Leseecke

Höhere Mathematik
für Ingenieure, Physiker und Mathematiker

Norbert Herrmann
Oldenbourg, 531 Seiten, 2007, 2. Aufl. , 39,95 €

ISBN: 3-486-58447-2

Beurteilung

Das Lehrbuch deckt die wichtigsten Themen ab, mit denen sich Ingenieure und Physiker nach den Einführungsvorlesungen aus der Analysis und der linearen Algebra beschäftigen. Der Schwerpunkt der Darstellung liegt auf den für Ingenieure und Physiker wichtigen numerischen Verfahren, die auch für an Anwendungen interessierte Mathematiker von elementarer Bedeutung sind.
Der Autor veranschaulicht anhand einer Vielzahl von Beispielen und in einer leicht verständlichen Sprache die Inhalte. Ausgehend von den Grundlagen nähert er sich schrittweise komplexen Themen an und skizziert Beweise, sofern sie für das Verständnis hilfreich sind. Das Buch ist auch zur Prüfungsvorbereitung geeignet.

Inhalt

1. Numerik linearer Gleichungssysteme
   (Einleitung; Zur Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme; Spezielle Matrizen; Vektor- und Matrix-Norm; Fehleranalyse; L-R-Zerlegung; Q-R-Zerlegung; Überbestimmte lineare Gleichungssysteme; Gleichungssysteme mit symmetrischer Matrix; Iterative Verfahren)
2. Numerik für Eigenwertaufgaben
   (Einleitung und Motivation; Grundlegende Tatsachen; Abschätzungen nach Gerschgorin; Das vollständige Eigenwertproblem; Das partielle Eigenwertproblem)
3. Lineare Optimierung
   (Einführung; Die Standardform; Graphische Lösung im 2D-Fall; Lösbarkeit des linearen Optimierungsproblems; Der Simplex-Algorithmus)
4. Interpolation
   (Polynominterpolation; Interpolation durch Spline-Funktionen)
5. Numerische Quadratur
   (Allgemeine Vorbetrachtung; Interpolatorische Quadraturformeln; Quadratur nach Romberg; Gauß-Quadratur; Vergleichendes Beispiel; Stützstellen und Gewichte nach Gauß)
6. Nichtlineare Gleichungen
   (Motivation; Fixpunktverfahren; Newton-Verfahren; Sekanten-Verfahren; Verfahren von Bairstow; Systeme von nichtlinearen Gleichungen)
7. Laplace-Transformation
   (Einführung; Existenz der Laplace-Transformierten; Rechenregeln; Die inverse Laplace-Transformation; Zusammenfassung; Anwendungen auf Differentialgleichungen; Einige Laplace-Transformierte)
8. Fourierreihen
   (Erklärung der Fourierreihe; Berechnung der Fourierkoeffizienten; Reelle F-Reihe ⇔ komplexe F-Reihe; Einige Sätze über Fourier-Reihen; Sprungstellenverfahren; Zum Gibbsschen Phänomen; Schnelle Fourieranalyse (FFT))
9. Distributionen
   (Einleitung und Motivation; Testfunktionen; Reguläre Distributionen; Singuläre Distributionen; Limes bei Distributionen; Rechenregeln; Ableitung von Distributionen; Faltung von Distributionen; Anwendung auf Differentialgleichungen)
10. Numerik von Anfangswertaufgaben
    (Einführung; Wie ein Auto bei Glätte rutscht; Aufgabenstellung; Zur Existenz und Einzigkeit einer Lösung; Numerische Einschritt-Verfahren; Konsistenz, Stabilität und Konvergenz bei Einschrittverfahren; Lineare Mehrschritt-Verfahren; Konsistenz, Stabilität und Konvergenz bei Mehrschrittverfahren; Prädikator-Korrektor-Verfahren)
11. Numerik von Randwertaufgaben
    (Aufgabenstellung; Zur Existenz und Einzigkeit einer Lösung; Kollokationsverfahren; Finite Differenzmethode FDM; Verfahren von Galerkin; Methode der finiten Elemente; Exkurs zur Variationsrechnung; Verfahren von Ritz)
12. Partielle Differentialgleichungen
    (Einige Grundtatsachen; Die Poissongleichung und die Potentialgleichung; Die Wärmeleitungsgleichung; Die Wellengleichung)

• Literaturverzeichnis
• Index

Lehrbuch der Mathematik
Band 1: Analysis einer Veränderlichen
Band 2: Lineare Algebra
Band 3: Analysis mehrerer Veränderlicher - Integrationstheorie
Band 4: Analysis auf Mannigfaltigkeiten - Funktionentheorie - Funktionalanalysis

Storch, Wiebe
Spektrum Akademischer Verlag, 632 Seiten, 3. Aufl., 2009, 32,99 €
Spektrum Akademischer Verlag, 796 Seiten, 2. Aufl., 37,99 €
Spektrum Akademischer Verlag, 796 Seiten, 2010, 37,99 €
Spektrum Akademischer Verlag, 850 Seiten, 2011, 42,99 €

ISBN:3-8274-2574-3
ISBN:3-827-42667-7
ISBN:3-8274-2745-2
ISBN:3-8274-2767-3

Es folgen die Rezensionen von: Band 1, Band 2, Band 3 und Band 4

Band 1

Beurteilung

Das Werk ist der erste Band eines vierbändigen Lehrbuchs der Mathematik, welches den Stoff für das mathematische Vorexamen enthält. Es wendet sich an Studierende der Mathematik, Informatik und Physik.
Die wesentlichen Konzepte der Analysis einer Veränderlichen werden, auch unter Berücksichtigung numerischer Verfahren, behandelt. Zudem finden die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie Berücksichtigung.
Zahlreiche Beispiele und Aufgaben ergänzen die Darstellung und erleichtern das Verstehen.

