, das von einer hochansteckenden Person ausgehen kann, kann mit Hilfe von Netzwerken analysiert werden. Ergebnisse dieser Methode werden allerdings nur kurz vorgeführt.

Im abschließenden Kapitel (14 Seiten) diskutieren die Verfasser die Unsicherheit von Prognosen. Im Vergleich der Modellbildungen für Wetter, Klima oder eine Pandemie betonen sie die unterschiedlichen Voraussetzungen, die solchen Forschungen zu Grunde liegen. Während Wettermodelle ausschließlich von der Physik und Mathematik bestimmt sind, müssen beim Klima und bei Pandemien beispielsweise auch politische Entscheidungen oder menschliche Verhaltensänderungen einfließen, die eine Prognose beeinflussen. Man kann daher nach ihrer Meinung „Vorhersagen“ beim Wetter geben, aber sollte bei Klima und Pandemien von möglichen „Szenarien“ sprechen, die gerade wegen ihrer Existenz zu dem bekannten Phänomen des Prognose-Paradoxons führen können oder besser sollen. (Christian Drosten sprach vom Präventionsparadox und formulierte „There is no glory in prevention.“)

Der Stil des Buches ist nüchtern, knapp, aber gut verständlich, wenn man Vorkenntnisse der Differentialrechnung hat. Einige mathematische und modelltheoretische Ergänzungen im Anhang, ein Literatur- und ein Stichwortverzeichnis runden das kleine Buch ab, das ich allen sehr empfehlen kann, die Einblick in die Methoden der Modellierer erhalten wollen.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Andreas Loos, Rainer Sinn, Günter M. Ziegler

Springer; 1. Aufl. 2022 Edition (1. Juli 2022); 506 Seiten; 22,99 €

ISBN-10: 3662548720
ISBN-13: ‎978-3662548721

„Was ist Mathematik?“ – so ist der erste Teil dieses Buches überschrieben. Und mit dieser Überschrift knüpfen die drei Autoren nach eigenem Bekunden ausdrücklich an das berühmte Buch gleichen Titels von Courant und Robbins an. Es galt lange Zeit als ein Standardwerk zur Einführung in das Fach. Die drei Verfasser – Ziegler und Sinn sind Professoren für Mathematik, Loos ist Wissenschaftsjournalist – legen hier ein Buch vor für  „alle, die wissen und darüber nachdenken wollen, was Mathematik ist, insbesondere an Studierende der Mathematik“. Damit setzen sie – so wage ich zu behaupten – mit seinem aktuellen wissenschaftlichen Anspruch und seiner zeitgemäßen gestalterischen Umsetzung einen neuen Standard.

In dem angesprochenen ersten Teil geht es um allgemeine Fragen: Wie funktioniert mathematische Forschung, welche Rolle spielen Beweise, welche Bedeutung haben Formeln und Bilder, was ist die Philosophie der Mathematik? Im zweiten Teil, „Konzepte“, werden beispielhaft einige grundlegende Bereiche des Faches vorgestellt, nämlich Primzahlen, Zahlbereiche, Fragen der Unendlichkeit, Dimensionen in der Geometrie, die Entwicklung des Funktions-Begriffs und die Mathematik des Zufalls. Der dritte Teil „Mathematik im Alltag“ widmet sich den Anwendungen und dem Bild der Mathematik in der Öffentlichkeit.

Alle 15 Kapitel in diesen drei Teilen sind nach dem gleichen Schema gegliedert. Auf wenigen Seiten unter der Überschrift „Thema“ fassen die Autoren den wesentlichen Inhalt zusammen; die Darstellung setzt hier weniger Kenntnisse der Mathematik voraus. In den anschließenden „Variationen“ werden die angesprochenen Bereiche verbreitert, teils mit mehr Mathematik vertieft, auch in Teilen erklärt, häufig mit geschichtlichen Bemerkungen ergänzt und mit biographischen Notizen versehen. Während im Abschnitt „Thema“ die volle Buchseite ausgenutzt wird, unterscheiden sich die „Variationen“ schon im Layout deutlich davon: nur zwei Drittel des Blattes enthalten den fortlaufenden Text, während das restliche Drittel für ergänzende Informationen wie knappe Lebensläufe, kurze Faksimiles berühmter Quelltexte, grafische Veranschaulichungen vorbehalten ist (oder frei bleibt).

