Leseecke

Die Mathe-Wichtel
(Band 1 und 2)

Stephanie Schiemann und Robert Wöstenfeld
Springer Spektrum; Auflage: 2014 (Oktober 2013), je 17,99 €

Band 1:
ISBN-10: 3658030720
ISBN-13: 978-3658030728
Band 2:
ISBN-10: 3658030747
ISBN-13: 978-3658030742

164 372 Teilnehmer können nicht irren!
In der Tat so viele – und darunter mehr als 150 000 Schülerinnen und Schüler – haben sich an den Wettbewerben „Mathe im Advent“ der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (DMV) im Dezember 2013 beteiligt. Diese jährlich zur Adventszeit stattfindenden Wettbewerbe gibt es seit längerem: Aufgaben für die Klassen 5 bis 7 wurden erstmals 2008 ins Internet gestellt. 2010 wurde der Wettbewerb in die Klassenstufen 4 – 6 und 7 – 9 aufgeteilt. (Den Adventskalender für die Oberstufe gab es schon seit 2003.) Näheres zu diesen Wettbewerben findet man unter https://www.mathe-im-advent.de/Seiten/Anzeigen/Startseite.

Offensichtlich kann man viele Kinder und Jugendliche mit geeigneten Aufgaben motivieren und für Mathematik begeistern. Im Schulunterricht ist die althergebrachte Methode des „Vormachen und Nachvollziehen“ noch weit verbreitet. Obwohl inzwischen entdeckendes Lernen, problemlösendes Denken und auch das Modellieren in den Mathematik-Lehrplänen aller Schulstufen genannt wird, findet es im Schulalltag noch viel zu wenig statt.

Hier sollen die beiden Bände helfen. Sie enthalten je 24 Aufgaben aus den Wettbewerben der letzten Jahre, Band 1 für die Klassen 4 – 6, Band 2 für 7 – 9. Die Aufgaben sind – anders als der Oberstufen- Adventskalender, der sich an besonders Talentierte wendet – von mittlerem Schwierigkeitsgrad, so dass in den letzten Jahren auch zunehmend Jugendliche aus Haupt-/Realschulen dabei waren. Die Autoren empfehlen die Aufgaben „für alle Schulformen als Intermezzo im Unterricht, für Projektwochen und Mathe-AGs, aber auch als weiterführende Beschäftigung zuhause“. Meiner Ansicht nach sind die Aufgaben sehr gut für einen differenzierenden und individualisierten Unterricht geeignet.

Im Gegensatz zu manchen Aufgabensammlungen mit typischen mathematischen Denksportaufgaben orientieren sich viele Aufgaben hier an Problemen, die nicht zum traditionellen Schulstoff gehören, aber alltägliche und interessante Fragestellungen aufgreifen, an denen man teilweise auch erkennen kann, wo überall Mathematik gebraucht und angewendet wird. Dabei stehen auch klassische Themen Pate (z. B. Fibonacci-Zahlen, Caesar-Verschlüsselung, arithmetische und geometrische Reihen, Färbung von Graphen, Transportprobleme), die im Niveau auf das entsprechende Alter reduziert werden. In den Lösungen werden dann manchmal in einem Exkurs und mit einem „Blick über den Tellerrand“ Zusatzinformationen gegeben, die dann vor allem für besonders Interessierte und Fortgeschrittene in Frage kommen. Diese Ergänzungen sind verstärkt im zweiten Band vorhanden und können zu weiteren „Entdeckungen“ bzw. „Forschungen“ führen.

Die Bücher sollten in jeder Schulbibliothek stehen, damit Kinder und Jugendliche stets darauf zugreifen können. Allerdings müssten zuvor ihre Lehrer die Aufgaben kennen und im Unterricht verwenden, wo immer das sinnvoll ist.

Rezension: Hartmut Weber (Uni Kassel)

Einführung in das mathematische Arbeiten

Hermann Schichl und Roland Steinbauer
Springer Verlag; 2012, XII + 522 Seiten 19,95 €