Inhalt

1. Grundlagen
   1. Mengen und Abbildungen
      (Mengen, Abbildungen und Funktionen, Familien, Relationen)
   2. Die natürlichen Zahlen
      (Vollständige Induktion, Endliche Mengen, Abzählbare Mengen, Primfaktorzerlegung)
   3. Ein Grundkurs in C
      (Einige Programmierbeispiele)
2. Reelle und komplexe Zahlen
   4. Die reellen Zahlen
      (Die Körperaxiome, Gruppen, Ringe und Körper, Angeordnete Körper, Der Begriff der konvergenten Folge, Konvergente Folgen und Vollständigkeit, Folgerungen aus der Vollständigkeit)
   5. Die komplexen Zahlen
      (Konstruktion der komplexen Zahlen, Konvergente Folgen komplexer Zahlen, Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen)
   6. Reihen
      (Konvergenzkriterien für Reihen, Summierbarkeit)
3. Wahrscheinlichkeitsrechnung
   7. Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume
      (Der Begriff des diskreten Wahrscheinlichkeitsraumes, Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen, Beispiele)
   8. Erwartungswert und Varianz
      (Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen, Beispiele)
   9. Stochastische Unabhängigkeit
      (Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen)
4. Stetigkeit
   10. Stetige Funktionen
       (Grenzwerte von Funktionen, Stetige Funktionen, Der Zwischenwertsatz, Stetige Funktionen auf kompakten Mengen)
   11. Polynom-, Exponential- und Logarithmusfunktionen
       (Polynomfunktionen, Rationale Funktionen, Reelle Exponential- und Logarithmusfunktionen)
   12. Funktionenfolgen und Potenzreihen
       (Konvergenz von Funktionenfolgen, Potenzreihen, Rechnen mit Potenzreihen, Analytische Funktionen, Exponentialfunktion, Kreis- und Hyperbelfunktionen)
5. Differenziation
   1. Differenzierbare Funktionen
      (Rechenregeln, Differenziation analytischer Funktionen, Höhere Ableitungen, Beispiele spezieller Funktionen)
   2. Der Mittelwertsatz
      (Der Mittelwertsatz, Kreisfunktionen und ihre Umkehrfunktionen, Konvexe und konkave Funktionen, Das Newton-Verfahren, Differenzieren von Funktionenfolgen)
   3. Approximation durch Polynome
      (Die Taylor-Formel, Hermite-Interpolation)
6. Integration
   16. Stammfunktionen und Integrale
       (Stammfunktionen, Bestimmte Integrale, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
   17. Uneigentliche Integrale
       (Uneigentliche Integrale, Die Γ-Funktion, Elliptische Integrale und Funktionen)
   18. Approximation von Integralen
       (Integrationsglieder, Beispiele, Numerische Integration)
   19. Einfache Differenzialgleichungen
       (Differenzialgleichungen mit getrennten Variablen, Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung, Beispiele, Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten)

• Tafeln
• Literaturverzeichnis
• Symbolverzeichnis
• Stichwortverzeichnis

Band 2

Beurteilung

Der vorliegende Band enthält die gesamte Lineare Algebra. Außerdem werden normierte Vektorräume und lineare Differentialgleichungen, sowie die spezielle Relativitätstheorie behandelt.
Zahlreiche Beispiele und Aufgaben ergänzen die Darstellung

Inhalt

1. Vektorräume
   1. Vektorräume
      (Algebraische Grundbegriffe, Der Vektorraumbegriff, Untervektorräume)
   2. Lineare Gleichungssysteme
      (Gaußsches Eliminationsverfahren)
   3. Basen und Dimension von Vektorräumen
      (Erzeugendensysteme, Lineare Unabhängigkeit, Basen, Dimension von Vektorräumen)
   4. Affine Räume
      (Der Begriff des affinen Raumes, Affine Unterräume)
2. Lineare Abbildungen
   5. Lineare Abbildungen
      (Gruppenhomomorphismen, Lineare Abbildungen, Räume von linearen Abbildungen, Lineare Abbildungen und Basen, Der Rangsatz, Direkte Summen und Projektionen, Dualräume)
   6. Restklassenabbildung
      (Restklassengruppen, Restklassenräume, Exakte Sequenzen, Beispiel: Elektrische Netzwerke, Operieren von Gruppen)
   7. Affine Abbildungen
      (Affine Abbildungen, Projektive Räume und Abbildungen)
3. Matrizen und Determinanten
   8. Matrizen
      (Die Matrix einer linearen Abbildung, Rang von Matrizen, Elementarmatrizen)
   9. Determinanten
      (Permutationen, Multilineare Abbildungen, Deteminantenfunktionen, Rechenregeln für Determinanten, Die Determinante eines linearen Operators, Orientierungen, Determinanten und Volumina)
4. Lineare Operatoren
   10. Polynomalgebren
       (Polynome in einer Variablen, Polynome in mehreren Variablen)
   11. Lineare Operatoren
       (Eigenwerte, Charakteristisches Polynom, Minimalpolynom, Diagonalisierbare und trigonalisierbare Operatoren, Einige Zerlegungssätze, Jordansche Normalform, Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten)
5. Sesquilinearformen
   12. Bilinear- und Sesquilinearformen
       (Sesquilineare Funktionen, Symmetrische und komplex-hermitesche Formen, Typen hermitescher Formen)
   13. Räume mit Skalarprodukt
       (Skalarprodukte, Orthogonale Projektionen, Volumina in euklidischen Räumen)
   14. Isometrien
       (Lineare Isometrien, Affine Isometrien)
   15. Der Spektralsatz
       (Selbstadjungierte und normale Operatoren, Hauptachsentransformation, Positive Operatoren)
   16. Minkowski-Räume
       (Minkowski-Räume, Lorentz-Gruppen)
6. Normierte Vektorräume
   17. Normierte Vektorräume
       (Grundbegriffe, Stetige lineare Abbildungen)
   18. Erste Anwendungen
       (Gitter, Torusgruppen, Potenzen einer Matrix, Spektralradius, Beispiel: Stochastische Matrizen, Die Exponentialabbildung, Lie-Algebren, Zusammenhang linearer Gruppen, Numerische Verfahren)
   19. Hilbert-Räume
       (Grundlagen, Kompakte Operatoren und der Spektralsatz, Fourier-Reihen)
   20. Systeme linearer Differentialgleichungen
       (Die Picard-Lindelöf-Iteration, Systeme mit periodischen Koeffizienten, Potenzreihenansatz, Randwertprobleme, Beispiele)

