Leseecke

Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure
Band 1: Analysis und Lineare Algebra
Band 2: Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Numerik und Statistik

von Finckenstein, Lehn, Schellhaas, Wegmann
Teubner Verlag, 440 Seiten, 4. Auflage, 2006, 37,99 €
Teubner Verlag, 506 Seiten, 3. Auflage, 2006, 32,99 €

ISBN: 3-8351-0034-3
ISBN: 3-8351-0030-0

Es folgen die Rezensionen von: Band 1 und Band 2

Band 1: Analysis und Lineare Algebra

Beurteilung

Die Bücher richten sich an Studierende der ingenieurswissenschaftlichen Fachrichtungen an Universitäten. Der Inhalt der beiden Bände ist an den Bedürfnissen der Grundausbildung in Mathematik orientiert, wie sie üblicherweise in einer viersemestrigen Vorlesungsreihe erfolgt.
Das Verständnis wird durch die große Anzahl von Beispielen gefördert, welche überwiegend auch vollständig durchgerechnet werden. Am Ende eines jeden Kapitels gibt es auch noch Test- und Übungsaufgaben, deren Lösungen sich am Ende des Buches befinden.

Inhalt

1. Über reelle Zahlen
2. Beweismethoden
3. Mengen und Abbildungen
4. Spezielle reelle Funktionen
5. Komplexe Zahlen
6. Binomische Formeln, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeiten
7. Vektoren und Geraden im R2
8. Vektoren und Geraden im R3
9. Lineare Räume
10. Matrizen
11. Determinanten
12. Lineare Gleichungssysteme
13. Eigenwert-Theorie und quadratische Formen
14. Folgen und Konvergenzbegriff
15. Grenzwert und Stetigkeit reeller Funktionen
16. Eigenschaften stetiger Funktionen
17. Differentiation
18. Eigenschaften differenzierbarer Funktionen
19. Reihen
20. Exponentialfunktion und Logarithmus
21. Das Integral
22. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
23. Einige Integrationstechniken
24. Uneigentliche Integrale
25. Folgen und Reihen von Funktionen
26. Potenzreihen
27. Der Satz von Taylor
28. Fourier-Reihen
29. Reelle Funktionen mehrerer Veränderlicher
30. Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlicher
31. Richtungsableitung, Satz von Taylor, Extrema
32. Implizite Funktionen, Extrema mit Nebenbedingungen
33. Integrale mit Parametern
34. Wege im Rn
35. Wegintegrale
36. Integrale im Rn
37. Vektoranalysis

• Lösungen
• Literaturhinweise
• Sachverzeichnis

Band 2: Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Numerik und Statistik

Inhalt

Differentialgleichungen
1. Gewöhnliche Differentialgleichungen; Einführung und geometrische Betrachtungen
2. Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung
3. Existenz- und Eindeutigkeitsfragen
4. Spezielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung
5. Lineare Differentialgleichungen der Ordnung n
6. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
7. Systeme von Differentialgleichungen
8. Approximative Lösungsverfahren
9. Rand- und Eigenwertprobleme
10. Klassifikation der partiellen Differentialgleichungen 2.Ordnung
11. Lösungsmethoden bei partiellen Differentialgleichungen 2.Ordnung
12. Die Laplace-Transformation
Funktionentheorie
13. Die komplexe Zahlenebene
14. Komplexe Funktionen
15. Differentiation
16. Konforme Abbildungen
17. Integration
18. Die Cauchyschen Integralformeln
19. Potenz- und Laurentreihen
20. Der Residuensatz
Numerische Mathematik
21. Direkte Lösung linearer Gleichungssysteme
22. Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme
23. Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren
24. Lösungen nichtlinearer Gleichungen und Systeme
25. Interpolation und Approximation
26. Numerische Integration
27. Numerische Behandlung von Anfangswertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen
28. Numerische Behandlung von steifen Differentialgleichungen
29. Numerische Behandlung von Randwertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen
30. Numerische Behandlung von Randwertproblemen partieller Differentialgleichungen
31. Numerische Behandlung von Anfangs-Randwertproblemen partieller Differentialgleichungen
Statistik
32. Beschreibende Statistik, Messreihen
33. Zufallsexperiment und Wahrscheinlichkeit
34. Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit
35. Zufallsvariablen und Verteilungsfunktion
36. Erwartungswert und Varianz
37. Zentraler Grenzwertsatz und empirische Verteilungsfunktion
38. Testverteilungen und Quantilapproximationen
39. Schätzverfahren und ihre Eigenschaften
40. Maximum-likelihood-Schätzer
41. Konfidenzintervalle
42. Tests bei Normalverteilungsannahmen
43. Χ2-Anpassungstests
44. Einfache Varianzanalyse
45. Schätzen und Tests bei der Regression

• Lösungen
• Statistische Tabellen
• Literaturhinweise
• Index

Symbolic Asymptotics

J. R. Shackell
Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 243 Seiten, 59,95 €

ISBN 3-540-21097-0

This book is the first text book about symbolic asymptotics, written by one of its major contributors. It deals with the question to calculate limits and asymptotic expansions of real functions symbolically.