ISBN 10: 9783827429940
ISBN 13: 9783642286452

Seit 2001 gehört die in der Studieneingangsphase angesiedelte Vorlesung „Einführung in das mathematische Arbeiten“ zum Pflichtpensum eines mathematischen Studienanfängers an der Universität Wien. Auch dort wird nämlich der breite Graben zwischen Schul- und Hochschulmathematik erkannt; auch dort führen die Schwierigkeiten des Übergangs zu einer allzu hohen „Drop–Out–Rate“, wie die Abbrecherquote im Neudeutschen heißt. Denn die meisten Abiturienten kommen mit Strukturmathematik zum ersten Mal in ihrem Leben auf der Hochschule in Berührung; auch das Wort „Beweis“ scheint aus der Schule zu verschwinden. All das kann man mit Fug und Recht bedauern – das ändert nichts an der Tatsache, dass sich etliche Studierende durch den hohen Abstraktionsgrad und die ungewohnten Sichtweisen in den ersten Wochen ihres Studiums überfordert fühlen und ihr Studium abbrechen. Nun gibt es meines Wissens keine Untersuchungen über die tatsächlichen Gründe für einen Studienabbruch. Manch einer stellt erst auf der Hochschule fest, dass er universitäre Mathematik nicht ausstehen kann; andere hegen eine tiefe Liebe zur Mathematik, ohne dass diese erwidert wird. In diesen Fällen kann auch das beste Projekt wenig ausrichten. Diejenigen Abbrecher, die sich lediglich überfordert fühlen, die aber nach einiger Eingewöhnung durchaus respektable Leistungen erzielen könnten, sollte man natürlich der Mathematik erhalten – hierfür sind Vorkurse wie der vorliegende sicher eine Möglichkeit, da sie den Einstieg in die Welt der Mathematik erleichtern können. Leider sind keine belastbaren Daten zum Erfolg dieser immerhin seit über 10 Jahren bestehenden Vorlesung im Text aufzufinden.

Der Aufbau des Buches bietet keine größeren Überraschungen: Nach einer Benennung der häufigsten Fallstricke zum Studienbeginn und der Ermahnung, die Übungsaufgaben auch wirklich zu lösen („Mathematik ist kein Zuschauersport“) gibt es zunächst eine Erläuterung der Begriffe „Definition“, „Satz“, „Beweis“ samt einigen allgemeinen Ausführungen zum Wesen der Mathematik. Das Kapitel über die Grundlagen berichtet aber auch über Indizes, vollständige Induktion, Funktionen und andere Dinge, die im weiteren Verlauf immer und immer wieder auftauchen werden. Anschließend steht Logik mitsamt boolescher Algebra zur Modellierung der Schaltkreislogik auf dem Programm. Hier bringt ein eigener Abschnitt dem Novizen das Thema „Beweisen“ näher. Dabei geben die Autoren nicht nur Formulierungshilfen und warnen vor häufigen Fehlerquellen, sondern erläutern auch, warum Beweise so wichtig sind. An die Logik schließt sich ein Kapitel über die Mengenlehre an. Naturgemäß wird diese fast ausschließlich naiv betrieben, aber die Axiome von Zermelo und Fraenkel werden ebenfalls erläutert. Zum Abschluss zeigt eine hübsche Diskussion, wie man innerhalb des rein naiven Ansatzes die Endlichkeit der Menge der natürlichen Zahlen nachweist: man betrachte die Menge derjenigen natürlichen Zahlen, die sich nicht durch höchstens 66 Zeichen definieren lassen. Diese Menge ist leer, denn ihr Minimum ließe sich mit 66 Zeichen beschreiben. Also lässt sich jede natürliche Zahl durch höchstens 66 Zeichen definieren – es gibt folglich nur endlich viele.

Im 5. Kapitel dreht sich alles um algebraische Strukturen; speziell werden Gruppen, Ringe und Körper behandelt. Die Autoren merken im Vorwort an, dass dieser Abschnitt den Anfängern sehr schwer fällt. Das wundert mich nicht, denn die wundervollen und überaus nützlichen Strukturen der Algebra können doch nur dann als wunderbar empfunden werden, wenn ausreichend viele Beispiele bereits vorhanden sind. Zu Beginn sieht der Zoo der Ringe doch eher abschreckend aus – die Leistungsfähigkeit der Algebra zeigt sich erst viel später. Immerhin kann der Leser in dem folgenden Kapitel über Zahlbereiche etliche Beispiele kennenlernen. Als Braunschweiger freut man sich natürlich, dass bei der Einführung der reellen Zahlen die Dedekindschen Schnitte verwendet werden. Und auch einen kleinen Ausblick auf spätere Highlights der Mathematik gibt es mit dem Satz von Abel bereits. Sogar Quaternionen und Oktaven werden eingeführt, so dass die Riege der alternativen reellen Divisionsalgebren endlich einmal im ersten Semester komplett beisammen ist. Das letzte und umfangreichste Kapitel behandelt die analytische Geometrie vor allem der Ebene und des Raumes, aber auch in höheren Dimensionen. Damit wird ein sehr solides Gerüst für die Grundvorlesung Lineare Algebra gelegt und eventuelle Lücken des Lesers im Bereich der Geometrie beseitigt.