• ANHANG: Topologische Grundbegriffe
• Tafeln
• Literaturverzeichnis
• Symbolverzeichnis
• Stichwortverzeichnis

Band 3

Beurteilung

Das Buch wendet sich an Studierende der Mathematik, Informatik, Physik und Geophysik und behandelt die Analysis in mehreren Veränderlichen. Im Mittelpunkt stehen die Differentialrechnung in endlichdimensionalen Zahlenräumen und die (Lebesguesche) Integralrechnung auf der Grundlage der Maßtheorie.
Daneben wird auch eine Einführung in die Topologie, die Funktionentheorie und die Stochastik gegeben. Zahlreiche Beispiele, insbesondere aus der Physik, und umfangreiches Aufgabenmaterial runden die Darstellung ab.

Inhalt

1. Topologische Grundbegriffe
   1. Topologische Räume und stetige Abbildungen
   2. Zusammenhängende und kompakte Räume
   3. Vollständige metrische Räume - Gleichmäßige Konvergenz
2. Differentialrechnung
   4. Differenzierbare Kurven
   5. Totale Differenzierbarkeit
   6. Implizite Funktionen
   7. Differentialformen und Kurvenintegrale - Vektorfelder
3. Gewöhnliche Differentialgleichungen
   8. Dynamische Systeme
   9. Stabilität
   10. Elemente der Variationsrechnung
4. Maß- und Integrationstheorie
   11. Maße
   12. Das Borel-Lebesgue-Maß
   13. Verallgemeinerte Maße
   14. Integration
   15. LP-Räume
   16. Beispiele
5. Fourier-Transformation
   17. Die Fourier-Transformation
   18. Die Laplace-Transformation
6. Stochastik
   19. Wahrscheinlichkeitstheorie
   20. Statistik

• Tafeln
• Literaturverzeichnis
• Symbolverzeichnis
• Stichwortverzeichnis

Band 4

Beurteilung

Die "Analysis auf Mannigfaltigkeiten" ist der abschließende Band der vierbändigen Lehrbuchreihe der Mathematik für Mathematiker, Physiker und Informatiker über den Lehrstoff bis zum mathematischen Vorexamen und darüber hinaus.
Der Band enthält die Grundlagen der Differential- und Integralrechnung auf reellen und komplexen Mannigfaltigkeiten. Die notwendigen Hilfsmittel aus der Multilinearen Algebra und über Vektorbündel werden bereitgestellt.
Außerdem werden Lie-Gruppen, Zusammenhänge und der Satz von Frobenius, (pseudo-) Riemannsche Mannigfaltigkeiten, Grundbegriffe der Algebraischen Topologie, Funktionentheorie und Riemannsche Flächen sowie die Funktionalanalysis einschließlich der Operatorentheorie behandelt.
Zahlreiche Beispiele und Aufgaben begleiten den Text.