The book contains the following chapters:
Chapter 1: Introduction. In the introduction the author explains the concepts of towers of fields, explog-functions etc., and shows by examples which algorithmic problems occur.
Chapter 2: Zero Equivalence. In this chapter zero equivalence of constants and of functions is considered. Schanuel’s Conjecture and Richardson’s Uniformity Conjecture are touched. Algorithms and examples are given. Modular methods and Hensel lifting are discussed. Systems of partial differential equations and differential ideals are introduced.
Chapter 3: Hardy Fields. The concept of Hardy fields is introduced, their closure properties and their relation to algebraic differential equations is discussed. Further properties of Hardy fields are investigated.
Chapter 4: Output Data Structures. Here asymptotic power series as well as multiseries which enable the use of different scales are introduced. Exponentials, logarithms, powers etc. of multiseries are treated. Finally the algebra of star products is investigated. Star products are generalizations of nested expansions and multiseries.
Chapter 5: Algorithms for Function Towers. To compute limits and asymptotic expressions, one regards functions as elements in a tower of Hardy fields

Problems that occur in this treatment are discussed, and an algorithm for the exp-log case is given. The exp-log case is generalized by adding exponentials, integrals, algebraic entensions etc. Finally Cartesian representations are studied.
Chapter 6: Algebraic Differential Equations. Nested forms of Hardy field solutions of algebraic differential equations are discussed, and an algorithm to detect such solutions is given. Theorems about the number of cases and ideas to reduce the complexity are given. Finally sparse differential equations are considered.
Chapter 7: Inverse Functions. Until recently it was unknown whether the inverse of an exp-log function is necessarily asymptotic to an exp-log function. That this is not the case was discovered by Shackell in 1993. However, inverses of Hardy field members that tend to infinity belong to a Hardy field, again. In this chapter the inversion of nested expansions is covered, and multiseries of inverse functions are discussed.
Chapter 8: Implicit Functions. In this chapter asymptotic series of implicit functions are considered.
Chapter 9: Star-Product Expansions. The rewriting of exp-log expressions into standard star expansion form is discussed. Growth classes in Hardy fields are introduced.
Chapter 10: Oscillating Functions. Oscillating functions are never members of Hardy fields. Hence this chapter deals with different methods for this purpose. The book finishes with an example.

Many algorithms and examples are discussed in the book. I would have been interested to read in detail which of these algorithms are implemented in an existing computer algebra system like Maple. It is not clearly stated which parts of the book are covered by Maple’s asympt command. However, on pp. 91–92 the author informs about Dominik Gruntz’s limit implementation in Maple, and announces a current update process of asympt by Bruno Salvy.

The book contains a wealth of information on symbolic asymptotics. It fills a gap in the literature and should be found in every library. The user of a computer algebra system who is interested to understand the output of a command like Maple’s asympt finds much interesting information. Actually many users might not even be aware about the complexity of such a command.

Rezension: Wolfram Koepf (Kassel) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 37 - Oktober 2005

Elliptische Kurven in der Kryptographie

A. Werner
Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 2002, 22,95 €

ISBN 3-540-42518-7

Das vorliegende Buch entstand aus einer zweisemestrigen Vorlesung über Kryptographie und richtet sich an Mathematik- und Informatikstudenten ab dem fünften Semester. Der Text beginnt mit einem einleitenden Kapitel über RSA und das Problem des diskreten Logarithmus (DL). Im zweiten Abschnitt werden affine und projektive Kurven eingeführt und der Begriff der Singularität erklärt. Anschließend werden elliptische Kurven, deren Normalformen in verschiedenen Charakteristiken und die Addition von Punkten behandelt. Das dritte Kapitel umfaßt den Schoof-Algorithmus zur Bestimmung der Anzahl von Punkten elliptischer Kurven über endlichen Körpern sowie einen Abschnitt über supersinguläre elliptische Kurven. In den nächsten beiden Kapiteln geht es um allgemeine und spezielle Verfahren für die Lösung des DL-Problems sowie um praktische Konsequenzen. Dort findet sich außerdem die Behandlung digitaler Signaturen. In einem Anhang werden die benötigten Vorkenntnisse aus der Algebra und Zahlentheorie zusammengestellt.

Bereits im Vorwort wird darauf hingewiesen, daß gelegentlich Resultate ohne Beweis zitiert werden, um den Text für Studenten mit Grundkenntnissen in linearer Algebra und Algebra zugänglich zu machen. Diese Lücken finden sich vor allem im dritten und vierten Kapitel bei der Behandlung des Schoof-Algorithmus und der speziellen DL-Lösungsverfahren (für supersinguläre und anomale Kurven).