An der Darbietung des Stoffs gibt es nichts auszusetzen. Die Mathematik wird präzise präsentiert und mit vielen Beispielen und zusätzlichen Erläuterungen unterfüttert; die Sprache ist gut verständlich, flüssig und angenehm zu lesen. Die Stoffauswahl ist dem Ziel angemessen. Da ein Teil der behandelten Themen (hoffentlich!) in der Schule behandelt wurde, kann sich der Anfänger auf die für ihn ungewohnte Darstellung der Mathematik konzentrieren. Aber es gibt auch ausreichend viel Neues zu entdecken – langweilig sollte es hier keinem werden. Ein umfangreiches Literaturverzeichnis hilft bei der weiteren Arbeit. Da auch Fachartikel aufgeführt sind, wird hoffentlich der eine oder andere schon zu Studienbeginn zum Lesen eines solchen Aufsatzes verführt. Die hierbei sicherlich hilfreiche Übersetzung von englischen Phrasen wie „now everything is proved“ und ein kleines englisch–deutsches Fachwörterbuch befindet sich im Anhang.

Einem Mathematik–Anfänger kann ich daher das Buch unbedenklich empfehlen. Nach dem gründlichen Durcharbeiten ist er auf die Grundvorlesungen eingestimmt und exzellent vorbereitet. Das nützt nicht nur den Studierenden, sondern auch dem Dozenten!

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Februar 2013, Band 60, Heft 1
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Harald Löwe

Einführung in die Mathematik

Helmut Koch
Springer, 404 Seiten, 2. Aufl. , 42,99 €

ISBN:3-540-20391-5

Beurteilung

Das Buch will einen Einblick in die Mathematik als Bestandteil unserer Kultur vermitteln.
Es gibt einen interessanten Einblick in viele Gebiete der Mathematik, ist allerdings nicht unbedingt ein vorlesungsbegleitendes Lehrbuch. Für alle, die an der Mathematik interessiert sind, jedoch nicht selbst Mathematik studieren ist es sehr zu empfehlen.

Inhalt

1. Natürliche Zahlen
2. Die 0 und die ganzen Zahlen
3. Rationale Zahlen
4. Reelle Zahlen
5. Euklidische Geometrie
6. Reelle Funktionen einer Veränderlichen
7. Maß und Integral
8. Trigonometrie
9. Die komplexen Zahlen
10. Nicht-euklidische Geometrie
11. Lösungen der Aufgaben

• Literaturverzeichnis
• Index

Elementare Mathematik
Vor- und Aufbaukurs

Strampp
Oldenbourg, 428 Seiten, 1. Aufl. , 29,80 €

ISBN: 3-486-25956-3

Beurteilung

Das Buch soll eine anschauliche Einführung in die Grundlagen der Mathematik geben. Es liefert Begleitmaterial für Vorkurse und Einführungsvorlesungen und erleichtert damit den Einstieg in die Grundlagen der Mathematik. Es werden mathematische Grundlagen, ausgehend vom Schulstoff, wiederholt. Formale Aspekte der Mathematik bleiben dabei eher im Hintergrund. Bevorzugt wird eine anschauliche Vorgehensweise, die durch zahlreiche Rechen- und Übungsbeispiele unterstützt wird.

Inhalt

1. Mengen und Zahlen
   (Mengen; Natürliche Zahlen; Rationale Zahlen; Reelle Zahlen)
2. Funktionen
   (Der Funktionsbegriff; Operationen mit Funktionen; Polynome)
3. Potenzen und Logarithmen
   (Potenzen mit ganzzahligen Exponenten; Der binomische Satz; Potenzen mit rationalen Exponenten; Exponential- und Logarithmusfunktion)
4. Kombinatorik
   (Permutationen; Variationen und Kombinationen)
5. Trigonometrie
   (Winkel und Winkelfunktionen; Rechtwinkliges Dreieck und Winkelfunktionen; Trigonometrische Funktionen; Das schiefwinklige Dreieck; Trigonometrische Formeln)
6. Analytische Geometrie der Ebene
   (Punkte und Koordinaten; Die Gerade; Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel)
7. Vektorrechnung
   (Ebene Vektoren; Räumliche Vektoren; Gerade und Ebene im Raum; Komplexe Zahlen)
8. Lineare Gleichungssysteme
   (Gleichungen mit zwei Unbekannten; Gleichungen mit drei Unbekannten; Matrizen)
9. Grenzwerte und Ableitungen
   (Folgen und Grenzwerte; Differenzialquotienten und Ableitung; Ableitungsfunktion und Regeln; Taylorentwicklung; Partielle Ableitung)
10. Integrale
    (Bestimmte Integration; Hauptsatz und Folgerungen; Unbestimmte Integration; Differenzialgleichungen erster Ordnung; Mehrfachintegrale)

• Sachwortverzeichnis

Algebra für Einsteiger
Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie

Jörg Bewersdorff
Verlag: Springer Spektrum; Auflage: 5., erw. Aufl. 2013 (24. Mai 2013), 29,99 €

ISBN-10: 3658022612
ISBN-13: 978-3658022617

Das Buch „Algebra für Einsteiger“ liegt hier in der 5. Auflage (2013) vor. Offensichtlich findet es immer noch viel Nachfrage, sonst wäre es nicht regelmäßig neu aufgelegt worden (erschienen ist es erstmals 2005).