 Inhalt

1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
   1. Grundbegriffe
      (Der Begriff der differenzierbaren Mannigfaltigkeit, Beispiele, Differenzierbare Abbildungen, Tangentialräume)
   2. Tangentialbündel
      (Tangentialbündel und Vektorfelder, Untermannigfaltigkeiten, Flüsse, Kotangentialbündel und Paffsche Formen, Mannigfaltigkeiten mit Rand)
   3. Lie-Gruppen
      (Lie-Gruppen und ihre Lie-Algebren, Die Exponentialabbildung, Operationen von Lie-Gruppen)
   4. Beispiele und Ergänzungen
      (Mannigfaltigkeiten linearer Objekte, Topologie von Restmannigfaltigkeiten, Überlagerungen, D'Alembertsches Prinzip, Noethersches Theorem)
   5. Drei grundlegende Sätze
      (Zerlegung der Eins, Der Satz von Sard, Quotientenmannigfaltigkeiten)
2. Multilineare Algebra
   6. Tensorprodukte
      (Tensorprodukte, Tensorprodukte normierter Räume, Tensoralgebren)
   7. Äußere und symmetrische Potenzen
      (Äußere Algebren, Clifford-Algebren, Symmetrische Algebren)
3. Analysis auf Mannigfaltigkeiten
   8. Vektorbündel
      (Der Begriff des Vektorbündels, Konstruktionen von Vektorbündeln, Beispiele)
   9. Differenzialformen
      (Tensorfelder und Differenzialformen, Orientierungen, Die äußere Ableitung, De Rham-Kohomologie)
   10. Zusammenhänge
       (Zusammenhänge und der Satz von Frobenius, Lineare Zusammenhänge, Affine Zusammenhänge)
4. Integration auf Mannigfaltigkeiten
   11. Die Integralsätze
       (Der Integralbegriff, Der Satz von Gauß-Stokes, De Rham-Kohomologie mit kompaktem Träger)
   12. Ergänzungen zur De Rham-Kohomologie
       (Poincaré-Dualität, Künneth-Formeln, Singuläre Homologie und Kohomologie, Der Satz von De Rham, Weitere Beispiele zur singulären Homologie und Kohomologie)
   13. Anwendungen und Beispiele
       (Elementare Theorie der harmonischen Funktionen, Elastizitätslehre, Hydrodynamik, Maxwellsche Gleichungen, Haarsche Maße)
   14. Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten
       (Metrische Tensoren und Krümmungstensoren, Beispiele, Vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten)
5. Funktionentheorie
   15. Isolierte Singularitäten
       (Laurent-Entwicklung und isolierte Singularitäten, Holomorphe Vektorbündel, Verzweigte Überlagerungen)
   16. Beispiele und Ergänzungen
       (Beispiele konkreter Riemannscher Flächen, Beweis des Satzes von Riemann-Roch, Elliptische Riemannsche Flächen)
   17. Uniformisierung
       (Klassifikation Riemannscher Flächen, Der Riemannsche Abbildungssatz)
6. Funktionalanalysis
   18. Lokal konvexe Räume
       (Grundbegriffe, Dualität, Beispiele: Maße und Distributionen)
   19. Spektraltheorie
       (Das Spektrum, Der Spektralsatz für stetige normale Operatoren, Der allgemeine Spektralsatz für normale Operatoren)

• Literaturverzeichnis
• Stichwortverzeichnis

Lehrbuch der Mathematik
Band 1: Analysis einer Veränderlichen
Band 2: Lineare Algebra
Band 3: Analysis mehrerer Veränderlicher - Integrationstheorie
Band 4: Analysis auf Mannigfaltigkeiten - Funktionentheorie - Funktionalanalysis

Storch, Wiebe
Spektrum Akademischer Verlag, 632 Seiten, 3. Aufl., 2009, 32,99 €
Spektrum Akademischer Verlag, 796 Seiten, 2. Aufl., 37,99 €
Spektrum Akademischer Verlag, 796 Seiten, 2010, 37,99 €
Spektrum Akademischer Verlag, 850 Seiten, 2011, 42,99 €

ISBN:3-8274-2574-3
ISBN:3-827-42667-7
ISBN:3-8274-2745-2
ISBN:3-8274-2767-3

Es folgen die Rezensionen von: Band 1, Band 2, Band 3 und Band 4

Band 1

Beurteilung

Das Werk ist der erste Band eines vierbändigen Lehrbuchs der Mathematik, welches den Stoff für das mathematische Vorexamen enthält. Es wendet sich an Studierende der Mathematik, Informatik und Physik.
Die wesentlichen Konzepte der Analysis einer Veränderlichen werden, auch unter Berücksichtigung numerischer Verfahren, behandelt. Zudem finden die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie Berücksichtigung.
Zahlreiche Beispiele und Aufgaben ergänzen die Darstellung und erleichtern das Verstehen.

Inhalt

1. Grundlagen
   1. Mengen und Abbildungen
      (Mengen, Abbildungen und Funktionen, Familien, Relationen)
   2. Die natürlichen Zahlen
      (Vollständige Induktion, Endliche Mengen, Abzählbare Mengen, Primfaktorzerlegung)
   3. Ein Grundkurs in C
      (Einige Programmierbeispiele)
2. Reelle und komplexe Zahlen
   4. Die reellen Zahlen
      (Die Körperaxiome, Gruppen, Ringe und Körper, Angeordnete Körper, Der Begriff der konvergenten Folge, Konvergente Folgen und Vollständigkeit, Folgerungen aus der Vollständigkeit)
   5. Die komplexen Zahlen
      (Konstruktion der komplexen Zahlen, Konvergente Folgen komplexer Zahlen, Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen)
   6. Reihen
      (Konvergenzkriterien für Reihen, Summierbarkeit)
3. Wahrscheinlichkeitsrechnung
   7. Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume
      (Der Begriff des diskreten Wahrscheinlichkeitsraumes, Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen, Beispiele)
   8. Erwartungswert und Varianz
      (Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen, Beispiele)
   9. Stochastische Unabhängigkeit
      (Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen)
4. Stetigkeit
   10. Stetige Funktionen
       (Grenzwerte von Funktionen, Stetige Funktionen, Der Zwischenwertsatz, Stetige Funktionen auf kompakten Mengen)
   11. Polynom-, Exponential- und Logarithmusfunktionen
       (Polynomfunktionen, Rationale Funktionen, Reelle Exponential- und Logarithmusfunktionen)
   12. Funktionenfolgen und Potenzreihen
       (Konvergenz von Funktionenfolgen, Potenzreihen, Rechnen mit Potenzreihen, Analytische Funktionen, Exponentialfunktion, Kreis- und Hyperbelfunktionen)
5. Differenziation
   1. Differenzierbare Funktionen
      (Rechenregeln, Differenziation analytischer Funktionen, Höhere Ableitungen, Beispiele spezieller Funktionen)
   2. Der Mittelwertsatz
      (Der Mittelwertsatz, Kreisfunktionen und ihre Umkehrfunktionen, Konvexe und konkave Funktionen, Das Newton-Verfahren, Differenzieren von Funktionenfolgen)
   3. Approximation durch Polynome
      (Die Taylor-Formel, Hermite-Interpolation)
6. Integration
   16. Stammfunktionen und Integrale
       (Stammfunktionen, Bestimmte Integrale, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
   17. Uneigentliche Integrale
       (Uneigentliche Integrale, Die Γ-Funktion, Elliptische Integrale und Funktionen)
   18. Approximation von Integralen
       (Integrationsglieder, Beispiele, Numerische Integration)
   19. Einfache Differenzialgleichungen
       (Differenzialgleichungen mit getrennten Variablen, Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung, Beispiele, Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten)