Nach „Thema“ und „Variationen“ folgen „Partituren“: diese enthalten eine fünf bis zehn Titel umfassende Liste mathematischer „Bestseller“, die jeweils mit einem kurzen Kommentar bewertet werden. Das Ende jedes Kapitel bilden die „Etüden“: dabei handelt es sich um Aufgaben ganz unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades und Umfangs. Es gibt Aufgaben, die man in wenigen Zeilen lösen kann, und geht hin bis zu Fragestellungen, die zu einem Seminarvortrag oder einer Hausarbeit ausgearbeitet werden können und bei denen zu ausgiebigen Recherchen angeregt wird.

An dieser Stelle schon einmal eine erste Einschätzung: Ich finde dieses Buch großartig.  Die sicher mühevolle Arbeit an diesem Werk – mehr als elf Jahre haben die Verfasser daran gearbeitet – hat sich gelohnt. Um einen besseren Eindruck vom Stil und Inhalt zu geben, will ich im Folgenden jeweils ein Kapitel aus den drei Teilen ausführlicher besprechen.

In Teil 1 geht es in einem Kapitel um „Beweise“. Im Abschnitt „Thema“ (6 Seiten) wird auf Euklid verweisend der klassische Aufbau mit Axiomen, Definitionen, Lehrsätzen und Beweisen beschrieben. Dem schließen sich eine Aufzählung von Beweistechniken und Überlegungen zu den Grenzen der Beweisbarkeit an, auf deren ausführliche Besprechung im Kapitel über „Philosophie der Mathematik“ hingewiesen wird.

Bei den „Variationen“ (15 Seiten) sind zunächst die historischen Wurzeln bei den alten Griechen Thema: Thales von Milet, Aristoteles und Eudoxos werden neben Euklid erwähnt und dessen Schriften über geometrische und zahlentheoretische Inhalte beschrieben, in denen sich der euklidische Algorithmus und „der berühmte Satz von der Unendlichkeit der Primzahlen“ findet. Es folgen anschauliche Beschreibungen von direktem und indirektem Beweis, vom Schubfachprinzip und von der vollständigen Induktion, letztere wird mit Abbildung historischer Quelle am Pascal’schen Dreieck demonstriert. Neben diesen klassischen Verfahren, stellt die von Paul Erdös entwickelte probabilistische Methode, vorgeführt an einem Beispiel aus der Graphentheorie (Ramsey-Zahl), ein modernes Verfahren vor. Weiter wird thematisiert, wie sich die Anforderungen an die Strenge von Beweisen verändert haben. Hilbert (für die Geometrie), van der Waerden (für die Algebra) und schließlich Bourbaki haben im letzten Jahrhundert dafür neue Maßstäbe gesetzt. Abschließend diskutieren die Verfasser ausführlich die Rolle des Computers bei Beweisen, die seit dem 1976 veröffentlichten Beweis des Vierfarbensatzes bis heute unterschiedlich beurteilt wird.

Das Kapitel „Unendlichkeit“ aus Teil 2 stellt im Abschnitt „Thema“ (4 Seiten) die schon in der Antike von Aristoteles, Zenon und Archimedes angestellten Überlegungen und Paradoxien vor. Beschreibt weiter Paradoxien der Geometrie, wie die schon von Torricelli im 17. Jahrhundert entdeckte „Trompete“, die ein Körper mit endlichem Volumen, aber unendlicher Oberfläche ist. Der moderne Umgang mit dem Unendlichen etwa in der Mengenlehre, wie sie mit dem Namen Cantor verbunden ist, oder in der projektiven Geometrie beschließen diesen Abschnitt. In den „Variationen“ (20 Seiten) wird die von Aristoteles eingeführte Unterscheidung von „aktualen“ und „potenziellen“ Unendlichkeiten diskutiert und gezeigt, dass diese die Mathematikgeschichte bis heute beschäftigt. Ausführlicher auch anhand von Quelltexten ist die mathematische Fassung der Unendlichkeit im 19. Jahrhundert dargestellt, die von den Gegensätzen von Kummer und Weierstraß auf der einen und Dedekind und Cantor auf der anderen Seite geprägt wurde. Recht kurz erfährt man noch von „modernen“ Entwicklungen wie der Non-Standard-Analysis.