Gleich vorweg: der Begriff „Algebra“ im Titel ist vielleicht etwas irreführend, denn im wesentlichen wird eine ausführliche Einführung in die Galois-Theorie gegeben, die sich an der historischen Entwicklung im 19. Jahrhundert orientiert. Das wird auch im Untertitel deutlich. Wer hingegen eine Einführung in die „moderne Algebra“ erwartet, wie sie im 20. Jahrhundert entstanden ist (und etwa im klassischen Lehrbuch von van der Waerden schon erstmals 1930 beschrieben wurde), wird hier erst im im letzten Kapitel fündig.

Welche Inhalte werden geboten?
In den Kapiteln 1 bis 4 wird ein geschichtlicher Abriß gegeben von den Lösungsformeln für Gleichungen 3. und 4. Grades im 16. Jahrhundert (Tartaglia, Cardano), der Einführung der komplexen Zahlen (notwendig geworden durch den sogenannten casus irreducibilis bei Gleichungen 3. Grades) hin zum Beweis des Fundamentalsatzes durch Gauß (1799).

Das Kapitel 5 („Die Suche nach  weiteren Auflösungsformeln“) ist im wesentlichen den Fortschritten gewidmet, die Lagrange (Ende des 18.) und Ruffini (Anfang des 19. Jahrhunderts) erzielt haben. Hier werden erstmals symmetrische Polynome und Permutationen ins Spiel gebracht, die später für die Galois-Theorie wichtig werden. Ruffini zeigte, dass die allgemeine Gleichung 5. Grades nicht mit Radikalen auflösbar ist – sein Beweis ist allerdings noch unvollständig. Erst Abel gelang dies einige Jahre später.

Die Kapitel 6 bis 8 beschäftigen sich mit einigen Nebenschauplätzen, u. a. dem klassischen Problem der Konstruierbarkeit (mit Zirkel und Lineal) der regelmäßigen Vielecke, dessen Lösung dem jungen Gauß zu verdanken ist.

Danach kommt der Autor auf den Kern zurück. Im 9. Kapitel werden die Ideen der Galois-Theorie entwickelt – allen voran die entscheidende geniale (da bis dato ohne Vorbild) Idee, jeder Gleichung ein völlig anderes mathematisches Objekt zuzuordnen, nämlich eine Gruppe. Diese heute sogenannte Galois-Gruppe wird von Bewersdorff „elementar unter Verwendung der bisher entwickelten Terminologie definiert“. Er folgt dabei im wesentlichen dem von Galois selbst beschrittenen Weg (den dieser allerdings so knapp beschrieben hat, dass dessen Zeitgenossen seine neuartigen Gedankengänge nicht verstanden haben). Bewersdorff zeigt dies an fest gewählten Gleichungen konkret und rechnet z. B. mit den dazu gehörigen Permutationen detailliert vor.  

Das 10. Kapitel soll – wie der Autor schreibt – „dazu dienen, eine Brücke zu schlagen zwischen zwei Sichtweisen der Galois-Theorie, nämlich der im vorherigen Kapitel dargelegten ‚elementaren’, das heißt stark an Polynomem orientierten Sichtweise einerseits und der ‚modernen’, das heißt zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts begründeten Sichtweise andererseits. Dabei wird sich zeigen, dass die ‚moderne’ ... einfacher verständlich ist, sofern man auf einem bestimmten Grundwissen aufbauen kann.“

Von diesem Grundwissen werden dann Begriffe wie Gruppe, Normalteiler, Faktorgruppe, Körper, Körpererweiterung, Vektorraum, Homomorphismus und Automorphismus knapp eingeführt und schließlich allgemein gezeigt, dass eine Gleichung mit Radikalen lösbar ist, wenn ihre Galois-Gruppe auflösbar ist.

Neu in der 5. Auflage ist ein letztes Kapitel, in dem eine von Emil Artin stammende Version des Hauptsatzes der Galois-Theorie aus dem Jahre 1942 dargestellt wird, die einen völlig anderen Weg als den im Buch beschriebenen einschlägt. In einem Epilog resümiert Bewersdorff noch einmal die Vorteile der abstrakten  Methoden der „modernen“ Algebra.

Jedes Kapitel endet mit einer Reihe von Aufgaben (ohne Lösung).

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)