• Tafeln
• Literaturverzeichnis
• Symbolverzeichnis
• Stichwortverzeichnis

Band 2

Beurteilung

Der vorliegende Band enthält die gesamte Lineare Algebra. Außerdem werden normierte Vektorräume und lineare Differentialgleichungen, sowie die spezielle Relativitätstheorie behandelt.
Zahlreiche Beispiele und Aufgaben ergänzen die Darstellung

Inhalt

1. Vektorräume
   1. Vektorräume
      (Algebraische Grundbegriffe, Der Vektorraumbegriff, Untervektorräume)
   2. Lineare Gleichungssysteme
      (Gaußsches Eliminationsverfahren)
   3. Basen und Dimension von Vektorräumen
      (Erzeugendensysteme, Lineare Unabhängigkeit, Basen, Dimension von Vektorräumen)
   4. Affine Räume
      (Der Begriff des affinen Raumes, Affine Unterräume)
2. Lineare Abbildungen
   5. Lineare Abbildungen
      (Gruppenhomomorphismen, Lineare Abbildungen, Räume von linearen Abbildungen, Lineare Abbildungen und Basen, Der Rangsatz, Direkte Summen und Projektionen, Dualräume)
   6. Restklassenabbildung
      (Restklassengruppen, Restklassenräume, Exakte Sequenzen, Beispiel: Elektrische Netzwerke, Operieren von Gruppen)
   7. Affine Abbildungen
      (Affine Abbildungen, Projektive Räume und Abbildungen)
3. Matrizen und Determinanten
   8. Matrizen
      (Die Matrix einer linearen Abbildung, Rang von Matrizen, Elementarmatrizen)
   9. Determinanten
      (Permutationen, Multilineare Abbildungen, Deteminantenfunktionen, Rechenregeln für Determinanten, Die Determinante eines linearen Operators, Orientierungen, Determinanten und Volumina)
4. Lineare Operatoren
   10. Polynomalgebren
       (Polynome in einer Variablen, Polynome in mehreren Variablen)
   11. Lineare Operatoren
       (Eigenwerte, Charakteristisches Polynom, Minimalpolynom, Diagonalisierbare und trigonalisierbare Operatoren, Einige Zerlegungssätze, Jordansche Normalform, Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten)
5. Sesquilinearformen
   12. Bilinear- und Sesquilinearformen
       (Sesquilineare Funktionen, Symmetrische und komplex-hermitesche Formen, Typen hermitescher Formen)
   13. Räume mit Skalarprodukt
       (Skalarprodukte, Orthogonale Projektionen, Volumina in euklidischen Räumen)
   14. Isometrien
       (Lineare Isometrien, Affine Isometrien)
   15. Der Spektralsatz
       (Selbstadjungierte und normale Operatoren, Hauptachsentransformation, Positive Operatoren)
   16. Minkowski-Räume
       (Minkowski-Räume, Lorentz-Gruppen)
6. Normierte Vektorräume
   17. Normierte Vektorräume
       (Grundbegriffe, Stetige lineare Abbildungen)
   18. Erste Anwendungen
       (Gitter, Torusgruppen, Potenzen einer Matrix, Spektralradius, Beispiel: Stochastische Matrizen, Die Exponentialabbildung, Lie-Algebren, Zusammenhang linearer Gruppen, Numerische Verfahren)
   19. Hilbert-Räume
       (Grundlagen, Kompakte Operatoren und der Spektralsatz, Fourier-Reihen)
   20. Systeme linearer Differentialgleichungen
       (Die Picard-Lindelöf-Iteration, Systeme mit periodischen Koeffizienten, Potenzreihenansatz, Randwertprobleme, Beispiele)

• ANHANG: Topologische Grundbegriffe
• Tafeln
• Literaturverzeichnis
• Symbolverzeichnis
• Stichwortverzeichnis

Band 3

Beurteilung

Das Buch wendet sich an Studierende der Mathematik, Informatik, Physik und Geophysik und behandelt die Analysis in mehreren Veränderlichen. Im Mittelpunkt stehen die Differentialrechnung in endlichdimensionalen Zahlenräumen und die (Lebesguesche) Integralrechnung auf der Grundlage der Maßtheorie.
Daneben wird auch eine Einführung in die Topologie, die Funktionentheorie und die Stochastik gegeben. Zahlreiche Beispiele, insbesondere aus der Physik, und umfangreiches Aufgabenmaterial runden die Darstellung ab.