Wir haben im vergangenen Semester ein Proseminar zum Thema Kryptographie angeboten und dabei zunächst die Texte von Buchmann, Einführung in die Kryptographie und Werner als Literatur benutzt. Der Inhalt des einleitenden Kapitels und die allgemeinen Methoden zum DL-Problem sowie der Indexkalkül bilden die Schnittmenge der beiden Texte. Auf Wunsch der Studenten haben wir bei der Vorbereitung der Vorträge über elliptische Kurven andere Quellen hinzugezogen, um einige der Stellen zu ergänzen, an denen in dem vorliegenden Text nur Skizzen oder Ideen gegeben werden (soweit das im Rahmen eines Proseminares möglich war).

Meiner Meinung nach geht das Konzept der Autorin nicht ganz auf - wenn zu vieles nur oberflächlich behandelt werden kann, ist es schwierig, Verständnis für die Thematik zu gewinnen. Für eine Vorlesung (bei der den Studenten die Möglichkeit zum Nachfragen gegeben ist) eignet sich dieser Stil womöglich besser als für ein Buch, das auch zum Selbststudium genutzt werden soll. Dennoch: Für alle, die zunächst nur einen Überblick suchen und sich an den oben genannten Lücken nicht stören, ist der Text durchaus nützlich, da die behandelte Aspekte ausführlich und leicht verständlich erklärt werden.

Rezension: Julia Hartmann (Heidelberg) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 34 - März 2004

Mathematik für Informatiker
Grundlagen und Anwendungen

Werner Struckmann, Dietmar Wätjen
Elsevier Spektrum Akademischer Verlag, 564 Seiten, 2016, 2. Aufl. , 29,99 €

ISBN: 3-6624-9869-3

Beurteilung

Anliegen des Buches ist es, den Stellenwert der Mathematik für die Informatik deutlich zu machen. Dies soll erreicht werden, indem die mathematischen Sachverhalte nicht nur präzise dargestellt, sondern auch viele ihrer Anwendungen in der Informatik ausführlich beschrieben werden.
Neben der Auffrischung der Kenntnisse in den Grundthemen der Analysis und Linearen Algebra behandelt dieses Buch hauptsächlich den Stoff des zweiten oder späterer Studienjahre. Zu jedem Kapitel gibt es Übungsaufgaben, zu welchen es die Lösungen im Internet gibt.
Die einzelnen Kapitel sind sehr ausführlich und mit vielen Beispielen. Das Buch ist daher zu empfehlen, wobei Studienanfänger sich vielleicht ein wenig überfordert vorkommen könnten, aber es ist ja auch ausdrücklich für spätere Semester konzipiert.

Inhalt

1. Logik
   (Aussagenlogik, Prädikatenlogik, Logik und Programmierung, Aufgaben)
2. Mengen, Relationen und Funktionen
   (Mengen, Relationen, Partielle und totale Funktionen, Berechenbarkeit und funktionale Programmierung, Aufgaben)
3. Zahlen
   (Zahlenmengen, Mächtigkeit von Mengen, Darstellung von Zahlen, Aufgaben)
4. Komplexität von Algorithmen
   (Folgen und Reihen, Stetige und differenzierbare Funktionen, Größenordnungen von Funktionen, Rekurrenzgleichungen und erzeugende Funktionen, Matroide, Aufgaben)
5. Graphentheorie
   (Grundbegriffe der Graphentheorie, Speicherung von Graphen, Bäume und Wälder, Planare Graphen, Euler'sche und Hamilton'sche Graphen, Färbung von Graphen, Matchingprobleme, Aufspannende Bäume und Wälder, Aufgaben)
6. Grundlagen der Zahlentheorie
   (Teilbarkeit und euklidischer Algorithmus, Primzahlen, Modulare Arithmetik, Bestimmung des modularen Inversen, Das RSA-Public-Key-Kryptosystem, Das Lösen von modularen Gleichungen und der Chinesische Restsatz, Aufgaben)
7. Halbgruppen und Monoide
   (Die grundlegenden Definitionen, Freie Halbgruppen und Monoide, Anwendungen in der Informatik, Aufgaben)
8. Gruppen
   (Einführung in Gruppen, Permutationsgruppen, Untergruppen, Zyklische Gruppen, Das ElGamal-Verfahren, eine Anwendung, Normalteiler, Faktorgruppen und direkte Produkte, Homomorphismen von Gruppen, Aufgaben)
9. Ringe und Körper
   (Einführung in Ringe und Körper, Ideale und Ringhomomorphismen, Euklidische Ringe und Hauptidealringe, Nullstellen von Polynomen, Endliche Körper, Aufgaben)
10. Kurzdarstellung der Linearen Algebra und einigen Anwendungen
    (Vektorräume und Basen, Matrizen und lineare Abbildungen, Lineare Gleichungssysteme, Determinanten, Eigenwerte und Diagonalisierung von Matrizen, Euklidische Vektorräume, Anwendungen im Information Retrieval, Singulärwertzerlegung, Anwendungen in der Computergraphik, Lineare Codes, Secret-Sharing-Verfahren, Allgemeine Algebra, Aufgaben)
11. Wahrscheinlichkeitstheorie
    (Abzählprobleme, Wahrscheinlichkeiten, Diskrete Zufallsvariable, Integralrechnung, Stetige Zufallsvariable, Stochastische Prozesse, Aufgaben)