Aus dem dritten Teil „Mathematik im Alltag“ wähle ich das Kapitel „Algorithmen und Komplexität“, dass erst durch die Computer-Technik in unserer Zeit eine besondere Bedeutung gewonnen hat – das wird im ersten Abschnitt im „Thema“ begründet (7 Seiten). Die „Variationen“ (17 Seiten) beginnen mit der „Neunerprobe“ und einer sehr kurzen Erwähnung des arabischen Mathematikers Musa al-Hwarizmi, von dessen Namen sich das Wort „Algorithmus“ ableitet. Auf dem Weg zum programmierbaren Rechner begegnen uns Schickard, Leibniz und Pascal, die mechanische Rechenmaschinen entwickelt haben, dann Jacquard mit seinem mechanischen Webstuhl und schließlich Charles Babbage, der eine „Analytical Engine“ plante, die nie gebaut wurde, und Ada Lovelace, die das erste Computerprogramm dafür schrieb. Über Alan Turing kommen die Verfasser dann auch sehr schnell auf den Begriff der Komplexität und das Problem „P versus NP“ zu sprechen, das für die praktische Berechenbarkeit vieler Algorithmen von großer Bedeutung ist. Das bekannte Travelling-Salesman-Problem dient hier als Beispiel für eine ausführliche Demonstration.

Die Verfasser schreiben im Vorwort „Insgesamt ist das Buch als ein Lesebuch gedacht, das erzählt, aber nur in sehr kleinem Umfang Mathematik erklärt.“ (Kursivschrift von den Verfassern). Und weiter „Das Ganze ist als ein Lese- und Schmökerbuch gedacht, das kreuz und quer gelesen werden kann und soll.“ So bin ich auch an dieses Buch herangegangen, habe Kapitel ausgewählt, mir Vertrautes gefunden, aber auch Neues gelernt, nach Querverweisen andere Abschnitte aufgeschlagen und dort weitergelesen – immer mich gefreut, wie inspirierend und lebendig die Mathematik und ihre Geschichte hier erzählt wird.

Ein Personen- und ein Sachverzeichnis sind sehr hilfreich beim Schmökern. Wer dann noch mehr erfahren will, findet in den Partituren und im kompletten Literaturverzeichnis mit über 500 Titeln sicher die richtige Quelle.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Matthias Müller, Christina Walther

Springer; 1. Aufl. 2022 Edition (10. Juni 2022); Taschenbuch, ‏  155Seiten

ISBN-10: ‎3662646633
ISBN-13: 978-3662646632

Die beiden Autoren – Matthias Müller, Mathematiker, und Christina Müller, Chemikerin, beide promoviert  – haben gemeinsam am Schülerforschungszentrum in Jena Fragestellungen und Experimente mit Kindern und Jugendlichen entwickelt und erprobt. Dabei gilt für sie „das forschend-entdeckende Lernen sowohl für den naturwissenschaftlichen als auch für den mathematischen Bereich als geeignete Arbeitsweise oder sogar als didaktisches Prinzip“. In diesem Buch sind zwanzig „alltägliche Experimente“ zusammengestellt, die sich für „zu Hause“ an die „ganze Familie richten“.

In allen Kapiteln werden die Experimente stets in familiäre Situationen eingebettet, in denen die Eltern, drei Kinder und Oma und Opa von alltäglichen Fragen ausgehend sich mathematischen oder chemischen Themen widmen. In dieser Familie sind alle sehr wissbegierig und mindestens einer von ihnen kann die anderen zu den verschiedenen Untersuchungen motivieren und sie anleiten. Eine ideale Wissenschaftsfamilie!