Inhalt

1. Topologische Grundbegriffe
   1. Topologische Räume und stetige Abbildungen
   2. Zusammenhängende und kompakte Räume
   3. Vollständige metrische Räume - Gleichmäßige Konvergenz
2. Differentialrechnung
   4. Differenzierbare Kurven
   5. Totale Differenzierbarkeit
   6. Implizite Funktionen
   7. Differentialformen und Kurvenintegrale - Vektorfelder
3. Gewöhnliche Differentialgleichungen
   8. Dynamische Systeme
   9. Stabilität
   10. Elemente der Variationsrechnung
4. Maß- und Integrationstheorie
   11. Maße
   12. Das Borel-Lebesgue-Maß
   13. Verallgemeinerte Maße
   14. Integration
   15. LP-Räume
   16. Beispiele
5. Fourier-Transformation
   17. Die Fourier-Transformation
   18. Die Laplace-Transformation
6. Stochastik
   19. Wahrscheinlichkeitstheorie
   20. Statistik

• Tafeln
• Literaturverzeichnis
• Symbolverzeichnis
• Stichwortverzeichnis

Band 4

Beurteilung

Die "Analysis auf Mannigfaltigkeiten" ist der abschließende Band der vierbändigen Lehrbuchreihe der Mathematik für Mathematiker, Physiker und Informatiker über den Lehrstoff bis zum mathematischen Vorexamen und darüber hinaus.
Der Band enthält die Grundlagen der Differential- und Integralrechnung auf reellen und komplexen Mannigfaltigkeiten. Die notwendigen Hilfsmittel aus der Multilinearen Algebra und über Vektorbündel werden bereitgestellt.
Außerdem werden Lie-Gruppen, Zusammenhänge und der Satz von Frobenius, (pseudo-) Riemannsche Mannigfaltigkeiten, Grundbegriffe der Algebraischen Topologie, Funktionentheorie und Riemannsche Flächen sowie die Funktionalanalysis einschließlich der Operatorentheorie behandelt.
Zahlreiche Beispiele und Aufgaben begleiten den Text.

 Inhalt

1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
   1. Grundbegriffe
      (Der Begriff der differenzierbaren Mannigfaltigkeit, Beispiele, Differenzierbare Abbildungen, Tangentialräume)
   2. Tangentialbündel
      (Tangentialbündel und Vektorfelder, Untermannigfaltigkeiten, Flüsse, Kotangentialbündel und Paffsche Formen, Mannigfaltigkeiten mit Rand)
   3. Lie-Gruppen
      (Lie-Gruppen und ihre Lie-Algebren, Die Exponentialabbildung, Operationen von Lie-Gruppen)
   4. Beispiele und Ergänzungen
      (Mannigfaltigkeiten linearer Objekte, Topologie von Restmannigfaltigkeiten, Überlagerungen, D'Alembertsches Prinzip, Noethersches Theorem)
   5. Drei grundlegende Sätze
      (Zerlegung der Eins, Der Satz von Sard, Quotientenmannigfaltigkeiten)
2. Multilineare Algebra
   6. Tensorprodukte
      (Tensorprodukte, Tensorprodukte normierter Räume, Tensoralgebren)
   7. Äußere und symmetrische Potenzen
      (Äußere Algebren, Clifford-Algebren, Symmetrische Algebren)
3. Analysis auf Mannigfaltigkeiten
   8. Vektorbündel
      (Der Begriff des Vektorbündels, Konstruktionen von Vektorbündeln, Beispiele)
   9. Differenzialformen
      (Tensorfelder und Differenzialformen, Orientierungen, Die äußere Ableitung, De Rham-Kohomologie)
   10. Zusammenhänge
       (Zusammenhänge und der Satz von Frobenius, Lineare Zusammenhänge, Affine Zusammenhänge)
4. Integration auf Mannigfaltigkeiten
   11. Die Integralsätze
       (Der Integralbegriff, Der Satz von Gauß-Stokes, De Rham-Kohomologie mit kompaktem Träger)
   12. Ergänzungen zur De Rham-Kohomologie
       (Poincaré-Dualität, Künneth-Formeln, Singuläre Homologie und Kohomologie, Der Satz von De Rham, Weitere Beispiele zur singulären Homologie und Kohomologie)
   13. Anwendungen und Beispiele
       (Elementare Theorie der harmonischen Funktionen, Elastizitätslehre, Hydrodynamik, Maxwellsche Gleichungen, Haarsche Maße)
   14. Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten
       (Metrische Tensoren und Krümmungstensoren, Beispiele, Vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten)
5. Funktionentheorie
   15. Isolierte Singularitäten
       (Laurent-Entwicklung und isolierte Singularitäten, Holomorphe Vektorbündel, Verzweigte Überlagerungen)
   16. Beispiele und Ergänzungen
       (Beispiele konkreter Riemannscher Flächen, Beweis des Satzes von Riemann-Roch, Elliptische Riemannsche Flächen)
   17. Uniformisierung
       (Klassifikation Riemannscher Flächen, Der Riemannsche Abbildungssatz)
6. Funktionalanalysis
   18. Lokal konvexe Räume
       (Grundbegriffe, Dualität, Beispiele: Maße und Distributionen)
   19. Spektraltheorie
       (Das Spektrum, Der Spektralsatz für stetige normale Operatoren, Der allgemeine Spektralsatz für normale Operatoren)

• Literaturverzeichnis
• Stichwortverzeichnis

Mathematik 1 & 2
Geschrieben für Physiker

Jänich
Springer, 584 Seiten, 2. Auflage, 2005, 29,95 €
Springer, 384 Seiten, 1. Auflage, 29,95 €