• Literaturverzeichnis
• Index

Mathematik kompakt
für Ingenieure und Informatiker

Stry, Schwenkert:
Springer Verlag, 486 Seiten, 2. Auflage , 24,95 EUR

ISBN: 3-540-23434-9

Beurteilung

Das Buch deckt den relevanten Lehrstoff der Grundvorlesungen Mathematik für Informatiker und für die technischen Studiengänge in nur einem Band ab. Es orientiert sich an der praxisbezogenen Vorgehensweise von Fachhochschulen. Beispiele aus Technik und Wirtschaft sollen den Text erläutern oder dienen der Übung. Besonderer Wert wird auf die Anschaulichkeit und stetige Motivation gelegt.
Übungen gibt es sowohl im laufenden Text, als auch am Ende der Kapitel, jeweils mit den zugehörigen Lösungen. Außerdem gibt es am Ende eines jeden Kapitels Anwendungsbeispiele, einen kurzen Verständnistest und eine ausführlichere Zusammenfassung des behandelten Stoffs, insbesondere der wichtigsten Definitionen, Sätze und Beispiele.

Inhalt

1. Mathematische Grundbegriffe
   (Einführung, Mengen, Zahlen, Kombinatorik, Kurzer Verständnistest, Anwendungen, Zusammenfassung, Übungsaufgaben, Lösungen)
2. Folgen und endliche Summen
   (Einführung, Folgen und ihre Eigenschaften, Endliche arithmetische und geometrische Folgen und Reihen, Vollständige Induktion, Kurzer Verständnistest, Anwendungen, Zusammenfassung, Übungsaufgaben, Lösungen)
3. Funktionen
   (Einführung, Grundbegriffe, Grenzwerte bei Funktionen, Stetigkeit, Die elementaren Funktionen, Kurzer Verständnistest, Anwendungen, Zusammenfassung, Übungsaufgaben, Lösungen)
4. Algebra
   (Einführung, Relationen, Gruppen, Ringe und Körper, Kurzer Verständnistest, Anwendungen, Zusammenfassung, Übungsaufgaben, Lösungen)
5. Lineare Algebra
   (Einführung, Grundbegriffe, Das Skalarprodukt, Matrizen, Die Determinante, Lineare Gleichungssysteme, Die Inverse einer Matrix, Kurzer Verständnistest, Anwendungen, Zusammenfassung, Übungsaufgaben, Lösungen)
6. Differentialrechnung
   (Einführung, Der Ableitungsbegriff, Ableitungen elementarer Funktionen und höhere Ableitungen, Ableitungstechniken, Extrema und Kurvendiskussion, Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen, Taylorpolynome, Funktionen in mehreren Veränderlichen, Kurzer Verständnistest, Anwendungen, Zusammenfassung, Übungsaufgaben, Lösungen)
7. Reihen
   (Einführung, Konvergenz unendlicher Reihen, Konvergenzkriterien, Potenzreihen und Taylorreihen, Kurzer Verständnistest, Anwendungen, Zusammenfassung, Übungsaufgaben, Lösungen)
8. Integration
   (Einführung, Grundbegriffe, Integrationstechniken, Uneigentliche Integrale, Mehrfachintegrale, Kurzer Verständnistest, Anwendungen, Zusammenfassung, Übungsaufgaben, Lösungen)
9. Die komplexen Zahlen
   (Einführung, Der Körper der komplexen Zahlen, Die Gauß'sche Zahlenebene, Algebraische Gleichungen, Kurzer Verständnistest, Anwendungen, Zusammenfassung, Übungsaufgaben, Lösungen)
10. Differentialgleichungen
    (Einführung, Grundbegriffe, Lösungstechniken, Lineare Differentialgleichungen, Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, Kurzer Verständnistest, Anwendungen, Zusammenfassung, Übungsaufgaben, Lösungen)
11. Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
    (Einführung, Deskriptive Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zufallsvariable und Verteilungsfunktion, Kurzer Verständnistest, Anwendungen, Zusammenfassung, Übungsaufgaben, Lösungen)

• Tipps zum Studium
• Literaturverzeichnis
• Index