Da hier in der „Leseecke“ der DMV wohl mathematische Literatur erwartet wird, werde ich zunächst und ausführlicher auf die 12 kleinen mathematischen Projekte eingehen, bevor auch die anderen 8 besprochen werden, die sich im wesentlichen mit chemischen Themen befassen (im Buch allerdings in bunter Reihenfolge angeordnet sind).

Selber handwerklich aktiv werden muss man bei Themen aus der Geometrie, wenn man aus Papier einen Tetraeder auffalten oder ein Papp-Modell des von dem Mathematiker George Polya so genannten „Allzweckstöpsels“ herstellen soll. Bei letzterem lernt man eine Software („3-D-Builder“) kennen, mit dessen Hilfe dieser Körper sogar über einen 3-D-Drucker erzeugt werden könnte. Den Satz des Pythagoras findet man dann in Anwendungen bei der Gärtnerkonstruktion der Ellipse und bei Fliesenmustern. Etwas anspruchsvoller wird die Mathematik, wenn es um „Gleichdicks“ geht. Dieses Thema dürfte eher unbekannt und deshalb wohl überraschend für viele Leser sein. Wie man diese konstruieren kann, das ist sehr anschaulich beschrieben; etwas anspruchsvoller sind hier die Beweise. Das gilt ebenso für die interessanten Untersuchungen dreier bekannter Spiele, „Monopoly“, „Siedler von Catan“ und „Mäxchen“ (auch unter „Lügen-Max“ oder „21“ bekannt), bei denen jeweils zwei Würfel benutzt werden. In diesen Abschnitten können auch erste Erfahrungen mit einer Tabellenkalkulations-Software erworben werden. Nach diesem Kapitel weiß man, warum die Oma beim „Monopoly“ öfter als die Enkelin gewinnt. Auch nach der Analyse des Würfelspiels „Mäxchen“ könnte man seine Gewinnchancen künftig erhöhen. Ein wenig „höhere“ Mathematik wird benötigt, wenn eine geometrische Reihe aufgestellt und diskutiert wird – aber hier wird das Thema auch nur lehrbuchartig abgehandelt und nicht „experimentell“ erarbeitet.

Farbstoffe stehen im Mittelpunkt mehrerer chemischer Experimente. Dabei geht es um Filzstifte und Textmarker,  die mit Filterpapier und Lösungsmitteln (Chromatographie) und UV-Licht (Fluoreszenz) auf die enthaltenen Farbstoffe untersucht werden. Weiterhin werden Pflanzenfarbstoffe und deren Eigenschaft als mögliche Säure-Basen-Indikatoren analysiert. Hier werden schon etwas fortgeschrittene Kenntnisse der Chemie vermittelt, allerdings überschreiten die komplizierten Strukturformeln der organischen Chemie wohl die Kenntnisse in vielen Familien. Recht sorgfältiges Arbeiten wird bei einigen Versuchen verlangt, wenn sie gelingen sollen.  Auch nicht alle für die Experimente  erforderlichen Stoffe dürften in Haushalten vorrätig sein, allerdings lassen sie sich leicht beschaffen (z. B. Brennspiritus oder Pottasche).

Die Kapitel zur Chemie sind in ihren theoretischen Ausführungen auf etwas höherem Niveau angesiedelt. Erfahrungsgemäß aber machen solche experimentellen Untersuchungen interessierten Jugendlichen Spaß, auch wenn sie zunächst die theoretischen Zusammenhänge nicht voll verstehen. Die 12 mathematischen Abschnitte des Buches sind unabhängig voneinander zu lesen – die einfacheren davon sind ab 10 Jahren, die anderen ab 14 Jahren gut zu bearbeiten. Wie im Buch in der Rahmenhandlung erzählt, wird aber die Hilfe von Älteren (Geschwistern, Freunden oder Verwandten) hilfreich sein. Dasselbe gilt für die chemischen Experimente.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)