ISBN: 3-540-21392-9
ISBN: 3-540-42839-9

Es folgen die Rezensionen von: Band 1 und Band 2

Mathematik 1

Beurteilung

Die Bücher richten sich hauptsächlich an Studenten der Physik, die die hier vorgestellte Mathematik für ihr Studium benötigen und dabei insbesondere an Studenten der ersten beiden Semester. Der erste Band macht den entschlossenen Versuch, rechtzeitige Darstellung des Stoffes aus physikalischer Sicht mit der systematischen Entwicklung der mathematischen Einsicht zu verbinden. Es wird immer wieder auf die verschiedenen Sprachen in der Mathematik und der Physik eingegangen.
Abgesehen davon ist das Buch auch gut zum Selbststudium geeignet, kann jedoch nicht vollständig einen universitären Übungsbetrieb ersetzen. Es enthält zu jedem Kapitel Übungsaufgaben (unterteilt in Theorie- und Rechenaufgaben), jedoch ohne Lösungen.
Es ist insgesamt lobend zu erwähnen, dass der Autor versuchen will die Problematik der frühzeitigen Bereitstellung des mathematischen Stoffes zu Beginn eines Physikstudiums zu überwinden. Es sollte jedoch jeder selbst beurteilen, ob die Darstellung thematisch und in der Ausführung für ihn die richtige ist.

Inhalt

1. Funktionen
2. Die Ableitung
3. Integration
4. Differentialgleichungen erster Ordnung
5. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
6. Bereiche und Abbildungen in mehreren Variablen
7. Partielle Ableitungen und Mehrfachintegrale
8. Grundbegriffe der linearen Algebra
9. Basen und Dimension
10. Lineare Approximation in der Analysis
11. Multilineare Abbildungen und die Determinante
12. Quadratische Formen, Skalar- und Kreuzprodukt
13. Schwingungen und Fourierreihen
14. Dynamische Systeme
15. Zweidimensionale Systeme mit konstanten Koeffizienten
16. Linienintegrale
17. Koordinatentransformation
18. Algebraische Strukturen
19. Metrik, Topologie und Kompaktheit
20. Kategorien und Quotienten
21. Lineare Algebra in K-Vektorräumen
22. Lineare Algebra in euklidischen und unitären Räumen

• Fußnoten und Ergänzungen
• Register

Mathematik 2

Inhalt

1. Mathematische Gundlagen der Analysis
2. Funktionenfolgen und Reihen
3. Taylorentwicklung
4. Das lokale Verhalten nichtlinearer Abbildungen an regulären Stellen
5. Die k-dimensionalen Flächen im Rⁿ
6. Analysis unter Nebenbedingungen
7. Klassische Vektoranalysis I: Gradient, Rotation und Divergenz
8. Klassische Vektoranalysis II: Integration auf Flächen
9. Klassische Vektoranalysis III: Berandete Flächen und Integralsätze
10. Der Cartan-Kalkül I: Integration von Differentialformen
11. Der Cartan-Kalkül II: Cartan-Ableitung und Satz von Stokes
12. Der Cartan-Kalkül III: Übersetzung in die Vektoranalysis
13. Mathematik und Mechanik
14. Die Euler-Lagrange-Gleichungen
15. Der Satz von Emmy Noether

• Fußnoten und Ergänzungen
• Register

Mathematik für Physiker
1- Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik
2 - Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik

Weltner, Wiesner, Heinrich, Engelhardt, Schmidt
Springer, 308 Seiten, 13. Auflage, 2006, 29,95 €
Springer, 248 Seiten, 15. Auflage, 2008, 29,95 €

ISBN: 978-3540298427
ISBN: 978-3540681984

Es folgen die Rezensionen von: Band 1 und Band 2

Mathematik für Physiker 1

Beurteilung

Mathematik für Physiker stellt in zwei Bänden eine gelungene Einführung dar. Das bewährte Lehrbuch gibt es ab der 12. Auflage zusammen mit der Software Mathematik für Naturwissenschaftler, ein interaktiver Vorkurs für den PC. Zusätzlich wurden die ca. 1500 Lehr- und Übungsschritte nun als pdf auf eine CD-ROM integriert. Ein sehr nützliches, gut abgerundetes und in mehr als 25 Jahren bewährtes Lehrwerk.

Inhalt

1. Vektorrechnung
   (Skalare und Vektoren; Addition von Vektoren; Subtraktion von Vektoren; Das rechtwinklige Koordinatensystem; Komponente und Projektion eines Vektors; Komponentendarstellung im Koordinatensystem; Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar; Betrag eines Vektors; Übungsaufgaben)
2. Skalarprodukt, Vektorprodukt
   (Skalarprodukt; Kosinussatz; Skalares Produkt in Komponentendarstellung; Vektorprodukt; Vektorprodukt in Komponentendarstellung; Übungsaufgaben)
3. Einfache Funktionen, Trigonometrische Funktionen
   (Der mathematische Funktionsbegriff; Graphische Darstellung von Funktionen; Winkelfunktionen, Trigonometrische Funktionen; Übungsaufgaben)
4. Potenzen, Logarithmus, Umkehrfunktionen
   (Potenzen; Exponentialfunktion; Logarithmus, Logarithmusfunktion; Hyperbolische Funktionen; Umkehrfunktionen, inverse Funktionen; Mittelbare Funktion, Funktion einer Funktion; Übungsaufgaben)
5. Differentialrechnung
   (Folge und Grenzwert; Stetigkeit; Reihe und Grenzwert; Die Ableitung einer Funktion; Praktische Berechung des Differentialquotienten; Höhere Ableitungen; Maxima und Minima; Übungsaufgaben)
6. Integralrechnung
   (Die Stammfunktion; Flächenproblem und bestimmtes Integral; Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung; Bestimmtes Integral; Zur Technik des Integrierens; Rechenregeln für bestimmte Integrale; Substitution bei bestimmten Integralen; Mittelwertsatz der Integralrechnung; Uneigentliche Integrale; Arbeit im Gravitationsfeld; Übungsaufgaben)
7. Taylorreihe und Potenzreihen
   (Vorbemerkung; Entwicklung einer Funktion in eine Taylorreihe; Gültigkeitsbereich der Taylorentwicklung (Konvergenzbereich); Das Näherungspolynom; Allgemeine Taylorreihenentwicklung; Nutzen der Taylorreihenentwicklung; Übungsaufgaben)
8. Komplexe Zahlen
   (Definition und Eigenschaften der komplexen Zahlen; Komplexe Zahlen in der Gauß'schen Zahlenebene; Die Exponentialfunktion einer komplexen Zahl; Übungsaufgaben)
9. Differentialgleichungen
   (Begriff der Differentialgleichung, Einteilung der Differentialgleichugen; Die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichung 1. und 2. Ordnung; Variation der Konstanten; Randwertprobleme; Anwendungen; Übungsaufgaben)
10. Wahrscheinlichkeitsrechnung
    (Einleitung; Wahrscheinlichkeitsbegriff; Abzählmethoden; Übungsaufgaben)
11. Wahrscheinlichkeitsverteilungen
    (Diskrete und kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen; Mittelwert; Binomialverteilung und Normalverteilung; Anhang A; Übungsaufgaben)
12. Fehlerrechnung
    (Aufgabe der Fehlerrechnung; Mittelwert und Varianz; Mittelwert und Varianz bei kontinuierlichen Verteilungen; Gewogenes Mittel; Fehlerfortpflanzung; Regressionsgerade, Korrelation; Übungsaufgaben)

Anhang
• Grundbegriffe der Mengenlehre
• Funktionsbegriff
• Quadratische Gleichungen

• Literatur
• Sachwortverzeichnis

 Mathematik für Physiker 2

Inhalt

13. Funktionen mehrerer Variablen, skalare Felder und Vektorfelder
    (Einleitung; Der Begriff der Funktion mehrerer Variablen; Das skalare Feld; Das Vektorfeld; Spezielle Vektorfelder; Übungsaufgaben)
14. Partielle Ableitung, totales Differential und Gradient
    (Die partielle Ableitung; Das totale Differential; Der Gradient; Übungsaufgaben)
15. Mehrfachintegrale, Koordinatensysteme
    (Mehrfachintegrale als Lösung von Summierungsaufgaben; Mehrfachintegrale mit konstanten Integrationsgrenzen; Zerlegung eines Mehrfachintegrals in ein Produkt von Integralen; Koordinaten; Anwendungen: Volumen und Trägheitsmoment; Mehrfachintegrale mit nicht konstanten Integrationsgrenzen; Kreisfläche in kartesischen Koordinaten; Übungsaufgaben)
16. Parameterdarstellung, Linienintegral
    (Parameterdarstellung von Kurven; Differentiation eines Vektors nach einem Parameter; Das Linienintegral; Übungsaufgaben)
17. Oberflächenintegrale
    (Der Vektorfluss durch eine Fläche; Das Oberflächenintegral; Berechnung des Oberflächenintegrals für Spezialfälle; Berechnung des Oberflächenintegrals im allgemeinen Fall; Fluss des elektrischen Feldes einer Punktlandung durch eine Kugeloberfläche mit Radius R; Übungsaufgaben)
18. Divergenz und Rotation
    (Divergenz eines Vektorfeldes; Integralsatz von Gauß; Rotation eines Vektorfeldes; Integralsatz von Stokes; Potential eines Vektorfeldes; Anhang; Übungsaufgaben)
19. Koordinatentransformationen und Matrizen
    (Koordinatenveschiebungen - Translationen; Drehungen; Matrizenrechnung; Darstellung von Drehungen in Matrizenform; Spezielle Matrizen; Inverse Matrix; Übungsaufgaben)
20. Lineare Gleichungssysteme und Determinanten
    (Lineare Gleichungssysteme; Determinanten; Übungsaufgaben)
21. Eigenwerte und Eigenvektoren
    (Eigenwerte von 2 x 2 Matrizen; Bestimmung von Eigenwerten; Eigenwerte und Eigenvektoren einer 3 x 3 Matrix; Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren; Übungsaufgaben)
22. Fourierreihen
    (Entwicklung einer periodischen Funktion in einer Fourierreihe; Beispiele für Fourierreihen; Die Fourierreihe für Funktionen beliebiger Periode T; Fourierreihe in spektraler Darstellung; Übungsaufgaben)
23. Fourier-Integrale
    (Übergang von der Fourierreihe zum Fourier-Integral; Fourier-Transformationen; Verschiebungssatz; Diskrete Fourier-Transformation, Abtasttheorem; Fourier-Transformation der Gaußschen Funktion; Übungsaufgaben)
24. Laplace-Transformation
    (Integral-Transformationen, Laplace-Transformationen; Laplace-Transformation von Standardfunktionen und allgemeine Regeln; Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten; Lösung von simultanen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten; Übungsaufgaben)
25. Wellengleichungen
    (Wellenfunktion; Die Wellengleichung; Übungsaufgaben)

• Sachwortverzeichnis